CC BY
3Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 40
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 534.1
Учет влияния поврежденности материала на скорость распространения в нем упругой волны
В.И.Ерофеев, А.Н. Морозов, Е.А.Никитина
Аннотация
Целью настоящей работы является разработка математической модели, которая в рамках единой схемы и на основе принципов механики континуума позволяет записывать эволюционные уравнения накопления повреждений с учетом геометрической и физической нелинейностей процесса. Для решения поставленной задачи предлагается новый подход, основанный на взаимосвязи уравнений динамики материала и уравнений его поврежденности. Ключевые слова
поврежденность материала, упругая волна, скорость, дисперсия, затухание, нелинейность.
Рассмотрим образец материала, выполненный в виде стержня, по которому может распространяться продольная упругая волна. Обозначим через и (х, $ перемещение частиц срединной линии стержня. Считаем, что стержень подвергается статическим или циклическим испытаниям и в его материале может накапливаться поврежденность. Для описания меры поврежденности введем функцию ц (х,1) [1-3], характеризующую относительную плотность равномерно рассеянных в единице объема микродефектов. Этот параметр равен нулю, когда повреждений нет, и близок к единице в момент разрушения.
Динамика стержня с учетом поврежденности его материала описывается системой уравнений:
д2и 2/1 а0 дич д2и _ дщ
—т - с2 (1 + —)—- = в — т
да2 Е дх дх2 1 дх , (1)
дщ о г дм (2)
+ ащ = вЕ — • (2)
да дл
Или эквивалентным этой системе уравнением относительно продольного перемещения:
д2и (2 + вв2Е) д2ы + 1 дЗи с2 д3и
да2 0 а дх2 а да3 а дх2да (3)
с2а„ ди д2и с2а„ д ( ди д2 и ^ ^
Е дх дх2 а Е да
у дх дх2 у
где с0 ' скорость, с которой распространялась бы продольная упругая волна в
материале стержня, если бы в нем не было бы повреждений; Е - модуль Юнга; р - плотность материала; а,Д,в2- константы, характеризующие поврежденность материала и связь циклических процессов и процессов накопления повреждений.
Если линеаризовать уравнение (3) и с его помощью исследовать распространение гармонической волны в поврежденном материале, то легко видеть, что наличие поврежденности приводит к дисперсии, т.е. зависимости фазовой скорости продольной волны от частоты Оф = Оф (®) и частотно-зависимому затуханию К11 = К"(®).
В [4] было показано, что константы а,в1,в2 могут быть вычислены через измеряемые параметры волнового процесса:
а =_К "(ю)ф , вв с0(К»)2 ч, (4)
I 1^11Р1Р2 ~
Л1
К "(011 + ^ ' ЕК^к+Ш
V Со® V Со®
где ® - круговая частота гармонической волны, Кп(0), Кп(ю)- мнимые части волнового числа в низкочастотном и высокочастотном диапазонах.
Через а0 = 3Е + у1 (1 - 6v) + 6v2 (1 - 2у) + 2у2 обозначен коэффициент,
характеризующий геометрическую и физическую упругие нелинейности стержня; У1 2 3 -
упругие модули Ламе третьего порядка; V- коэффициент Пуассона.
Будем предполагать, что затухание волны, обусловленное поврежденностью и
нелинейность, являются величинами одного порядка малости е = а\а°\/ , (а -амплитуда
/ ЕЛ
волны, Л - длина волны).
Решение уравнения (3) имеем в виде асимптотического разложения перемещения по малому параметру:
и = и0 + еи1 +... (5)
Введем при этом новые переменные:
£ = х - ег ; п = ех (6)
Такой выбор переменных объясняется тем, что возмущение, распространяясь со скоростью с вдоль оси х, медленно эволюционирует в пространстве из-за нелинейности и диссипации.
После подстановки (5) и (6) в (3) в нулевом приближении по е получим выражение для скорости
е = ео
V
1+АА Е
2
ао ео
Первое приближение по е приводит к эволюционному уравнению относительно осевой деформации и = £:
" 2е(е0 + ЯМ) П (^)
а дп а
(7)
- еХ иди+е0аое А иди)=0
Е аЕ д£
В длинноволновом диапазоне вторым нелинейным слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым и (7) преобразуется в уравнение Бюргерса [5]
ди _ ди СЭ 2и .
П =0 • <8)
где g =
а0
4еЕ(1 +ОЕ) '
ас „
8 =
РА Е
2еа с0
1
1 +
РА Е
ас0
Уравнение (8) позволяет описать баланс между нелинейностью и диссипацией, приводящий к формированию локализованной слабой ударной волны (кинка):
и = Ат Ж[т(£ - Ущ) + В]
(9)
. 8 у
где т - свободный параметр, А = — , В = —.
g 2 ^
Если граничные условия таковы, что и ^ Их при ^ ^ да и и ^ Л2 при ^ ^ -да, то ширина ударной волны:
Д = — = т
28
g (Л - Лг)
4в1в2 Е2 11 +
РА Е
ас0
а с0а0(Л -Л2)
(10)
а ее скорость:
У = ^ (Л + к2)\ =
а0(Л1 + Л2)
4еЕ{1 +РЩЕ)
асп
(11)
Из (10) и (11) следует, что ширина ударной волны растет, а ее скорость уменьшается с
РР2
увеличением параметра й1!!. - характеризующего поврежденность материала.
а
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00827; грант № 09-08-00892).
Рекомендовано к публикации программным комитетом XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.
Библиографический список
1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.:Наука, 1974. - 311 с.
2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М: Наука,1966.-752с.
3. Углов А.Л., Ерофеев В.И., Смирнов А.Н. Акустический контроль оборудования при изготовлении и эксплуатации / отв.ред. академик РАН Ф.М. Митенков. М.: Наука, 2009. -280 с.
4. Ерофеев В.И., Никитина Е.А. Самосогласованная динамическая задача оценки поврежденности материала акустическим методом // Акустический журнал. 2010. Т.56, № 3.
5. Порубов А.В. Локализация нелинейных волн деформации. М.:Физматлит,2009.-208 с.
Сведения об авторах:
Владимир Иванович Ерофеев, заместитель директора Нижегородского филиала института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, д.ф.м н., профессор, тел.:(831) 43205-76, e-mail: erf04@sinn.ru
Андрей Николаевич Морозов , заведующий кафедрой Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, д.ф.м н, профессор,тел.: (495) 263-63-52, email: amor@mx.bmstu.ru
Елена Александровна Никитина, старший научный сотрудник Нижегородского филиала института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, к.т.н., тел.: (831) 432-23-87, e-mail: erf04@sinn.ru
