CC BY
32УМУМИЙ УРТА ТАЪЛИМ МАКТАБЛАРИДА "ХОСИЛА" МАВЗУСИНИ
УЦИТИШГА ОИД МУЛОХАЗАЛАР
Рамазон Рустамович Сидиков
Тошкент вилояти Чирчик давлат педагогика институти 1-боскич магистранти
АННОТАЦИЯ
Мазкур маколада умумий урта мактаб Математика дарсларида "Х,осила" мавзусини укитишга оид айрим мулохалар келтирилган.
Калит сузлар: математика, хосила, укитиш услубиёти.
REVIEWS OF TEACHING THE SUBJECT "DERIVATIVE" IN SECONDARY
SCHOOLS
Ramazon Rustamovich Sidikov
Chirchik State Pedagogical Institute of Tashkent region First year master student
ABSTRACT
In this paper we provide some insights into the teaching of "Derivative" in secondary school math classes.
Keywords: mathematics, product, teaching methods.
КИРИШ
Маълумки, математика фанини укитишда илгор ва замонавий усуллардан фойдаланиш, янги информацион-педагогик технологияларни тадбик килиш мухим ахамиятга эга. Таъкидлаш жоизки, янги педагогик технология таълимнинг маълум максадга йуналтирилган шакли, усули ва воситаларининг махсулидир. Кузатувлар шуни курсатадики, аксарият холларда укитувчи дарс жараёнида факат узи ишлайди, укувчилар эса кузатувчи булиб колаверадилар. Таълимнинг бундай куриниши укувчиларнинг аклий тафаккурини устирмайди, фаоллигини оширмайди, таълим жараёнидаги ижодий фаолиятни сундиради.
Таълимда педагогик технологияларнинг асосий максади укитиш тизимида укувчини дарс жараёнининг марказига олиб келиш, укувчиларни укув материалини шунчаки ёд олишларидан, автоматик тарзда такрорлашларидан узоклаштириб, мустаки ва ижодий фаолиятини ривожлантириш, дарснинг фаол иштирокчисига айлантиришдир. Шундагина укувчилар мухим хаётий ютук ва муаммолар, утиладиган мавзуларнинг амалиётга татбики буйича уз фикрига эга булади, уз нуктаи назарини асослаб бера олади.
Математика фанини укитишда укитувчи интерфаол методлардан мавзуга мувофикини танлай билиши мухим хисобланади. Укитувчи интерфаол методлардан аввало оддийдан мураккабга утиш назариясига амал килган холда фойдаланмоги лозим. Илгор педагогик технология асосида ташкил этилган дарслар укувчиларда билимларни яхлит узлаштирилишига ёрдам беради. [1-14] маколаларда умумтаълим мактабларида ва олий таълим муассасаларида Математика фанини укитишда кулланиладиган интерфаол методлар кенг ёритилган. Бу методларнинг ютук ва камчиликлари санаб утилган. Методларни куллаш буйича намуналар берилган.
КОСИЛА ТУШУНЧАСИГА ОЛИБ КЕЛИНАДИГАН МАСАЛАЛАР
Содда физик вокеалар: моддий нуктанинг тугри чизикли харакати ва занжирда ток утиш масаласини караймиз. Бу вокеаларни урганиш учун тегишли характеристикалар: харакат тезлиги ва ток кучи тушунчалари киритилади.
Бундай масалаларнинг бири бу моддий нуктанинг тугри чизикли харакати (оний тезлик хакидаги) масаладир. Бунда нуктанинг харакат конуни, харакат тенгламаси, текис харакат ва унинг тезлиги каби тушунчаларга изох берилади. Нуктанинг текис харакатида харакат тезлиги узгармаслиги айтиб утилади. Одатда поездлар, автомобиллар, пароходлар, самолётлар, ракеталар ва космик кемалар йулнинг баъзи участкаларидагина текис харакатланиши, умуман эса нотекис харакатланиши мусол сифатида келтирилади. Бунинг натижасида укувчилар мавзу хакидаги дастлабки тушунчаларга эга буладилар.
Нукта нотекис харакатда вактнинг турли, лекин узунлиги буйича тенг ораликларида турлича йул босиб утилиши мумкинлиги укувчиларга айтиб утилади. Демак, нотекис харакатни, текис харакатдан фаркли уларок нуктанинг у ёки бу вакт оралигида утган йули билан тулик характерлаш мумкин эмаслиги уктирилади. Шу сабабли нуктанинг нотекис харакатини характерлаш учун вактнинг бирор оралигидаги уртача тезлик тушунчасидан фойдаланиш максадга мувофикдир.
