Учет влияния инфляции на изменение стоимости азиатского реального опциона Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Инновационное развитие

Удк 330.322.2

учет влияния инфляции на изменение стоимости азиатского реального опциона

С. Н. ЯШИН, доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой управления инновационной деятельностью E-mail: [email protected] Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева Е. В. КОШЕЛЕВ, кандидат экономических наук, доцент кафедры государственного и муниципального управления E-mail: ekoshelev@yandex. ru Д. В. ПОДШИБЯКИН, аспирант кафедры экономической информатики E-mail: dimitry. neskazhu@yandex. ru Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

В статье установлена степень влияния разницы между ставкой инфляции и безрисковой ставкой по инвестициям на точность оценки стоимости азиатского реального опциона. Показано на примере, что в случае опережения темпом инфляции доходности безрисковых инвестиций, характерного для России, оценка опциона в триномиальной решетке будет ниже оценки в биномиальной решетке. Результат имеет практическую ценность для аналитиков, учитывая, что триномиальная модель является более точной дискретной моделью, чем биномиальная.

Ключевые слова: азиатский реальный опцион, модель Блэка-Шоулза, биномиальная модель, триномиальная модель.

Инновационное развитие отечественных предприятий происходит в условиях недостатка финан-

совых средств. Проблема усугубляется также тем, что внешнее экономическое окружение предприятий все еще недостаточно стабильно по причине цикличности глобальных экономических кризисов, несовершенства российской нормативно-правовой базы, а также из-за отечественных особенностей предпринимательских и финансовых рисков. Последние в свою очередь предопределили применение известного термина, характеризующего российский рынок как «рынок развивающийся» [3].

В подобных условиях необходимы создание и использование передовых технологий финансирования и развития инноваций. К таким технологиям относятся реальные опционы. Несмотря на то, что их широкое применение в бизнесе в зарубежных странах прекратилось еще в 1990-х гг. [4], в России

данный способ финансирования активно используется по причине высокого риска экономики страны.

Основным лозунгом применения реальных опционов в бизнесе является: «риск — не угроза, а ресурс». Надо отметить, что он справедлив, поскольку именно реальные опционы повышают инвестиционную привлекательность инновационных проектов в силу возникающей при этом гибкости в отношении управленческих решений. Однако использовать данный ресурс следует разумно, для чего требуется достаточная точность финансовой оценки реального опциона. Именно по этой причине зарубежные технологии, связанные с реальными опционами, нельзя напрямую переносить на российский финансовый рынок. Их необходимо модернизировать по двум наиболее важным направлениям:

1) дальнейшая адаптация финансовых опционов к условиям производства таким образом, чтобы превратить их в адекватные производству реальные опционы;

2) учет фактора повышенного риска российского рынка посредством применения на практике реальных азиатских опционов, т. е. опционов с изменяющейся ценой исполнения.

Одним из базовых отличий реальных опционов от традиционных технологий инвестиционного анализа является то, что для их оценки не требуется знать цену капитала инвестиционного или инновационного проекта. Благодаря применяемому в них риск-нейтральному подходу необходимо иметь информацию лишь о безрисковой ставке по инвестициям. За рубежом подобный ориентир всегда в распоряжении финансовых аналитиков. Например, в США в качестве такового применяется ставка по казначейским облигациям. В других развитых странах часто используют ставку LIBOR. В РФ решение этого вопроса гораздо сложнее, так как даже государственные облигации не считаются абсолютно безрисковыми. Поэтому за неимением лучшего специалисты нередко предпочитают брать в качестве безрисковой ставки ставку рефинансирования. Но такой подход искажает результаты оценки реальных опционов. Причина заключается в том, что за рубежом инфляция несколько превышает безрисковую ставку, а в России наоборот — реальная инфляция превышает ставку рефинансирования. Под реальной здесь понимается инфляция, как ее определяет профессор М. А. Лимитовский в своей книге «Инвестиционные проекты и реальные опционы на развивающихся рынках» [3]. Он пред-

лагает для анализа брать ставку инфляции в России, равную 25—30 % годовых. Как известно, настоящая ставка рефинансирования в РФ составляет 8,25 % годовых, что и порождает рассматриваемый финансовый парадокс.

