Об единственности и устойчивости решения задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.64

ОБ ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ-ЧЕБЫШЕВА

В.М. Аду но в, 0./7. Ибряева

Изучена задача линейной аппроксимации Паде-Чебышева. Получено достаточное условие существования, единственности и устойчивости решения этой задачи.

1. Введение

В данной работе речь пойдет о линейных аппроксимациях Паде-Чебышева, являющихся одним из обобщений классических аппроксимаций Паде. Напомним, что аппроксимацией Паде типа (п,т) называется рациональная функция, разложение в ряд Тейлора которой совпадает с разложением аппроксимируемой функции до члена порядка п + т включительно. Числителем этой дроби является многочлен формальной степени п, знаменателем - многочлен формальной степени т.

Это определение естественным образом обобщается на случай функций, разлагающихся в ряд по ортогональным многочленам.

Определение 1.1. Пусть функция /(г) разложена в ряд по многочленам Чебышева Тг(г):

СО 2

ДО = X \Т100 = + а\Т\ О) + «2Г2 О)

2

-к...

Линейной аппроксимацией Паде-Чебышева типа (п,т) функции f{z) называется рацио-

Рпт{г)

нальная дробь ^т(г)= д9 ^у где РЛ(И - многочлены, такие, что А^Рпт{2)<п,

оо

и выполняется соотношение дп,т(2)/(г)-Рп,т(2)= Е скТк(2)-

к=п+т+\

В дальнейшем мы будем опускать индексы щт, поскольку всегда будем иметь дело с аппроксимацией Паде-Чебышева фиксированного типа (п,т).

Известно, что задача нахождения линейных аппроксимаций Паде-Чебышева сводится к задаче о структуре ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц.

В самом деле, воспользовавшись формулой для умножения многочленов Чебышева

1 оо т

Тг (г)Т^ {г) = -т(Т^ О) + (г)), получаем /(г)б(г) = ^ =

1 г=0 7=0

1 оо т 1 ос

1=0 7=0 ^ 1=0 Таким образом, для определения коэффициентов линейной аппроксимации Паде-Чебышева имеем следующие системы уравнений:

т

= / = л + 1,...,л + 1и, (1)

7=0

т

Система однородных уравнений (1) позволяет определить коэффициенты знаменателя (¿(г) по данным коэффициентам ряда, затем уравнения (2) определяют коэффициенты числителя Р(г) по найденным коэффициентам знаменателя. Матрица системы (1) имеет вид

2

т

а\п+\\ + ап+1 ^и|+аи+2

%+2\+ап+2 VII +С1п+3

Я\п+т\

+ а

п+т

а\п-т+\\ + аи+т+1 а\п-т+2\ + ап+т+2

а\п\ + ап+2т

Так как ее размеры т х (т +1), то однородная система (1) всегда имеет ненулевое решение. Это означает, что линейная аппроксимация Паде-Чебышева всегда существует.

Для простоты, мы будем полагать п>т~ 1 (это означает, что мы рассматриваем только верхнюю часть таблицы Паде-Чебышева). Тогда модули у элементов только что приведенной матрицы можно отбросить и мы получим следующую теплиц-плюс-ганкелеву матрицу

'л+1

ап+\ + ап+\ ап+2+ап+2

ап+ап+2 ап+\+ап+3

ап-т+\ ап+т+\ ап~т+2 + ап+т+2

ап + ап+2т

Вектор, составленный из коэффициентов qi разложения по многочленам Чебышева знаменателя Q{z\ принадлежит ядру этой матрицы. Коэффициенты р1 разложения числителя Р(г) по многочленам Чебышева находятся из условия (1.3) умножением матрицы

а0 + а0 ах+ах

ап+ап

ах+ах

ап-\+ап+1

ат + ат

а

т-1

т+1

а\п-т\ ап+т

(4)

на вектор, составленный из коэффициентов д(.

Задача нахождения линейной аппроксимации Паде-Чебышева является некорректной по Адамару. Действительно, эта задача сводится к задаче нахождения ядра матрицы и потому является неустойчивой. Кроме того, ее решение находится, вообще говоря, неединственным образом, так как знаменатель Q(z) находится неединственным образом. Это приводит к тому, что при малых возмущениях /(г) при нахождении знаменателя аппроксимации мы можем «перескочить» на знаменатель другой аппроксимации Паде-Чебышева и, соответственно, получить другую аппроксимацию. (Отметим, что для классических аппроксимаций Паде неединственность знаменателя также имеет место, но это не вызывает неединственности самой аппроксимации Паде.) Следующий пример и демонстрирует неустойчивость решения задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева, проистекающую из ее неединственности.

