Нелинейное поглощение альфвеновской волны диссипативной плазмой Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 533.95

НЕЛИНЕЙНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ АЛЬФВЕНОВСКОЙ ВОЛНЫ ДИССИПАТИВНОЙ ПЛАЗМОЙ

М.Б. Гавриков1,2, А.А. Таюрский2

VIГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва e-mail: [email protected];

2ИПМ им. М.В. Келдыша РАН e-mail: [email protected]

Предложен метод исследования поглощения альфвеновской волны, бегущей в однородной неизотермической плазме вдоль постоянного магнитного поля, и релаксации температур электронов и ионов в волне. Поглощение А-волны плазмой обусловлено диссипативными эффектами — магнитной и гидродинамическими вязкостями электронов и ионов и их упругим взаимодействием. Метод основан на точном решении уравнений двухжидкостной электромагнитной гидродинамики плазмы, которые на А-волне, как показано в работе, редуцируются к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: классическая МГД, электромагнитная гидродинамика (ЭМГД), поглощение волны, релаксация температур.

NONLINEAR ABSORPTION OF ALFVEN WAVE IN DISSIPATIVE PLASMA

M.B. Gavrikov12, A.A. Tayurskiy2

Bauman Moscow State Technical University, Moscow e-mail: [email protected];

2Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences, Moscow e-mail: [email protected]

A method is proposed for studying the absorption of an Alfven wave, traveling in a homogeneous nonisothermal plasma along a constant magnetic field, and the relaxation of the electron and ion temperatures in the A-wave. The absorption of A-wave by the plasma is caused by dissipative effects — magnetic and hydrodynamic viscosities of electrons and ions and their elastic interaction. The method is based on exact solving of equations of two-fluid electromagnetic hydrodynamics ofplasma, which for A-wave, as shown in the work, are reduced to a nonlinear system of ordinary differential equations.

Keywords: classic MHD, electromagnetic hydrodynamics (EMHD), wave absorption, temperature relaxation.

Как известно, в звуковой волне в газе возмущаются только продольная компонента скорости и термодинамические параметры. В плазме возможны волны малой амплитуды, в которых, наоборот, возмущаются только поперечные компоненты скорости, магнитного и электрического полей, а продольные и термодинамические параметры неизменные. Эти волны можно, самое большее, увидеть, но нельзя услышать.

Такие волны были открыты X. Альфвеиом в 1942 г. [1] и получили название альфвеновских. Позднее оказалось, что альфвеновские волны, полученные первоначально как решение акустического приближения уравнений классической магнитной гидродинамики (МГД), являются точным решением МГД-уравнений [2], что исключительно важно для их изучения.

Ниже приведены результаты исследования временного затухания плоской поперечной волны в двухжидкостной однородной плазме (в работе называемой альфвеновской), обусловленного диссипативными эффектами — проводимостью плазмы и гидродинамическими вязко-стями электронов и ионов, и связанного с ним процесса релаксации температур электронов и ионов в альфвеновской волне. Проведенное исследование основано не на линеаризованных уравнениях, как это обычно принято, а на точных законах сохранения массы, энергии, импульса для электронов и ионов и уравнениях электродинамики Максвелла (ЭМГД-уравнения). Сопоставление полученных результатов с данными линейной теории показывает, что последняя грубо искажает процессы затухания и релаксации. Плазма предполагается квазинейтральной, полностью ионизованной, электромагнитное поле — квазистационарным.

ЭМГД-уравнения. Для исследования динамики двухжидкостной плазмы воспользуемся уравнениями Брагинского [3], составленными из двух — для электронов и ионов — комплектов гидродинамических уравнений. Для квазинейтральной плазмы уравнения Брагинского замыкаются усеченной системой уравнений электродинамики Максвелла для квазистационарного электромагнитного поля. Весьма важно, что полученная замкнутая система уравнений динамики двухжидкост-ной плазмы с полным учетом инерции электронов может быть редуцирована [4, 5] без потери математического и физического содержания к одножидкостной гидродинамической системе уравнений электромагнитной гидродинамики (ЭМГД)

