Обобщенная обратимость теплицевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 512,831

ОБОБЩЕННАЯ ОБРАТИМОСТЬ ТЕПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ

В.МДцуков

Челябинский государственный технический университет

В работе приводятся полные доказательства результатов по обобщенной обратимости теплицевых матриц, анонсированных ранее в РЖМат 1986, № 11, 11А454. Получено представление обобщенной обратной к теплицевой матрице в виде усеченной безутианты существенных многочленов.

В работе [1] были введены понятия индексов и существенных многочленов конечной последовательности чисел с_т,...£й,...,сл. С помощью этих понятий

в [1] сформулированы теоремы о структуре ядра теплицевой матрицы Т0= | с((_л |^ п и о виде обобщенной (односторонней, двусторонней)

обратной матрицы к Г0.

Подробное изложенние части этих результатов, относящихся к структуре ядра матрицы Т0 и ее обращению, дано в [2]. В предлагаемой работе будут

приведены доказательства теорем об обобщенной обратимости матрицы Т0 и

о восстановлении исходной последовательности по индексам и существенным многочленам (теорема 2 и теорема 3 из [1]).

1. Всюду в дальнейшем мы пользуемся терминологией и обозначениями статьи [1].

Покажем, что знание индексов и существенных многочленов последовательности с_и,...,с0,...,с(| позволяет найти обобщенную (одностороннюю)

обратную матрицу для теплицевой матрицы Т0.

Следуя [3], под обобщенной обратной матрицей к Г0 мы понимаем

матрицу С7=||^,|(_0 п, удовлетворяющую уравнению Т0СТ0=Т0. Если б —

обобщенная (односторонняя, двусторонняя) обратная к Т0 матрица, то будем обозначать

т п I-0 /=о

производящий многочлен для этой матрицы. Обозначим также через Р(аф) (-т:£а£/3<л) оператор проектирования, действующий по формуле

¡'•-т I"а

Если оператор проектирования применяется к многочлену от двух переменных, то будем указывать в виде индекса ту переменную, на которую он действует.

Нам понадобится следующая теорема, доказательство которой (при р—О) дано в [2].

«-р+1 п-р+I

Теорема 1. Пусть п-т-2р и Кг{х)-^Ъ(х~1 —

/=о ¡-о

любые линейно независимые многочлены из пространства кегяТр+1(х), размерность которого всегда не меньше двух.

Матрица Тр~ ¡| я обратима тогда и только тогда, когда

/-0,1

[Ьп_р+1Я, (Дг)-ап_р+1ВД] Но

Если это условие выполнено, то Л,(г) и /?2(г)) — существенные многочлены, а (1х=цг=р— индексы последовательности с_т,...,с0,...,са. Производящий многочлен для обратной к Тр матрицы находится при этом по формуле

1 и +| л.мед-л.ООед

В{ху)--у>->" -—;-(1)

°о 1 -х у

Нам также потребуется следующая вспомогательная

Теорема 2. Пусть /¿,</<2 — индексы, а

Я^^У^арс'1 — существенные многочлены последо-

1-0 1-0 вательности с_т,...£0,...£1( \

Для того, чтобы существовала продолжение этой последовательности влево числами с-(Я,+|)>—»с-(т+/1а-/»1) такое, что матрица

Т - | || ¡„^ а обратима, а многочлены Я1(х),И2(х) являются существенными многочленами и продолженной последовательности, необходимо и достаточно, чтобы старший коэффициент многочлена Я2(х) не обращался в нуль.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует продолжение последовательности с_т,...,с0,...,сп такое, что матрица Т^ обратима, и Л((д:),Л2(д:) — существенные многочлены и продолженной последовательности. Применим теорему 1 к этой последовательности. Если 3 — функционал

Стилтьеса, порожденный продолженной последовательностью, то о0-Ьа_и ^¿¡фЛЯД.*)}. В силу обратимости матрицы , по теореме 1 имеем о0*0, значит и

Достаточность. Пусть 0. Продолжим исходную последователь-

" Иу ' *

ность числами с_(т+1) —

Это продолжение определено таким образом, чтобы /?2(дг) Екег Г +1(г). Ясно,

что и Я^х) Екег Тр+1(х), причем Л,(дг), й2(г) — линейно независимые

многочлены из кег +1(дг).

Покажем, что для этих многочленов о0*0. Тем самым, в силу теоремы

I, будет доказано, что Т — обратимая матрица и Я.(х), Я-,(х) — существенные

многочлены 'продолженной последовательности.