Данный парадокс приводит к тому, что, используя для оценки проекта азиатский реальный опцион, исследователи получают в результате в узлах биномиальной и триномиальной решеток в качестве более высокой цены реального опциона достаточно часто цену «мертвого» (исполненного), а не «живого» (не исполненного) опциона. В некоторых работах [5, 6] авторы старались доказать, что наиболее точным методом оценки реальных опционов является триномиальная модель (по сравнению с моделью Блэка—Шоулза и биномиальной моделью). Действительно, чем больше знаний о будущем, тем точнее прогнозирование цены опциона. В этом как раз и заключается преимущество триномиальной решетки по сравнению с биномиальной. Модель же Блэка—Шоулза может применяться в качестве пессимистической оценки реального опциона [3]. При этом рассмотренный авторами пример [6] дал в качестве наиболее высокой оценки опциона как раз наиболее реалистичную, т. е. основанную на триномиальной решетке. Ответ на вопрос — будет ли этот результат таким же в случае рассматриваемого финансового парадокса? — авторы попытались найти в настоящей статье.

В качестве ориентира рациональной постановки задачи оценки стоимости реального опциона (задачи ROV) будем рассматривать проект замены оборудования на гидрогеологическом бурении скважин [3].

Как известно, реальный опцион на модернизацию оборудования является классическим «опционом на будущее развитие» [3]. При анализе перспектив будущего развития ценность опциона обычно прибавляется к ценности бизнеса или проекта, определенной по традиционной DCF-технологии. В качестве цены исполнения опциона К используются вложения капитала в развитие (расширение, тиражирование опыта). Текущая ценность базисного актива — это приведенная к сегодняшнему дню оценка денежных потоков, которые генерируются бизнесом (довольно часто она меньше, чем цена исполнения). Время ^ в моделях применительно к реальным опционам — это срок, в течение которого возможно принять решение о расширении бизнеса.

Итак, ООО «Водяной» оказывает услуги садоводческим товариществам Подмосковья по бурению скважин на воду. Всего на балансе ООО — десять буровых установок, работающих на различных объектах и в различных районах области. Директор фирмы рассматривает возможность существенной модернизации имеющихся агрегатов, которая позволит сократить текущие издержки, повысить производительность установок и получать больше заказов от потенциальных клиентов. Для решения поставленной задачи руководством фирмы решено провести обоснование модернизации.

Приведем исходные данные для расчетов по наиболее вероятному сценарию развития событий в расчете на один буровой агрегат (табл. 1).

Никаких дополнительных затрат и выгод, связанных с приростом рабочего капитала, в проекте нет. Норма амортизации техники составляет 20 %, по истечении пятилетнего срока чистая ценность от ликвидации оборудования равна нулю.

Все расчеты проводились на реальной основе — в постоянном масштабе цен. Исходные финансовые данные для расчетов представлены в табл. 2.

Расчеты, проведенные финансовым директором по традиционной технологии, показывают невыгодность осуществления модернизации ни на одной, ни тем более на десяти буровых установках. Каждый из проектов понижает богатство владельцев на ЫРУ = 1 511,25 долл. [6], что по меркам данной компании большая сумма.

Вместе с тем у директора возникли большие сомнения в результатах расчетов, связанные с точностью предсказания денежных потоков. Дело в той

неопределенности, которую несут в себе исходные допущения относительно:

а) количества заказов и связанных с этим текущих затрат на один пробуренный метр (возможна экономия на условно-постоянных расходах) и коэффициента использования оборудования;

б) безотказности работы новой техники и периодичности ремонта;

в) средней глубины пробуриваемых скважин (оплата происходит не по метражу, а по результату бурения — количеству продуктивных скважин) и др.

