CC BY
118
УДК 519.61
Х. Д. Икрамов1
О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ТЕПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ
Хотя всякий ненулевой вектор х € С™ может быть собственным вектором некоторой нескалярной теплицевой матрицы Т, это утверждение, вообще говоря, неверно, если от матрицы Т дополнительно потребовать симметрии. Показано, что всякий симметричный или кососимметричный вектор является собственным вектором некоторой симметричной теплицевой (нескалярной) матрицы. Описана задача из матричного анализа, приводящая к необходимости характеризации таких собственных векторов.
Ключевые слова: теплицева матрица, ганкелева матрица, собственные векторы, матричное уравнение.
1. Пусть х = (ж1,... ,жп)т — произвольный п-мерный комплексный вектор, отличный от нулевого. Может ли х быть собственным вектором некоторой п х п-матрицы А?
У этого вопроса есть тривиальный положительный ответ, а именно: любая скалярная матрица А = а,1п. Чтобы исключить тривиальность, переформулируем вопрос следующим образом: если Ах = Хх, то (А — X 1„)х = 0. Требование к А не быть скалярной матрицей равносильно тому, что матрица В = А — XIп ненулевая. Поэтому в дальнейшем для заданного ненулевого вектора х ищется ненулевая матрица В, такая, что
х € кет В. (1)
Можно рассматривать х как собственный вектор матрицы В, отвечающий ее нулевому собственному значению.
И при ограничении на ненулевые матрицы ответ на вопрос о существовании матрицы В остается положительным. Рассмотрим линейное уравнение
хгЬг + х2Ь2 + ... + хпЬп = О
относительно неизвестных Ъ\, ■ ■ •, Ьп. Оно имеет (п — 1)-мерное подпространство решений. Любая матрица В, строками которой являются (ненулевые) решения этого уравнения, удовлетворяет условию (1).
Теперь, сохраняя требование В ф 0, сузим множество допустимых В до класса теплицевых матриц. Напомним, что теплицевой называется п х п-матрица Т вида
( to h t2 • • tn-iN
t-1 to h • tn-2
т = t — 2 t-1 to • tn-з
\t-n+1 t-n+2 t-n+3 .. tQ J
В п. 2 мы показываем: (ненулевая) теплицева матрица Т, такая, что
Тх = 0, (2)
найдется для любого (ненулевого) вектора х. Эта матрица, вообще говоря, несимметрична. Вопрос о собственных векторах симметричных теплицевых матриц рассматривается в п. 3. Причина, по которой нас интересуют именно теплицевы матрицы, разъясняется в заключительном п. 4.
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su 13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2
2. В подробной записи равенство (2) есть система линейных уравнений относительно коэффициентов ¿_п+1,..., ¿о, ¿1,..., искомой матрицы Т:
г0Ж1 + ¿1Ж2 + t2X3 + ... + ¿„_1ЖП = о, ¿-1Ж1 + г0ж2 + ¿1Ж3 + ... + г„-2жп = о,
¿_2Ж1 + г_1ж2 + г0ж3 +... + г„_3жп = о, (3)
¿_П+1Ж1 + г_„+2ж2 + 1-п+3х3 +... + 1ахп = о.
Если х\ ф 0, то задаем произвольные значения (не все равные нулю) для коэффициентов ¿1,¿2,..., 1п-\. Затем делением на х\ определяем ¿0 из 1_г0 уравнения, — из 2-го, ..., ¿_п+1 — из п-го уравнения. Если х\ = 0, но ж2 ф 0, то выбираем произвольные значения (не все равные нулю) для ¿2, • • •, ¿п-1; ¿-п+1 и последовательно (делением соответствующих уравнений на ж2) находим коэффициенты ¿1, ¿о, ..., ¿_п+з, ¿-п+2. Аналогичным образом действуем в случае х\ = ж2 = ... = х^ = = 0, к ^ 2, но ф 0.
3. Потребуем теперь, чтобы теплицева матрица Т в соотношении (2) была симметричной. В отличие от предыдущего раздела такую (ненулевую) матрицу Т удается найти не для всякого вектора х. Например, при п = 2 система (3) относительно ¿о и имеет вид
жА + х2Ь = О, ж2^о + х^г = 0.
Нетривиальные решения у этой системы существуют тогда и только тогда, когда
Х\ Х2 _ д Х2 XI '
т.е. только для векторов вида х\ = ж2 или х\ = ^ж2.
При п = 3 определитель системы (3) равен (х\ ^жз) [(ж1 + жз)2 — ж2]. Поэтому искомая матрица Т существует только для векторов ж, принадлежащих одному из следующих трех двумерных подпространств:
1) х\ = жз, ж2 произвольно;
2) Ж1 + ж3 = ж2;
3) Ж1 + ж2 + ж3 = 0.
Заметим, что базис подпространства 2 можно составить из векторов
(О, 1, 0)*, (1, 0, -1)*,
а базис подпространства 3 — из вектора (5) и вектора
(1, —2, 1)*.
Это мотивирует следующие определения. Будем называть вектор ж если
х% — ж п—%1 ^ — 1,2,...,
и кососимметричным, если
Ж % — Ж п—гч ^ — 1,2,..., П. (8)
Отметим, что при нечетном п = 2к + 1 средняя компонента Х)~+1 кососимметричного вектора ж равна нулю.