Найдем о0=Ьп_и Для многочлена /?(х) будем обозначать через

А (х) многочлен, полученный отбрасыванием в Я(дг) старшего члена. Тогда Подставляя в это выражение с_(т+1), получим

Поскольку старшие члены в разности многочленов сокращаются, то

Обозначим через 0(х) многочлен Ьп_и +,/?2(лг), принад-

лежащий пространству кегТ^+{(х). Предположим, что о0-о\х?г(2(х)\=0. Тогда 0(х) Е кег Т (дс). В этом случае в„_„ +1Л2(х) е кег Т (лг)" кег Т (х). Последнее

(*^ " "2 г®2

возможно, только если ая_м +1=0, поскольку Л2(дг), как существенный многочлен, не может принадлежать пространству кег Т (х)+х~1 кег Т (х). Но если в1|_/4+1=0, то Я1(х)=^1 (*) и ст^сф^/гд*)}. Так как «О=0, то ст|х',1Я1(л:)}=0, то есть Я,(х) екегТ^ (х), что невозможно, поскольку Я,(дг) — существенный многочлен. Таким образом, о0*0, и теорема доказана.

Замечание. Если /?,(*), /?2(х) — существенные многочлены последовательности с_т,...,с0,...,с11, то для любого многочлена <?(дг) по переменной степени не больше —и любого числа многочлен

<7(дг)Л,(лг)+Л/?2(х) также является существенным. Так как старшие коэффициенты существенных многочленов не могут одновременно обращаться в нуль, то многочлен д(х) и число А всегда можно подобрать таким образом, что степень нового существенного многочлена 9(х)/?1(дг)+АЛ2(а:) будет в точности равна

и—/*,+1. Итак, существенный многочлен Л2(г) всегда можно выбрать так, что продолжение, указанное в теореме 2, будет существовать.

Теперь мы можем доказать теорему о виде обобщенной обратной матрицы к теплицевой матрице Т0-

Теорема 3. Пусть ц2 — индексы, а

п-мг+1 *-/»,+!

Я2(х)=^Ь¡х~' — существенные многочлены последовало 1-0 тельности с_т,...,с0,...,сн. Многочлен

С(ху)=Рх(-т,0)Ру(0лУ>В(х#), (2)

где

1 „^Д.Ш-Д.^) V-г-гг-.

является производящим многочленом для одной из обобщенных обратных к теплицевой матрице Г0=| с((._л|,_0 и.

}'0.....т

Если при этом ()£/<, </<? то формула (2) дает производящий многочлен для матрицы обратной слева к Та при р^ц^О — для матрицы обратной справа к Та а при — для обратной к Та (При оператор

Ру(0,п\ а при /*,<=/и2:£0 Рх(-т,0) действуют на )Р\В(ху) как тождественные операторы).

Доказательство. Выберем вначале второй существенный многочлен Л2(х) таким образом, чтобы его старший коэффициент был отличен от нуля. В силу замечания, это всегда можно сделать. По теореме 2 мы можем теперь продолжить последовательность с_т,...,с0.....сп так, что матрица

Т= || с(_у|| „ будет обратимой и /?,(лг), Я2(дг) останутся существенными многочленами и продолженной последовательности. Тогда производящий

многочлен для обратной к матрицы В= Ц Ьц|| по теореме 1 находится по формуле

-^-,

где число а0 вычисляется с помощью функционала Стилтьеса а исходной последовательности по формуле

Рассмотрим вначале случай ^,<0<м2> т® есть случай обобщенной

(Ви Вп\ В2\ В22

обратимости матрицы Г0. Разобьем матрицу В на блоки В-

выделвв блок Ви размером (т+1)х(л+1), который мы далее будем обозначать через О. Легко видеть, что производящий многочлен для б имеет вид С(х}у)~Рх{-т,0)Рр/1)у>'1В(х#). Покажем, что ¿?21=0. Для удобства положим +1=—+1=0-

Воспользовавшись формулой (2.8) из [2], получаем при <>;

/

1 чг. *-0

Для индексов I,/ элементов Ь.^ входящих в блок В21, справедливо неравенство г-/&л-/иа+2, а в этом случае а(_(=0 и _уч_(+]_о=0, то есть

ь,г 0.

(Т„ Тп)

т т 121 '22

Разобьем теперь матрицу Т на блоки Г = выделив блок Т2[=Т0.

