ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В СООСНЫХ УПРУГИХ ОБОЛОЧКАХ С УЧЕТОМ КОНСТРУКЦИОННОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ И С ЖИДКОСТЬЮ ВНУТРИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 117 http://trudymai. ru/

УДК 539.3 DOI: 10.34759/trd-2021-117-04

Продольные волны в соосных упругих оболочках с учетом конструкционного демпфирования и с жидкостью внутри

Блинков Ю.А.1*, Иванов С.В.1**, Могилевич Л.И.2***, Попов В.С.23****, Попова Е.В.1.....

1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия 2Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., ул. Политехническая, 77, Саратов, 410054, Россия 3Институт проблем точной механики и управления РАН, ул. Рабочая, 24, Саратов, 410028, Россия *e-mail: blinkovua@gmail. com **e-mail: evilgraywolf@,gmail.com ***e-mail: mogilevichli@gmail.com e-mail: vic pmbk.ru *****e-mail: elizaveta.popova.97@bk.ru

Статья поступила 02.03.2021

Аннотация

В данной статье исследуются продольные волны деформации в соосных упругих оболочках с мягкой кубической нелинейностью, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, как между ними, так и во внутренней оболочке. Учтено влияние, конструкционного демпфирования материала оболочек как в продольном, так и в нормальном направлениях и окружающей внешнюю оболочку среды на амплитуду и скорость волны. При этом необходимо использовать численные методы. В данной работе получена математическая модель в виде системы уравнений, которая исследуется численно с помощью разностной схемы Кранка-

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьир://1гиёута1. ги/

Николсона. При отсутствии влияния жидкости внутри оболочки, конструкционного

демпфирования в продольном направлении и окружающей упругой среды, скорости

и амплитуды волн, имеющихся в оболочках, не меняются. Движение происходит в

отрицательном направлении оси абсцисс. Это означает, что найденная нелинейная

добавка к скоростям волн в линейном приближении (скорости звука) уменьшает

скорости волн и они становятся дозвуковыми. Результат вычислительного

эксперимента в этом случае совпадает с точным решением, следовательно,

разностная схема и система обобщенных модифицированных уравнений Кортевега -

де Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б) адекватны. Наличие влияния инерции движения

жидкости во внутренней оболочке приводит к уменьшению скорости волн

деформации, а наличие окружающей внешнюю оболочку упругой среды приводят к

увеличению скорости. Вязкостное напряжение жидкости во внутренней оболочке и

конструкционное демпфирование материала оболочек в продольном направлении

приводят к уменьшению амплитуд волн. Конструкционное демпфирование в

нормальном направлении увеличивает амплитуду волны на постоянную величину

волну и уменьшает ее скорость.

Ключевые слова: волны деформаций, упругие соосные цилиндрические оболочки, вычислительный эксперимент, вязкая несжимаемая жидкость.

Введение

Изучение вопросов связанных с распространением волн в сплошных средах и упругих элементах конструкций широко применяется во многих технических областях. Например, в [1] проведено изучение особенностей волнового процесса в

стержне, материал которого имеет поврежденность, при распространении в нем

продольных упругих волн. Эволюция нестационарных возмущений от поверхности

шара, внутри которого находится псевдоконтинуумом Коссера, в осесимметричной

постановке рассмотрена в [2]. Задача о распространения продольного волнового

пучка в однородной, нелинейно-упругой проводящей среде, находящейся во

внешнем магнитном поле поставлена и решена в [3]. В [4-7] проводится

исследование поведения волн деформации в упругих, вязкоупругих и нелинейных

вязкоупругих оболочках, однако случаи взаимодействия оболочек с вязкой

несжимаемой жидкостью в этих работах не рассматривается. В [8-12] исследуются

случаи, когда упругие тонкостенные конструкции взаимодействуют с вязкой

несжимаемой жидкостью, но при этом не учитываются волновые явления, влияние

локальных членов инерции также не учитывается.

В данной статье проводится исследование волнового процесса, протекающего в двух бесконечно длинных соосных цилиндрических оболочках с мягкой кубической нелинейностью. При помощи метода возмущений по малому параметру задачи строится математическая модель. Полученная в данной работе модель отличается от уже известных тем, что в ней учитывается наличие вязкой несжимаемой жидкости между оболочками и во внутренней оболочке, влияние конструкционного демпфирования оболочек в продольном, и в нормальном направлениях, а также наличие упругой среды окружающей внешнюю оболочку. Эти модели получены в виде системы обобщенных модифицированных уравнений Кортевега - де Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б). Выявлены эффекты влияния

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьир://1гиёута1. ги/

окружающей внешнюю оболочку среды и конструкционного демпфирования как в

продольном, так и в нормальном направлениях.

Построенная в данной работе математическая модель исследуется с помощью

разностной схемы Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности.

Основные определения и соотношения

Компоненты тензора напряжений их, а@ связаны компонентами тензора

деформаций ех, а& и квадратом интенсивности деформаций 8и, согласно деформационной теории пластичности А. А. Илюшина [13,14], соотношениями (1) [15,16].

