CC BY
70
УДК 539.3
В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов
Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Нижний Новгород, Россия
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛНЫ
Системы динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации. Продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн (уединенные волны деформации в стержне; двумерные квазипло-ские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде).
Ключевые слова: магнитоупругость, волна, нелинейность, локализация.
V.I. Erofeyev, A.O. Malkhanov
A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute,
Russian Academy of Sciences, Nizhny Novgorod, Russia
NONLINEAR LOCALIZED MAGNETOELASTIC WAVES
System dynamic equations magnetoelasticity for rods, plates and elastic three-dimensional environment are to evolution equations with respect to the longitudinal strain. Demonstrated the possibility of the formation of intense space-localized magnetoelastic waves (solitary waves of strain in the rod; quasiplanar dimensional wave beams in a plate, three-dimensional quasiplanar wave beams in an elastic conductive medium).
Keywords: magnetoelasticity, wave, nonlinearity, localization.
Современные проблемы науки и техники стимулируют создание и развитие теории сопряженных полей различной физической природы. Одной из интенсивно развивающихся областей этой теории является электромагнитоупругость, изучающая взаимодействие механических и электромагнитных полей в материалах и конструкциях. Теория электромагнитоупругого взаимодействия развивается сегодня по нескольким направлениям. Основные из них:
1) магнитоупругость (и магнитотермоупругость) электропроводящих неферромагнитных тел в постоянном внешнем магнитном поле [1, 2];
2) магнитоупругость магнитоактивных, в том числе пьезомагнитных, ферромагнитных и магнитострикционных сред [3, 4];
3) электроупругость пьезоэлектрических и электрострикционных сред [5, 6].
Результаты, о которых речь пойдет в данной статье, получены в рамках первого из упомянутых выше направлений. Здесь предполагается, что упругое деформируемое электропроводящее тело находится в начальном постоянном магнитном поле и электромагнитное взаимодействие между телом и полем осуществляется посредством пондеро-моторных сил Лоренца, входящих в уравнения движения упругой среды, и обобщенного закона Ома для материальной частицы, движущейся в магнитном поле.
Системы динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации. Продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн (уединенные волны деформации в стержне; двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде).
1. Математические модели
При выводе системы уравнений магнитоупругости предполагается, что упругое деформируемое электропроводящее тело находится в начальном постоянном магнитном поле и электромагнитное взаимодействие между телом и полем осуществляется посредством пондеро-моторных сил Лоренца. Токами смещения пренебрегается. Считается, что свободные электрические заряды отсутствуют.
Таким образом, уравнения магнитоупругости имеют вид
д2 и и и и 1 Г и
Р------^ + М) ёГа^ М + ЦД М + Е нел н-------------------------
д г 4я
го1 Н х Н
V У
дН
-----= го1
д г
ди и
хН
дг
с2 и +—Д Н. 4яо
(1.1)
Здесь и - вектор перемещений; X, ц - модули упругости (константы Ламе) второго порядка; р - плотность материала; Н - напряженность
магнитного поля; а - проводимость; с - скорость света в вакууме. Вектор Енел включает в себя слагаемые, обусловленные учетом упругой нелинейности.
Для однородной нелинейно-упругой пластины, находящейся во внешнем магнитном поле, система уравнений магнитоупругости получается из общей системы (1.1) путем применения метода приведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям равновесия или динамики пластин. Этот метод заключается в выражении напряженно-деформированного состояния в произвольной точке тела через новые величины, заданные вдоль срединной поверхности пластины. При этом переход от бесконечного числа степеней свободы
в направлении нормали х ± = (у,г) к конечному числу степеней свободы (конечному числу мод) осуществляется путем аппроксимации смещений многочленами. Она производится, как правило, по степеням поперечных координат, и в качестве малого параметра выступает относительная толщина пластины 2кгк, где к - полутолщина пластины, кг -
нормальная компонента волнового вектора.
