CC BY
5INFLUENCE OF MATERIAL DAMAGE ON THE PARAMETERS OF A NONLINEAR FLEXIBLE AND LONGITUDINAL WAVE
WHICH SPREAD IN A BEAM
D.M. Brikkel*, V. I. Erofeev*'**
*National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 603950, Nizhny Novgorod, Russia **Mechanical Engineering Research Institute of RAS, 603024, Nizhny Novgorod, Russia
DOI: 10.24411/2073-0667-2021-10001
As a rule, in the mechanics of solids, problems of dynamics are considered separately from problems of damage accumulation. When developing such methods, it is customary to postulate in advance that the elastic wave velocity is a given damage function, and then experimentally determine the proportionality coefficients. The phase wave velocity and wave attenuation are usually considered to be power functions of frequency and linear functions of damage. With its undoubted advantages (simplicity), this approach has a number of disadvantages, like any approach that is not based on mathematical models of processes and systems.
The authors of consider the problem to be self-consistent, including, in addition to the equation of damage development, the dynamic equation of the theory of elasticity. This approach made it possible to consider a number of applied problems of wave dynamics of damaged materials and structural elements.
Damage is usually understood as a reduction in the elastic response of the body due to a reduction in the effective area that transfers internal forces from one part of the body to another, its part, caused, in turn, by the appearance and development of a scattered field of micro defects (micro cracks — in elasticity, dislocations — in plasticity, micro pores — during creep, surface micro cracks — during fatigue).
Not directly measurable (such as speed, force or temperature), damage, i.e. degradation of the mechanical properties of the body can be detected by analyzing the body's response to various external influences. According to experimental practice, the presence of a damage field in materials can be indirectly detected and partly quantitatively represented through a decrease in the ultrasonic signal propagation rate, a decrease in Young's modulus („modulus defect"), and a decrease in density („loosening"), change in hardness, drop in electric potential, drop in stress amplitude during cyclic testing, acceleration of creep in the third stage.
In traditional calculations, the scalar damageabilitv parameter ^(x,t), which characterizes the relative density of micro defects uniformly dispersed per unit volume, is taken as a measure of damage during deformation development. This parameter is zero when there is no damage and is close to unity at the moment of failure.
An approach is proposed that allows one to obtain new dependences of the nonlinear flexural and longitudinal waves parameters on the material damage degree. In particular, the problem of the formation of intense bending waves of a stationary profile is considered within the framework of a geometrically nonlinear model of a damaged beam, as well as the problem of the formation of longitudinal waves, where geometric and physical nonlinearities are additionally taken into account.
© D.M. Brikkel, V.I. Erofeev, 2021
M. BpuKKeji'b, B. M. Epotfieee
7
During the study, when nonlinear flexural waves appear in an element, the presence of both periodic and solitary (localized in space) non-sinusoidal waves was determined. It is shown that the amplitudes of solitary and periodic waves increase with an increase in the damage parameter, and the length of the periodic and the width of a solitary wave decrease with an increase in the considered parameter. When nonlinear longitudinal waves appear in the element, it is proved that the width of the soliton decreases with decreasing damage parameter, in turn, the soliton velocity increases linearly with increasing damage parameter. New dependences of wave parameters (amplitude, width, wavelength) are determined taking into account their geometric nonlinearitv on the parameters of material damage. This work is a continuation of a number of articles on a new approach that allows formulating a mathematical model describing the propagation of waves in elements, taking into account the accumulation of damage in their materials.
Key words: Bending wave, longitudinal wave, Material damage, material damage parameter, geometric nonlinearitv, physical nonlinearitv.
References
1. Kachanov L.M. Osnovv mekhaniki razrusheniva. M.: Nauka. 1974. 311 p.
2. Rabotnov Y.N. Polzuchest' elementov konstrukcij. M.: Nauka. 1966. 752 p.
3. Stulov A., Erofeev V. Frequency-dependent attenuation and phase velocity dispersion of an acoustic wave propagating in the media with damages // Generalized Continua as Models for Classical and Advanced Materials. Series: Advances Structured Materials, Altenbach, Holm, Forest, Samuel (Eds.), Springer, Switzerland. 2016. V. 42. P. 413-423.