Х,осила тушунчасига келадиган яна бир мухим масалалардан бири бу электр занжирида ток утиши, яъни токнинг оний катталиги хакидаги масаладир. Буни тушунтиришда бирор ток манбаига уланган ток занжирини куз олдимизга келтирамиз. g = g(t) оркали утказгичнинг кундаланг кесими оркали t вакт ичида утадиган электр микдорини кулон хисобида белгилаймиз. Электр микдори вактнинг функциясидир, чунки t вактнинг хар бир кийматига электр микдорининг тайин киймати мос келади. Электр микдорининг вакт утиши билан узгариш тезлигини аниклаш учун физиклар ток кучи тушунчасидан фойдаланадилар. Узгарувчан ток занжирини характерлаш учун оний ток кучи ёки вактнинг берилган моментида ток кучи тушунчаси киритилади.
Укувчиларда аник тушунча хосил булиши учун куйидаги 2 та масалани караш ва тахлил килиш тавсия килинади.
1-масала. ТУ-104 самолёти Москва шахридан Тошкент шахригача булган 2736 км йулни 3,8 соатда учиб утади. Самолётнинг уртача тезлигини топинг.
2-масала. Москва шахри билан Новосибирск шахри орасидаги масофа 3200 км. Поезд бу масофани 64 соатда босиб утади. Поезднинг уртача тезлигини топинг.
Энди хосила тушунчасига олиб келадиган асосий масала, яъни функциянинг узгариш тезлигини топиш масаласига тухталамиз. Юкорида келтирилган маълумотларда харакатнинг оний тезлиги ва оний ток кучи уз аксини топган эди. Бирор функциянинг узгариш тезлигини аниклашга тугри келадиган масалаларни куплаб келтириш мумкин. Жумладан, бир жинсли стерженнинг чизикли зичлигини топиш, киздиришда жисмнинг иссиклик сигимини топиш, айланаётган жисмнинг бурчак тезлигини топиш ана шундай масалалардандир.
Ечилишлари бирор функциянинг узгариш тезлигини излаш билан боглик булган масалалар ушбу
Ит/(х) - /(а) х ^а х - а
куринишдаги лимитларни хисоблаш заруратига олиб келади. Шу тарика укувчиларда хосиланинг келиб чикиши хамда уни урганиш зарурати хакида дастлабки тасаввурлар пайдо булиб, хосила таърифини урганиш нима учун мухимлиги шу тарика асосланади.
ХОСИЛА ТУШУНЧАСИ
у = /(х), х е[а; Ь] функцияни караймиз, х0 шу (а; Ь) интервалнинг ихтиёрий тайинланган (фиксирланган) нуктаси, яъни а < х0 < Ь булсин.
/(х) - /(хо)
х х0
нисбат, харакатланаётган жисмнинг уртача ва оний тезлигига ухшаш килиб, функциянинг охирлари х ва х булган кесмада уртача узгариш тезлиги деган ном олган, уртача тезликнинг х ^ х0 даги лимити, яъни
Нш
f (х) - f (х0)
х ^ х0 х - х0
(агар мавжуд булса), функциянинг х0 нуктадаги узгариш тезлиги деб ном олган. Функциянинг нуктада узгариш тезлигини хосила деб аташ кабул килинган. Бу маълумот ёрдамида укувчилар хосила тушунчаси ва функциянинг нуктада узгариш тезлиги бир хил тушунчалар эканлиги хакида билимга эга буладилар. Шундай килиб, y = f (х), х е [a; b] функциянинг х0 е (a; b) нуктадаги хосиласи деб
f функциянинг x0 нуктадаги узгариш тезлигига айтилади. Хрсилани белгилаш
учун купинча — символидан фойдаланилади.
dx
Берилган функциянинг хосиласини топиш амали дифференциаллаш деб аталади. Бундай номнинг келиб чикишини энг аввало ушбу факт билан боглаш мумкин: лимитга утишдан олдин айирмалар нисбати каралади, айирма эса лотин тилида differentia сузи билан белгиланади.
Хрсиланинг таърифидан фойдаланиб, функциянинг нуктадаги хосиласини хисоблаш учун куйидаги коидадан фойдаланиш мумкин:
1. f (x) - f (x0) айирмани топиш.
2. f (x)—f (Xq) нисбатини топиш.
X Xq
3. Бу нисбатнинг x ^ x0 даги лимитини топиш:
lim f (X) - f (Xo) = f'(x).
xo x - x0
Хрсилани топишнинг бу коидасини мисоллар ёрдамида тушунтириш оркали укувчиларнинг билим ва куникмаларини оширишга эришиш мумкин.
Дифференциалланувчи функциянинг узлуксизлиги: Агар f (x) функция x0 нуктада хосилага эга булса, у холда бу функция шу нуктада узлуксиздир.
