CC BY
13
УДК 534.1,534.142
В. К. МАНЖОСОВ
УДАР СТЕРЖНЯ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ О ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ С УПРУГОЙ ПРОКЛАДКОЙ В УДАРНОМ СЕЧЕНИИ
На основе волновой модели рассмотрена задача продольного удара стержня конечной длины о полуограниченный стержень с линейным упругим элементом в ударном сечении.
Модель продольного удара стержня конечной длины о полуограниченный стержень с линейным упругим элементом в ударном сечении рассмотрена в работе [3]. Схема ударной системы изображена на рис. 1.
^ /1 Р
— / 1 К / -
X
к
V
}
О
I
Рис.1. Схема ударной системы
Удар по стержню 2 наносит стержень который движется вдоль оси X со скоростью У0. Сечения стержня 2 до удара не имеют начальных перемещений и скоростей. Движение поперечных сечений 1-го и 2-го стержней описывается дифференциальными уравнениями:
д2и](х,[) 1 д2:
----—;- = и; и Ь Л I,
(1)
— 1 9 И,(ъО = 0) 0<х</,
дх
д2и2(х,0 дх2
а: дг
ч
1 д2щ(х,1)
—---= О, 0 < х < со,
/ /
сь ог
где щ (х, , и2(х,г)~ перемещение
поперечного сечения соответственно стержней 1 и 2; а}, а0 - скорость звука в материале
стержней 1 и 2; /- время; .X - координата поперечного сечения.
Начальные условия для рассматриваемой задачи
их (х,0) = 0, и2 (х.,0 ) = 0.
ди] (х,0)
дт
-=уо,
ди2 (х,0 )
-0.
(2)
Граничные условия для сечений х = 0 и X — оо имеют вид
ди2( = (3)
дх дх
а для ударных сечений (х = I) стержней 1 и 2
дх ох
(4)
VI
о и
Ы
дх
+-А [¿^(/д)-^ (/,?)]= О,
гДе £] Ег} - модуль упругости 1 -го рода материала стержней 1 и 2; А.^и - площадь
I Л»
поперечных сечений стержней ] и 2; /— длина стержня 1; д: = / - координата ударного сечения, к - жесткость упругого элемента.
Решение волновых уравнений (!) по методу Даламбера можно представить как Щ(х>0 = а\*-х) + Ч>\(<*]1 + х), 0 < .х < I (5) и2(х,г) = /2(а2( + ф2(а2г + х)х I < х < со, где /¡(а^-х), /г(а2г--х) - функции,
описывающие прямые волны,
распространяющиеся соответственно по стержням 1 и 2 в направлении оси X; 9{(а]г + х)) ф2(а21 + х) ~ функции, описывающие
обратные волньт3 распространяющиеся по стержням 1 и 2 в противоположном направлении.
Так как стержень 2 находится в начальный момент времени в состоянии покоя и деформации в его поперечных сечениях
отсутствуют, то из условия у00* 0 „ 0 следует,
дх •
что У2(а2г +х) = 0, 1 <х< оо.
Из второго равенства (4) с учетом (5) следует
ЕЛ [- //(а, I - /) + ф; (ахг + /)]+ (6)
+ (¿V - /) + ф1 {ах1 * I) - /2 (а2( - /)] = О а из первого равенства (4)
л (<* - /)=[- V- о ■+ <р; (*,«•+01 (7)
Дифференцируя по / (6) с учетом (7), получим
+ ка2 -М. [- //(«^ - 0 + ф; + 01 - О, Е2А2
откуда после преобразований следует
ф+ /)+ (3(1 + г)(р5(дгГ+ /) =
(В)
В. К. Манжосов, 2004
где
Р =
к
ЕЛ а\
ЕХА,
ЕчА, а,
А/ 1
Учитывая (5), можно записать следующее дифференциальное уравнение:
Г 21" + 1
i---
V аи
+
(9)
г г 2/^
t- -
V
где f^ p(i+г), (32 - (3(r-l)
На интервале времени 0 < / <
21
<2,
ИЗ
начальных условий для стержня 1 следует, что
/,w -о-=<Р:
¿2
/
21
\
п
ф)
L \ /
а
1/
+ /
2 А
1
а
1
/-
21
\
v
+/
-о,
(10)
Подставляя эти значения в (9), приходим к уравнению
О <? <
21
а,
где г, _ - функция _/) при / = 0.
* 0 л
2 а.