Из условия Т^В=1 имеем Г0О+Т22822=/. С другой стороны, из ВТ^-1 следует, что В22Т0=0. Их этих равенств получаем, что Т0ОТ0=Т0, то есть матрица <7 является обобщенной обратной матрицей к Г0.

Пусть теперь Отбросим последние строк матрицы В и добавим

впереди /*1 нулевых столбцов, полученную матрицу обозначим С. Из условия

57^=/ легко следует, что СГ0=7, то есть О — обратная слева к Т0 матрица.

Очевидно, что производящий многочлен матрицы й имеет вид С(ху)=Рх(-т,0)Ру(0/1У>В(ху).

Мы учитываем, что в этом случае оператор Ру(0,и) действует на многочлен УЩху) как тождественный оператор.

Наконец, если то, отбросив первые столбцов матрицы В

и добавив снизу |/<2| нулевых строк, получим матрицу С, для которой, в

силу равенства В=/, справедливо Т0С=1. Ясно, что производящий многочлен

для С? имеет вид (2).

Итак, для существенного многочлена Л2(х), имеющего полную ступень,

теорема доказана.

Докажем теперь, что теорема остается в силе и в случае, когда в качестве Я2(х) выбран многочлен, степень которого меньше +1 (если тахие

существенные многочлены для данной последовательности ,сн

существуют).

Введем вспомогательный многочлен

ед-дг^ед+ед.

Как уже отмечалось, это также существенный многочлен последовательности с ненулевым старшим коэффициентом. Тогда, по доказанному, многочлен

С1(?су)=Рх( -т,0)Ру(0,пуЯ(ху),

где

1 „ Л(х)Я2(у)-Я,(у)Я2(х)

^¿Г"1'-^-•

является производящим многочленом для обобщенной (односторонней) обратной матрицы С к Т0.

Выразим В(ху) через многочлены /?,(дг), Яг(х):

В(ху)=В(х,у) +- Г%(ху-^+,Я,(у) 0 1*0

Таким образом,

где через К(ху) обозначен многочлен

0 у-0

Пусть /¿,<0<^2. Покажем, что

»Л^^^Н0, ...../=0-1.....

Это равносильно тому, что матрица К, порожденная многочленом К (х,у), удовлетворяет уравнению Т^Т0=О.

Для этого представим К(х,у) в виде

0 /-0

0 i-ln,l

Здесь мы воспользовались тем, что дс-/Л,(х) является многочленом по неположительным степеням х степени не больше m при 0£/£ |~1, а '^(у) есть многочлен по неотрицательным степеням у степени не больше п при (/<, | st/s/ij-/«,-!. Тогда

Ь.,1-1

° J-0

0 /Мы учитываем, что aj**""^^)}^ для Oik<n, а

aJy^r'a^'^M^O при |nx\<.j<.n2-nx~\ Ozl<m, поскольку R^ekerT^x).

Таким образом, G=G-K, где G — обобщенная обратная матрица к Т0, а К удовлетворяет уравнению TJÎ Г0=0. Это означает, что G также обобщенная обратная матрица.

Если теперь Ото Pf(0jt) действует как тождественный оператор

и

.Т'Т1

2yn^-^i+%(y)Px(-m,0)x-'Rt(x).

0 У-о

Отсюда сразу же следует, что

'=0.....m,

а это равносильно условию TJi=0.

Аналогично при получаем, что КТ0=0. Тогда G=G-K является

односторонней обратной к Т0 и теорема полностью доказана.

I

2. Рассмотрим теперь задачу восстановления по существенным многочленам исходной последовательности.

Пусть даны два взаимно простых многочлена Rfo) и /?2(х) по

неположительным степеням х формальной степени / и q (/£<?) соответственно:

I ч

к-0

причем старшие коэффициенты этих многочленов одновременно в нуль не обращаются. Пусть задано также число /лг удовлетворяющее неравенствам

Определим числа т=!-/4х-1, рг<=ц-1+(Ах и найдем по

/?,(*), Л2(дг) и рх последовательность чисел с_т,...,с0,...,сд, для которой и

ц2 являлись бы индексами, а Л,(дг), Яг(х) существенными многочленами.