4. Moiseev N.N. Asimptoticheskie metodv nelinejnoj mekhaniki. M.: Nauka. 1981. 400 p.
5. Porubov A. V. Lokalizaciva nelinejnvh voln deformacii. M.: Fizmatlit. 2009. 208 p.
ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДЕННОСТИ МАТЕРИАЛА НА ПАРАМЕТРЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ИЗГИБНОЙ И ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В БАЛКЕ
Д. М. Бриккель*, В. И. Ерофеев*'**
* Нижегородский государственный университет им, Н, И, Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, Россия
**
603024, Нижний Новгород, Россия
УДК 539.3
Б01: 10.24411/2073-0667-2021-10001
Предлагается подход, позволяющий получить новые зависимости параметров нелинейных из-гибных и продольных волн от степени поврежденности материала. В частности, рассмотрены задача о формировании интенсивных изгибных волн стационарного профиля в рамках геометрически нелинейной модели поврежденной балки, а также задача о формировании продольных волн, где дополнительно учитываются геометрическая и физическая нелинейности. В ходе исследования, при возникновении в элементе нелинейных изгибных волн, определено наличие как периодических, так и уединенных (локализованных в пространстве) несинусоидальных волн. Показано, что амплитуды уединенных и периодических волн увеличиваются с ростом параметра поврежденности, а длина периодической и ширина уединенной волны уменьшаются с ростом рассматриваемого параметра. При возникновении в элементе нелинейных продольных волн доказано, что ширина солитона уменьшается при уменьшении параметра поврежденности, в свою очередь, скорость солитона линейно увеличивается с ростом параметра поврежденности. Определены новые зависимости волновых параметров (амплитуда, ширина, длина волны) с учетом их геометрической нелинейности от параметров поврежденности материала. Данная работа является продолжением ряда статей о новом подходе, позволяющем сформулировать математическую модель, описывающую распространение волн в элементах с учетом накопления повреждений в их материалах.
Ключевые слова: изгибная волна, продольная волна, параметр поврежденности материала, геометрическая нелинейность, физическая нелинейность.
Введение. Рассматривается элемент, представленный в виде балки и совершающий поперечные (изгибные) и продольные колебания.
Считаем, что в материале балки могла накопиться поврежденность вследствие воздействия на нее статических и циклических нагрузок. Для описания меры поврежденности введем функцию Качанова-Работнова значения которой равны нулю, когда повре-
ждения отсутствуют, и близко к единице в момент разрушения материала [1, 2].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант № 19-38-90282).
(г) Д. М, Бриккель, В. И. Ерофеев, 2021
Д. М. Бриккелъ, В. И. Ерофеев
9
1. Изгибные колебания.
1,1, Математическая модем,ь изгибных колебаний. Считая, что центральная ось балки остается нерастяжимой, дополнительно учитываем нелинейную связь деформации и перемещения, возникающую при изгибе (т.е. геометрическую нелинейность).
Обозначим перемещение частиц центральной оси элемента при изгибе через функцию Ш(х,Ь). С учетом накопления повреждений в материале балки, ее динамика описывается системой уравнений:
d2W 2 2 d4W
+ c2r2-
+ s y dx4
д
dt2
д Ф
— + аФ = я dt дх
2 дх dW
дх
дф
дх
(1)
Здесь о3 = \]Ер-1, Е — Модуль Юнга, р — плотность материала, — осевой момент инерции, Е — площадь поперечного сечения балки, а, ¡31, ¡32 — константы, характеризующие поврежденность материала (среди которых, где Т — время релаксации [3], физический смысл других коэффициентов не столь очевиден; /31, в2 < 0). Система уравнений (1) сводится к одному нелинейному уравнению относительно поперечного перемещения Ш, которое в безразмерных переменных запишется в следующем виде:
д2и д 2U д 3U д4и д5и + ai^v + а^^— + -7~— + й2"
дт2 аз д_ 2 дх
дх2
дт3 дх4
'дг4дт
ди
дх
а2аз
д2
2 дгдт
ди
дх
(2)
где ai = -ei&E(ac2s) i,a2 = Cs(ryа) 1,аз = W02(ry)-
Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей волны стационарного профиля:
и = и (С),
(3)
где С = z — Ут — „бегущая" координата, V = const — скорость волны. При подстановке (3) в (2), исходя из условий, что T ^ 0 (при малых значениях времени релаксации), т.е. а ^ го, решение последнего сведется к уравнению колебаний осциллятора Дуффинга [4]:
d2Q dC2
+ m10 + m203 = 0
(4)
Здесь — в = Щ- — угол поворота поперечного сече пня балки; т1 = а1 + V2; т2 = —т-Знаки коэффициентов т1т2 характеризуют возможность существования нелинейных стационарных изгибных волн. Первый коэффициент всегда положителен (т1 > 0), а второй — всегда отрицателен (т2 < 0),
По фазовой плоскости нелинейного осциллятора можно судить о существовании в данной системе как периодических (движения по сепаратрисе вокруг устойчивого положения равновесия), так и уединенных стационарных волн (движение по сепаратрисе, идущей из „седла" в „седло").
