О факторизации Винер а-хопфа матричных многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА

3

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕР А-ХОПФА МАТРИЧНЫХ

МНОГОЧЛЕНОВ

В. М. Аду ков

Челябинский государственный технический университет

Приведены доказательства результаюв, анонсированных в [1]. Вычислены частные индексы и построена в явном виде фаыоризация Винера-Хоифа матричных многочленов.

Введение

В этой работе для матричных многочленов решается в явном виде следующая задача факторизации матриц-функций [2].

Пусть Г — простой гладкий замкнутый контур в комплексной плоскости €, ограничивающий область D+. Дополнение D+ (J Г в расширенной комплексной плоскости С {J{oo} обозначим через Без ограничения общности можно считать, что 0 G D+, оо G D_. Пусть a(f) — непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция порядка р.

Право а факторизацией Винера-Хопфа матрицы-функции a(t) называется ее представление в виде

a(t) = r^(t)dr(t)r+(t), t G Г, (1)

где r±(t) — непрерывные на Г матрицы-функции, аналитически продолжи-мые в область D± и обратимые там, dr(t) = diagfC1,..., f*]. Здесь р\, . ,рр — целые числа, называемые правыми частными индексами a(t). Они определяются однозначно матрицей- функцией a(t) Можно считать, что правые частные индексы упорядочены по возрастанию: р\ < ... < рр. Аналогично определяенся левая факторизация a(t) :

a(t) — l+(t)di(t)l,.(t), i G Г, (2)

di(t) = diag[^>,. -, /Aj, Ài > . > Ap — левые частные индексы a(t) Легко видеть, что

р р

Y^Pj Хз ~ indr det a(t).

j-i j=i

Здесь indrdeta(<) — индекс Коши определителя a(t).

Интерес к задаче факторизации матриц функций обусловлен тем, что решение систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, а также систем дискретных уравнений Винера Хопфа становится рутинной процедурой, как только построена факторизация матричного символа соответствующего оператора [2, 3]. Кроме того, факторизация матриц-функций является важным этапом при интегрировании нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния [4].

4

В М АДУКОВ

Известно, что факторизация Винера-Хопфа существует для матриц-функций с гельдеровскими на контуре Г элементами либо с элементами из алгебры Винера В частности, факторизация существует для матричных многочленов Однако явных формул для факторизациочных множителей и частных индексов в общем случае нет

В 1978 г. И. Гохберг, Л Лерер и Л Родман получили явные формулы для левых частных индексов матричных многочленов (анонсировано в [5], подробное изложение в [6]) В этих работах индексы вычисляются в терминах рангов конечных теплицевых матриц, составленных из моментов матрицы-функции

«"'О

В работе [1] предложен метод вычисления индексов и явного построения факторизации матричных многочленов, основанный на понятии индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц В дальнейшем этот метод был применен для явного построения факторизации мероморфных матриц функций (анонсировано в [7], подробное изложение в [8]) Однако формулы для индексов из статьи [1] не следуют из формул работ [7, 8] поскольку в [7, 8] используется другая последовательность моментов С вычислительной точки зрения формулы из [1] в некоторых случаях предпочтительнее формул из [7, 8] Но этой причине в данной работе мы приводим подробные доказательства результатов статьи [1]

1. Индексы и существенные многочлены конечной последовательности матриц

В этом параграфе развивается техника, необходимая для получения в явном виде факторизации Винера-Хопфа матричных многочленов Все построения носят чисто алгебраический характер Результаты могут быть применены к обращению и обобщенному обращению конечных теплицевых матриц [9, 10] Доказательства утверждений этого параграфа опущены, их можно найги в [8,9]

Прежде всею введем важные для дальнейшею понятия индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц

1 Обозначим через СрХЯ множество всех комплексных матриц размера Для матрицы А мы будем обозначать кегл А ее правое ядро и кег^ А ее левое ядро.