Пример. Найдем линейную аппроксимацию Паде-Чебышева типа (2,3) для функции, разложение по Тк(х) которой имеет вид /(х) = ~Т0(х) + ^(х)* Г2(х)4- Т6(х)+ Г7(х) + Г8(х) . (Мы

делаем это с помощью написанной нами в пакете Мар1е6 процедуры.)

Как оказывается, в данном случае решение этой задачи неединственно и мы имеем две различные аппроксимации, графики которых представлены ниже на рисунке. На этом же рисунке представлены линейные аппроксимации Паде-Чебышева для функции

0,99997] (х) +1,00001Г2 (х) + 0,0000 Щ (х) + +0,00001Г5(х) + 1,00001Г6(х) + 0,9999Г7(х) + 0,9999Г8(х)

и функции

/г(х)^0)9^99Г0(х)+ 0,99997] (х) + 1,00001Г2(х)-0,00001Г4(х)-0,00017,5(х) + 1,00001716(х) +

+ 0,9999Г7(х) + 0,9999Г8(х).

Эти функции, очевидно, являются малыми возмущениями функции /(х). Однако для каждой из них ядро матрицы 5и+1 оказывается одномерным и линейная аппроксимация - единственной.

Из рисунка видно, что линейная аппроксимация Паде-Чебышева для функции близка ко второй линейной аппроксимации Паде-Чебышева для /(х), а линейная аппроксимация Паде-Чебышева для функции к{х) близка к первой аппроксимации для /(х).

—--Первая аппроксимация для f(x)

———- Вторая аппроксимация для f(x)

□ □□□□□ Аппроксимация для gfx}

о * о « * * Аппроксимация для й(х)

Итак, при малых возмущениях исходной функции мы получаем сильно отличающиеся линейные аппроксимации Паде-Чебышева. Это и показывает неустойчивость решения данной задачи. Приведенный пример показывает также, что перед рассмотрением вопроса устойчивости аппроксимаций, естественно сначала попытаться разобраться с их неединственностью.

Цель данной работы - выяснить причины неединственности линейной аппроксимации Паде-Чебышева и найти условия, при которых решение данной задачи будет единственно и устойчиво. То, что оно всегда существует, мы уже отмечали ранее.

2. Параметризация числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде-Чебышева

Причины неединственности линейной аппроксимации Паде-Чебышева становятся ясными после изучения структуры множества ее знаменателей. В свою очередь, эта задача приводится к изучению структуры ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц. Используемый нами подход основан на понятиях индексов и существенных многочленов и является обобщением метода статьи [1]. Чтобы изучить структуру ядра матрицы Sn+l, включим ее в семейство матриц

^к II i = QX„9n + m-k ' + + и исследуем структуру ядер

j = 0,l>».5fc-w + wj-l

матриц Sk.

Матрицы Sk порождены последовательностью чисел a^+j s {ап_т+1,...,ап+2т}, которые мы будем называть Т + Н последовательностью. Иногда, чтобы указать, что Sk порождены конкретной Г + Я последовательностью, мы также будем использовать обозначение Sk (tf^+i).

Формула (2) показывает, что для нахождения и числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде-Чебышева требуется последовательность аЦ+2т ={ао> •»Яи+г/Л-

Для удобства перейдем от пространств кегЗ* к изоморфным пространствам Ык производящих векторных многочленов.

Для описания структуры ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц нам предпочтительнее использовать производящие векторные многочлены по гк, то есть вектору (г0 гх... гк_п+т_х)Т из ядра матрицы поставить в соответствие многочлен г0 + гхг + ...+ гк_т+т„хгк~т+т~1 из пространства Ик.

Справедливо вложение гИк + с Ик+1 (см. [2]), в котором, за исключительными случаями, всегда стоит знак равенства. Номера к исключительных случаев мы называем индексами и обозначаем //г. Базис дополнения пространства гЫ + (гч- +1 до 2 образуют так называемые существенные многочлены.

Ограничимся только регулярным случаем Т + Н последовательности, когда матрицы $п-т+\> $п-т+2 > и $п+т имеют полный ранг. Тогда мы имеем четыре индекса /лх <.. < //4, сумма которых равна 4и + 4, и четыре существенных многочлена , с помощью ко-

торых можно описать структуру ядер матриц из семейства Бк (см. [3]).