(1)

где тензоры потока импульса (П), вязких напряжений (Р) и "холлов-ских слагаемых" (\¥) имеют вид

н^ нн и

Р + Ре з, ^ з ^ , + ~ р

Здесь и далее индексы ± относятся к параметрам электронов и ионов;

+ и = (р+\+ + р_\_)/р; 13 — единичный трехмерный тензор; к — постоянная Больцмана; а — проводимость плазмы; — теплопроводности электронов и ионов. Электроны и ионы для простоты считаются идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты 7. Тензоры вязких напряжений, учитывая равенство нулю вторых вязко стей электронов и ионов [2], имеют вид

и и 2 и 2

3 3

2 2 П^ = - -¿игБ^з, П: = - -/игБс13;

О о

П - 2 Б 2 Ь В I

гидродинамические вязкости электронов и ионов.

По найденному решению системы (1) гидродинамические параметры электронов и ионов выражаются через р, и, j по формулам

V — и ± ^^ — —

Уравнения ЭМГД (1) отличаются от уравнений классической МГД несколькими принципиальными слагаемыми, в особенности значительно более сложной формой обобщенного закона Ома, согласно которому для нахождения электрического поля Е в плазме необходимо решить краевую задачу для некоторой эллиптической системы уравнений на компоненты поля Е. Тем самым в ЭМГД кардинально меняется характер зависимости электрического поля Е от остальных параметров плазмы, что предопределяет возникновение сильной пространственной дисперсии и ряда других важных эффектов.

Уравнения классической МГД являются предельным случаем ЭМГД-уравнений (1), когда характерное погонное число частиц плазмы неограниченно увеличивается или, иначе, когда Ь с/шр, где Ь —

характерный масштаб длины, ujp =

А_) — характерная плаз-

менная частота, с/шр — скиновая длина. Формально МГД-уравнения являются нулевым, а уравнения холловской МГД — первым по параметру с/ (шрЬ) <С 1 приближениями ЭМГД-уравнеий. Мнемоническое правило для получения из системы (1) уравнений классической МГД состоит в вычеркивании из уравнений системы (1) всех слагаемых, в которых р входит в знаменатель. При этом уравнения энергий надо записать относительно давлений р±. В то же время ЭМГД-систему можно рассматривать как весьма продвинутую форму уравнений ЭМГД, свободную от проблем ЭМГД-теории, связанных с законами сохранения и самосогласованностью уравнений.

Решение ЭМГД-уравнений (1) удовлетворяет закону сохранения полной энергии [4]:

VT++x-VT_+n+v++n_v_};

(2)

A_e_)/As — объемная плотность внутренней энергии

плазмы;

р 2 fß As ' ' р

В случае идеальных политропных электронов и ионов е = (7—I)-1

А А+А ^ + А+А.

2 Р2

Р

Коэффициенты переноса а, Ъ получаются приближенным ре-

шением кинетических уравнений [3] и далее принимаются в виде [6-9]

3 ml/2Tl/2

3 Т

■3/2

4(27rme)1/2e2ZL0;5129'

3 ml/2Tl/2 Ц2жу/2е4 ZV

Бт1/2е4г3р2Ь

т:

■>к1/2Т_

3/2

(3)

где Z — кратность заряда ионов; е+ = е_ — е; е — заряд электрона; Ь — кулоновский логарифм (далее Ь = 15); температуры Т± измеряются в кельвинах.

В системе (1) для простоты не учтены термосила и анизотропия замагниченной плазмы [3]. Кроме того, выражения для коэффициентов переноса — теоретические и периодически корректируются.

Альфвеновские волны в ЭМГД. Плоская альфвеновская волна является решением ЭМГД-уравений (1) в бездиссипативном случае

(р>± = 0, 6 = 0, = 0, а = +оо) в предположении плоской симметрии (д/ду — д /д~; = 0). С учетом диссипаций плоские течения двухжидкостной ЭМГД-плазмы подчиняются уравнениям

д

dt дх |24

dt дх

pUx + рЕ

\Н±

8тг д /4

— I -

дх дх

дх р

f гр N

Т+Т-

д

dU± 2

дх

с dt

0, j±_ ^dH_i_/dx, Нх const,

(4)

Е±.