кегд А — {ж | Ах - 0}, кег^ А = {у | уА = 0}

Пусть А — блочная матрица с блоками из СХр, имеющая блочные размеры (п + 1) х (т +1) Разобъем столбец 11 £ кегд А на т + 1 блоков

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА

/ го \ Г\

Я =

\r™ J

и определим для R производящий векторный многочлен от переменной I

R(t) = го + ni + ... + rmtm

Аналогично для строки из kerx А определим производящий векторный многочлен от переменной i-1.

Пусть с_т, .., со,..., с„ — конечная последовательность комплексных матриц порядка р. Образуем семейство блочных теплицевых матриц

Тк = ||C|-j|| , = к,к + 1, ,п

j —0,1, , m -+ к

(~т < к < п). Наша ближайшая цель — изучить структуру правого и левого ядра матрица

Поскольку удобнее иметь дело не с векторами, а с производящими векторными многочленами, перейдем от пространств кегд Тк и kerj, 1\ к изоморфным пространствам Nj? и N^ производящих векторных многочленов. Чтобы сделать эго, вредем операторы <гц и cri. Для р — 1 оператор а ц — ai является функционалом Стилтьеса, используемым в теории ортогональных многочленов.

На пространстве рациональных матриц-функций вида R(t) = гз^3 >

г: £ С рх', определим оператор, действующий в пространство С рх! по формуле

1--п

(Мы используем обозначение сгд для всех / > 1, поскольку эго не вызывает недоразумений).

Через (—тэт < к < п) обозначим пространство векторных многочленов вида /¿(¿) — ' г} е ^ таких, что

(Гй{Г"гЛ(г)} = 0, г' = к,к+ 1,. ,,п.

Легко видеть, что есть пространство производящих многочленов векторов из кегя Тк • Для удобства положим = 0 и обозначим (п + т + 2)р-мерное

пространство всех столбцовых многочленов формальной степени п +т+1 через

Аналогично, на пространстве рациональных матриц-функций вида ДО = Ь'' > I] ^ ^'Хр определим оператор <71 в пространство С'Хр

6

В М.АДУКОВ

Пространство кег^Т* естественно изоморфно пространству N¡.р векторных

многочленов от I 1 вида Ь{1) ~ -о ;> ^ € С 1хр, таких, что <г/,{Г'1,(<)} = 0, г = к,к~ 1,.. ,-т

Положим = 0 и обозначим (п + т + 2)р-мерное пространство всех

строчных многочленов от 1 формальной степени п + т + 1 через Лг1'т_}.

Определение 1.1. Будем говорить, что последовательность с_га,..., (*о, ..., сп регулярна, если Ц-тЫЦ-,,, - <Шп ЛГ^ = 0.

Через < {¿ь) обозначим размерность пространства (Я^). Пусть

<1;<!1+1)иД^ = 4- с*£+1 (-ш - 1 < А: < в) Используя формулу Грассмана, легко доказать, что для любой регулярной последовательности матриц справедливы неравенства:

0 = Д*т < Д* < ..<д£<д" =2Р, (3)

2р = Д_т_ | > Д£т > • • • > Д„_ 1 > Д„

0.

(4)

Из неравенств (3) следует, что существует 2р целых чисел /¿1 < . < р2р таких, что

ДЛ

д*

= Дл

- л*

0,

(5)

л я -»п+г

- 2р.

Если г-я строка в этих соотношениях отсутствует, считаем, что р, — рг+1 Легко проверить, что Д£ = 2р - Поэтому из (4) имеем

А1 "л.

Аь

А1

2р,

2р - г,

А1

»я

= 0

И2Р, определенные соотношениями (5), Со,...,сп

Определение ] .2 Целые числа р.х, будем называть индексами последовательности с_,п,

Нетрудно показать, что 2 р

^ — —тсЩ — (п — тп)р.

}=1

Из соотношений (5) сразу же получаем способ вычисления индексов последовательности через ранги г^ мачриц Тк (—ш < к < п):

р} = сагс!{£|р + - гк < ) - 1; к - -ш, -т + 1,. .,тг+1}-т-1, (6)

j = 1,. .,2р. Здесь сагс!А — мощность множества А и, по определению,

Г_т_! = Гп + 1 - 0.

