Математическое моделирование магнитоупругих волн в стержне Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТОУПРУГИХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ

© 2011 г. В.И. Ерофеев1,2, А.О. Мальханов

1 Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 15.10.2010

Изучается формирование различных типов стационарных нелинейных волн в стержне, находящемся во внешнем магнитном поле. Показано, что тип волны зависит от скорости её распространения и от величины внешнего магнитного поля. Построены зависимости характеристик волн от внешнего магнитного поля.

Ключевые слова: магнитное поле, волны в стержнях, магнитоупругость.

Динамические процессы в упругой среде, характеризуемой вектором перемещений и и находящейся во внешнем магнитном поле с вектором напряженности Н, описываются системой уравнений:

нородном стержне согласно модели Бишопа. При этом будем полагать, что внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 перпендикулярно направлению распространения волн (рис. 1).

р д и = (х + ц)grad и + цА и + Еь

дґ2

1

+ —

4п

д Н

дґ

= гої

( ^ ^

гоі Н х Н

V /

д и ^

х Н +

дґ

4ла

-» -А Н.

(1)

Но

У

X

Рис. 1

Здесь X, ц - модули упругости (константы Ламе) второго порядка; р - плотность материала, с - скорость света в вакууме, о - проводимость. Вектор Етл включает в себя слагаемые, обусловленные учетом упругой нелинейности. Подробный вывод уравнений (1) приведен в [1].

Рассмотрим возможность распространения вдоль оси х плоских магнитоупругих волн в од-

Магнитное поле, получающееся в результате взаимодействия с полем деформации, представим в виде:

(2)

где И - малое возмущение магнитного поля.

Во втором приближении, характеризуемом наличием квадратичной нелинейности, система (1) примет вид:

+

2

С

д2их 2 fj баІ дих ^д2их

-V 2 R 2 А

дх

баІ ди E дх

2 Г я 2 д и

дх 2

х _ ^2 д и

дt

2

■с о

дх 2

дИ

І

4rcp c 2

И - и.

дх

дИу

дх

д2И

дt 4гса дх2 дИ

■ = о,

дt

дИ

У + я дИУ дих

у дxдt

= о,

~2 д2И

(3)

дх дt

дt

-л И,

д 2и

х + И

4гса дх2 c2 д2И

= о,

дxдt дх дt 4гса дх2

= о.

Юнга,

и =(их (t)A°) = и(^ =(0,0, К (t)) =

= h(t); И = (о,о, И о л hx (t)) = И о л h(t)

шением:

h = -

Ио^

І л U '

(у2 - c2U - ^U2 -V2R2 V2 - cx2

4^p

E

1 Ио2и 2

2 (іл-U)2

2 d2U 2) ...2

dt

И о2и 1 л U

= D,

где ^ - постоянная интегрирования, которую в дальнейшем без потери общности будем считать равной нулю.

Будем считать упругие деформации малыми. В этом случае два последних слагаемых в (5) могут быть разложены в ряд Тейлора, что позволит привести (5) к уравнению осциллятора с квадратичной нелинейностью:

^ ................. (6)

dt2

-л aU л bU2 = о,

где a = -

222

V - cQ - cA .

v2R2 V2 - cx2) ’

Ъ = -

3Ec a — баї c

2

_ баlСo

2Ev 2 R 2 (v 2- cx2 )

„ ц(3Х + 2ц)

Здесь Е = ^----------- модуль

X + ц

а-1 = Е + 3Х + ^ + 5(1 _ 2у) + С (1 - 6у) - коэффициент упругой нелинейности, Сд - ско-

рость распространения продольной волны, cT = д/ц/Р - скорость распространения сдвиговой волны, V - коэффициент Пуассона, R = ^р - полярный радиус инерции,

Уд = Ц (*2 + хз2 ) dF - полярный момент инерции,

F

И - площадь поперечного сечения стержня, Нх, Ну, Нг - компоненты вектора суммарного магнитного поля (2).

