Дисперсия и затухание магнитоупругих волн Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/15-48 Ссылка для цитирования этой статьи:

Ерофеев В.И., Мальханов А.О., Титов Д.Ю. Дисперсия и затухание магнитоупругих волн // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №3.

Выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-10026)._

УДК 530

ДИСПЕРСИЯ И ЗАТУХАНИЕ МАГНИТОУПРУГИХ ВОЛН

Ерофеев В .И.1'2 , Мальханов А.О2, Титов Д.Ю.3

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Россия, Нижний Новгород, erof.vi@yandex.ru 2Институт проблем машиностроения Российской академии наук, Россия, Нижний Новгород, alexey.malkhanov@gmail.com Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Россия, Нижний Новгород, era@nntu.ru

DISPERSION AND ATTENUATION OF MAGNETOELASTIC WAVES

Erofeev V.I.1,2, Malkhanov A.O2, Titov D.Yu.3

1R.E. Alekseev Nyzhny Novgorod Technical University, Russia, Nyzhny Novgorod, erof.vi@yandex.ru 2Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, Russia, Nizhny Novgorod, alexey.malkhanov@gmail.com 3R.E. Alekseev Nyzhny Novgorod Technical University, Russia, Nyzhny Novgorod, era@nntu.ru

Аннотация. Исследовано влияние внешнего магнитного поля и конечной электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики продольной упругой волны, выражающееся, в частности, в формировании ускоренной и замедленной волн по отношению к волне, распространяющейся в материале с бесконечной проводимостью.

Ключевые слова: магнитоупругая волна, дисперсия, затухание.

Abstract. The effect of an external magnetic field and the finite electrical conductivity of a material on the dispersion and dissipative characteristics of a longitudinal elastic wave is studied, which is manifested, in particular, in the formation of accelerated and decelerated waves with respect to a wave propagating in a material with infinite conductivity. Keywords: magnetoelastic wave, dispersion, damping.

Динамические процессы в упругой среде, характеризуемой вектором

перемещений и , и находящейся во внешнем магнитном поле с вектором напряженности Н описывается системой уравнений [1]:

д и да

ik

дt2

+ ■

1

дхк 4пр

— —■ ты, Н

дН.

дt

-1 = О

—

ди Н дt

(1)

divH = 0.

где р - плотность среды, ак - тензор напряжений.

Магнитное поле представим в виде суммы постоянной составляющей

—■ —■ —■ — —

(Н0) и малого возмущения (h ) : Н = Н0 п + h,

Рассмотрим распространение продольной волны в линейной среде. При этом будем полагать, что внешнее постоянное магнитное поле с

напряженностью Н 0 перпендикулярно направлению распространения волны. В этом случае

и = (и1,0,0) = и (х, г); й = (0,0, h3) = h(x, t); Н = (0,0, Н 0 + Ъ),

и система (1) примет вид:

д и

дг дг

2 С0

2 д и Н0 дй

+ Н

дх2

д2и

+

= 0,

4пр дх

с2 д2й

(2)

дхдг 4па дх2

0

где с0 - скорость продольной волны в отсутствии магнитного поля, с - скорость света, а- проводимость.

Рассмотрим сначала случай, когда магнитное поле стационарно, т.е. х, г) = х) . Система (2) примет вид:

д2и 2 д2и Н0 дй

<

дг

2 - С0

дх2

+ ■

4паНп д2и

4пр дх

д2 й

= 0,

(3)

с дхдг дх

Интегрируя последнее уравнение системы (3) по х, и полагая постоянную интегрирования равной нулю, систему (3) сведем к уравнению:

д 2и

2 С0

д2и аН0 ди

—;т + —т^— = 0

(4)

дг1 и дх2 с 2р дг

Откуда видно, что внешнее магнитное поле Н0 приводит к возникновению затухания (вязкого трения).