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА

7

Из определения Ы^ легко видеть, что и — подпространства Л'Д 1, причем размерность Л£+1 дополнения суммы Л^ + tNf} до всего про-

странства равна Д^, - Отсюда и из (5) следует, что 1 / О

только если к — р., (г = 1,..., 2р). В этом случае совпадает с кратностью индекса р,. Поэтому для к ф р,

а для к — рп

^¿+1 - + 'О +

Определение 1.3. Любые

многочлены ..., образующие ба-

зис какого-либо дополнения Н^ +, будем называть правыми существенными многочленами последовательности, соответствующими индексу р,.

Таким образом, для любой регулярной последовательности мы определили

2р правых существенных многочленов ____/¿2р(0-

Аналогично для к ф р,

= А^ + Г'Л^,

а для к ~ р,,

Выбирая базисы для пространств _ 1 (1 < ; < 2р), мы получаем последовательность векторных многочленов Ь 1(г), .., Ь2Р{1), которые мы будем называть левыми существенными многочленами последовательности С— Ш) • ■ > ^0) ■ 1 Сп

Теперь мы можем описать структуру правого и левого ядра матрицы г1\- д терминах индексов и существенных многочленов.

Теорема 1.1. Пусть щ,. . ,/«2р — индексы, а ЯЦг), . .,Я2Р(0> '-^(О, • . ¿2Р(/.) — существенные многочлены последовательности с_т,. ., с0, ■ .,с„. Тогда векторные многочлены

являются производящими многочленами элементов базиса пространства кегдЦ. для £ £ (//¡;р!+1], 1 < /' < 2р Здесь мы положили р2р+1 — п-Аналогично, векторные многочлены

— производящие многочлены элементов базиса пространства кег/, Т¡ь для к £ [//,_!,/<,), 1 < г < 2р, ро = -т.

8

В. М. АДУКОВ

2. В дальнейшем нам потребуется критерий, который позволял бы проверять, что заданные числа являются индексами, а заданные векторные многочлены суть существенные многочлены данной последовательности матриц. Следующая теорема и дает такой критерий

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть е_т,...,со,----сп — регулярная последовательность.

Пусть Лгх, .., к'2р — целые числа такие, что — га — 1 < < . < к?р < п + I и

1Р

к3 = -т<Щ.

Пусть 11]_{1),. ., и^р^)', ..., У2р(() — векторные многочлены такие, что

и, (0 € и У3 (I) € , 1 < 3 < 2р.

Числа к1,...,к2р являются индексами, а многочлены 1/1(1), ..,и2р(1) — правыми существенными многочлена,ми последовательности с_т,. ., со, • , <"„ тогда и только тогда, когда обратима матрица

А _ ( *н{*-"^У)) <гц{Гк>*и2„(1)) |

" "V их

,т + к 1 + 1 и2р

Аналогично к г,.... к2р — индексы, а (¿),. ., ^2р(0 — левые существенные многочлены последовательности тогда и только тогда, когда обратима матрица

( VI,о

Л/. - ; . ;

Здесь ар, <7/, — операторы Сгилтьеса для последовательности с_т, . , со, сп, продолженной влево произвольной матрицей с_га_ 1; Е/^т+й +1 — старший коэффициент многочлена и У^о — свободный член V, (¿)-

2. Построение факторизации матричных многочленов

Пусть — матричный многочлен степени п, обратимый на контуре Г. Рассмотрим симметричную последовательность с_п,. .,со,. -,сп, составленную из моментов матрицы-функции относительно контура Г'

; = -, 0,. ,п.