Обозначим ахг + / = \ . Тогда имеем
ФГЙ)+Р1Ф;(4)=Р2/О,> /<^<З/.(11)
Решение ( 1 ) относительно ф] (Д) имеет вид
21
0<Г <
а,
(13)
+/) = + С ехр(-(3, (я,/ +/)),
Н1
При = о Ф;(аА+/) = 1^ = /0'.
2 ^
Учитывая (13) в (12), имеем при / = 0
отк>'да
П
/
С =
1-
V Hi у
Ё1 р
Л
/¿«¡ргр,/;
а следовательно, из (12)
при о</<
21
а,
Р
1-
Р2 Р
\
У
Полагая
р
V Р. У
Р1 *•+! "
где К - коэффициент отражения прямой волны деформации в стержне 1 от ударного сечения при отсутствии упругой прокладки в ударном
сечении [1,2], то параметры функции, описывающие обратную волну, определяются на
интервале времени о < ^ < _ как
ф!(*1' + 0 = /<>7* + (1 - Я)ехр(-^а]1)]1 (14)
9 7
Прямая волна на интервале 0 < / < _ из (10)
а.
ffat-l)=V0/2ax.
(15)
Деформация в ударном сечении стержня 1
ОХ
Учитывая (14) и (15), на интервале о < ^ <
2/
я-
йх
(17)
Параметры прямой волны, формируемой в ударном сечении стержня 2, определяются из (7)
с учетом (17) и (18) на интервале о < / < — как Так как
^ _ = Ml
г
Е2А2
Е2А2
1-
т — 1 ^
ч
г + 1
/
_ ЯЛ
К 2 1
2 (18)
где ^ - коэффициент прохождения прямой
волны о <;*</. в стержень 2 при отсутствии
упругой прокладки в ударном сечении [1,2], то
21
на интервале о < ^ < _
Рассмотрим теперь интервал 2/ < < 4/. Так как
<7, ¿2,
то с учётом (14) на
/¡W-0 = <P'i
' 21" + 1
t---
I a\j
2/ 4/ интервале _ < t < Zl
я, я.
//(*,/-/)= (20) - /0'[Л + (1 - R)exp(-^a] (t - 21 / ах)) ].
Дифференцируя по t, после преобразований получим
(2D
= -/о' Pi (! - R)exP(-$\ (a\t- 21))
Учитывая (20) и (21) в уравнении (8), имеем на интервале 2/ < ( < 4/
а,
а,
ф; (а^+О+р! Ф;(Д,/+/)=
= —Уо Э10 - Г«, ^ - +
(22)
и
Введем переменную £ = а,/ + /
представим дифференциальное уравнение (22) в виде
ФГ (0+р, ч>; (£)=
= /0' (1 - /фхрНЗ, Гс - з/;Хз2-Ю+М/о'-
Так как
р
Л
Р1
У
(1 -- Я) = -р, (] - Я)2'
.(23)
(р2-р1Х1-л)=-р1 1-
то имеем
= /„' у-р, (1 - я)2 ехрС-Р, ГЕ - 3/;; + Р3Л7
Решение (23) относительно на интервале
2[ < г < 4/ имеет вид а, ^
Ф; (О=Л' [- Р> 0 - «рг-Р/* - з/;; • $+]+
Учитывая, что ^ — + имеем ф! (^ + 0 =
- /о' /"-Р1 (1 - Л)2 Г^ - 2/;; ■ (в.г + /) + я2у +
+ С]ехр(-Р1(а^ + 1)) (24)
О 7
Функция ф5(а,Г + /) при ^ =Г1_
а,
ф! (а* + 0 = /о I" Р] О " ^ " 31 + (25)
соответствует значению функции ф] (а^ +/),
21
определяемой из (14) при = —
а
'1
ф¡(о,*.+/)=/0'[Л + (1-Л)е^Г-Р12/;]. (26)
Приравнивая (25) и (26), получим
/0' I- р, (1 - Я)2 • 3/ + Д2 1+С, ехр(-^ 31) =
откуда
С, = Л' /"Л + (1 - Я)ехр(-$г 21) +
(27)
21 47 интервала _ < ^ < _
ф; (а,/+0=/о г О -лу-р,0 - -2/)+л+
+«рг-Р, 2/;; с^г-р, г«,/ -и))+я2]. (2%)
Деформация в ударном сечении стержня 1 из (16) с учётом (20) и (28) на интервале <11
я,
л,
ах
= -/оЧ1 - + Л " Л + Р, (1 - Я\а^-21)]
* «р(-Р 1Г л | г- ад - «рг-р, а ,/. Г29;
Для определения волны деформации /¿(¿^""О' формируемой в ударном сечении
стержня 2 на интервале
а, а,
воспользуемся (7) с учётом (29) и (18)
- 0 = /о' + /-1 - Я + р, О - - 2/)7 •
• е^Г-Р) (V - 21)) - ехр(-\3^)}. (30) Преобразуем (31) к виду
/2'(а2г - /)= /о' - ехр(-р,^)- (1 - - (31}
-(1 + Р, (а,г -Г - 21))]}.