Система уравнений магнитоупругости (1.1) для модели, описывающей продольные колебания стержня (в этом случае преобладает продольная компонента вектора перемещений их ) и учитывающей как
кинетическую энергию толщинных колебаний, так и потенциальную энергию сдвиговых деформаций, имеет вид
дг2
х - с2 с0
1+
V
ба1 дих Е дх
д их д
д х2
дх
2 (д2
д их _ с2 д их 2 с
V
дг1
дх
2
+
+-
1
4пр
дИ„
дН дИу
И2^- _ Ну—у дх д х
= 0,
2
с
д2 И
дг 4па дх
= 0,
Н
дг
дН
д2и
х +дИУ дих
2 д2Н
дхдг дх дг 4%а дх
г и д2их
— + Иу----------х
дг дхдг
+
дИ дих
с2 д2И
дх дг 4%а дх
= 0,
= 0.
(1.2)
Здесь V - коэффициент Пуассона, я = /~ полярный радиус инерции’ Л = Ж У2 + 2 2) дР - полярный момент инерции, ¥ - площадь пор
перечного сечения стержня, е = ц(3Х +2ц) - модуль Юнга,
X + ц
Е 3Х С
а1 = — + — + А + В (1 - 2v) + -3(1 - бV) - коэффициент упругой нелинейности, с = Е - скорость распространения продольной волны в стержне, 0 V/Р
с = /ц/ - скорость распространения сдвиговой волны в стержне.
т \/Р
2. Локализованные нелинейные магнитоупругие волны в стержне
Предполагается, что суммарное магнитное поле состоит из его постоянного значения и возмущений, появляющихся в результате взаимодействия с полем деформаций:
И = И0п + к, (2.1)
где п - вектор нормали к поверхности стержня, к - малое возмущение магнитного поля.
Полагаем, что внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью И0 направлено под произвольным углом 0 < ф < 2л к направлению распространения продольной волны. Тогда соотношение для вектора перемещений, вектора поправки к магнитному полю и вектора суммарного магнитного поля примет вид
и =(их,0,0), к =(кх, ку, К ) , И = (И0С°8 Ф + кх, ку, И081п Ф + К ) , (2-2)
где кх, ку, к2 - компоненты вектора малого возмущения магнитного поля.
Методом многих масштабов система уравнений магнитоупруго-сти (1.2) сводится к эволюционному уравнению относительно продольной деформации (и)
ди ттди д3и „д2и (23)
аи--------+ р—г— 5—т = 0, (2-3)
дг дх дх дх
где коэффициенты а, р, 8 содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, а коэффициент 8 имеет обратно пропорциональную зависимость еще и от проводимости материала а. Кроме того, коэффициенты зависят от угла ф .
Уравнение (2.3) носит название уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса. Оно имеет решение в виде локализованной волны (кинка):
и - А ехр ( £) весЬ2 ^2^ (х - 2а) о =
352 . а гг „ 4 2
а ----------, А - —, V - 2а, А - —.
25р а ‘ £о
а
3р'
(2.4)
Для конденсированных сред в магнитных полях до 10 Тл скорость волны Альфвена меньше скорости распространения продольной волны [7], поэтому изменение параметров представлено на интервале
,2
- скорость волны Альфвена: величина,
0 < А/ 2 < 1, где сА -
4лр
прямопропорциональная напряженности внешнего постоянного магнитного поля.
Анализ зависимостей параметров кинка от напряженности внешнего магнитного поля показывает, что с увеличением напряженности
внешнего магнитного поля амплитуда и скорость локализованной волны убывают, в то время как ее ширина возрастает (рис. 1).
В результате исследования влияния ориентации внешнего магнитного поля на параметры кинка обнаружено, что амплитуда и скорость принимают максимальное значение, когда внешнее Рис. 1. Зависимость параметров кинка от
напряженности внешнего магнитного поля магнитное поле параллельн° направлению распространения кинка
( ф - 0, л ) и принимает минимальное значение, когда поле перпендику-
лярно направлению распространения волны
_ к Зк
V9' 2’Ту
. Ширина же,
наоборот, принимает максимальное значение, если внешнее поле ортогонально направлению распространения волны и принимает минимальное значение, когда поле сонаправлено с направлением распространения волны.