Элементы базиса пространств Ик могут быть записаны с помощью производящих многочленов по переменной гк. Однако в задаче нахождения линейных аппроксимаций Паде-Чебышева (для описания структуры множества ее знаменателей и числителей) предпочтительнее

использовать производящие функции по многочленам Чебышева. Для вектора (г0 гх ...гк„п+т_х)Т производящая функция по многочленам Чебышева имеет вид

г0Т0(г) + г{Гх{г) + ...+гк_п+т_хТк_п+т_х&).

Определим

I *

1 2 ] 1=0

'+[—гЧ 1+1—1

(5)

где Я,-коэффициенты вектора из ядра образующего соответствующий существенный

многочлен.

Тогда (см. [3]):

(Щ^(*), тк (Щ^М ••, тх(2щк 0(6)

I ^ 2 ^ 1 2 ] ^ 2 ^ 1 2 ^ 1 2 -1 1 2 ] ) J=\

являются производящими функциями по Т}{г) для элементов базиса кеГ|Ул+1.

Отсюда легко следует [3], что знаменатель Q(z) линейной аппроксимации Паде-Чебышева представляется в виде

ОМ = Чх(Щ^) + Яг^Щ^г) + Чъ (Щ^Ы (7)

Здесь введены обозначения дг(г) = агТА2)> ЧгФ = ¿,,=о2 Д7^2)'

„ Г—

^3(г) = 2]г=02 угТг(г\ где числа аг, Р1,у1 - это произвольные параметры (коэффициенты разложения £) п0 элементам базиса (6) кег5я+1). Пустую сумму, как обычно, считаем равной нулю.

Аналогично, числитель Р(г) линейной аппроксимации Паде-Чебышева представляется в виде

ОД = Чх (*)Рп-щр) + йФ^/Л*) + (8)

I 2 I 2 ' ^ 2 *

где (г) - числитель аппроксимации, знаменателем которой является (2), ко-

Г—И-З

эффициенты вектора из кег , образующего соответствующий существенный многочлен, а

многочлены д2(г\ Чз(2) те же> 4X0 и в представлении знаменателя (7).

Формулы (7), (8) и дают параметризацию множества знаменателей и числителей аппроксимации Паде-Чебышева. Заметим, что для классических аппроксимаций Паде аналогичное представление числителей и знаменателей содержит не три слагаемых, как в (7), (8), а только одно.

3. Достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде-Чебышева

Из предыдущего пункта мы знаем, что числитель и знаменатель линейной аппроксимации Паде-Чебышева представляются в виде суммы трех слагаемых. Это и является причиной ее неединственности. Установим достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде-Чебышева.

Для этого выделим случай ¡лх <п</и2, когда последние две суммы в (7), (8) будут пустыми. Тогда представление числителя и знаменателя содержит только одно слагаемое и линейная ап-

проксимация Паде-Чебышева равна-----=—--, т.е. определяет-

ся единственным образом.

Итак, мы получили следующее достаточное условие единственности.

Теорема 3.1. [3] Если индексы последовательности удовлетворяют условию

}лх<п< ¡л2,то решение задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева единственно.

Замечание 3.1. Нетрудно проверить, что следующие условия равносильны: матрица $п+\(ап-т+\) имеет полный ранг и индексы последовательности принимают значения

М\ - п-> №2 ~ ~ п + Ъ На ~ п + Таким образом, условие ¿1}<п< /л2 выполняется в случае общего положения (матрица Бп+1 имеет полный ранг). Это означает, что, как правило, линейная аппроксимация Паде-Чебышева оказывается единственной.

4. Устойчивость

В случае аппроксимаций Паде и связанной с ними задачи о структуре ядра теплицевых матриц необходимым и достаточным условием устойчивости индексов МьМг оказывается условие

/¿2-/^1 [4].

В этом параграфе мы собираемся показать, что условие - цх < 2 является достаточным для устойчивости индексов Т + Н последовательности, что в свою очередь приводит к устойчивости аппроксимации Паде-Чебышева. Точнее, мы собираемся доказать, что справедлива следующая.

Теорема 4.1. Если индексы последовательности удовлетворяют условию

//4 ~ < 2, то решение задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева существует, единственно и устойчиво.

Скорее всего, это условие является и необходимым. Мы в этой статье ограничимся пока только доказательством достаточности.