с2Л+Л.

_= J_±.

дх2 а + - —

р дх

iH*.U± - г-ихН±+

с

с

_Л )НхН± ди± * — ~ 47г дх Рдхр

1

с

1 д

1 д

4 д

dUx

рдх рдх 87г 3 дх \ дх )

Здесь использованы комплексные обозначения для поперечных вели-

Z+ — Z\ Z- = 1); черта означает комплексное сопряжение; Ые, 1т — вещественная и мнимая части комплексного числа.

Система (4) в бездиссипативном случае допускает частные решения, называемые плоскими альфвеновскими волнами, вида

(5)

где комплексные функции u(t), h(t), с (t) удовлетворяют линейной системе ОДУ с постоянными коэффициентами, получающейся подстановкой (5) в (4):

du in,Hx, 1 dh

It ~

2\ (6)

Здесь Л = рость; Шр — (6) имеет вид

— альфвеновская ско-А_) — плазменная частота. Решение системы

Лш—t.

1/2

КУА

iw—t

(V)

ioj—t

кс . 47Г

где С\, С2 - произвольные комплексные константы, а частоты вычисляются по формуле

KVA

1/2'

, г = (8)

Шг,

Подставляя (7) в (5), заключаем что плоские альфвеновские волны суть поперечные колебания однородной неподвижной плазмы, являющиеся суперпозицией синусоидальных бегущих вдоль и против магнитного поля волн с фазовыми скоростями —и±(к)/к, зависящими от длины волны £ = 2тг/'/{.. Из (8) следует, что волна, бегущая против магнитного поля, имеет большую по абсолютной величине фазовую скорость. В МГД-пределе г 1 имеем и±(к) ~ ±/{\/1 и полученное решение переходит в классическую альфвеновскую волну [2]. В коротковолновом пределе г 1 имеем ш± = àzuif, где iof = Нх/ (А±с) — циклотронные частоты; в частности, с уменьшением длины волны фазовые скорости альфвеновских бегущих волн стремятся к нулю с

асимптотикои

^füjf/к., к —> +оо.

"kin

На альфвеновской волне (5) условие квазинейтральности

выполнено точно.

Таким образом, в двухжидкостной квазинейтральной плазме так же, как и в одножидкостной, имеют место поперечные колебания плазменной среды, рассматриваемые в работе как обобщенные альфвенов-ские волны, которые в МГД-пределе г ^ 1 переходят в классические альфвеновские волны.

Преобразование энергии в альфвеновской волне. Рассмотрим преобразование в плазме друг в друга различных видов энергии с объемной плотностью: ет = Н2/8ж — энергии магнитного поля;

= p±v±/2 — кинетической энергии электронов и ионов; е± = = кр±Г±/{т±(уУ — 1)) — тепловой энергии электронов и ионов; £ып = pU2/2 — кинетической энергии плазмы, движущейся как еди-

— с точностью до членов ~ m_/m+ кинетической энергии относительного движения электронов. Отметим, что + 5~= 5/.,,, + 5, Поэтому полная энергия плазмы определяется объемной плотностью

Для альфвеновской волны (5) е± = const, е.т = \h(t)\2 /87т, ^kin = p|w(í)|2/2, eel = r2em — функции только времени и из закона сохранения полной энергии (2) следует ет + 5/.,,, + eej, = const. С течением времени происходит двусторонний обмен кинетической энергии 5/. ,,, с энергией магнитного поля и кинетической энергией относительного движения электронов eei- 5/,,,, ^ 5,„ + eei-

Пусть в (7) Ci = С2 = R2e^, \СХ\ = Ru \С2\ = R2. Тогда

прямой расчет по формулам (7) дает

2

р [иjjRj + wlR2 2 i k2v2

А

2RiR2

№

Значит, и (и тем более 5,; = г2егп) совершают в противо-фазе гармонические колебания с частотой — и амплитудами pRlR2, pRlR2/(l + r2) соответственно вокруг значений р{Ц\ + Д|)/2, (2/{2у21). Относительные амплитуды колебаний

i?¡) и 2Ä!