Для дальнейшего анализа, приведем систему (2) к безразмерному виду:

д2 и д2 и д h

^ + С— = 0,

д г д х

д h д2 и — +

дх 1 д2 /

(5)

дг д хдг

0

дх

где

С = ^

2 - безразмерная скорость, Х

0

а

а

безразмерная проводимость,

Н

С А =

4 пр

скорость волны Альфвена.

Полагая, что и (х, г) и /(х, г) - это гармонические волны вида

и /

i (а>г-kх)

и 0 е

/0 е(аг-£х)

(6)

подставим выражения (6) в систему (5), получим систему линейных

алгебраических уравнений относительно и0 и /0 . Приравнивая детерминант полученной системы к нулю, получим связь волнового числа и частоты продольной волны деформации при наличии магнитного поля, которая представляет собой комплексное биквадратное по волновому числу уравнение:

— k4 - (— - т(1 + С))k2 - = 0 (7)

Для идеально проводящего тела (X = да) уравнение (7) сводится к виду:

(1 + С) £2 + тг = 0 (8)

Из (8) видно, что магнитное поле определяет величину фазовой скорости

уф =л/ТГс,

чем больше величина магнитного поля, тем больше фазовая скорость волны.

2

2

0

Конечная проводимость среды (£ Ф да) приводит к появлению мнимой части волнового числа, которая характеризует затухание волны. Результаты численного решения уравнения (7) для конечной проводимости представлены на рис.1-3. Расчет проводился при следующих значениях безразмерных

_ с2

скорости и проводимости: С=0.1, £=2. Было учтено, что величина

С = % < 1 с:

поскольку скорость волны Альфвена, как правило, меньше скорости продольной волны.

Рис.1.

Рис.2.

На рис.1 для сравнения представлена также зависимость волнового числа от частоты для случая бесконечной проводимости. Видно, что в случае конечной проводимости имеется две волны, причем одна из них замедлена, а вторая ускорена относительно волны, соответствующей среде с бесконечной проводимостью.

На рис.3 изображены графики отношений действительных частей волновых чисел к мнимым. Видно, что первая волна распространяется почти без затухания и, с ростом частоты действительная часть волнового числа значительно преобладает над мнимой. Вторая волна распространяется также почти без затухания, но с ростом частоты преобладание действительной части волнового числа над мнимой уменьшается.

Рис.3.

Фазовая скорость первой волны изображена на рис.4. При нулевой частоте она совпадает с фазовой скоростью продольной волны в среде с бесконечной проводимостью и с ростом частоты стремится к 1, которой в

«размерных» координатах соответствует скорость продольной волны с0. Таким образом, магнитное поле приводит к увеличению фазовой скорости первой волны при нулевой частоте.

Уф

Рис.4

Фазовая скорость второй волны растет с ростом частоты рис. 5.

Рис.5.

Рассмотрим систему (5) при С = 0. В этом случае её можно свести к уравнению для возмущения магнитного поля h :

1 д4 И д3 И 1 д4 И д3 И

X дх2 дг2 дг3 X дх4 дх2 дг

+

= 0

(9)

Подставим выражение для И из (6) получим связь волнового числа и частоты продольной волны деформации для рассматриваемого случая:

— k4 - (— ю2 - ¡ю)k2 - Ю = 0 X X

(10)

Решая это уравнение, получим:

k = ±ю, k = ±

1С

X

(11)

Откуда видно, что поведение первой волны аналогично поведению продольной волны в среде при отсутствии внешнего магнитного поля. Частотные зависимости действительной и мнимой частей волнового числа второй волны изображены на рис. 6-7.

Отношение действительной к мнимой части волнового числа второй волны постоянно и равно 1. Фазовая скорость этой волны растет с ростом частоты как изображено на рис. 8.

Рис.6.

Рис.7.

Рис.8.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-10026).

Литература

1. Bagdoev A.G., Erofeyev V.I., Shekoyan A.V. Wave Dynamics of Generalized Continua. Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg. 2016. 274 p.