Утверждение теоремы о существовании решения этой задачи не вызывает сомнений и уже отмечалось ранее.

Прежде, чем перейти к доказательству остальной части теоремы, приведем несколько лемм и предложений, которые будут нам полезны.

Всюду далее для матриц из С ы мы будем использовать максимальную столбцовую норму:

к

| = шах^] | А1} |. Для числовой последовательности а£ - - введем

N

II аы II ~ X II' ЭТУ же норму будем использовать для производящего многочлена как по zk, так

i-M

и по Tk{z) этой последовательности.

Предложение 4.1. Если для индексов Т + Н последовательности , возникающей в задаче нахождения знаменателя линейной аппроксимации Паде-Чебышева типа (п,т), выполняется условие

to-Pi (9)

то индексы являются устойчивыми.

Пусть условие (9) выполнено. Тогда на самом деле //4-/4=2, и индексы принимают значения JUX = п, ju2 = JU3 = П + ^ f*4 = П + 2 •

Доказательство. Пусть для индексов Т + Н последовательности, возникающей в задаче нахождения знаменателя линейной аппроксимации Паде-Чебышева типа (п,т% выполняется условие /л4~ /лх< 2.

Очевидно, что /и4 - ¡лх ^ 0. Действительно, если бы это условие выполнялось, то все индексы были бы равны п +1. Это, в частности, означает, что dim kerS„+1 = 0. С другой стороны, dim kerS^ = т +1 - rank Sn+l. Тогда rank Sn+X ~т +1, что невозможно, так как у этой матрицы всего т строк.

Значит, остаются возможными случаи /и4 - /лх = 1 и ju4 - /их = 2.

Рассмотрим случай ¡л4~ /лх~ \. A priori возможны следующие значения индексов:

1. /ль/и,/л,/л + \, 2. //,//,//+ 1,/i + l, 3. //,// +1,// + 1,/Л-1.

Сумма всех индексов должна быть равна An + 4. Подсчитывая сумму индексов в каждом случае, убеждаемся, что это невозможно. Значит, остается лишь случай ц4- jux~ 2.

В этом случае a priori возможны следующие значения индексов:

1. +2, 2. ju,/i,ju + l,/u + 2, 3. ju,ju,/л + 2,;u + 2t

4. //,// + 1,// + 1,/л-2, 5. //,// + 1,// +2,// + 2, 6. //,// + 2,/i + 2,/i + 2.

Из выражения для суммы индексов сразу следует, что случаи 1, 2, 5, 6 невозможны. Случаи 3 и 4 теоретически остаются возможными для значения /1 = п. Однако случай 3 все же не осуществляется.

Действительно, в этом случае индексы принимают значения п, п, п + 2, п + 2. Это, в частности, означает, что dim kerS^ = 2 . Тогда ранг этой матрицы равен т . Но это невозможно, так как матрица Sn+2 имеет размеры (т-1)х(т + 2).

Таким образом, если //4 - щ < 2, то индексы принимают значения п, п +1, п +1, п + 2. Докажем, что такие индексы будут устойчивыми.

Из определения индексов следует, что матрица Sn обратима слева и Sn+2 обратима справа.

Пусть /(z) = /(z) 4- s(z), где s(z) - малое возмущение аппроксимируемой функции /(z). Пусть ао+2т ~ возмущенная а$+2т последовательность, возникающая в задаче линейной аппроксимации Паде-Чебышева типа (п,т) этой функции /(z). Тогда матрица Sn(a*t^l 1) достаточно

близка по норме к Sn=Sn ), а матрица Sn+2 (aj^+i) к Sn+2 ) .

Тогда, в силу устойчивости свойства односторонней обратимости при малых возмущениях, матрица S^a^t^) обратима слева и Sn+обратима справа. Значит, индексы возмущенной последовательности:

п < ¡лх < ¡лг < ¡лъ < //4 < п + 2. Докажем, что = + 2. Из выражения для суммы индексов следует, что ¡лх <п +1.

Предположим, = п +1, тогда /¿2 = //3 = /}4 = и +1, что невозможно, следовательно, ]лх~п. Аналогично, /*4 = н + 2. Тогда ¡й4~цх<2 и, по ранее доказанной части теоремы, индексы возмущенной последовательности равны п, п +1, п +1, п + 2.

Итак, мы показали, что в случае //4 - < 2 индексы принимают значения и, и +1, я +1, п + 2 и являются устойчивыми. Предложение доказано.