R2LOÍ) СООТ-

и ет равны 2R\R2| (В ветственно.

Интенсивность обмена энергией определяется частотой — которая в МГД-пределе г < 1 равна =

< а в

коротковолновом пределе г 1 составляет =о>~. В частности, интенсивность обмена энергией еып с 5,„ и 5, ; для коротких альфвеновских волн, как минимум, на два порядка выше, чем для длинных. При Ri = 0 или Pi2 = 0, т.е. когда альфвеновская волна распространяется только вдоль или только против магнитного поля, амплитуды колебаний обращаются в нуль, и обмен энергией отсутствует: ern = const,

В МГД-теории £ei <С £,„ и закон сохранения полной энергии принимает вид £j,in + ет = const, но для конечных г опущенное слагаемое £ei существенно меняет баланс полной энергии, что не учитывается в теории МГД.

Временное затухание альфвеновских волн. Альфвеновская волна (5) может рассматриваться как решение задачи Коши на прямоИ для системы (4) с нулевыми диссипациями и начальными условиями вида

Константы С1, С2, Т± из (5), (7) и ео связаны с константами щ>. ho £ С,

±

Г? > 0 соотношениями

ho — üü-Uo

^ KV A ^ _ _

2\ — 1

Т± =

Тогда временное затухание альфвеновской волны (5), очевидно, задается решением задачи Коши на прямой для системы (4) с конечными диссипациями и теми же начальными условиями (9). Предполагая доказанной теорему единственности решения задачи Коши на прямой для системы (4), искомое решение легко найти в виде

(10)

где комплексные функции ait), h(t) и вещественные Т±(

удовлетворяют нелинейной системе ОДУ, получающейся подстановкой функций (10) в систему (4):

д,и (гкНх сп.3/д

дЛ, р \ 47гр Акр2

h;

CK

А CK3/J*'

4тга

Атгр2

h

2 2 mT с к

гпе 167Г2 а

иг

\h\2±

т+)

с начальными условиями

(12)

Здесь а* =

— l)/(kp), г = кс/Юр. Комплексная амплитуда е(

явно выражается через

Г fiHx

и{

с

р

и{

CK

А

СИ3/!* '

47Г а

Шг,

Vр 47Гр2 ; ) /

Тем самым для исследования процесса временного затухания и релаксации температур электронов и ионов в альфвеновской волне не надо решать задачу Коши для системы (4) с начальным условием (9), а достаточно решить значительно более простую задачу Коши (11), (12) для системы ОДУ. Решение последней задачи упрощается, если учесть, что на решении (10) закон сохранения полной энергии (2) принимает вид

Р ш

2 87Г Zaif а*

и позволяет в системе (11) исключить Х+ из числа неизвестных.

Из (11), (12) следует, что временное поглощение альфвенов-ских волн не зависит от теплопроводностей электронов и ионов, а условие квазинейтральности на решении (10) выполнено точно: сИуЕ = дЕх/дх = 0.

Система сильно нелинейна из-за зависимости коэффициентов переноса а, Ь, [л±, [л*, р* от Х+, XI. Согласно (3)

_Зр/2__

'Ц2пт_)1/2е2гЬ- 0,5129'

+ 0,96-3 тУ2А:5/2'

4(27r)1/2e4ZL _ R _ 5m]/2e4Z3Lp2

0,733 • Ът12къ!2 ''

mlk1/2

'R,

i5/2

fR.

t5/2

В частности, имеем

Решение уравнений для амплитуд в незамагниченной невязкой плазме. В случае Нх = 0, //± = 0 система (11) позволяет исследовать поглощение стационарной синусоидальной волны в однородной плазме вследствие омического сопротивления и обмена энергией между плазменными компонентами (а < +00, b > 0). Практически эта ситуация встречается, вероятно, редко, но с методологической точки зрения представляет несомненный интерес. В этом случае из (11) следует u{t) = const, a hit) можно считать вещественной положительной функцией. Исключая Т+ посредством интеграла энергии (13), приходим к автономной системе ОДУ на плоскости (h, Т = Т_):

dt jr3/2' (If * гр-3/2 jro/^ ja

где константы a* G El, ao, 7* > 0 имеют вид

Г2ш1

тЗ/2

-rl/2 '

h > 0, T_ > 0, (14)