^ = ^ 8 (1 -т ^)2) ^=^ 8(1 -т ^)2 ] (1)

8(02 = 4 А (л)2 + 8(02 ) ,, 8)80) ) ,, =

8 и = ТДА 8* + 8® }А28х 8 в / А =

1 + Ао (2а -1)1 А Г, 2а0 (2а0 -1)

1 +--;-т^ , А = 1--:-"-

(1 -Ао )2

(1 -Ао )2

Здесь а - коэффициент Пуассона материала оболочки, т - константа материала, получаемая из опытов на сжатие или растяжение, Е - модуль Юнга. Рассмотрим осесимметричные соосные цилиндрические оболочки. Обозначим: Я1 - радиус внутренней поверхности внешней оболочки; Я2 - радиус внешней поверхности внутренней оболочки; Я3 - радиус внутренней поверхности внутренней оболчки; Я() - радиусы срединных поверхностей; Ц¡°- толщины оболочки; и® - продольное упругое перемещение; ^ - прогиб, направленный к центру кривизны (¡=1 для внешней, ¡=2 для внутренней оболочек). Связь компонент деформаций с упругими перемещениями представим в виде [17]

ди{1) 1 -+ —

дх 2

V

дШ) дх

л2

2

дШ") ¿0 2 '

Ш)

дх2

К

(')

(2)

Здесь продольная координата на срединной поверхности обозначена через х, а

нормальная координата в оболочке через 2, при этом

( №

к

(') л

Квадрат

интенсивности деформаций запишем в виде

)2 = н

ди(г) 1 -+ —

дх 2

( дШ(° л

2Л

V

дх

2Ш(Г)

д 2Ш

- 2-

Ш

К

('')

ди(1) 1 -+ —

дх 2

( дШ (° л

V

дх

- 2-

дх2 д 2Ш('')

+ -

Ш

(' )2

К

(')2

к

(3)

дх2

Определим усилия в срединной поверхности оболочки и момент по следующим формулам

Мх) = /о* ^,

МЦ) =

О*'

2

Мхг) = ¡а?) 2ё2

(4)

к?

2

2

2

2

2

ь

Ь

ь

ь

2

2

Подставляя (1) - (3) в (4) находим

М (о = Е01/дШ +1

1 -н

дх

2

дШ

а) Л

V дх У

Ш

(')

Но К ('')

4 да

9 Е

ди(1) 1 + —

2

дх

дШ

(о Л

V

дх

н

Ш

0 К(')

н

ди(1) 1 -+ —

дх 2

( дШ('') Л

дх

Л2

V

+

( Ш (') Л2

К (')

(

ди(') 1 -+ —

дх 2

( дШ(') Л

дх

2

V

Ж'

(')

К

('')

+

к

N) =

+ -

12

1 -но2

(')2 Г д2Ш('') Л2

V дх у

3Н

ди

дх 2

( дШ(') Л

2

дх

У

+

(Нг -ННо )

Ш'

('')

У

Я

(')

Но

ди(0 1 (дШ(') Л + —

дх

2

V дх у

Ш(') - 4 да К (0 9 Е

Но

(ди(0 1 (дШ(') ЛЛ

дх 2

дх

(5)

2

2

1

2

Ж

(О

К

о)

М

(

ди (° 1 (дЖ(г) Л + —

Л2

дх 2

+ -

к(г)2 (д 2ж (г) л2

12

дх2

дх

ЗмМо

+

( Ж (г)

Л0) V л У

+ М2

ди(г) 1 ( дЖ(г) -+ —

дх 2

^ ди(г) 1 (дЖ(г) ЛЛ ■ + —

дх 2

V дх У

-(М М2М0)

+

м = __ИГ\ д2»^^ - 4 » х 12(1 -М02) дх2 \ 9 Е

3М1

(г) 1 ( дЖ(г) Л2

+ 2См - М1М0)

ди

(г) 1 ( ЙШ(г) Л

■ + — дх 2

дЖ(

V дх У

Ж

( )

К

( )

+ (М М2М00)

ди(г) 1 -+ —

дх 2 Ж

Л(г)

Vл У

дх

+

(гако Л2

(г)2 (д2ЖО) Л2

^ К + 3-^- М 20 1

V дх У

Уравнения динамики для оболочек запишем также, как и в физически линейной теории

1

д№ ,(0 д2и(г) . , ——=р0 кг ——+е - р0 к

дх 00 дг 2 1 I

Е ди(г) р0 (1 -М02 ) дг

^Хг) + ~х (г -1) - Ж

(г) д(^хг) + ~х (г -1))+, т(г) д(дХг) + ~х (г -1))'

дг

-+и

дх

д2МХг) д -+ —

дх 2 дх

(дЖ( ) Л

дх

N

( )

1

д2Ж( )

+ -(- N(г) =р0 К0(г)

К(г) 0 дг

К

( )

Р0 К

( )

Е дЖ

( )

р0

(1-М02) дг

- +

Кс

к (г)3

+ к К0 К (г)

Е

р0

(ьМО

Ж (2 -г)-

(- 1)г-1 чп + ~ (г -1) - ж

д((- 1)г-1 Чп + ~ (г -1)) + и(г) д((- 1)г-1 дп + ~ (г -1))

дг

-+и

дх

(6)

2

2

К

I

К

где г - время; рр) - плотность материала оболочки; , Чп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения; г, х - цилиндрические координаты; ~х ~п -напряжения со стороны жидкости,находящейся во внутренней оболочке, к - безразмерный коэффициент постели окружающей среды; е1, е2. -безразмерные коэффициенты демпфирования материала оболочки.