Из только что доказанного предложения 4.1 и теоремы 3.1 сразу получается Следствие 4.1. Если //4 - /лх < 2, то линейная аппроксимация Паде-Чебышева определяется единственным образом.

Утверждение теоремы 4.1 об единственности решения задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева также доказано. Перейдем к вопросу ее устойчивости.

Пусть }{г) - + . Тогда последовательность а$+2т, составленная из коэффициентов разложения в ряд по многочленам Чебышева функции /(г), будет являться возмущением последовательности а^2т. Матрица 1)' как и матрица также имеет полный

ранг и одномерное ядро (в силу устойчивости свойства односторонней обратимости при малых возмущениях).

Как уже отмечалось в предложении 4.1, индексы устойчивы и, следовательно, совпадают для возмущенной и невозмущенной Т + Н последовательности. Значит, решение задачи линейной аппроксимации типа (п,т) для функции /(г) также существует и единственно.

Докажем устойчивость задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева, т.е., что при достаточно малых возмущениях линейные аппроксимации ~ для функции /{г) и 4- для функ-

у

ции }(г) будут близки. Для этого докажем сначала устойчивость знаменателя аппроксимации Паде-Чебышева, затем ее числителя, и, наконец, устойчивость и самой аппроксимации. Нам потребуются две леммы.

Лемма 4.1. (см., например, [5]) Пусть А ~ обратимый справа оператор, действующий из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2. Пусть А^ - любой правосторонний обратный к А и РА = - проектор на кег А,

Тогда для любого оператора В, удовлетворяющего неравенству \А - <—, справедли-

во: В - обратимый справа оператор и - правый обратный к В. Здесь

оо

С = 1-А\А-В), С"1 .

Для проектора Рв = I - В^В = С~ХРАС на кег В выполняется следующее неравенство: \РА-Рв\<СотХ\\А-В\.

Лемма 4.2. Пусть - некоторая Т + Н последовательность с индексами

п,п + \9п + 1,п + 2. Тогда первый существенный многочлен Ях(г) = а0 4-ахг +... + сстгт этой последовательности имеет отличный от нуля коэффициент а^ тогда и только тогда, когда матрица , полученная из ) вычеркиванием (с1 + \)-го столбца, обра-

тима. Пусть это условие выполнено. Пронормируем Рх(г) таким образом, чтобы а^ =1. Полученный многочлен будем называть й-нормированным. Тогда матрица

(ап-т+1) -

'о о

«о

о

о ... ... о

где отличен от нуля лишь столбец с номером й +1, является матрицей проектора на кег^и+1 (а»-ш-\) • При этом =

Здесь ¿Си (вп-т+\) " правосторонняя обратная к (ап-ш-\) > полученная из матрицы (ап-т+\) добавлением нулевой строки на место с номером с1 + \.

Доказательство этой леммы незначительно отличается от доказательства аналогичного факта, приведенного в [6], и потому опущено.

Предложение 4.2. Если для индексов Т + Н последовательности а, возникающей в задаче нахождения знаменателя линейной аппроксимации Паде-Чебышева типа (и, т), выполняется условие - //] < 2, то знаменатель линейной аппроксимации Паде-Чебышева является устойчивым.

Доказательство. Докажем вначале близость первых существенных многочленов и

^О) последовательностей и г

По с/ -нормированному первому существенному многочлену ^(г) составим проектор

Рп+\ ) на ядро матрицы ■ В силу близости аЦ+2т и до+2т последовательностей

матрицы Зп+1>а+х (а^^) из леммы 4.2 будут достаточно близки, значит матрица

1,^+1 (¿п-т+1) будет также обратима и, следовательно, многочлен будет также иметь ненулевой коэффициент а ^

Применим теперь лемму 4.1.

Положим Л = В = и Тогда РА=РпЖ-1^)-

..п+2т

Очевидно, что

<2

п+2т ап-~т+1

<2

а,

п+2т 0

. Тогда

Г» / п+2т ~п+2т \ ¿п+\\ап-т+1 вп-т+\)

1

^2

п+2т ~п+2т

во

и при достаточно малых возмущениях условие

и-*

леммы 4.1. выполнено.

Докажем, что проектор Рв, построенный в этой лемме, совпадает с ^+1(5^+1)- Для этого уточним структуру матриц С и С"1.