Теорема 4. Для любых взаимно простых многочленов /?,(*) и

Я2(х), старшие коэффициенты которых не обращаются одновременно в нуль,

и любого числа ¡ир удовлетворяющего неравенствам -(^-1)</г1</-1,

существует единственная с точностью до постоянного, отличного от нуля, множителя последовательность чисел _|),...,с0,...,с;+|11 для которой

и (12<=ц-1+ц1 — индексы, а /?,(*) и Я2(х) — существенные многочлены. Доказательство. Очевидно, что /?,(*). являются существенными многочленами некоторой последовательности тогда и только тогда, когда /?,(*) и х)+Я2{х) — существенные многочлены этой же

последовательности. Так как хотя бы один из многочленов Л2(х), Л2(х) имеет

старший коэффициент, отличный от нуля, можно в дальнейшем ограничиться случаем, когда 0.

По многочленам /?,(*) и /?2(х) составим многочлен

я.мвд-я.ооед -¡^-.

Из свойств безутианты взаимно простых многочленов [4] следует, что матрица В, порожденная многочленом В(х,у), обратима, причем обратная к

ней является теплицевой матрицей. Обозначим эту матрицу через Г/(, и пусть она порождена последовательностью с0,..., с^ то есть

V1 ® .....

/-0.. ..А-1

Так как Г обратима, то индексы указанной последовательности совпадают между собой и равны Пусть Я}{х) и — существенные многочлены

последовательности, принадлежащие пространству кег Т Тогда по теореме 1 получаем

1 ВДЭД-адЭД

1-х~1у

Это означает, что безутианты многочленов ЛДх), Я2(х) и /?,(дг), Я2(х) отличаются друг от друга на постоянный не равный нулю множитель. Тогда

Я2(х)=а21Ях(х) + а22Я2(х), где апа22-а12а21*0. Поэтому и Яг{х) также

принадлежат пространству кегТ ..(*) и образуют его базис. Если / = (то

п

есть/<,=/<2), то существование искомой последовательности тем самым доказано.

Пусть 1<д. Покажем, что искомой последовательностью в этом случае будет подпоследовательность с_{/_/4 _,).....с0,...,св+;1 построенной последовательности.

Многочлен /?,(*) принадлежит, как легко видеть, пространству

кегТ ..(х), где матрица Т . порождена последовательностью с ,...,сп,...,с,., _.. Более того, как нетрудно убедиться, пространство кегТи+](х) одномерно. Это означает, что цх и /^2=q-l+fií являются индексами, а — первым существенным многочленом последовательности

_„_,).-.<:„,....с^,,. В силу вложения кегТ^+1(х) С кег получаем, что

Л2(дг) принадлежит кег Г( +,(*)> а взаимная простота с /?,(*) означает, что

Я2(х) — второй существенный многочлен последовательности

с_(Ы _])>—»с0,...,с9+|( то есть это — искомая последовательность.

Докажем теперь единственность построенной последовательности. Пусть с_т,...,с0,...,сд и Ь_т,...,Ь0,...,Ьп — две последовательности, для которых —

индексы, а Я,(дг), Я2(х) — существенные многочлены. По теореме 2 каждую

из этих последовательностей можно продолжить таким образом, что матрицы

Т"1 =| с(Ь/)И<-/<1.....„ и =|| ¿УлИ/-^.....« будут обратимыми, а

/-о.....у=0.....т+м1-><1

Ях(х), И2(х) являются существенными многочленами и продолженной последовательностей.

Тогда производящие многочлены матриц Г"' и 5"' будут пропорцио-

по свойству безутианты [4] Л,(д:)=амЛ1(д:)+а12/?2(х)

и

нальны у ' 1

Я^Я^-Я^Щх) 1 -х~'у

и, значит, отличаются друг от друга

разве что на множитель Л*0. Поэтому Т~х=к~* 5, а это означает, что и

' I

последовательности отличаются друг от друга на отличный от нуля множитель. Теорема доказана.

Итак, взаимная простота Я,(х), Яг(х) и невозможность одновременного

обращения в нуль их старших коэффициентов есть характеристическое свойство существенных многочленов скалярной последовательности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адуков В.М. Об индексах и Существенных многочленах / / Изв. вузов. Математика. 1986. № б. С. 47-49.

2. Адуков В.М. Структура одра и обращение теплицевых и ганкелевых матриц // Изв. вузов. Математика. 1986. № 7. С. 3-8.

3. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов // Кишинев: Штиинца, 1973.

4. Ландер Ф.И. Безутианта и обращение ганкелевых и теплицевых матриц // Мат. исследования. Кишинев, 1974. Т.9. Вып. 2. С. 69-87.

Получено 28.06.92