Мы видим, что при п = 2 нетривиальные решения Т возможны лишь для симметричных векторов х\ = ж2 или кососимметричных векторов х\ = ^ж2. При п = 3 симметричны все векторы подпространства 1, а базисы подпространств 2 и 3 можно составить из симметричного и кососимметричного векторов. Это векторы (4) и (5) для подпространства 2 и векторы (6) и (5) для подпространства 3.
(4)
(5)
(6)
= (ж1, ж2,..., х„)г симметричным,
(7)
Покажем, что для произвольного порядка п ситуация аналогична. Положим
/ 1\
Гп =
1
V1 /
С помощью этой матрицы определениям симметричного и кососимметричного векторов (7) и (8) можно придать вид х = Рпх и х =
Лемма. Пусть Т — симметричная теплицева матрица порядка п. Если х € кегТ, то и ТпХ € кегТ.
Доказательство. Матрица Т удовлетворяет соотношению
ТпТТп = Т. (9)
Поэтому из Тх = 0 выводим ТпТТпТпХ = 0 или Т(7упх) = 0.
Если вектор х в лемме симметричен или кососимметричен, то никакой новой информации лемма не дает. В противном случае мы получаем
Следствие. Пусть вектор х € кегТ не является ни симметричным, ни кососимметричным. Тогда линейная оболочка Сх векторов х и ТпХ двумерна и принадлежит ядру матрицы Т. Базис подпространства Сх можно составить из симметричного вектора у = х + Рпх и кососимметричного вектора х = х — Рпх-
Замечание. Свойство матрицы Т, выражаемое равенством (9), называется центральной симметрией. Помимо симметричных теплицевых матриц центральной симметрией обладают многие другие классы матриц. Очевидно, что лемма и ее следствие верны для всех таких матриц.
Из предыдущего обсуждения мы делаем следующий вывод: поиск симметричных теплицевых матриц Т, удовлетворяющих соотношению (2), можно ограничить случаем, когда х — симметричный или кососимметричный вектор. Покажем, что для таких векторов х нужная (ненулевая) матрица Т существует всегда.
В самом деле, в рассматриваемом случае из системы (3) можно, не изменяя множества ее решений, удалить примерно половину уравнений. Для определенности предположим, что х — симметричный вектор. Тогда последнее уравнение системы (3) можно записать как
1п-1Хп + г„-2ж„-1 + гп-3хп-2 + ■■■+ Ьх2 + ¿0^1 = 0, (10)
после чего оно с точностью до перестановки слагаемых совпадет с первым уравнением. Точно так же предпоследнее уравнение совпадет со вторым, (п — 2)-е уравнение совпадет с третьим и т. д. Для кососимметричного вектора х вместо (10) получим
п-1%п — +>п-2Хп-1 — ¿п-ЗЖп-2 — . . . — £ 1X2 — ¿0^1 = 0,
т.е. снова первое уравнение, умноженное теперь на —1. Таким же образом обстоит дело с (п — 1)-м, (п — 2)-м и последующими уравнениями. Отметим, что при п = 2к + 1 среднее уравнение имеет вид
tkXl + ьк-!х2 +... + Ьхк-1 + гахк + Ьхк+1 +... + гк-1хп-1 + гкхп = о
и автоматически выполняется вследствие косой симметрии вектора х.
Итак, для симметричного или кососимметричного вектора х однородная система (3) относительно п неизвестных ¿о^ъ ■ ■ ■ ^п-1 может быть редуцирована до |~п/2] уравнений. Такая система заведомо имеет ненулевые решения.
4. Опишем задачу, мотивировавшую данную статью. Требуется найти условия на теплицеву матрицу Т и ганкелеву матрицу //. обеспечивающие перестановочность этих матриц: I II = //'/".
Частичное решение этой задачи дано в [1], однако полное решение пока не получено. Единственная ситуация, не исследованная до конца, сводится к вопросу: каковы симметричная теплицева матрица Т\ и кососимметричная теплицева матрица Т2, связанные соотношением антиперестановочности ТХТ, + ТЛ\ о?
Положим 7*_. X и будем рассматривать условие антиперестановочности как уравнение относительно матрицы X:
TlX + XTl=Ü. (И)
Из общей теории линейных матричных уравнений (см. [2, гл. VIII, § 1]) следует, что ненулевые решения X уравнения (11) существуют тогда и только тогда, когда в спектре матрицы Ti присутствуют пары вида (А, — А). Пусть собственным значениям А и ^А соответствуют векторы х и у. Тогда решением уравнения (11) является матрица
X = ху*. (12)
В самом деле,
ТгХ + ХТг = (ЗДу* + x{y*Ti) = А ху* - А ху* = 0.
Формула (12) и приводит к желательности описания собственных векторов симметричных теплицевых матриц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chugunov V.N., Ikramov Kh.D. Permutability of Toeplitz and Hankel matrices // Linear Algebra Appl. 2015. 467. P. 226-242.
2. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. M.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 10.12.14
ON THE EIGENVECTORS OF TOEPLITZ MATRICES
Ikramov Kh. D.
Although every nonzero vector x £ C™ can be an eigenvector of a nonscalar Toeplitz matrix T, an analogous assertion is in general false if one additionally requires that T be a symmetric matrix. It is shown that every symmetric or skew-symmetric vector is an eigenvector of a symmetric Toeplitz (nonscalar) matrix. A problem in matrix analysis that leads to the necessity of characterizing such eigenvectors is described.
Keywords: Toeplitz matrix, Hankel matrix, eigenvectors, matrix equation.
