CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 40
www.mai.ru/science/trudv/
УДК 539.3
Локализация волны деформации в нелинейно-упругой
проводящей среде
В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов, А.Н. Морозов
Аннотация
Изучается влияние магнитного поля на формирование локализованной волны в нелинейно-упругой проводящей среде. Получено эволюционное уравнение для описания распространения волнового пучка в среде, совпадающее с известным в теории нелинейных волн уравнением Хохлова-Заболоцкой-Кузнецова. Проанализированы зависимости параметров волнового пучка от величины внешнего магнитного поля.
Ключевые слова
магнитное поле, нелинейно-упругая среда, магнитоупругость.
Рассмотрим распространение продольного волнового пучка в однородной, нелинейно-упругой проводящей среде, находящейся во внешнем магнитном поле. Система уравнений магнитоупругости имеет вид:
д2 и
Р—^ = ( X + л
д Н — д и
-= О -
Ы дт
4л
( - -Л
гоГ Нх Н
V
■х Н
+ -
4л • а
■А Н.
(1)
Здесь и - вектор перемещений; Ц - модули упругости (константы Ламе) второго порядка; Р - плотность материала; Н - напряженность магнитного поля, о -
нел
2
С
проводимость, С - скорость света в вакууме. Вектор ¥ нел включает в себя слагаемые, обусловленные учетом упругой нелинейности.
Суммарное магнитное поле состоит из его постоянного значения и возмущений, появляющихся в результате взаимодействия с полем деформаций
Н = Н0 п + И,
(2)
где п - вектор нормали, И - малое возмущение магнитного поля.
Сначала рассмотрим случай, когда внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 перпендикулярно направлению распространения волн. Для трехмерной упругой среды имеем:
={ux,uy, ) И=(К К К) Н=(К К Н0 + к)
систему (1) расписать через
и
Если получим:
компоненты
д2их 2 д2их 2 х- - с 2 —^ - ст
д г2
'' дх5
ду2
2
д22
Л + е
2
Р
д2 и.
Л
• + •
1
4пр
2 и.
(Но + ^1-и ГдИу дИ '
д2 дх
дхду дхд2 = 0,
д г2
с2 у - с2 дх2 Ст
( д2 и
д z
V
^+ д2иу^
дх
дх ду
Л + и( д2 иг д2 и 1 ^ +
Р
дyдz дудх
- ¥
4пр
( дИу дИх
дх ду
- (Н 0 + И,)
д И, дИу 1
д2и
дz
± - с2
2 т
(д2 и
дх2
ду2
ду дz
Л + е
-1 4пр ( Иу \
дИх - д
дг ду
дИу д
дг д z
дИг ' д
дг дх
есь с1 = л
дИ
ду дz
дИу 1 (д И д И - Их
дz дх
Р = 0
= 0, д2и д2иу
+
(
Иу ^
у дг
- Иу
ди у 1 у
дг
1 -(Н 0 +И- ),
V
( ди у ди
(Н 0 + И, - И
ди
дzдх дzдy
ди
-
с2 (д2 И. д2 И. д2 И
4пт
21 х
дх2
ду2
д z2
= 0,
д г
д и 2
~дГ
дг
. дих
дг
дх
ду
ди х ди у 1
Иу х - И
у дг
дг
^2 (д2Иу д2Иу д2к 1
ди
у - Иу
дг у дг
4пт
ди 1
дх2
ду2
д z2
= 0,
(3) (3),
(4)
22
4пт
д2И, д2И, д2 И
2
Зд
дх2
+
ду2
+
д z2
= 0.
Л + 2е
Р
с =
скорость распространения продольной волны, т
Р
скорость
распространения сдвиговой волны.
д2
и
+
1
И
х
д2
д2
и
г
+
+
+
д
г
+
+
д
х
Рассмотрим распространение вдоль оси х пучка продольных волн. Предполагаем его ограниченным, слаборасходящимся и близким к плоской волне. Будем рассматривать область, в которой параметры нелинейности, дисперсии и дифракции имеют одинаковый
порядок . Перейдем в системе (4) к безразмерным перменным:
u = ■
, v =
sAd sAd
uy uz
, w = ■
sAd z
' X ' y ' z ' clt
x =-, y , z =-, t =
Ad Ad Ad Ad
Здесь Л - безразмерный масштаб волны ( Ad - длина волны ). Введем лучевые координаты:
(5)
% = x - ct ,n = sx , X = 4Sy,Z = 4Sz,
(6)
где c - характерная скорость, заранее неизвестная. Выбор лучевых переменных в виде (6) отражает то факт, что в силу нелинейности, дисперсии и дифракционной расходимости
величины u, v, w изменяются как вдоль направления распространения пучка (~ 8), так и поперек (~ V8).