Если стержень является идеальным проводником, то в эволюционном уравнении (2.3) можно пренебречь слагаемым с коэффициентом 8, поскольку значение проводимости а близко к бесконечности. Эволюция магнитоупругой волны в этом случае будет описываться уравнением Кортевега-де Вриза, допускающим локализованное решение в виде солитона отрицательной полярности:
А
и _-
сИ2
ч
(2.5)
ЗУ
5 _ х - уг, А _ У, А _. а
12Р
' Аа
Исследование влияния магнитного поля на параметры солитона дает следующие результаты: с ростом напряженности амплитуда и ширина солитона возрастает, а его скорость убывает (рис. 2).
Анализ зависимостей параметров солитона от ориентации внешнего магнитного поля показывает, что амплитуда и ширина принимают максимальное значение, когда внешнее магнитное поле перпендикулярно направлению распространения солитона ^ к Зкл ф_
0,65
0,55-
0,45
и принимают ми-
“А, К, А
/А
— А
— К
^ "
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Са/ /с„
Рис. 2. Влияние магнитного поля на параметры солитона
V 2 2 у
нимальное значение, когда поле параллельно направлению распространения волны (ф_ 0, к ). Скорость же наоборот принимает максимальное значение, если внешнее поле параллельно направлению
распространения волны и принимает минимальное значение, когда иоле ортогонально направлению распространения волны.
4. Двумерные и трехмерные локализованные нелинейные магнитоупругие волны
Рассматривается распространение продольной волны в однородной нелинейно-упругой пластине, находящейся во внешнем магнитном поле. Предполагается, что пучок продольных волн распространяется вдоль оси х. Пучок считается ограниченным, слаборасходящимся и близким к плоской волне. Рассматривается область, в которой параметры нелинейности, дисперсии и дифракции имеют одинаковый порядок ( ~ 8) .
Внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 имеет произвольную ориентацию в пространстве, определяемую углами 0<0< л, 0< ф <2л. Вектор перемещений, вектор малого возмущения магнитного поля и вектор суммарного магнитного поля имеют вид
позволяющие привести систему уравнений магнитоупругости в первом приближении по 8 к эволюционному уравнению относительно про-
(3.1)
H = (H0 sin0cosф + hx,H0 sin0sin ф + hy,H0 cos0 + hz), (3.2)
где u, v - проекции вектора перемещений на оси х и у.
Вводятся лучевые координаты
£ _ x — ct; ц _ єx; % _ л/єу
(3.3)
и новые функции
u _ u; v _Vsv;
Hz _Hz;Hx _^єНх;Ну _^Ну,
(3.4)
дольной деформации U _ д
(3.5)
где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, а коэффициент 5, как и ранее, обратно пропорционально зависит еще и от проводимости материала. Все коэффициенты зависят еще от углов 0 и ф.
Уравнение (3.5) соединяет в себе известные модельные уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (получается при р = 0) и Кадом-цева-Петвиашвили (при 5 = 0).
Аналитическое решение уравнения (3.5) имеет вид
25 ар
V V 2
1 5 , 6 53 5Ву к,2 ,
где к0 = —, к2 =--------------------------------------------------т- н-—, к1 - произвольная постоянная, при
0 5 р 2 125 р2 5
,2 6 54 ,
этом к1 >---------3. С помощью (3.6) проанализированы изменения ам-
625 ур3
плитуды и ширины волнового пучка вдоль каждой из координат в зависимости от величины внешнего магнитного поля. Показано, что с ростом напряженности внешнего магнитного поля амплитуда волнового пучка убывает. В то же время ширина пучка вдоль каждой из координатных осей возрастает с увеличением величины магнитного поля, причем вдоль продольной координаты ^ ширина пучка на порядок больше, чем вдоль поперечной % (рис. 3, 4):
Рис. 3. Амплитуда волнового пучка Рис. 4. Ширина пучка
Проанализированы изменения амплитуды А и ширины пучка вдоль каждой из координатных осей в зависимости от ориентации внешнего
2
магнитного поля. На рис. 5 изображена поверхность А , которая представляет собой зависимость амплитуды волны от углов 0 и ф.