1,2, Анализ зависимостей. Периодическая волна описывается эллиптическим синусом (синусоидальное колебание) [4], форма которого близка к меандру
з
2
c
s
з
з
0
0 = Asn(k£,S ),
(5)
где А — амплитуда волны; к = (0,5(2ш1 + ш2А2)) 2 — волновое число; Б2 = ш2А2(2т1 + ш2А2)-1 — квадрат модуля эллиптической функции, изменяющийея в интервале 0 < Б2 < 1, Выразим амплитуду волны А и волновое число к через параметры исходной задачи:
A
\
4 (+ V2) r2S2
\acj J y
Sq(1 + S2)
k
\
-P1P2 E
rvf*2
+ V2)
(6)
(7)
(1 + Б2) '
Уединенная стационарная волна имеет форму перепада (кинка) и описывается гипербо-
лическим тангенсом:
0(0 = A(c)t^
Здесь
А
\
-Pi ¡32 E
+ V2
(8)
(9)
ширина волны,
A(c) = ±
\
-PilhE
+ V2)
Wo2
(10)
— ее амплитуда.
Соотношения (6) и (10) показывают рост амплитуд периодической A и уединенной волн при увеличении параметра поврежденноети материала. Длина периодической волны Л ~ к-1(ем, (7)) и ширина уединенной волны (см, (9)) уменьшаются с ростом параметра поврежденноети,
Примечательно, что отношение амплитуды стационарной волны к волновому числу является величиной постоянной
A k
2ry S
"WT
const,
(11)
определяемой только радиусом инерции поперечного сечения балки.
Заметим, что произведение амплитуды волны на ее ширину тоже является постоянной величиной
2г.
const. (12)
A(c)A = 2гу
Wo
Выражения (11) и (12) тождественны при Б =1, поскольку при этом значении график эллиптического синуса переходит в гиперболический тангенс. Для балки кругового поперечного сечения осевой радиус инерции равен половине радиуса. Уравнение (12) в этом случае может быть выражено в виде 2А(с)Д = гДе ^ — диаметр балки.
2
2
r
Д. М. Бриккелъ, В. И. Ерофеев
И
2. Продольные колебания,
2,1 Математическая модем,ь продольных колебаний. Динамика балки описывается моделью Бишопа, В заданной модели дополнительно учитываются нелинейности: геометрическая (нелинейная связь деформации и перемещения) и физическая (нелинейный закон Гука), Обозначим через и(х,Ь) продольное перемещение ее срединной линии.
Нелинейная динамика стержня с учетом поврежденности его материала описывается системой уравнений:
- сп
д2и д2
дФ
Ж + аФ
а0 ди\ д2и Е дх) дх2
=
дх
22 - V Гг,
д2 / д2и
дх2 \ дЬ2
- а
д2и дх2
дх
(13)
Здесь с0 = \/Ер-1 — скорость, с которой распространялась бы продольная упругая волЕ
га; р — плотность материала, г0 = \] 10Е-1 — полярный радиус инерции поперечного сечения стержня, ^ — площадь поперечного сечения, сТ = \fGp~1 — скорость распространения упругой сдвиговой волны, ^ ^ ^^^^^ сдвига. Через а0 = 3Е + v1 (1 — 6v) + 6^(1 — 2v) + 2^ обозначен коэффициент, характеризующий геометрическую и физическую упругие нелинейности стержня; v1,2,3 — упругие модули Ламе третьего порядка.
Система (13) сводится к одному уравнению относительно продольного перемещения и(х,Ь), которое имеет вид:
д2и д2
с
1 + 1 д3и
в102Е\ 04
дх2
асо
с2 со
22 — V Г
д2 ( д2 и
д2и
д3и
V 2г2
а дЬ3
а дх2дЬ а 6с0ао ди д2и
0 дх2 \ дг2 / д5и \дх2дг3 6с0ао д
с
Е дх дх2 Еа дЬ \ дх дх2
Т дх2
д5и \ дх4дг)
ди д2и
с
+
0
(14)
Предположим, что затухание волны с учетом поврежденности материала и нелинейность являются величинами одного порядка малости е = А|а0|(ЕЛ)-1, (А — амплитуда волны, Л — длина волны).
Решая уравнение (14) в виде асимптотического разложения по малому параметру,
и = и0 + еи1 + ... введем дополнительно новые переменные.
(15)
г = х — сЬ; т = еЬ (16)
е
для скорости
с = со \ 1 +
ем 2
ас0
(17)
е
деформации и = ^Цг'-
+
ди
т;--+ а1 п 3
дт дг3
д3и д 2 и
+ а2~
д 4и
- аз-
дг2 дг4
ди д ди
+а1и—--а^— и—
дг дг дг
+
(18)
Здесь введены обозначения:
V2г1ео (1 +
а1 =
в1в2 е
2ел 1 +
в1в2 е 2
ас0
а1
, а2
в1в2Е
2Еа2
"2т1со ( 1 +
-, аз
в1в2 Е
2Еа
3со ао
еЕ/1 +
в1в2 е
, а2
3с0ао
ЕЕа '
(19)
(20)
Заметим, что полученное уравнение (18) обобщает уравнение Кортевега-де Вриза-
а2
аз
2,2, Анализ зависимостей. Уравнение (18) имеет точное аналитическое решение, выражающееся через гиперболический косинус:
и = ЛсН-2[ + В,
где
Л
12аз
В
{а2 -
V
а1 а2
а1
а1 аз
(21)
(22)
а2Д2 а2 а2 а2
Соотношения между параметрами (22) находятся непосредственной подстановкой выражения (21) в уравнение (18), Из (19), (20) следует, что последнее соотношение в (22) выполняется тождественно.