Так как С = /я+1 поскольку 1)] -нулевая

строка, получаем, что (¿/ + 1)-я строка матрицы С имеет вид [С]^+1 = 0...0 1 0...0 .Ясно, что

тот же вид имеет (с1 +1) -я строка матрицы С

'0

-1

Но тогда Рв=С-1Рп+1(а"п+_2тт+1)С

0

т+1

00

-т+1

О ... 1 ... о

о

ч4- ••• •••

Здесь только (г/ +1) -й столбец является ненулевым и 1 стоит в {й +1) -й строке.

Так как Рв - проектор на кег£м+1 (й"^^) 9 то его (¿/ +1) -й столбец принадлежит кег (й^да+х) ? то есть совпадает с ¿/-нормированным многочленом Это означает, что

Рв =-^1+1(5^+1) •

Тогда получаем, что

ад-ад = РпЖ-1тЛ-РпЖ-^)

п+2т \ с /~п+2т

.п+2т

const

<

1 (art-m+1) "

< const

п+2т ~п+2т а0 -ClQ

Близость первых существенных многочленов последовательностей а"^™ и доказана.

Построим по многочленам /^(я), Я\(г)9 а точнее по их коэффициентам Яи , (см. (5)), знаменатели £(2) = б0(7) и = бо^^' Покажем, что и они будут близки. Действительно,

Q{Z)-Q{Z)

т

1=0

< const

п+2т

п+2т

ао

(10)

.п+2т

Предложение доказано.

Предложение 4.3. Если для индексов Т + Н последовательности аг^1\ > возникающей в задаче нахождения знаменателя линейной аппроксимации Паде-Чебышева типа (п9т), выполняется условие (лА ~¡лх <2, то числитель линейной аппроксимации Паде-Чебышева является устойчивым.

Доказательство. Числители Р9 Р получаются с помощью умножения векторов, составленных из коэффициентов знаменателей 0 на матрицы М, М (см. (4)). Легко видеть, что

М-М

<3

п+2т

■п+2т

Тогда

Р-Р

MQ-Щ = \MQ-MQ + MQ-MQ\ <\\M\\\\Q-Щ + \Щ\м-M

В силу (10) имеем g|<||g|| + |g-0|<|e|| + const

n+2m ~n+2m\

a 0

и, при достаточно малом

возмущении последовательности а{

п+2т 0

получаем

в <т-

Тогда

Р-Р

<

const \\м\\

п+2т ~п+2т а0 "«0

п+2т ~п+2т

ао ~~ а о

= const

,п+2т 0

■п+2т

<*0

Теперь мы можем доказать и устойчивость самих аппроксимаций. Оценим = = * * * ^ — ^ ^ <.. '^[„Цб-бЦ ^

р Р PQ-QP PQ-PQ + PQ-QP

Q Q QQ QQ

\\в\\\\в\

В силу (10), при достаточно малых возмущениях последовательности а{

п+2т 0

имеем

<

1

Q| \\Q\\-const

2i1.pi

п+2т ~п+2т

Тогда

L-L

Q Q

U

\\Q-Q

+

ао Р-Р

\\Q\

Q

< constjja"+2m -an0+2m

Теперь теорема 4.1 полностью доказана. Заключение

В статье получено достаточное условие существования, единственности и устойчивости решения задачи линейной аппроксимации Паде-Чебышева в терминах существенных индексов Т + Н последовательности.

Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 04-01-96006. О Ж Ибряева также благодарит за финансовую поддержку Министерство образования и Правительство Челябинской области, грант № 003.01.06-04.БМ.

Литература

1. Adukov V.M. Generalized Inversion of Block Toeplitz Matrices// Linear Algebra and Its Applications. - 1998. - V. 274. - P. 85-124.

2. Адуков B.M., Ибряева O.JI. О структуре ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». - 2001. - № 7. - С. 3-12.

3. Ибряева О.Л. Достаточное условие единственности линейной аппроксимации Паде-Чебышева // Известия Челябинского научного центра. - 2002. - Вып. 4(17) - С. 1-5.

4. Heinig G., Jankowski P. Kernel structure of Block Hankel and Toeplitz Matrices and Partial Realization// Linear Algebra and Its Applications. - 1992. - V. 175. - C. 1-30.

5.Litvinchuk G.S., Spitkovski I.M. Factorization of measurable matrix functions. - Berlin.: Akademie-Verlag, 1987. - 372 p.

6. Adukov V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Pade table // J. Approx. Theory. - 1997. - V. 88. - P. 354-369.

Поступила в редакцию 20 сентября 2004 г.