Агар функция бирор нуктада узлуксиз булмаса, у холда бу функция шу нуктада хосилага эга булмайди. Функциянинг бирор нуктада узлуксизлиги бу функциянинг шу каралаётган нуктада хосилага эга булиши учун етарли шарт була олмайди, яъни функциянинг нуктада узлуксизлигидан унинг шу нуктада хосилага эга булиши келиб чикмайди. Бундай функция мисол сифатида f (x) =| x |, x e [-1;1] функцияни келтириш мумкин. Мазкур функция x0 = 0 нуктада узлуксиз, бирок хосилага эга эмас. Бунга функциянинг унг ва чап хосилалари тушунчаларини киритиш оркали ишонч хосил килиш мумкин.
Функцияларнинг алгебраик йигиндисининг, купайтмасининг ва булинмасининг хосилалари учун формулалар келтириш оркали укувчиларни функция хосиласини киска вактда, бехато хисоблашга ургатиш мумкин. Учта дифференциалланувчи функция купайтмасининг хосиласини топиш формуласини эса укувчига мустакил иш сифатида берилиши, уларни функция купайтмасининг хосиласи учун формулани тадбик килишга ундайди.
Математикада мураккаб функция тушунчаси кенг фойдаланилади. Биз математика курсида турли масалаларни куриб чикишда куплаб мураккаб функцияларни учратишимиз мумкин. Шу сабабли мураккаб функциянинг хосиласини топишни ургатиш табиийдир. Баъзи элементар функцияларнинг
хосилалар жадвалини укувчиларга такдим килиб, уларга турли функцияларнинг хосилаларини мустакил хисоблаш масаласини куямиз.
Юкори тартибли хосилалар хам худди биринчи тартибли хосила каби киритилади. Функция хосиласининг геометрик талкини бу функциянинг графиги буладиган эгри чизикка уринма тушунчаси билан узвий боглик. Агар функция нуктада хосилага эга булса, у холда бу нуктада унинг графигига уринма мавжуд ва шу билан бирга бу нуктадаги хосиланинг киймати функциянинг шу нуктадаги графигига шу нуктада утказилган уринманинг бурчак коэффициенти билан бир хил булади.
ФУНКЦИЯНИНГ МОНОТОНЛИГИНИ ТЕКШИРИШГА ХОСИЛАНИНГ ТАТБЩИ
Аввало укувчиларга кулайлик учун монотон усувчи, монотон камаювчи, монотон усмайдиган, монотон камаймайдиган функцияларнинг таърифларини эслатиб утиш лозим. Улар монотон функциялар номи билан юритилади.
Функциянинг интервалда усувчи булишининг зарурий шарти хакидаги теоремани келтирамиз.
Теорема. Агар дифференциалланувчи f (x), x e[a; b] функция (a; b) интервалда усувчи булса, у холда (a;b) интервалдан олинган исталган x учун f'(x0) > 0 булади. ^искача айтадиган булсак, (a;b) интервалда усувчи ва дифференциалланувчи f (x) функция исталган x0 e (a;b) нуктада f'(x0) > 0 шартни каноатлантиради.
Функция усувчи булишининг етарли шарти: Агар дифференциалланувчи f (x) функция исталган x0 e (a;b) нуктада f' (x0) > 0 шартни каноатлантирса, у холда f (x) функция (a; b) интервалда усувчи булади.
Худди шунингдек, агар дифференциалланувчи f (x) функция исталган x0 e (a; b) нуктада f'(x0) < 0 шартни каноатлантирса, у холда f (x) функция (a; b) интервалда камаювчи булади.
Функция монотон буладиган интервалларга функциянинг монотонлик интерваллари дейилади.
Функциянинг монотонлик интервалларини топиш учун укувчиларга куйидаги коидани тавсия килиш мумкин.
1. Берилган f (x) функциянинг f'(x) хосиласини хисоблаймиз, кейин эса f'(x) хосила нолга тенг буладиган ёки мавжуд булмайдиган нукталарни топамиз. Бу нукталар f (x) функция учун критик нукталар деб аталади.
2. f (х) функциянинг аникланиш сохаси критик нукталар билан интервалларга булинади, бу интервалларнинг хар бирида f ( х) хосила уз ишорасини саклайди. Бу интерваллар монотонлик интерваллари булади.
3. Топилган интервалларнинг хар бирида f'(х) нинг ишорасини текширамиз. Агар каралаётган интервалда f'(х) > 0 булса, у холда f (х) функция бу интервалда усувчидир, агар f'(х) < 0 булса, у холда f (х) функция бу интервалда камаювчидир.