График функции (21) имеет колоколообразную форму и характеризует нелинейную уединенную стационарную волну — солитон деформации, распространяющийся со скоростью V, имеющий амплитуду и ширину Д. Физически реализуемым является лишь тот случай, когда в волне деформации отсутствует постоянная составляющая. Рассмотрение
В=0
приводит к следующей зависимости ширины солнтона от параметров (19):
д 2 =
4аз а2
(23)
Соотношения (19), (20), (22) и (23) позволяют установить, как зависят параметры со-литона от коэффициента 7 = в1в2Е(а)-1, характеризующего поврежденность материала.
Амплитуда солнтона
Л
1Р_ 2ао
линеино растет с увеличением 7,
Ширина солитона определяется соотношением
0
ас
ас
2
ас
и
Д. M. Бри,кнель, В. И. Ерофеев
13
А
2vToOo\ 1 + - %
а его скорость — соотношением
V
Y
2ecr
1 +
(25)
(26)
Поскольку Cj, то го (25) следует, что ширина солитона (А) будет уменьшаться как -1,
с0 Y
а из (26) следует, что скорость солитона (V) будет линейно увеличиваться с ростом у.
Заключение. Развиваемый подход позволяет сформулировать и решить самосогласованную задачу, характеризуемую совместным решением уравнения динамики банки и кинетического уравнения иовреждешюсти ее материала. При экспериментальном определении характеристик новрежденности материала данная работа может найти применение при разработке методик акустического контроля длительно эксплуатируемых элементов конструкций.
Список литературы
1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука. 1974. 311с.
2. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.
3. Stulov A., Erofccv V. Frequency-dependent attenuation and phase velocity dispersion of an acoustic wave propagating in the media with damages /7 Generalized Continua as Models for Classical and Advanced Materials. Series: Advances Structured Materials, Altenbach, Holm, Forest, Samuel (Eds.), Springer, Switzerland. 2016. V. 42. P. 413 423.
4. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1981. 400 с.
5. Порубов А. В. Локализация нелинейных волн деформации. М.: Физматлит. 2009. 208 с.
Бриккель Дмитрий Максимович аспирант и мл. науч. сотр. Института информационных технологий математики и механики Нижегородского государственного университета им. H.II. Лобачевского, e-mail: archive.94@mail.ru, тел.: +79082351064.
Магистр но направлению „Строительство" Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета. Аспирант но направлению „Механика деформируемого твердого тела" Нижегородского государственного университета им. H. И. Лобачевского. Специализируется в области волновой динамики элементов конструкций с учетом накопления повреждений в их материалах.
Brikkel D. M. postgraduate student and research assistant of the institute of Information Technologies of Mathematics and
Mechanicsof in Lobachevsky State University of Nizhnv Novgorod, e-mail: archive.94@mail.ru, Tel.:+79082351064.
Master's degree in „Construction" of the Nizhnv Novgorod State University of Architecture
and Civil Engineering. Postgraduate student „"
Lobachevsky State University of Nizhnv
„
of structural elements, taking into account the
"
Ерофеев Владимир Иванович д-р физ.-мат. наук, директор Института проблем машиностроения РАН, профессор Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, e-mail: erof.vi@yandex.ru, тел.:+79103843528.
U
Специалист в области волновой динамики механических систем, в числе достижений: исследована устойчивость движения высокоскоростных объектов по рельсовым направляющим ракетного трека; разработан метод, создана и внедрена спектрально-акустическая система диагностики материалов и конструкций, развиты научные основы систем виброзащиты машин с использованием инерционности магни-тореологических сред.
Erofeev V. I. doctor of physical and mathematical sciences, director of the Mechanical Engineering Research Institute of the RAS,
professor of the Lobachevskv State University of Nizhnv Novgorod, e-mail: erof.vi@yandex.ru, tel.:+79103843528.
A specialist in the field of wave dynamics of mechanical systems, among the achievements: the stability of the movement of high-speed objects along the rails of a rocket track was investigated;a method has been developed, a spectral-acoustic system for diagnostics of materials and structures has been created and implemented, the scientific foundations of vibration protection systems for machines using the inertia of magnetorheological media have been developed.
Дата, поступления — 03.02.2021