Будем искать решение системы уравнений (3) для продольной компоненты вектора перемещений в классе стационарных волн:

cA ■

\щ_

4^p

- скорость волны Альфвена [2]. По-

дробно о поиске решения уравнения (6) было рассказано в работе [3].

Вид решения (6) определяется знаками параметров а и Ь, которые, в свою очередь, в рассматриваемом случае определяются скоростью искомой стационарной волны. Заметим, что числитель коэффициента Ь положителен, поскольку а! < 0 по определению.

Рассмотрим случай, когда скорость искомой волны меньше скорости поперечной волны,

распространяющейся в стержне, т.е. V < ст. Тогда относительно знаков коэфициентов уравнения (6) заключаем а < 0 , Ь > 0 . В этом случае

на фазовой плоскости

U,-^j точка (- ^ ,о)

является устойчивым состоянием равновесия типа «центр», а точка (0,0) - неустойчивым состоянием равновесия типа «седло» (рис. 2).

где £ = x — Vt, V = const - скорость стационарной волны.

В этом случае возмущенное магнитное поле и упругая деформация U = — связаны соотно-

(4)

которое позволяет свести систему уравнений магнитоупругости (3) к одному уравнению второго порядка для упругих деформаций:

(5)

Рис. 2

Замкнутые траектории на рис. 2 соответствуют периодическим колебаниям, сепара-трисная же траектория отвечает локализованному возмущению (уединенной волне).

Поскольку периодические колебания деформаций и(|) происходят на фоне постоянной

составляющей, то перемещения м(^) будут линейно возрастать. Такие случаи исключим из рас-

х

1

смотрения, поскольку в условиях поставленной

задачи они не реализуются. Здесь возможно существование только локализованной волны, аналитическое выражение для которой имеет вид:

и (§ ) = -

еИ2

(7)

где Ас - амплитуда локализованного возмуще-

ния, Д = I - его ширина. Таким образом,

ЬА.

при значениях скорости

< ст

теоретически

возможно существование уединенной волны -солитона (7), амплитуда и ширина которого зависят от скорости искомой волны, а также от скорости волны Альфвена и, следовательно, от напряженности магнитного поля следующим образом:

Е

( у 2

А = - ■

V со

с2 ^ -СА-1 2 „2 1

с

о

Е^А-2а1

Д = 2vR

У 2 с 2

с0 с0

у 2 2-1 с0

с0

Зависимости А

Гс Л сА

V с0 7

и Д

ГсАЛ

при |У|

< с

представлены на рис. 3 и рис. 4.

0.4 0.1

Рис. 4

При — ^ ж и, как следствие, при Но ^ ж

с0

амплитуда солитона Ас монотонно возрастает, а ширина Д монотонно убывает к нулю.

Рассмотрим случай |У| > ^сА + с0 , т.е. искомая стационарная волна является сверхзвуковой. В этом случае а < 0, Ь < 0 . Тогда на фазовой плоскости | иI точка (- а/ ,0) является

V ' /Ь, '

Ь

устойчивым состоянием равновесия типа «центр», а точка (0,0) - неустойчивым состоянием равновесия типа «седло» (рис. 5).

(8)

Рис. 5

В этом случае, как и в предыдущем, физически допустимо только локализованное возмущение, соответствующее сепаратрисе. Решение, описывающее уединенные волны, представляется в виде солитона отрицательной полярности:

и (£ ) = --

А„

еИ2

2 (1 д

(9)

где Ас - амплитуда локализованного возмущения, Д = ^- - его ширина. Таким образом,

и при сверхзвуковых значениях скорости У >^а + с1 теоретически возможно существование солитона (9), амплитуда и ширина которого зависят от скорости стационарной волны и скорости волны Альфвена и, как следствие, от напряженности магнитного поля следующим образом:

Е

( у 2

А =-

с2 ^

- сА -1 2 2

V с0 с0 7

„2

Д = 2vR

Е% - 2а1

с п

СЧ с Н 2

со с2

1 2-‘ с0

с0

. (10)

с

2

с

0

V с0 7

Зависимости А,

с А и А с А

О 0 у О 0

при

У| >7СА + °о представленої на рис. 6 и рис. 7.