Подставляя (5) в (6) получим уравнения в перемещениях

Ек(:) д ди(° 1 ( дШ(') Л

. - + — 1 - н02 дх \ дх 2

дх

Н

Ш(0 - 4 да

0 - 9 Е

ди(0 1 -+ —

дх 2

( дШ (° Л

дх

Ш

( )

Но К('')

н

(д_и^)

дх

- +

+ — 2

,\2

1 (дШ(0 Л2 Л (

V & у

+

Ш

у

ди(0 1 (дШ(0 Л

2

дх

2

V дх у

Ш

( )

К

( )

+ -

2

12

д 2Ш сх2

Зн

(ди(') 1 (дШ(0 Л2 Л

дх 2

дх

+

+(н- нно)

Ш

( )

К

( )

чС + ~ ('' -1) - Ш

,(') д2и(0 1 ,('-) Е ди(0

= ро К, -г" + 5 - Ро ко —Г--

дt2 1 Г0 ^Ро(1 -но2) дГ

о д(д£° + Чх (' -1)) + и(0 д(ч() + ~ (' -1))'

дг

дх

12(1 -но2) дх 2\ дх2

да 4 1---

Е 9

3н

(ди(0 1 (дШ"л л2 ^

- + — дх 2

V дх у

+

+ 2(н2 -нно)

ди(0 1 (дШ(0 Л + —

2

дх 2

V & у

Ш1

( )

К

( )

+ (# -н2но )

( Ш(0 Л2 „к(')2 (д 2Ш(0 Л

^ у

2о 1

дх

V их у

'+ (7)

+ -

ЕК д дШ(0

1 - но дх \ дх

ди (° 1 ( дШ -+ —

дх 2

V дх у

н

Ш(0 да 4

о К(0 Е 9

ди(0 1 ( дШ -+ —

дх 2

V дх у

н

Ш'

(о

о К«

н

(ди(0 1 (дШ(0Л2Л2 (

■ + — дх 2

V дх у

+

Ш

Vл у

(

+ н2

ди (° 1 (дШ(0 Л + —

2

дх 2

дх

Ш

( )

К

( )

+

+ -

к«2 (д2Ш(0 Л2

12

дх2

V их у

Зн:

'ди(0 1 (дШ(0 лл ■ + —

дх 2

V дх у

+ (н -ММ, )

Ш'

( )

К

( )

+

ЕКо° 1

+-^ — ( но

1 -но2 К ( )

ди (° 1 ( дШ(0 Л -+--

дх 2 V дх у

Ш(° - да 4 К(0 Е 9

Г

но

ди (° 1 ( дШ(0 Л -+--

дх 2 V дх у

2

Ш

( )

К

( )

н

(ди^)

дх

+

1

+ — 2

(яш(') л2V (

дШ(;

V & у

дШ

+

Ш

^ у

+ н2

ди1

( ) ( ( ) Л

дх

1

■ + — 2

V

дШ1 дх

2

Ш

( )

К

( )

+

К(')2 (д 2Ш(0 Л2

12

дх2

Знн

(ди(0

дх

+

2Л

дх

-(Ц -н2но }

Ш

К

д 2Ш

дt2

= ро К)) + 5 -^т Ро КР -т-п-

о о 2 КРо(1 -но2) дt

Е дШ(0

+

+ к1-К°зРооК' Ш(2-')-

К

7-П'

Ро (1 -но)

(-1)'-1 Чп + Чп ('' -1) - Ш

(') д((-1)-1 Чп + ~п (' -1)) + ио д((-1)'-1 Чп + ~п (' -1))

дг

+ и (°

Чп + Чп дх

2

2

2

2

К

2

2

2

2

2

2

1

2

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьйр://1хиёуша1. ги/

Асимптотический метод исследования уравнений оболочек с жидкостью

Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Введем следующие

безразмерные параметры и переменные, а также обозначения для исследования

продольных волн в оболочке. За характерную длину I принимаем длину волны.

Характерные значения упругих перемещений обозначим через ит, wm.

Ж(г) = wmu3г), и(г) = ити1(г), х* = -, г * = ^ г, г * = 4т, wm = К0, ит = Щ-. (8)

т 3 ' т 1 ' I ' к(г) ' т 0> т К^) ^ 7

E скорость распространения продольных упругих волн в оболочке.

0 VP(l -Ао ) Положим

^ = 0(1), ¿1 = 0(1), ,1 = O(s), e, = O(s),= s<< 1, ç=O(s), ^ = O(l), E = O(l) (9)

где s - малый параметр задачи.

Введем независимые переменные в виде

£ = x* - ct\ T = st* (10)

где т - медленное время; с - скорость волны.

Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения

и™ = U0 + sU1 +..., u3(0 = u30) + SM3(Í) +... (11)

В переменных (8)-(11), оставляя в уравнениях (7) члены порядка s и отбрасывая члены с более высокими степенями, получим уравнения

wj-u30 = а ^ c2 = 1 (12)

итКг ) 30 ' 0 д£

Таким образом и^ - является произвольной функцией, а безразмерная скорость волны с = (1 - м0 )2. Далее получим систему уравнений в приближении е2 с

Труды МАИ. Выпуск № 117 учетом (12)

Ьйр://1хиёуша1. ги/

2„(0

д2 и

т

Л

д^дг Ее

М1 + "" +М1М0

ди

(г) Л2 д2и(г)

10 + 1 К(г ) "

(г)2 "-^-м2 д4и10)

+ -

е1 1 ди1(0) е2 "02 д3и1(0)

е 2 д£ е 2 д£ 1 /2

+ к

д£ У д£2 е /2

" 1 К01 д 2и10)

(г) Р,Р2

д^

+

"0

е К(г) д£

(2-г) =

2^1 -"02 еи тР 0 К0г) С02

(чхг) + Чх (г -1) )-"0 -у

к д((- 1)г-1 дп + ~п (г -1))

Полученные уравнения есть обобщенные модифицированные уравнения

Кортевега - де Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б) для

ди

(0 10

В уравнениях (13) правые

части при отсутствии жидкости равны нулю, таким образом эти уравнения принимают вид модифицированных уравнений Кортевега-де Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б). Правые части можно получить, решая уравнения гидродинамики.

Исследование напряжений, действующих на оболочку со стороны жидкости,

находящейся внутри Рассмотрим две соосные бесконечно длинные упругие оболочки, заполненные вязкой несжимаемой жидкостью (рис. 1). Ширина щели, занимаемой жидкостью 8 = К - К-.

2

т

/

2

Рис.1. Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьир://1гиёута1. ги/

Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение

неразрывности в цилиндрической системе координат (г, 0, х) в случае

осесимметричного течения [18] записываются в виде:

дУг т/д¥г т_ дУг 1 др ГдX 1 д¥г д2Уг Л г- + У—- + У—- + —— = у г 1 г 1 г г

дг

У дг

-+--- + -

у дг г дг дх г2 J

дг дх р дг

дУх ,т/ дУх , 1 др_,/дУ , 1 дУх , д2УхЛ

+ У—^ + У—^ + —^ = v

дг дх р дх

у дг г дг дх J

(14)

дУ Уг дУх п - + — + —х = 0.

дг г дх

На границе оболочек и жидкости на рис. 1 при г = ^ - Ж(/) выполняются условия прилипания жидкости [18]

У =

ди

(/)

У = -

дЖ

(0

(15)

дг ' г дг

где Уг, Ух - проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; р - давление в жидкости; р - плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости.

Г А ^ Г а Л

Чп = Рггео5 - п(/), пг + РхС™ - п(/)

У J у J

Чх

Р,,Х05

Г а л - п(/), п

+ Р„,еоз

Г а Л - п (/),/

г=д. -Ж (О

,=д. -ж (о

(16)

о дУг ГдУх дУг Л 0 0 дУх

Ргг = -Р + ; Р„ = рVI —х+ —г I; Рхх = -р + х,

дг у дг дх J дх

Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами 16, где пг,

- орты базиса (г, 0, х) цилиндрической системы координат с центром на

геометрической оси, п - нормаль к срединной поверхности /-ой оболочки. Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочки, то можно считать -

п0, /

п = п„ и С08

( А л ( а л

— п, пг = 1, соя — п ,1

v v /

Ьйр://1хиёуша1. ги/ = 0. Напряжения ~х, ~п со стороны жидкости,

которая находится во внутренней оболочке определяется теми же формулами (6), в которых плотность жидкости р, коэффициент кинематической вязкости V .

Кольцевое сечение Введем безразмерные переменные и параметры

С

сп

х

V = ^Уг, Ух = ^ 8Ух, г = Я + 8г\ Г = t, х*=

PVc0 ЯЪ.

8

8 Я

0 г тР + р0,у = ^- = о(1), Л = ^ = о(1)

8

(17)

ъ Ъ 8 Ъ Ъ 8 Я 1 8 8 Я 1

—т = ^-т— = = ^ = Лщ2,- = —^ = щ2

Я2 8 Я2 I 8 Я I I Я I

Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра Л, с учетом (17)

(18)

Р = Р0 + ЯР1 +..., уг = У0 + Л/ +..., Ух = + ЛУХ +...

и, полагая — = 0, — = 0 (нулевое приближение по — - гидродинамическая теория I Я2 I

смазки), получим из (14) уравнение гидродинамики для первых членов разложения

дР

. ~ дУх0 дР0 д2у0 дУ°и дУх0 . ~ 8 8с0 * =0, Яе^+ = —Т2Г+ ^т*т = 0, Re =--0

дг дt дх дг дг дх

из (15) получим граничные условия:

I V

(19)

дП(1) дп(2)

ии3 0 п * 1 0 0 л * п

3 ;ух = 0 где г =1; уг = —-^;ух=0 где г =0

у°= *

г ' х

дt *

С точностью до у, Л из (16) получим

а *

(20)

ч^

™тС0 дУ х*

рv—m-0-—

8 дг

г*=1

г * = 0

, Чп

РЩЬт-Р 0 83

(21)