„2\ '

сх* — ci*

m+ г2ш2 R0Za*(l + г2)

же 167Г 2R 87Г

Система (14) легко интегрируется. Поскольку д,Ъ,/дй < 0, то И можно взять в качестве новой независимой переменной вместо времени t. Тогда для искомой функции Т{Н) получим с учетом (14) линейное

йТ 7* Т а*1г2 + ¡3*

уравнение — = — —

ah ао Ii

/а0

имеющее общее решение вида

а*

ß*

а*

(15)

Т(Н) Ск + ^ 1п/г,, Т* 2а0;

где С Е К. — произвольная константа. После чего зависимость находим из первого уравнения (14) квадратурой

\ 3/2

h

-dh,

(16)

где Т{К) вычисляется по (15). Кроме того, есть еще одно решение, не охватываемое формулами (15), (16), получающееся интегрированием системы (14), где надо положить // = 0:

7-1/2

Г1/2

= ^rt + const. (17)

At

На основании (15), (16) легко построить интегральные кривые на плоскости (к > О, X > 0) системы (14) и детально проанализировать их расположение в зависимости от констант а*, /3*, 7*, «о [Ю]. Основные выводы можно сформулировать так.

Пусть б1 = 27гДД0а*/ш2 = 3,6

ь7Г.

Тогда 0 «С 1 (для 7 = 5/3 и дейтерия в = 0,00027). Разобьем альфве-новские волны на диапазоны по их длине С, = 2ж/п.: короткие волны

/шр, средние

'со г,

где Nx =

с/шр — скиновая длина. Например, для 7 = 5/3 и дейтерия границы диапазонов задаются при N1 = 269, N2 = 380. Несложно проверить, что короткие волны соответствуют условиям 7* < 2ао, «о > 0,

тегральные кривые для коротких волн изображены на рис. 1, а, для средних — на рис. 1,6, в (рис. 1,в соответствует а* = 0), для длинных — на рис. 1,г. Штриховой линией на этих рисунках обозначена

+ /г а*/7*, составленная из точек локального максимума или минимума функции Т{Н). Для заданных начальных условий Т± > 0, ко > 0 решение (14) задается интегральной кривой, начинающейся в точке (1го,Т^_) и входящей (за бесконечное время) в особую точку (0,Т* = /Як/т*) системы (14). Начальное значение (/'о • Т(-) лежит внутри криволинейного треугольника, ограниченного осями 1г = 0, XI = 0 и кривой Ттр(1г) = а*Со — (1 + г2)а*1ь2/(87т), на которой ионная температура обращается в нуль, где константа Со вычисляется по Х±, ко посредством формулы (13) с а{1) = 0. Несложно установить, что интегральная кривая, начинающаяся в точке (ко,Т^_), при £ > 0 все время остается внутри криволинейного треугольника; в частности, в каждый момент времени температуры электронов и ионов положительные.

Как следует из рис. 1, при затухании альфвеновской волны энергия магнитного поля полностью переходит в тепловую энергию электронов и ионов, при этом изменение самих тепловых энергий электронов и ионов может иметь немонотонный характер, что свидетельствует об обмене энергией между плазменными компонентами.