Рис. 6

Рис. 7

конечности при

£А с0

і

точка

(0,0)

равновесия типа «центр», а точка (- ^ ,о) - неустойчивым состоянием равновесия типа «седло» (рис. 8).

В данном случае существуют периодические колебания, соответствующие замкнутым траекториям, а локализованное возмущение, соответствующее сепаратрисе, имеет постоянную составляющую и, согласно сказанному выше, нами не рассматривается.

Амплитуда солитона А монотонно убывает до нуля, а ширина А монотонно растет к бес-

V 2

-г- -1 . В данном слу-

с0

Рис. 8

Решение, описывающее периодические нелинейные волны, имеет вид:

и (0 = - 4 ^4-^ + АП •*), (11)

5 К (5)

здесь А - амплитуда колебаний; 5 - модуль эллиптической функции, определяющий степень искажения формы колебания и(^) по сравне-

“ , I ЬА

нию с синусоидальной; к —-------- - аналог

V 652

частоты; К (О Е (5) - полные эллиптические

интегралы первого и второго рода. Колебания (11) являются периодическими с простран-

^-£4^(5 )■

Зависимости длины волны Л и амплитуды А стационарной волны от скорости её распространения и скорости волны Альфвена, а значит, и от напряженности магнитного поля имеют вид:

ственным периодом Л = -

Е

чае сверхзвуковая нелинейная волна демонстрирует «аномальное» поведение - уменьшение амплитуды и рост длины волны (ширины солитона) при увеличении скорости волны Альфвена и, как следствие, при увеличении напряженности внешнего магнитного поля.

И, наконец, рассмотрим последний случай,

когда сх < V < Vсо + СА . В этом случае а > 0 , Ь < 0. Тогда на фазовой плоскости \и,^и

Ас =

< у° с0

А

с0

\

—1

Е—А — 2а 1 с0

N (в),

Л =

У

2

с,

0

С у2

с2 ^ — СА — 1 2 2 V с0 с0 у

N (в)

-вК (в ), (12)

гДе N (в ) =

является устойчивым состоянием

л/і —

2

На рис. 9 и рис. 10 представлен общий вид зависимостей Лп

сА и Л сА

1 с0 ) 1 с0 )

при

ст <

V <■/

с0 + сА ■

При —Л ^ ж и, как следствие, при И0 ^ ж

с0

амплитуда периодической волны монотонно растет к фиксированному значению, определяемому коэффициентом нелинейных искажений Л = N ^, а длина волны Л стремится к нулю.

На рис. 11 и рис. 12 эти зависимости изображены для различных значений коэффициента нелинейных искажений.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-

ваний (гранты № 09-08-00188; № 08-08-97057-р_поволжье)

Список литературы

1. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ, 1999. 328 с.

2. Селезов И.Т., Корсунский С.В. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. Киев: Наукова думка, 1991. 200 с.

3. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 208 с.

4. Вибрации в технике: Справочник. В 6 т. / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.). Колебания линейных систем. Т.1 / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1999. 504 с.

5. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

6. Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии / Под ред. А.А. Углова. М.: Наука. 1989.

MATHEMATICAL MODELING OF MAGNETOELASTIC WAVES IN A ROD

V.I. Erofeev, A.O. Malkhanov

The formation of different types of stationary nonlinear waves in a rod placed in an external magnetic field has been studied. It has been shown that the wave type depends on its propagation velocity and on the value of the external magnetic field. Dependences of wave characteristics on the external magnetic field have been found.

Keywords: magnetic field, waves in rods, magnetoelasticity.