Из рисунка видно, что с ростом угла ф на отрезке
0, -2
ампли-
туда волны убывает. При 0 = 0, п она принимает минимальное значе-
-
ние и не зависит от величины угла ф. При 0 = — амплитуда волны при-
нимает максимальное значение. С ростом угла 0 на отрезке
0,-2
ам-
плитуда волны возрастает, а в зависимости от угла ф принимает свое максимальное значение при 0 = 0, п. Амплитуда при ф = П, 3п принимает минимальное значение и не зависит от величины угла 0.
Рис. 5. Зависимость амплитуды волны от углов 0 и ф
Численное моделирование двумерных волновых процессов, описываемых уравнением (3.5), проведено в [8].
Для квазиплоского слаборасходящегося волнового пучка, распространяющегося в трехмерной упругой среде, введены безразмерные переменные
их иу и2
и , V-——, - 2
■ X ' у ' 2 - СІ
х ----,у =——,2 ------,і (3.7)
&Аё &Аё &Аё Аё Ad Аё А^
и лучевые координаты: £, = х - , ц = гх , X = л/ву , С = \[ёг , позволяю-
щие привести систему уравнений магнитоупругости (1.1) в первом
приближении по а к одному скалярному уравнению для осевой деформации и -
д_
0^
0 2и
ди ттзи _
-----ь аи------ь В
0Л 0^ 0^2
+ Ї1
0 2и
0 2и
0 2 + ^2 2 0Х 0С
- 0,
(3.8)
где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, Л - безразмерный масштаб волны, Лd - длина волны, где с - характерная скорость, заранее неизвестная.
Если внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Но имеет произвольную ориентацию в пространстве, которая определяется углами 0 < 0 < п, 0 < ф < 2п, то вектор суммарного магнитного поля в рассматриваемом случае имеет компоненты (3.2), а коэффициенты в (3.8) будут зависеть еще и от углов 0 и ф.
Уравнение (3.8) совпадает с известным в теории нелинейных волн трехмерным уравнением Хохлова-Заболотской-Кузнецова. Решение этого уравнения имеет вид
и - А - БШ
аБ
-------^ +
2р
1
-х +
4у1 V 4у
2арБ
(3.9)
где А, В - произвольные постоянные.
С ростом напряженности внешнего магнитного поля, ширина волнового пучка (3.9) вдоль оси ^ уменьшается, в то время как вдоль координатных осей ^, £ возрастает. Ширина вдоль поперечной координаты % сначала убывает, затем начинает возрастать. Однако в силу ска-
с.
занного выше об интервале изменения величины
практический
интерес представляет только участок, где ширина пучка вдоль оси х убывает. Отметим, что значения ширины волнового пучка вдоль оси на три порядка больше, чем значения ширин волнового пучка вдоль осей х и £, и на шесть порядков больше, чем значения ширины (которую можно рассматривать, как поправку порядка в к ширине вдоль оси £) вдоль оси
2
На (рис. 6, 7) изображены сечения поверхности (ф,0), которая
представляет собой зависимость ширины волнового пучка вдоль оси от углов 0 и ф, плоскостями ф = const и 0 = const.
С ростом угла ф на отрезке
О, -2
ширина волнового пучка вдоль
оси ^ убывает. При 0 = 0, п она принимает минимальное значение и не зависит от величины угла ф. При 0 = п ширина волнового пучка вдоль оси ^ принимает максимальное значение. С ростом угла 0 на отрезке ширина волнового пучка вдоль оси ^ возрастает, а в зависимо-
О, -2
сти от угла ф принимает свое максимальное значение при ф = 0, п. Ширина пучка вдоль оси ^ при ф = П, 3^ принимает минимальное значение и не зависит от величины угла 0.