При продолжении этой последовательности влево условимся брать в качестве с_„_1 соответствующий момент

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА

9

Легко видеть, что операторы ал и ai в этом случае действуют по формулам

= Г1 а-1 (t)R{t)dt

и

Определения пространств N'k{ и Nfc записываются теперь как следующие условия ортогональности:

пространство Nсостоит из векторных (столбцовых) многочленов R(t) от t формальной степени п + к, удовлетворяющих соотношениям

~ / t~3~la~l(t)R(t)dt - 0, j = k,k 4 1,...,п, ¿in Jr

а пространство Nfc есть пространство векторных (строчных) многочленов L{t) от формальной степени п — к таких, что

-i-т / Г]-1Ш)а-\{)й1 = 0, j = k,k-l,...,-n. 2ттг Jr

Как отмечалось во введении матричный многочлен a(t) допускает как правую, так и левую факторизации Винера-Хопфа относительно контура Г. Нетрудно доказать следующие свойства частных индексов Aj,... ,ХР, р\,..., рр и t факторизационных множителей l±{t),r^(t) матричного многочлена a(t):

1) левые А j,,.., Ар и правые р\, .., рр частные индексы матричного многочлена n(t) неотрицательны и не превосходят степени п многочлена a(t);

2) строка [/_(i)]j есть векторный многочлен от t~l степени не выше ;

3) столбец [r_(i)]; есть векторный многочлен от t~l степени не выше р3;

4) столбец [/+(£)р есть векторный многочлен от t степени не выше п — Aj

5) строка [г+ (¿)]; ест ь век горный многочлен от t степени не выше п — р3. « Здесь и далее для матрицы А мы обозначаем через [А\3 ее j-ю строку, а

через [А]3 — j-Pi столбец.

Установим прежде всего регулярность последовательности

С_п, - • , Су, . . . , Сп .

предложение 2.1. Пусть a(i) — матричный многочлен степени п, обратимый на контуре Г. Тогда последовательность с_п.. ., cq, ..., с„, составленная из моментов относительно контура Г матрицы -функции а-1 (О регулярна.

Доказательство Пусть a(t) = Y2"=oa)tJ ■ тождества a~l(t)a(t) - Ip следует, что

c0a0 + c_!« i + • • • + c_„a„ — Ip. (7)

Здесь Ip — единичная матрица порядка р. Если л £ ker^ Т„, т.е. жс_„ = ... = xcq -.-...= хсп — 0, то, умножая на х тождество (7), получаем х = 0. Значит, keriTn — 0. Аналогично, из равенства а(£)а_1(<) — 1р следует, что кегдТ_п =. 0.

10

В. М. АД У КОВ

Теперь мы можем связать частные индексы Ль-. , Ар, р\, .., рр и фак-торизационные множители /±(0>г±(0 матричного многочлена а(^) с индексами и существенными многочленами последовательности с_п, ., со,..., сп. Отметим, что мы одновременно используем и правую, и левую факторизации Винера-Хопфа а(<).

Теорема 2.1. Индексы последовательности с_„,..., со,..., с„ совпадают с числами

—Ль . ., -Ар, р\,..., рр;

многочлены

{/+(г)]\...ДМ0]р- г+'^ЫЭД1, ■■Лп^+1[г-Мр

являются ее правыми существенными многочленами; а многочлены

[1.(1)Ь,..., [/_(*)]„ г("-"'+1)[г+(0]ь ■.. ,Г^-"'+1Чг+(1)}р

— ее левыми существенными многочленами. Доказательство. Обозначим

к3 — — X], кр+: — р31 ] = 1,. , р.

В силу выбранной упорядоченности частных индексов имеем к\ < . . < к2Р Кроме того, —!пс17о. Определим многочлены £/,(*)•

ад = ['+(*)]'. = ^ = 1,-- ,р.

Покажем, что II¡(1) £ з = 1,.. ,2р. Пусть з = 1, ,.,р Пространство

А'^+, состоит из векторных многочленов формальной степени п — А; + 1 удовлетворяющих условиям:

— I Гк-хсГ1(1)Щ1)(И = 0, Л = к, + 1,к, 2,. 2тп УГ

Как отмечалось, векторный многочлен имеет степень не выше п — .

Вычислим интеграл

Из факторизации (2) следует Поэтому

Так как векторная функция [С1 (ОН является аналитической в области £>_, то интеграл Зк — 0 для всех к > —А^ + 1 и = [/11(оо)]-'. Это в частности

означает, что € 3 — 1 ,...,р Аналогично можно показать, что

<п+^ + 1[г_(<)р € j = 1 ,...,р Для того, чтобы доказать, что , .., к2р

-— индексы, а 11\((),... ,и2р(Ь) — правые существенные многочлены последовательности с-п,..., со,..., с„, применим критерий существенности (теорема 1.2). Для этого найдем Ад. Из определения многочленов (/.) имеем

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА ...