Учитывая (19) и (31), запишем следующие выражения, определяющие параметры формируемой в ударном сечении стержня 2 волны деформации /2'(я2г -/) на различных
интервалах времени,
/0'9(1 -ехр(-${а4 0<(<—,
а■
- (1 + р1 (ахг - - 21))]}>
21 4/
— <г < —
а
1
а
1
(32)
Учитывал (32), получим следующие выражения для ударной силы:
21
Р(1>*) =
- Е2А2Д д(\ - ехр(~$}а4 0 < г <
а■
- Е2 А2П Ч{{1 - ехр(-$хахг)~ (1
- (1 + Р, (ахг - 21))ехр(~\\ (а}( - 21))]},
21 4/
— </< —
а
1
а
1
Так как
/о =
1 К
о
2 йг,
2г а
1
г +1 а.
11 =
(33)
1 -г
--3
1 + Г
Р
к , \ +1)
¿0
у1-> Йл .г,
2 "2 •'■'О
г + 1 1 к2 {г + 1)
Учитывая (27) в (24), после преобразований для где
Е% Аг г Т2
к -А о —
Т2г
е2л2
отношение жесткости
■а.
а,
прокладки к продольной жёсткости единицы
т
длины Ь{) стержня 2 (Ь{)= 1 м ); Тп =— -
л»
а2
Бремя распространения волны деформации по
стержню 2 на расстояние Ь() (единицу длины),
то равенства (34) после преобразований (учитывая, что при сохранении массы стержня 1 р ХАХ!~ =р2/1210 длина стержня 1 равна
/ - РЛзАз , а отношение
РЛ
УА = 1 ?2 = Р2^2 = 1 ) примет вид
Т2 ах ¿0 9Ла1 г
Пи)
Р,
г
о
г + 1
1 - ехр(-кТ
~ ^
< Г <-, г
г
-р,
г
о
г + 1
))-(!-Я)-1-
* / 1 + /:'
\
~ 2 / --
г
>л
//
ехр(-к( - 2/ г)-
где /г= А: о
2 4
I г г г + 1
Г34;
к,
7*
р — — Р А _ значение
Л) — Су7'/Х2
ао
ударной силы в начальный момент времени при ударе по стержню 2 абсолютно твёрдым телом при отсутствии упругой прокладки в ударном
сечении. ^ — ___относительное время.
|
Для сравнения приведём формулы для расчёта ударной силы РД/,/ ) прР1 ударе
стержня конечной длины о полуограниченный стержень без упругой прокладки в ударном сечении [1,2]
V
о
г
а^ г 4-1
А '
о<? <-,
г
— Е 2 Л2
V,
о
(7, /' + 1
2-4 -<t<-l
г г
(35)
г
а2 г + 1
[1 -а-ю-а-юя].
4~6 г г
( Г \
1 + к
\ Ч г) /
Сопоставляя выражения (34) и (35) на соответствующих интервалах времени, можно заметить следующее. Значение ударной силы Р(/,Т) при ударе через упругую прокладку на
каждом интервале времени стремится к соответствующему значению ударной силы
1\ (/,?) при отсутствии упругой прокладки в ударном сечении, если относительное время
1 достаточно для завершения переходного процесса. В этом случае слагаемые, характеризующие переходный процесс, такие
^^ О
как ехр(-кТ) на интервале 0<Г<->
г
ехр(-к(7 -2 /г)) на интервале
2 < ~ < 4 з существенно малы по сравнению с
г г
единицей и ими можно пренебречь. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алимов, О. Д. Бурильные машины /
О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников. - М.: Машиностроение, 1976. - 295 с.
2. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах /
О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. -М.: Наука, 1985.-386 с.
3. Манжосов, В. К. Удар стержня конечной длины о полубесконечный стержень при линейном упругом элементе между ними // Прикладные задачи механики. - Бишкек, Киргизский государственный университет. -1992.-С. 3-10.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» У л ьяиовского государственного техни ческого университета. Имеет
монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