Релаксация температур и поглощение альфвеновской волны. Поглощение альфвеновской волны состоит в трансформации ее кинетической (еып = Р /2) и полной (с учетом кинетической энергии относительного движения электронов) магнитной (ет = (1 + + г2)|/г,(£)|2 /8тг) энергий в тепловую энергию электронов и ионов

= Т_/а*, е+ = Т+/(¿^а*). Этот процесс налагается на релаксацию температур электронов и ионов, определяемую коэффициентом Ъ. Как

Рис. 1. Интегральные кривые для коротких волн (а) (" » < 2а-о, «о > 0); средних волн (б) (7* > 2а?о, а* > 0); средних волн (в) (7» > 2ао, а* = 0); длинных волн (г) (7* > 2а0, а* < 0)

показало численное решение задачи Коши (11), (12), поглощение аль-фвеновской волны распадается на два этапа. На первом происходит быстрое преобразование магнитной и в значительной мере кинетической энергий альфвеновской волны в тепловую энергию преимущественно электронов, на втором — в основном медленная релаксация температур, аппроксимируемая решением системы (11) с /г = 0, и = 0, имеющая вид (17), при этом остатки кинетической энергии волны переходят в тепловую энергию. Особенности процесса поглощения на втором этапе рассмотрены в следующем пункте.

Равновесная температура Т° находится из закона сохранения энергии (13) и имеет вид

Т° =

кс

В частности, равновесная температура не зависит от замагниченности плазмы Нх, но зависит от ее плотности и длины £ = 2п/к альф-веновской волны. Отсюда следует, что поглощение коротких (г 1) альфвеновских волн приводит к сильному разогреву плазмы. Скорость поглощения волны резко возрастает при учете гидродинамических вяз-костеИ электронов и ионов или уменьшении длины волны. С другоИ стороны, поглощение кинетической энергии существенно зависит от сдвига фаз начальных амплитуд щ и /г0.

Из безразмерного вида системы (11) следует, что задача о временном поглощении альфвеновских волн имеет два определяющих безразмерных параметра, пропорциональных (£р)~1 и рг' 2 jH J:.

кс

с0п

2 р£

С = 0,386LZ

з се3 (4тгpff2

m, I

т.

m

(18)

На рис. 2 приведены типичные зависимости от времени тепловых энергий электронов и ионов, магнитной и кинетической энергий для варианта г = 0,1, С = 100, = 0,01,1^ = 1, /г0 = 4, щ = 1. При этом

Рис.2. Зависимость от времени тепловой энергии электронов (7) и ионов (2) в альфвеновской волне (а), магнитной энергии альфвеновской волны (б) и кинетической энергии альфвеновской волны (е)

в качестве характерных масштабов плотности, напряженности магнитного поля, скорости, длины, времени, плотности энергии и температуры выбирались величины р0 = р, Н0 = Нх, Щ = у а, ¿о = с/шр (ски-новая длина), £0 = £о — Н2/(8п), Т0 = у2А\т,е/{2к). Как

видно, поглощение магнитной энергии волны происходит значительно быстрее, чем кинетической, и сопровождается взаимным обменом кинетической и магнитной энергиями (колебания на графиках, обусловленные преобразованием энергии в альфвеновской волне). Кроме того, поглощенная энергия альфвеновской волны преобразуется прежде всего в тепловую энергию электронов, которые затем отдают ее ионам благодаря механизму релаксации.

Графики на рис. 2 соответствуют = 0. Если учесть гидродинамическую вязкость ионов, то процесс поглощения резко ускоряется, например магнитная энергия поглощается за время ~ (>•,' 2. При дополнительном учете электронной вязкости, вычисляемой по (3), процесс поглощения еще более ускоряется, занимая доли , а энергия магнитного поля поглощается за время ~ ^Г)-1 2-

Из безразмерного вида (11) следует, что для С 1 определяющим фактором поглощения альфвеновской волны является магнитная вязкость, а при ( <С 1 — гидродинамические вязкости электронов и ионов, причем в этом случае их превалирующая роль в поглощении с увеличением температур электронов и ионов только возрастает, по-

(г 1) поглощаются намного быстрее длинных (г «С 1). Детальный анализ этих закономерностей зависит от соотношения г : ( и выходит за рамки настоящей работы.

Релаксация температур и особые точки. Математическая основа процесса релаксации — наличие особой точки у системы (11), если исключить в ней из числа неизвестных температуру ионов Т+ посредством интеграла энергии (13). Эта единственная особая точка в безразмерных переменных имеет вид и = 0, Н = 0,

энергии, определяемого начальными условиями.