U

U],n+K, + \ - 0, l/p+j,» + Kp+J +1 = [r_(oo)]J, j = 1,. ,,р

Кроме того,

и

WO) = ¿¿i Jrtn~P,lr+Wdt = 0, i = 1,.•

. j = !,•••.P,

так как p} < п. Итак,

— обратимая матрица Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Я Воспользовавшись формулой (6), получаем способ вычисления частных индексов матричных многочленов через ранги матриц 7*.

Следствие 2 1. Левые и правые частные индексы матричного многочлена a(l) степени п находятся по формулам-

Аj — n — card{fc|p + г— i"ir < j — 1; fc = —n, .,0,.. ,n} + l,

p} - card{i|i-t_i - П < j - 1; k = -n, . , 0,...,n}- n - 1, j = 1, , р. Здесь r_n_i = 0 и r*. — ранг матрицы

k = —я,. ,0, ., n.

Впервые подобные формулы получили И Гохберг, Л. Лерер и Л Родман [5] В их формулах используются ранги матриц другого семейства.

Для того, чтобы с помощью существенных мно1 очленов последовательности построить факторизацию Винера-Хопфа матричного многочлена, введем еще одно определение.

/ ГЧ \

\ t~ni У

Определение 2.1. Существенные многочлены (<),.. , Яр(0; (*),- • •, ¿2Р(<) такие, что:

1) старшие коэффициенты многочленов Н\),..., Лр(£) равны нулю,

12

в: м. аду ков

2) свободные члены многочленов ..., ¿2Р(0 равны нулю, будем на-

зывать факторизационными существенными многочленами.

Существование факторизационных существенных многочленов у последовательности с_п,..., со,..., сп доказано в теореме 2.1. Оказывается, что с помощью любых факторизационных существенных многочленов можно восстановить факторизационные множители /+(2),Г4.(£) и тем самым построить факторизации (1), (2). Окончательный результат, сформулированный в [1], выглядит теперь следующим образом.

Теорема 2.2. Пусть а(1) — матричный многочлен степени п. обратимый на контуре Г, и с_„,..., со,..., с„ — последовательность момоггон-а(<) относительно Г.

Тогда эта последовательность регулярна и обладает факторизационными существенными многочленами.

Пусть р\, ... р2р — индексы последовательности, а Их^), ■. ■, Др(/); Ьр+\(1),..., — любые ее факторизационные существенные многочлены.

Тогда левые А;,.. , Ар и правые р\,. ,,рр частные индексы и факторизационные множители г±(0 матричного многочлена а(<) находятся по формулам:

Х} = —р}, Рз - Ир+з , 3 - 1. ■ • >Р-/+(0 = 71(1), /.(<) = ¿(-'(¿^"ЧО0(0. г+(1) = е+1(1;\1)С(о, г_(0 г("+1>а(0£"Ч0-

Здесь

(

= (ядо,.. , яР(0), £(0 ^ ;

\ Ы0

Доказательство. Не доказанным осталось лишь утверждение, что факторы /+(<),можно восстановить по любым факторизационным существенным многочленам.

Прежде всего покажем, что если ..., Яр(() — факторизационные су-

щественные многочлены и /?)(<),..., йр(<) — любые другие факторизационные

существенные многочлены, то

р

я,(0 = Х)?ч(0д.(0. ¿ = 1.2, ...р, (а)

1=1

где — скалярный многочлен от 1. степени не выше ц, — /(,-, если — р, > О и = 0 для р3 - р{ < 0.

Если Р] < /¿р+ь то это сразу же следует из теоремы 1.1. Пусть р} = рр = . Так как рр ~ Ар и //р+1 — то в силу неотрицател' чости Ар и р\ получаем рр - /¿р+1 = 0. Пусть рр.г < рр-г+\ — ... = рр+! = 0 < /¿р+5 + 1. то есть кратность индекса рр = 0 равна г + я и Яр_г+1(0> • • • > ^р+з(0 — правые существенные многочлены, соответствующие индексу рр.

О ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА

13

Если Rj(t) G N(* — любой другой правый факторизационный существенный многочлен, соответствующий индексу (i3 = 0, то по теореме i. I имеем р

+ 4p+i,}Rp+i(t) + • ■ • + qp+sjRp+tit).

1=1

Здесь q,j(t) — многочлен степени < ц3 — цг для i — 1,... , р и qt] — константа для i = р+ 1 ,...,p+s. Сравнивая в этом соотношении коэффициенты при старшей степени fn+1 и учитывая, что R}(t) и Ri(t),. .,Rp(t) как фактори-зационные существенные многочлены имеют нулевой старший коэффициент, получаем

Яр+i ,}Rp+i,n+i + ■ ■ + qp+sj йр+«,п+1 = 0. (9)

Для факторизационных существенных многочленов обратимая матрица Ад из критерия существенности является блочно треугольной. Поэтому старшие коэффициенты существенных многочленов Rp+i(t), . . ,i?2p(0 должны быть линейно независимы Поэтому равенство (9) возможно только если qP+itJ = • = qP+sj = 0. Таким образом, разложение (8) полностью доказано.

Образуем из новых факторизационных существенных многочленов матрицу-функцию 7Z(t) — ^R](t), .., Rp(t)^ Из разложения (8) следует, что

Û(t) = R(t)Q(t).

где Q(t) — матричный многочлен, элементы которою удовлетворяют условию qtJ{t) — 0, если fij — /', <0 и qt)(t) — многочлен от t формальной степени ¡.tj — ц,, если /<j -- /<, >0, Точно так же можно получить представление

K(t) = K(t)Q{t),

где Q(t) имеет такую же структуру, что и Q(t)

Возьмем в качестве 7?.(f) факторизационный множитель /+(<). В силу обратимости l+(t) тогда получаем

Q(t)Q(t) = iP,

то есть матричный многочлен Q(t) обратим. Итак,

K(t) = l+(t)Q(t),

где Q(t) удовлетворяет всем условиям теоремы об общем виде факторизационных множителей левой факторизации (см., например, [11]). Это означает, что 7Z(t) также является факторизационным множителем. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Ш

14

В М АДУКОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] адуков в м Факторизация Винера-Хопфа матричных многочленов //Прикладные задачи математического анализа Челябинск, 1986 С 4-8

[2] Гохберг И Ц , Фельдман И А Уравнения в свертках и проекционные методы их решения М Наука, 1971

[3] Векуа Н II Системы сингулярных интегральных уравнений М Наука 1970

[4] Захаров в Е , Шабат А Б Интегрирование нелинейных уравнений математической физики четодом обратной задачи рассеяния ////Функ циональный анализ и его прил 1979 Т 13, вып 3 С 13-22

[5] Gohberg I , Lerer L , and Rodman L Factorization indices for matrix polynomial» //Bull Amer Math Soc 1978 V 84 No 2 P 275-277

[6] Cohberg I , Lerer L , and Rodman L Oh factorization, indices and completely decomposable matrix polynomials //Technical Report 80-47 Tel-Aviv Univ , December 1980 P 1 72

[7] Adukov V M On Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions//Integred Equations and Operator Theory 1991 V 11 No 6 P 767 774

[8] АдУКОВ В M Факторизация Винера Хопфа мероморфных матриц функций //Алгебра и анализ 1992 Т 4, вып 1 С 54-74

[9] Адуков В м Структура ядра и обращение блочных теплицсьых матриц /Ред Сибирского мат журн Новосибирск 1985 20 с Дел в ВИНИТИ 29 12 85, № 9030-В

[10] Адуков ВМ Обобщенная обратимость теплицевых матриц //Вестник Челяб ун-та Сер Математика Механика 1994 № 1 С 3-12

[11] гохберг И Ц Задача факторизации в нормированных кольцах, функции от изометрических и симметрических операторов и сингулярные интегральные уравнения //Успехи мат наук 1964 'Г 19, вып 1 С 71 124