Подставим (5) и (6) в систему (4), сохраняя при этом члены с 8 в степени, не выше первой. Тогда система уравнений магнитоупругости (4) сведется к одному скалярному
уранению для осевой деформации д^ , описывающее эволюцию волнового пучка [2]:
А
dU TT3U пд 2U + aU-+ в
дп
д?
д 2U д 2U Л + Yi—~т + Y-- = 0
дХ
дС'
(7)
где
Г 5 + g + Ъ-A )
c,
а = -
i - 4
c
4п ■ acf
i+4
■>Ух =
E C
1 ^ VA
1 —i--г
А + ¡Л Cj
c
2 Y
1 - s,
л E cA
1 +--A
А + ¡Л Cj
2
'72 =-
1 -4 1 + E CA
2
А + ¡Л c
2
i У
4
2 , „2
2 A + 6 B + 2C
c = лfc; + cA,g =-2-;A'B,C
PC2
E = ¡(31 + 2 Л) - константы Ландау, ^ — : - модуль
А + Л
Юнга, cA =
H
0 4жр - скорость волны Альфвена [1].
2
2
1
c
c
Уравнение (7) совпадает с известным в теории нелинейных волн уравнением Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова. Решение, описываемое этим уравнением, имеет вид:
и = А - ВгИ
аВ
2 в М
Х + .
4/1 \
4у
1 „ 2в2 +а3 АВ2 С+ „ —П
2авВ
(8)
где
А, В -
произвольные постоянные. Рассмотрим решение уравнения Хохлова - Заболоцкой - Кузнецова при А = 2, В = 1 и проследим изменение ширины пучка вдоль каждой из координат в зависимости от величины внешнего магнитного поля. С учетом выбранных произвольных постоянных, выражения для ширины пучка вдоль осей имеет вид:
2 в
ав
^ а 'Ап 'в2 + а"
"А = = 2у[у2 .
(9)
Для конденсированных сред в магнитных полях до 10 Тл скорость волны Альфвена меньше скорости распространения продольной волны [2], поэтому изменение
параметров представлено на интервале 0 < Са/ < 1. Практический же интерес представляют
значения параметров на интервале 0 < у < 0.3.
На Рис. 1 представлено изменение ширины пучка вдоль оси ^ (бегущая
координата):
Рис.1
Из рисунка видно, что с ростом величины внешнего магнитного поля ширина волнового пучка уменьшается.
На Рис. 2 представлена зависимость ширины пучка вдоль оси Л (поправка порядка Б к продольной координате):
1
Рис. 2
Из рисунка видно, что с ростом величины внешнего магнитного поля к ширине вдоль продольной оси практически не изменяется.
На Рис. 3 представлена зависимость ширины пучка вдоль оси X (поперечная координата):
Рис. 3
Из рисунка видно, что с ростом величины внешнего магнитного поля ширина вдоль поперечной координаты X сначала убывает, затем начинает возрастать. Однако, в силу
с,/ -
сказанного выше о интервале изменения величины ус , практический интерес
представляет только участок, где ширина пучка вдоль оси X убывает.
На Рис. 4 представлена зависимость ширины пучка вдоль оси С (поперечная координата):
2.8-
2.0
3.2-
2.4
0 0.2 0.4 0.6
0.8
Рис. 4
Из рисунка видно, что с ростом величины внешнего магнитного поля ширина волнового пучка вдоль второй поперечной оси возрастает.
Заметим, что влияние магнитного поля на локализацию одномерных нелинейных волн деформации рассматривалось ранее в [3, 4].
Работа выполнялась при поддержке РФФИ (гранты № 09-08-00827; № 09-08-00188; № 08-08-97057-р_поволжье).
Рекомендовано к публикации программным комитетом XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.
Библиографический список
1. Селезов И.Т., Корсунский С.В. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. Киев: Наукова думка, 1991. 200 с.
2. Физико-химические процессы обработки материалов концентрированными потоками энергии / Под ред. Углова А. А. М.: Наука. 1989.
3. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Влияние магнитного поля на локализацию волны деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 1. С.95-100.
4. Мальханов А.О., Ерофеев В.И. Магнитоупругая волна Римана в стержне // Нелинейный мир. 2009. Т.7, № 12. С.943-946.
Сведения об авторах
Владимир Иванович Ерофеев, заместитель директора по научной работе Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова, д.ф.-м.н.,профессор, 603024, Нижний Новгород, ул. Белинского, 85, (831) 432-05-76, erf04@sinn.ru Алексей Олегович Мальханов , аспирант Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, alexey.malkhanov@gmail.com
Морозов Андрей Николаевич заведующий кафедрой Московского государственного технический университета им. Н.Э. Баумана, д.ф.-м.н., профессор, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5, (495) 263-63-52, amor@mx.bmstu.ru