Запишем систему (11) в безразмерном виде:

гЗ/2

dh ~dt

^ + (19)

dT.

±

dt

т+)

T

3/2

Г2 , ,2 Г4 Л:

\±

1/2

ur

где С — число подобия, вычисляемое по (18), величины а®, /3°, зависят от температур Т± и вычисляются по формулам

Я0 — — + — Р2 ~ д а2 д ) ^2

гр 5/2 ± J±

Наконец т/ , — универсальные константы:

Е 5'313 \+2т+) '

Релаксация температур электронов и ионов на второй стадии поглощения аппроксимируется решением системы (19) в предположении И = 0, и = 0. Для более детального исследования релаксация и получения количественных оценок необходимо изучить поведение решений (19) в окрестности особой точки.

Матрица Якоби системы (19), в которой исключена ионная температура Т+ — Z(y — 1)[С0 — (1 + г2) Щ2 — \и\2} — ZT- в особой точке (Т°, 0,0,0, 0) имеет вид

Т^З/2

где J° = II J°J|, 1 < j, s < 2 — 2 х 2-блочная матрица с 2 х 2-блоками:

Jn =

ßi о

) Jl2 —

7° -

U Ol —

«2

-1

) "21

1 + Г2 V 1 а2

^22 —

ßo

где ß0 = г [ß2

-о^з/:

2 ¡, ol 1 = — аъ

Очевидно, что Ао = —2(у —

у* 2 ^2

С'1' " С

)3//2 — собственное число

Л. Остальные собственные числа являются собственными числами Л°. Прямое вычисление дает

1

да-

где 14 — единичная матрица четвертого порядка. Поэтому для нахождения собственных чисел Л° имеем два квадратных уравнения:

( ) [(Зо+М ) ] (Зф0+ 1 1 } (20)

Несложный анализ уравнения (20) показывает, что: а) каждое из уравнений (20) не имеет вещественных, сопряженных или кратных корней; б) если А1 ф Л2 — корни (20) для верхнего знака, то Л1 ф \2 — корни (20) для нижнего знака; в) все корни (20) имеют отрицательные вещественные части; г) все собственные числа матрицы Якоби Л однократные и имеют вид {Ао, Ах, А2; Ах, Аг} и есть базис С5, состоящий из собственных векторов матрицы Якоби.

В частности, единственная особая точка системы (19) — притягивающий устойчивый многомерный узел и по теореме Гробмана-Хартмана [11] в некоторой окрестности особой точки топология интегральных кривых системы (19) и ее линеаризации в особой точке совпадают. Таким образом, качественная картина релаксации правильно

',0,0,0,0),

описывается линеаризацией системы (19) в особой точке решения которой несложно получить в явном виде. Рассмотрим линеаризованную систему

где звездочка означает транспонирование, а точка — дифференцирование по Ь. Пусть А| ф \2 — корни характеристического уравнения (20) для верхнего знака, х^ + /у, ф 0 — собственный вектор Л, отвечающий значению Xj, у = 1,2. Тогда, как известно, линейная оболочка = [ху,] является двумерным инвариантом подпространства Ж.5 для оператора Л, причем если X, — а, + /Ьп у = 1. 2, то

Если х0 = (1,0,0,0,0), то У0 = ство, отвечающее значению Ао, а М5 = У0 © V! е У2. В частности, {; ца оператора Л в котором равна

(21)

го] — собственное подпростран-I5 распадается в прямую сумму ,xi,yi,x2,y2}- базис1®5

, матри-

Поэтому если — координаты вектора из К5 в базисе

{;/■().;/'!.1/1. х2.1/2}, то линейная система (21) в этих координатах распадается на три независимые подсистемы:

решение которых, очевидно, имеет вид:

_ 7~) pait

cos^x — bit), sm((pi — b\t

COS((fi2 - b2t), sill((^2 - b2t

(22)

где Д), фъ Ц>2 — произвольные вещественные константы.

