CC BY
5Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/16-49 Ссылка для цитирования этой статьи:
Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Беляев Е.С. Дисперсия и затухание магнитоупругих волн в среде с микроструктурой // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №4.
Выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-10026)._
УДК 539.3
ДИСПЕРСИЯ И ЗАТУХАНИЕ МАГНИТОУПРУГИХ ВОЛН В СРЕДЕ С МИКРОСТРУКТУРОЙ
Ерофеев В .И.12 , Кажаев В.В 2, Беляев Е.С.1
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Россия, Нижний Новгород, erof.vi@yandex.ru 2Институт проблем машиностроения Российской академии наук,
Россия, Нижний Новгород
DISPERSION AND ATTENUATION OF MAGNETOELASTIC WAVES IN A
MEDIUM WITH A MICROSTRUCTURE
Erofeev V.I.1'2, Kazhaev V.V2, Belyaev Ye.S.1
1R.E. Alekseev Nyzhny Novgorod Technical University, Russia, Nyzhny Novgorod, erof.vi@yandex.ru 2 Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences,
Russia, Nizhny Novgorod
Аннотация. Исследовано влияние внешнего магнитного поля и конечной электропроводности материала на дисперсионные и диссипативные характеристики продольной упругой волны, распространяющейся в твердой среде с микроструктурой. Ключевые слова: среда с микроструктурой, магнитоупругая волна, дисперсия, затухание.
Abstract. The effect of an external magnetic field and the finite electrical conductivity of a material on the dispersion and dissipative characteristics of a longitudinal elastic wave propagating in a solid medium with a microstructure is studied.
Keywords: medium with microstructure, magnetoelastic wave, dispersion, attenuation
В [1-3] показано, что динамические процессы в упругой среде с микроструктурой, характеризуемой вектором перемещений u и находящейся в магнитном поле с вектором напряженности H описываются системой уравнений:
д 2щ д2
дН
д
г
дх.
д
с
ik
дt
- = ГОЬ
\
ди д
дх
а Ыт
4пр
— \rotH Н]
, Н
divH = 0
(1)
где р - плотность среды, ск - тензор напряжении, ск1т - тензор
"микронапряжений". Его антисимметричная часть является тензором моментных напряжений. Влияние микроструктуры учитывается с помощью гипотез Леру о наличии в материале моментных напряжений и описывается
градиентом микродисторсии Гкт = -иикт .
Направление вектора напряженности внешнего постоянного магнитного поля предполагается перпендикулярным направлению распространения волны деформации. Связь волнового числа и частоты продольной волны деформации описывается комплексным бикубическим по волновому числу уравнением:
К6 + (1 + iQI)K4 + [(1 + с2 - а2 ]к2 - Ю3 = 0, (2)
где К, а - безразмерные волновое число и частота; с = сА/с1; Ъ - безразмерная проводимость, С1 =^(Л + 2^)/р - скорость распространения продольной волны
в отсутствие микроструктуры ; СА = у]НЦ4лр - скорость волны Альфвена. Для идеально проводящего тела (Ъ=ю) уравнение (2) сводится к виду
К4 +(1 + с2 )К2-а2 = 0 (3)
На рис.1 приведены зависимости волнового числа (вертикальная ось) от частоты продольной магнитоупругой волны (горизонтальная ось). Для дисперсионных зависимостей характерно наличие высокочастотной дисперсии, вызванной взаимодействием коротких волн с микроструктурой среды.
/ / /
ч 2 4 6 8 1
Рис.1.
5
Частота
Конечная проводимость среды приводит к появлению затухания, т.е. к появлению мнимой части волнового числа. Результат численного решения уравнения (2) для конечной проводимости и различных значений магнитного поля представлен на рис.2-3.
Действительная часть
Мнимая часть
2.5
к о
и
-2.5
2.5
10
к о
и
-2.5
10
Частота
Частота
Рис.2.
Дейсвительная часть
Мнимая часть
2.5
-2.5
4 6 8
Частота
Частота
5
5
5
5
5
Рис.3.
В магнитоупругих средах с конечной проводимостью возможно существование трех волновых мод. Учет конечной проводимости обуславливает появление затухания волн. Для рассмотренной модели среды характерно наличие дисперсии, которая определяется наличием микроструктуры, конечной проводимостью и магнитным полем. Магнитное поле приводит к увеличению фазовой скорости продольной волны.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 15-19-10026).
Литература
1. Erofeyev V., Kazhaev V., Kovalev S. Longitudinal magneto-elastic waves in solids with microstructure // IUTAM Symposium on Mechanical and Electromagnetic Waves in Structured Media. Proceedings. Held in Sydney, NSW, Australia, 18-22 January 1999. R. C. McPhedran, L. C. Botten, N.A. Nicorovici (Eds.). Kluwer Academic Publishers. 2001. P.149-158.
2. Erofeyev V.I., Kovalev S.I. Self modulation of quasi-periodic shear magneto-elastic waves // Acoustics Letters. 1997. V.20. P.266-268.
3. Erofeyev V.I., Kovalev S.I. Microstructured solids: Non-linear model and analysis of magneto-elastic wave processes // Material Instabilities in Solids, ed. R. de Borst, E. van der Giessen. J. Wiley and Sons, Chichester, UK, 1998. P.55-64.