В результате точность расчета эффекта имеет среднеквадратическое отклонение с = 40,33%.

Чтобы не рисковать всем бизнесом и получить более точную информацию о результатах проекта, директор компании решает провести эксперимент: несмотря на негативные результаты расчетов, осуществить модернизацию на одном из буровых агрегатов. Если результат окажется удачным (что будет ясно в течение года), можно будет тиражировать опыт на прочих девяти установках.

Итак, пилотный проект дает информацию о том, что может произойти с последующими девятью установками, и раскрывает неопределенность. Фактически он предоставляет право в течение года вложить деньги еще в девять таких проектов при благоприятных для этого обстоятельствах (положительном результате пилотного проекта). Это право представляет собой колл-опцион на 9 проектов (или 9 опционов — каждый на 1 проект).

Кроме всего прочего следует учесть, что со временем деньги обесцениваются — даже за один год. Эта проблема особенно актуальна для развивающихся рынков, каковым является Россия. Таким

Таблица 1

исходные экономические данные для расчетов на один буровой агрегат

Показатель Значение показателя

Базовый вариант Иовая техника

Производительно сть, м/станко-смена 8,1 12,2

Коэффициент использования оборудования по времени 0,5 0,5

Среднее число смен в году, ед. 304 304

Средняя цена одного пробуренного метра, долл. 22 22

Средние текущие затраты на одну станко-смену, долл. 123,4 96,1

Чистые капитальные затраты, включая приобретение новых агрегатов за минусом чистой ликвидационной ценности старых, долл. — 20 000

Таблица 2

исходные финансовые данные для расчетов на один буровой агрегат

Показатель Значение показателя, процентов в год

^/АСС компании в реальном выражении 12

Ставка налога на прибыль в РФ 20

образом, приходим к модели азиатского опциона, т. е. опциона с изменяющейся ценой исполнения (в данном случае по ставке инфляции i = 25% годовых).

Чтобы учесть все необходимые для расчетов российские экономические особенности, следует входные параметры данного примера пересчитать в рублях. Предположим, что оценка производится в июле 2013 г., когда доллар стоил примерно 32,5 руб. Тогда текущая цена базисного актива (РУ денежных притоков проекта) составит

= 18 488,75-32,5 = 600 884 руб. Цена исполнения опциона (инвестиции в проект) на конец года с учетом инфляции будет равна К = 20 000-32,5-1,25 = 812 500 руб. Непрерывная годовая ставка безрисковой доходности (сила роста) равна

г = 1п (1+г) = 1п 1,0825 = 0,079273 (7,9273%). Среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за год также необходимо пересчитать с учетом коэффициента корректировки на риск для России, равного 1,85 [3]

с = 0,4033-1,85 = 0,746105 (74,6105 %). Наконец, ЫРУ проекта без опционов составит NPV = - 1 511,25-32,5 = - 49 116 руб. Теперь оценим опцион в рублях, используя для этого три модели:

1) модель Блэка—Шоулза (ОРМ);

2) биномиальную модель (ВТМ);

3) триномиальную модель (ТТМ). решение задачи ROV модернизации оборудования с использованием модели Блэка—Шоулза. Формальная запись ОРМ, выведенной для оценки премии по европейскому колл-опциону [9], выглядит следующим образом:

С0 = 50 N Ц) - Ке-гТЫ (¿2);

(1)

1п

К

Г

+ г +

\

с>1Т

2

Т

(2) (3)

ё2 = - су[Т, где С0 — текущая цена колл-опциона;

— текущая цена базисного актива (предполагается, что актив не приносит текущего дохода, т. е. дивиденда или купона); N (с1) — кумулятивная функция нормального распределения;

К — цена исполнения опциона (цена страйк); г — непрерывная годовая ставка безрисковой доходности (сила роста); с — среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за год; Т — время до исполнения опциона (в годах). Важно, что с в рассматриваемом примере не меняется по причине короткого срока реального опциона — один год. Таким образом, оцениваем азиатский реальный опцион с постоянной вола-тильностью бизнеса. Проделаем это в табл. 3 по формулам (1), (2), (3).