Выше отмечалось, что Ао, а\, а2< 0, поэтому из (22) следует, что проекция любого решения линеаризованной системы (21) на двумерную плоскость Vj, ] = 1,2, есть спираль, наматывающаяся на точку О с угловой скоростью bj и декрементом убывания расстояния от начала отсчета Из (22) следует разложение

2

В частности, декременты экспоненциального стремления к 0 величин и{Ь), })(Л) равны ттЦах!, 1а2|}- Выпишем явные выражения для х^, У], аЬу. Положим

xj = О,

' 2 '

Vi = о,

{ßi-atf + Щ ' (ßi - о,)2 + 6;

0,1

Тогда легко проверить, что х, + /;/, — собственный вектор Л для собственного значения А, = а! + /Ьг у = 1,2, причем Xj-Lyj и

оа

г

1/2

. Решая квадратное урав-

нение (20) для верхнего знака и используя формулу для извлечения квадратного корня из комплексного числа, получаем

1

«1,2

1

А

1/2'

± sgn В

VÄ2

1/2'

где

Эти громоздкие формулы упрощаются в частных и предельных слу-

чаях.

При г 1 (короткие волны) имеем асимптотику, считая ho ф О,

0-1,2

5/2

\ho\ г

5 1

К

1Ы*

А± С Aife - 4R,

(23)

- л:1/?:1)

= (Л_/Л+)1/2-К+1 + (А-ь/А-)1/2-??!1 , причем верхние и нижние знаки в (23) соответствуют друг другу.

При г 1 (длинные волны) имеем асимптотику

г2С

где R* =

R~_\ R* =

а ~

3/2

^ 1)

[1 + Де^],

\ho

±г.

Формулы для а,, значительно упрощаются при //± = 0 и в МГД-пределе [10].

Сравнение с линейной теорией. Пусть р = р0, IIх = О, Т+ =

= Т_ = То, = 0, и±_ = О, Е±_ = 0 — константное решение системы (4). Рассмотрим приближенное решение (4) вида

(24)

где постоянные комплексные величины р, их, Т±, Н±, 11±, Е± в правых частях (24) (комплексные амплитуды) считаются малыми. Подставляя функции (24) в систему (4) и отбрасывая слагаемые выше первого порядка малости по комплексным амплитудам, получим линейную систему уравнений для нахождения комплексных амплитуд и дисперсионного соотношения между ш и и. В итоге получим

(соотношения между Н±, 11±, Е± более сложные, мы их не приводим), а комплексное ш находится по к из квадратного дисперсионного уравнения

Ро I Ро \л+' Л- ; Шр ) 47ГРо \ с ' ро )

В бездиссипативном случае это уравнение переходит в (8). Нетрудно проверить, что оба решения имеют отрицательные действительные части. Поэтому все параметры плазмы (24) затухают с одинаковыми скоростями. В частности, если ш — ил — %ш2, со2 > 0, то декремент затухания равен ш2 и энергия магнитного поля \Н±\2 — \Н±\2

и кинетическая энергия |?7j_| = \U±

2 e-2u2t

затухают одинаково. Это,

однако, противоречит полученному результату. С другой стороны, из (25) следует, что релаксация температур не может быть исследована на базе линейной теории.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-01-00071).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Альфвен X., Фельтхаммар К. -Г. Космическая электродинамика. -

Наука, 1982. ^

3. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы

4. Г а в р и к о в М. Б. Основные уравнения двухжидкостной магнитной гидродинамики. Часть I. Препринт № 59. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. - 2006. -28 с.

5. Г а в р и к о в М. Б., С о р о к и н Р. В. Однородные деформации двухжидкостной плазмы с учетом инерции электронов // Изв. РАН МЖГ. - 2008. - Т. 6. -

6. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. - М.: Мир, 1965. -212 с.

7. ЧэпменС., КаулингТ. Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ, 1960.

10. Гавриков М. Б., Таюрский А. А. Нелинейное поглощение аль-фвеновской волны в диссипативной плазме. Препринт № 68. - М.: ИПМ

П.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир,

Статья поступила в редакцию 23.04.2012