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьир://1гиёута1. ги/

В [19] задача (19), (20) решалась методом итерации, в результате, найдены

выражения, входящие в правую часть уравнений (13). Учитывая, что = /нищ—^ищ и полагая Я(1) = Я(2) = Я, к((1) = к(2) = к0 в силу малости у, Л для

первого уравнения имеем

- 6Но2

р/ V Г Я

Роко ^

ди

(2) Л

—я^л/Г 10 ^

Но2

Гд 2и « д 2и ® Л

д£2 д£2

(22)

Для второго уравнения имеем

- 6Но

р/ V Г Я Ро ко Ясо8\3;

Гди® ди«^

—

1о *

Но2

Гд 2и® д 2и ,(1) Л

1о

д£2 д^

(23)

3

3

Круговое сечене

Рассматривая круговое сечение, введем безразмерные переменные и

параметры

с,

с,

1

V = ^ V = ^ — ух ;г' = — ' = /у = -X

(24)

рУ^т

Я

( Л

т?3 ^ ' / ' ' т?

Я3 1 \ у1 Я3

Р + ро;—3 = у = О £2 ;Л = ^ = О(е)

Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра

Л с учетом (24)

Р = Р0 + ЛР1 +..., V = у! + ЛУ1 +..., V = У! +Лу1 +...

"> X X

X ""> г г

(25)

и полагая у = о (нулевое приближение по у - гидродинамическая теория сазки) из уравнений (14) для первых членов разложений получим

дР° Я3с0 ду( дР0 дг

1 д

-Л у * -Л * * "Л *

V д/ дх г дг

дУ

о^

дг

** г дг

1 д(г V )+дУх-

дх

= 0

(2б)

г

Труды МАИ. Выпуск № 117 и граничные условия вида

0 дп3 ) 0 птЯ3 дпХ ) *

Уг0 = "^тК Ух0 = т ,3 '* при г =1 (27)

г <-\. * ' х

м

т

.0 Л..0

дt * х м I дt *

г * дУ* = 0, г * ^ = 0 при г' = 0 дг дг

Определим в этих переменных напряжения со стороны жидкости на оболочке. С точностью до Л, у из (16) получаем

~ = Я * Р2 ^

Чх = — Л~-рС01ГТ

Я3с0 дг

, ~п = Р0С02 Р (28)

=Х У Я3С0

В [19] задача (26), (27) решалась методом итерации в результате, найдены

м/

выражения, входящие в правую часть уравнений (13). учитывая, что = А0и,;-

ПтЯ3

при Я3 = Я(2) = Я в силу малости у, Л получаем

~ Я(2) дап V ~ 2 „ г 2и ~ п2 ит диХ? /ОГ1Л

~х — А = — рС) 41 — А [1 — 2 А ]2 ■^Хг — (29)

/ д- Яс0 / д-

— Я РС02Х(1 — а2)[(1 — )А0)2 + 12А02] иг ^

I 6 / д-

Уравнения динамики соосных оболочек

Система уравнений (13) с учетом найденных правых частей (22), (23), (29) становится такой

2*,0) 10

д2 и

т

д-дт Еа

и

А2 (а + АА + АА2,

'ди,11 Л2 д2и,(1)

10

д- ) д-

+

+

а2 а д и

1 Я) АоУ1^ д4иХХ) + __^ — ^0 ,0 + к , 0 0

а 12 2 д- а 2 д- а 2 д- 1 гф—А е К д-

а, 1 ди10

2 я3„0) 10

1 К0 д 2и1(0)

= —6А02

р/

V

Я

р0К ЯС0а\8,

(ди(Х) ди 1(2) Л

д- д-

—я^л/Х 10 у

а2

(д2 и,(Х) д2 иХ2) Л

д— д-

2

/

2

3

2 (2)

д2 и

10

т

д^дт Ее

(

Н + НН + НН,

ди

(2) Л2 д 2и <2)

У

- +

+ -

1 Я2 Но2л/1 -Но2 д\(02) е, 1 ди,(02) £2 Но2 д3и,(02) —-----—+--------

2

= -бНо

е /2

р/ V

Роко Ясое^5

1 /2

д£4 е 2 д£ е 2

Гди 1(2) ди 1(1) Л

10

Но2

Гд2 и д2 и 1(1) Л

д£2 д^

"Т^Т —^ ] У рсо2 4^ [1 - 2Но ]2 ^

2д/1 -Н02 ^^тр0к0 с0 I Яс0 /

|2 ит диш)

Я

1

— рс2-(1 -Но2)[(1 - 2 Но)2 + 12Но2]

/

6

и„ д2и((22 I

/ д£

о _ м

2 п т

(3о)