ФУНКЦИЯНИНГ ХОСИЛАСИ ЁРДАМИДА ТЕКШИРИЛАДИГАН БАЪЗИ АМАЛИЙ МАСАЛАЛАР
Td := (-я,ж] - оркали d е N -улчамли торни белгилаймиз, L2 (Td) - оркали Td торда аникланган квадрати билан интегралланувчи (комплекс узгарувчили) функцияларнинг Хдлберт фазосини белгилаймиз. L2(Td) фазода аникланган H := H0 - V Фридрихс моделини караймиз. H0 ва V операторлар куйидагича аникланган:
(Hf )(p) = u(p)f (p), (Vf )(p) = Mp) i v(t)f (t)dt.
jd
id
j> 0 -таъсирлашиш параметри, u(•) ва v(-) - T да узлуксиз хакикий кийматли функциялар.
Шуни таъкидлаш керакки H0 операторнинг кузгалиш оператори - V уз-
W \ W "ff" W W
узига кушма ва ранги 2 га тенг булади. Чекли улчамли кузгалишларда мухим спектрнинг сакланиши хакидаги Г. Вейл теоремасига кура H операторнинг ^ess (H) мухим спектри H0 оператор мухим спектри билан устма-уст тушади. Маълумки
°(H о) = *„ (H о) = [ E; e2],
бу ерда E ва E2 сонлари куйидаги тенгликлар ёрдамида аникланган
E := minu(p), E2 := maxu(p).
pGTd pGTd
Бундан aess(H) = [E; E ] муносабатни хосил киламиз.
C - комплекс текислик булсин. Х,ар бир j учун C \[E ; E ] тупламда
A(j,z) := 1 j ^
Tdu(t ) — z функцияни аниклаймиз.
Одатда A(j, z) функция H операторга мос Фредгольм детерминанти деб аталади.
Содда хисоблашлар ёрдамида H операторнинг дискрет спектри учун
^(H) = {z G C\[E1;E2] : Aj,z) = 0}
тенгликни хосил киламиз. Бундан куринадики H операторнинг спектрини тадкик килиш учун А(и, z) функциянинг нолларини урганиш мухим ахамиятга эга. А(и, z) функциянинг ноли мавжуд ёки мавжуд эмаслигини курсатишда бевосита унинг монотонлигидан фойдаланимиз. Функция монотонлигини текширишда унинг хосиласидан фойдаланамиз. [15-30] ишларда мос операторларнинг спектрини тадкик килишда монотон функция хоссаларидан фойдаланилган.
REFERENCES
1. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. (2020). Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики. Наука, техника и образование, 8(72), 29-32.
2. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. (2021). Роль математики в биологических науках.
Проблемы педагогики, 2(53), 7-10.
3. Расулов Т.Х,., Расулов Х.Р. (2021). Узгариши чегараланган функциялар булимини укитишга доир методик тавсиялар. Scientific progress, 1(2), 559-567.
4. Умарова У.У. (2020). Роль современных интерактивных методов в изучении темы «Множества и операции над ними». Вестник науки и образования, 16(94), 21-24.
5. Boboeva M.N., Rasulov T.H. (2020). The method of using problematic equation in teaching theory of matrix to students. Academy, 4(55), 68-71.
6. Rasulov T.H., Rashidov A.Sh. (2020). The usage of foreign experience in effective organization of teaching activities in Mathematics. International Journal of Scientific & Technology Research, 4(9), 3068-3071.
7. Mardanova F.Ya., Rasulov T.H. (2020). Advantages and disadvantages of the method of working in small group in teaching higher mathematics. Academy, 4(55), 65-68.
8. Расулов Т.Х. (2020). Инновационные технологии изучения темы линейные интег-ральные уравнения. Наука, техника и образование, 9(73), 74-76.
9. Тошева Н.А. (2020). Междисциплинарные связи в преподавании комплексного анализа. Вестник науки и образования, 16(94), 29-32.
10. Хайитова Х.Г. (2020). Использование эвристического метода при объяснении темы «Непрерывные линейные операторы» по предмету «Функциональный анализ». Вестник науки и образования, 16(94), 25-28.
11. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2019). Organizing educational activities based on interactive methods on mathematics subject. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6(10), 43-45.
12. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. (2021). О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем. Наука, техника и образование, 2-2(72), 23-26.
13. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. (2021). Ayrim dinamik sistemalarning tahlili haqida. Scientific progress, 1(2), 448-454.
14. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. (2021). Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хакида. Scientific progress, 1(2), 455-462
15. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный, 9, 17-20.
16. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. ВНО, 16-2(94), 9-13.
17. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
18. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2-2(51), 15-18.
19. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 9(6), 15-17.
20. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model: 1D case with rank two perturbation. Bulletin of the Institute of Mathematics, 4, 21-28.
21. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
22. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
23. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
24. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
25. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.
26. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.
27. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
28. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2х2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.
29. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр и квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.
30. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.