Рис. 6. Зависимость ширины волнового Рис. 7. Зависимость ширины волнового
пучка вдоль оси от угла 0 пучка вдоль оси от угла ф
Зависимости ширин волнового пучка вдоль остальных координатных осей от ориентации магнитного поля качественно похожи на рассмотренные выше, с той лишь разницей, что значения углов, при которых ширины принимают минимальные и максимальные значения, могут не совпадать с этими значениями для ширины волнового пучка вдоль оси
Следует отметить, что в отличие от стержня для пластины и упругой среды относительная степень влияния ориентации магнитного поля к его напряженности существенно больше.
Более подробно содержание публикуемой работы изложено в статьях [11-15].
Работа выполнялась при поддержке РФФИ (грант № 09-08-00188).
Библиографический список
1. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнито-упругость тонких оболочек и пластин. - М.: Наука, 1977. - 272 с.
2. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Электромагнитоупругие волны. Ереван: Изд-во Ереван. гос. ун-та, 2006. - 492 с.
3. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. -М.: Мир, 1986. - 160 с.
4. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. - М.: Мир, 1991. - 560 с.
5. Tzou H.S. Piezoelectric Shells. - Dordrecht: Kluwer, 1993. - 480 p.
6. Rogacheva N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells. -Boca Raton: CRC Press, 1994. - 260 p.
7. Селезов И.Т., Корсунский С.В. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. - Киев: Наукова думка, 1991. - 200 с.
8. Нелинейные локализованные продольные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем / В.И. Ерофеев, А.И. Земля -нухин, В.М. Катсон, А.О. Мальханов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т. 3, № 4. - С. 5-15.
References
1. Ambarcumjan S.A., Bagdasarjan G.E., Belubekjan M.V. Magnitou-prugost of thin covers and plates [Magnitouprugost' tonkih obolochek i plastin]. Moskow: Nauka, 1977. - 272 p.
2. Bagdasarjan G.E., Danojan Z.N. elektromagnitouprugie of a wave [Jelektromagnitouprugie volny]. Erevan: Izd-vo EGU, 2006. - 492 p.
3. Novackij V. Electromagnetic effects in firm bodies [Jelektromag-nitnyejeffekty v tverdyh telah]. Moskow: Mir, 1986. - 160 p.
4. Mozhen Zh. Mehanika of electromagnetic continuous environments [Mehanika jelektromagnitnyh sploshnyh sred]. Moskow: Mir, 1991. - 560 p.
5. Tzou H.S. Piezoelectric Shells. Dordrecht: Kluwer, 1993. - 480 p.
6. Rogacheva N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells. Boca Raton: CRC Press, 1994. - 260 p.
7. Selezov I.T., Korsunskij S.V. Non-stationary and nonlinear waves in electrospending environments [Nestacionarnye i nelinejnye volny v jelek-troprovodjawih sredah]. Kiev: Naukova dumka, 1991. - 200 p.
8. Erofeev V.I., Zemljanuhin A.I., Katson V.M., Mal’hanov A.O. Nonlinear the localized longitudinal waves in a plate cooperating with a magnetic field [Nelinejnye lokalizovannye prodol'nye volny v plastine, vzaimodejstvujuwej s magnitnym polem]. Vychislitel'naja mehanika splosh-nyh sred, 2010. - Vol. 3, No. 4. - P. 5-15.
Об авторах
Ерофеев Владимир Иванович (Нижний Новгород, Россия) -доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора по научной работе Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (603024, г. Нижний Новгород, ул. Белинского, д.85, e-mail: [email protected]).
Мальханов Алексей Олегович (Нижний Новгород, Россия) -кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (603024, г. Нижний Новгород, ул. Белинского, д.85, e-mail: [email protected]).
About the authors
Yerofeev Vladimir Ivanovich (Nizhny Novgorod, Russia) - Doctor of physical and mathematical sciences, professor, deputy director on scientific work of A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute, RAS (603024, 85, Belinsky’s street, Nizhny Novgorod, e-mail: [email protected]).
Malhanov Alexey Olegovich (Nizhny Novgorod, Russia) - Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant of A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute, RAS (603024, 85, Belinsky’s street, Nizhny Novgorod, e-mail: [email protected]).
Получено 3.06.2011