Можно ввести обозначения и^ = с3ф(1), и® = с3ф(2), п = с^, / = с2т, где

2 р/ Г Я Л V

с2 = 6Но ^ I — I —, С1 = ро кое\° У ОСц

С2е\ —

Я У Но2л/1 -Но2

с2 Ее с1 т

2

V ит У

27!-^ (н

+ Н2Н0 + НН,

Положим

6 2 р/ Г—Л2 о С1. р/ V 2(1 2 )2 1. е11

= 6Но —I - I --Ч ^2= 2(1 - 2Но ) — ; ^4= -- —

р0к0 V0 у / е 10 с2 р0к0 еЯс0 с2 е 2 с2

^3 =

р/ Я {1

Но2

р0к0 /е 12

(1 - 2 Но )2 + 12н

—; ^5 = К С2

Но

1 к0 С1 . _ е2 Н0 С1

е Я с2

> =

е 2 с,,

и получаем систему уравнений

Ф - 6ф(1)2ф« +Ф5КП+Ф -Ф (ф -ф2) )+м(1)+^5Фп(1) -^С = о

ф® - 6ф(2)2ф(2) +фп(ПП +Ф(2) -ф(1) -^1 (ф® ф )+^2ф(2) -^3Фп(2) +^4Ф(2) -^С = 0

(31)

Система уравнений (31) имеет в качестве точного решения при о2 = ст3=0

(отсутствие жидкости во внутренней оболочке) и а4 = а5=0 (отсутствие

2

и

т

/

2

2

1

6

с3 =

конструкционного демпфирования в продольном направлении и окружающей среды) следующее решение в виде кинка на пьедестале

ф(1) = ф()) = ^ + ш\кп +

( а2 Л 2к3 +

6 J

t \

(32)

Из этих формул следует, что скорость волны деформации дозвуковая. Фазовая

скорость волны отрицательна для решения (32) и имеет вид —

( а2 Л 2к2 + а

V 6 J

. В случае

наличия жидкости во внутренней оболочке необходимо численное решение системы уравнений (40). В качестве начального условия ^=0) можно взять, например

ф(1) = 8 + кй{кп} ф(2) = — + кй{к^} 66

(33)

или

ф(1)= а + kth{kn}, ф(2) = 0 6

(34)

Численный эксперимент

Используем разностную схему для уравнений (40), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности [20] для проведения вычислительного эксперемента

и^п+1 — и(,)п 2(ип:: — ип+ь+(ип+1—ип—,)+

--)--:

т 4К

+(и(1) п+)—2и(1) п+: + 2и(1) п+: — и(1) п+))+

+ 4К3 +

+ (и 1+2 — ]+: +]—: — и J—2) + (35)

4К3 ^ }

+

и(1) 7 + и(1) п и(2) п+1 + и(2) п

22

((М(1)п+:—и(1)п+1)+(м(1)п+:—и(1)п—:) (м(2)п;:—и(2)п—1)+(и(2)п+,—м(2)п—,)^

4К 4К

J

+ и(:) п+1 + и(:) п + (и(:) п+: — и(:) п+1) + (и(:) п+1 — и(:) п—:) 0

+ а4----0.

4 2 5 4К

+

и(2)п+1—и^ 2(и<+:—и<+1)+(и<+:—и:)+

--)--+

т 4К

+(и(2) п+)—2и(2) п+: + 2и(2) п+: — и(2) п+))+

+ 4К3 +

/ (2)п 0 (2)п 0 (2)п (2)п \ + (и 1+2 — 2и }-+: + 2и у— — и у—))

4К

и(2) п+1 + и(2)

+

и(2) п+1 + и(2) п и(1) п+1 + и(1) п

22

( (м (2)п+1 — м (2)п+1) + (м (2)п+: — и (2)п—:) (м (1)п+1 — и (1)п+1) + (м (1)п+: — и (1)п—:) ^

+ (а2 +а4 )

4К 4К

J

и (2)п+1 + и(2) п (и(2) п+: — и(2) п+1) + (и(2) п+: — и(2) п—:)

2 3 4К

4К

(и^п+:—и^п—:)+(и^п+: — и^п—:) 0

— а3-;--0.

Вычислительные эксперименты, выполненные в [19] позволили оценить поведение нелинейной волны деформации при наличии вязкой несжимаемой жидкости во внутренней оболочке, а также между внутренней и внешней оболочками с учетом инерции жидкости. Графики численного решения уравнений (31) с начальными условиями (43) или (44) представлены на рисунках 2 - 5.

Рис. 2. а: = 1, а2 = 0.5 , а3 = 0.5, а4 = 0, а5 = 0 , а6 = 1.2, к = 86/6, начальное условие (32).

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьйр://1хиёуша1. ги/

На рисунке 2 показан случай отсутствия конструкционного демпфирования в

продольном направлении и окружающей среды, волна движется влево.

п п

Рис. 3. а1 = 1, а2 = 0.5 , а3 = 0.5, а4 = 0, а5 = 3, а6 = 1.2 ,к = 06/6, начальное условие (32)

На рисунке 3 показан случай отсутствия конструкционного демпфирования в продольном направлении, волна движется вправо, скорость волны увеличина, по сравнению с рисунком 2.

Рис. 4. а1 = 1, а2 = 0.5, а3 = 0.5, а4 = 0.5, а5 = 0, а6 = 1.2, к = 06/6, начальное условие (32)

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьйр://1хиёуша1. ги/

На рисунке 4 показан случай отсутствия окружающей среды, амплитуда

волны падает быстрее, чем на рисунке 2.

Рис. 5. а: = 1, а2 = 0.5, а3 = 0.5, а4 = 0.5, а5 = 3, а6 = 1.2, к = 86/6, начальное условие (33).

На рисунке 5 присутствует конструкционное демпфирование в продольном и нормальном направлении, а также влияние окружающей среды, волны сдвигаются вправо, их скорости увеличены, как на рисунке 3. Наблюдается падение ампплитуды волны и появление волны во внутренней оболочке, затем резкое падение амплитуд в обеих оболочках.

Выводы

Если в начальный момент времени (при t=0) во внешней оболочке присутствует волна деформации с заданной амплитудой, то возмущение передается во внутреннюю не деформированную в начальный момент времени оболочку через слой жидкости, при этом, со временем, падает амплитуда волны во внешней оболочке и, ее скорость снижается.

При этом во внутренней оболочке происходит увеличение амплитуды волны до некоторой величины, а затем наблюдается падение амплитуд волн в обеих

Труды МАИ. Выпуск № 117 http://trudymai. ru/

оболочках. Влияние упругой окружающей внешнюю оболочку среды приводит к

увеличению скорости волны в этой оболочке и, как следствие, к увеличению

скорости волны во внутренней оболочке. Конструкционное демпфирование в

нормальном направлении уменьшает скорость волн и увеличивает амплитуды волн

на постоянную величину, а конструкционное демпфирование в продольном

направлении приводит к дополнительному снижению амплитуд волн, которое

происходило под влиянием вязкого трения жидкости во внутренней оболочке.

Выполнено при поддержке гранта РФФИ 19-01-00014а.

Библиографический список

1. Ерофеев В.И., Морозов А.Н., Никитина Е.А. Учет влияния поврежденности материала на скорость распространения в нем упругой волны // Труды МАИ. 2010. № 40. URL: http://trudymai.ru/published. php?ID=22861

2. Лай Т.Т., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29267

3. Ерофеев В.И., Мальханов А.О., Морозов А.Н. Локализация волны деформации в нелинейно-упругой проводящей среде // Труды МАИ. 2010. № 40. URL: http: //trudymai. ru/published.php?ID=22860

4. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Известия Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3. № 1. С. 52 - 58.

Труды МАИ. Выпуск № 117 Ьйр://1хиёуша1. ги/

5. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны

деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. 2002. Т. 48. № 6. С. 725 - 740.

6. Аршинов Г.А. Дисперсионные волны в нелинейно-вязкоупругих цилиндрических оболочках // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение. 2003. № 3. С. 76 - 80.

7. Доронин А.М., Ерофеев В.И. Трехволновое резонансное взаимодействие в упругопластической среде // Вестник ПНИПУ. Механика. 2015. № 3. С. 52 - 62.

8. Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник ПНИПУ. Механика. 2014. № 3. С. 17 - 35.

9. Лекомцев С.В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. Т. 5. № 2. С. 233 - 243.

10. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. Т. 6. № 1. С. 94 - 102.

11. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

12. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи аэроупругости. - М.: Наука, 1976. - 416 с.

13. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: МГУ, 1990. - 310 с.

Труды МАИ. Выпуск № 117 http://trudymai. ru/

14. Овчаров А.А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно

упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 3. URL: http://www.science-education. ru/ru/article/viewid= 13235

15. Каудерер К. Нелинейная механика. - М.: Издательство иностранной литературы, 1961. - 778 с.

16. Фельдштейн В.А. Упруго пластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе. Волны в неупругих средах: сборник статей. - Кишинев: Изд-во АН МолССР, 1970. С. 199 - 204.

17. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Юрайт, 2018. -439 с.

18. Loitsyanskii L.G. Mechanics of Liquids and Gases, Oxford, Pergamon Press, 1966, 802 p.

19. Mogilevich L., Ivanov S. Longitudinal Waves in Two Coaxial Elastic Shells with Hard Cubic Nonlinearity and Filled with a Viscous Incompressible Fluid // Studies in Systems, Decision and Control, 2021, vol. 337, pp. 14 - 26. DOI: 10.1007/978-3-030-65283-8 2

20. Blinkov Yu.A., Mozzhilkin V.V. Generation of difference schemes for the burgers equation by constructing Grobner bases // Programming and Computer Software, 2006, vol. 32, no. 2, pp. 114 - 117. DOI: 10.1134/S0361768806020095

Longitudinal waves in coaxial elastic shells with account for structural

damping and with fluid inside

Blinkov Y.A.1*, Ivanov S.V.1**, Mogilevich L.I.2***, Popov V.S.23****, Popova E.V.1.....

1Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia 2Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, 77, Politechnicheskaya str., Saratov, 410054, Russia 3Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences, 24, Rabochaya str., Saratov, 410028, Russia *e-mail: blinkovua@gmail. com **e-mail: evilgraywolf@gmail.com ***e-mail: mogilevichli@gmail.com e-mail: vic_p@bk.ru *****e-mail: elizaveta.popova.97@bk.ru

Abstract

This article studies longitudinal deformation waves in coaxial elastic shells with soft cubic nonlinearity, containing a viscous incompressible fluid, both between them and in the inner shell. The structural damping effect of the shell material in both longitudinal and normal directions and the environment surrounding the outer shell on the wave amplitude and speed was accounted for. The article demonstrates that this leads to the need for numerical methods application to study the nonlinear wave process. The numerical study of the model obtained in the course of this work being performed employing a difference scheme for equations similar to the Crank-Nicholson scheme. In the absence of liquid inside the shell, structural damping in the longitudinal direction as well as surrounding elastic medium, the velocity and amplitude of the waves, propagated in the shells, do not change. Computations show that the waves' movement takes place in the introduced

moving coordinates system in the negative direction of the abscissa axis. This means that the found nonlinear addition to the wave velocities in the linear approximation (the speed of sound) decreases the waves velocities and they become subsonic. The result of the computational experiment in this case coincides with the exact solution; therefore, the difference scheme and the system of generalized modified Korteweg - de Vries - Burgers (MCdV-B) equations proposed in this work are adequate. At accounting for the impact of inertia of the liquid motion in the inner shell, a velocity decrease of the deformation waves occurs, while the presence of the elastic medium surrounding the outer shell leads to their velocity increase. The liquid viscous stress in the inner shell and structural damping of the shells' material in the longitudinal direction leads to the waves amplitudes decrease. Structural damping in the normal direction increases the wave amplitude by a constant value and decreases its velocity.

Keywords: non-linear waves; elastic cylindrical shells; viscous incompressible fluid; Crank-Nicholson difference scheme.

References

1. Erofeev V.I., Morozov A.N., Nikitina E.A. Trudy MAI, 2010, no. 40. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=22861

2. Lai T.T., Tarlakovskii D.V. Trudy MAI, 2012, no. 53. URL: http: //trudymai. ru/eng/published.php?ID=29267

3. Erofeev V.I., Mal'khanov A.O., Morozov A.N. Trudy MAI, 2010, no. 40. URL: http: //trudymai. ru/eng/published. php?ID=22860

4. Zemlyanukhin A.I., Mogilevich L.I. Izvestiya Vuzov. Prikladnaya nelineinaya dinamika, 1995, vol. 3, no. 1, pp. 52 - 58.

5. Erofeev V.I., Klyueva N.V. Akusticheskii zhurnal, 2002, vol. 48, no. 6, pp. 725 - 740.

6. Arshinov G.A. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Tekhnicheskie nauki. Prilozhenie, 2003, no. 3, pp. 76 - 80.

7. Doronin A.M., Erofeev V.I. VestnikPNIPU. Mekhanika, 2015, no. 3, pp. 52 - 62.

8. Ageev R.V., Kuznetsova E.L., Kulikov N.I., Mogilevich L.I., Popov V.S. Vestnik PNIPU. Mekhanika, 2014, no. 3, pp. 17 - 35.

9. Lekomtsev S.V. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred, 2012, vol. 5, no. 2, pp. 233 - 243.

10. Bochkarev S.A., Matveenko V.P. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred, 2013, vol. 6, no. 1, pp. 94 - 102.

11. Vol'mir A.S. Obolochki v potoke zhidkosti i gaza: zadachi gidrouprugosti (Shells in liquid and gas flow: hydroelasticity problems), Moscow, Nauka, 1979, 320 p.

12. Vol'mir A.S. Obolochki v potoke zhidkosti i gaza: zadachi aerouprugosti (Shells in the flow of liquid and gas: problems of aeroelasticity), Moscow, Nauka, 1976, 416 p.

13. Il'yushin A.A. Mekhanika sploshnoi sredy (Continuum mechanics), Moscow, MGU, 1990, 310 p.

14. Ovcharov A.A., Brylev I.S. Sovremennyeproblemy nauki i obrazovaniya, 2014, no. 3, URL: http: //www. science-education. ru/ru/article/viewid= 13235

15. Kauderer K. Nelineinaya mekhanika (Nonlinear mechanics), Moscow, Izdatel'stvo inostrannoi literatury, 1961, 778 p.

16. Fel'dshtein V.A. Uprugo plasticheskie deformatsii tsilindricheskoi obolochki pri prodol'nom udare. Volny v neuprugikh sredakh. Sbornik statei (Elastic-plastic strain of cylindrical shell at longitudinal impact. Waves in inelastic media). Kishinev, Izd-vo AN MolSSR, 1970, pp. 199 - 204.

17. Vol'mir A.S. Nelineinaya dinamika plastinok i obolochek (Nonlinear dynamics of plates and shells), Moscow, Yurait, 2018, 439 p.

18. Loitsyanskii L.G. Mechanics of Liquids and Gases, Oxford, Pergamon Press, 1966, 802 p.

19. Mogilevich L., Ivanov S. Longitudinal Waves in Two Coaxial Elastic Shells with Hard Cubic Nonlinearity and Filled with a Viscous Incompressible Fluid, Studies in Systems, Decision and Control, 2021, vol. 337, pp. 14 - 26. DOI: 10.1007/978-3-030-65283-8 2

20. Blinkov Yu.A., Mozzhilkin V.V. Generation of difference schemes for the burgers equation by constructing Grobner bases, Programming and Computer Software, 2006, vol. 32, no. 2, pp. 114 - 117. DOI: 10.1134/S0361768806020095