Решение задачи ROVмодернизации оборудования с использованием биномиальной модели. При моделировании с длительным временным шагом А^ биномиальное дерево согласно точке зрения Ябура, Крамина, Янга [13] и Халла [12] может быть построено в соответствии со следующими уравнениями:

и = е

(4)

Таблица 3

Оценка азиатского реального опциона с постоянной волатильностью бизнеса с использованием OPM

Параметры и показатели Значения параметров и показателей

Количество опционов в проекте, ед. 9

¿0 по каждому опциону, руб. 600 884 (РУ денежных притоков проекта)

К по каждому опциону, руб. 812 500 (инвестиции)

г 0,079273 (безрисковая непрерывная ставка)

Т 1 (срок опционов — 1 год)

с 0,746105

с11 0,074916

— 0,671189

N2 Ц) 0,529866

N 0,251034

С0-- руб. 129 966

^У проекта с опционами, руб. 129 966 ■ 9 - 49 116 = 1 120 578

d = е

Р =

е -

(5)

(6)

тальной ставке инфляции I = 41,25 -1 = 0,057371.

В биномиальной СЯЯ-модели цену «живого» опциона [1, 2] можно рассчитать по формуле

и -

где и — темп повышения стоимости базисного актива;

С — темп понижения стоимости базисного актива;

р — псевдовероятность события и; с — среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за год;

Аг—временной шаг между узлами биномиальной решетки (в годах);

г — непрерывная годовая ставка безрисковой доходности (сила роста). Используя модель (4), (5), (6) для А^ = 0,25 года, получаем следующую параметризацию в рассматриваемом примере

и = 1,501154; d = 0,693088; р = 0,404581; 1 - р = 0,595419, где 1 — р — псевдовероятность события d, так как и и С образуют полную группу событий. В результате согласно значениям и и d получаем биномиальное дерево для изменения стоимости базисного актива (РУ денежных притоков пилотного проекта) в руб. (рис. 1). На этом же рисунке отобразим изменение цены исполнения опциона К по квар-

С ? =

РС+1,и + (1 - Р)С+и

(7)

Рис. 1. Биномиальное дерево изменения цены базисного

Таким образом, можно оценить стоимость опциона в любом периоде г, если известны Сг+1и и Св следующем периоде г + 1.

Поскольку рассматривается колл-опцион, то в каждом периоде ^ цена «мертвого» опциона [2] вычисляется по формуле

СА = тах ф - К,0}. (8)

Используя формулы (7) и (8), можно последовательно рассчитать цены опциона, начиная с четвертого квартала и заканчивая настоящим моментом времени (рис. 2). При этом в каждом узле биномиального дерева в целях последовательного расчета из цен С N и С А выбирается максимальная.

В результате, работая по дереву от его конца к началу, можно получить цену данного опциона пилотного проекта в нуле. Она составит величину С0 = 144 046 руб. Тогда МРУ проекта модернизации оборудования с 9 опционами составит

МРУ = 144 056 • 9 — 49 116 = 1 247 388 руб.

Это несколько больше результата расчета согласно ОРМ. Такова уточненная оценка эффекта проекта.

Решение задачи ROV модернизации оборудования с использованием триномиальной модели. Применение классической биномиальной СЯЯ-модели [10], пусть даже и уточненной с помощью уравнений (4), (5), (6), обладает определенным набором недостатков, связанных с ситуацией изменения волатильнос-ти бизнеса во времени [11]. Однако самый существенный недостаток заключается в том, что в случае очень малой или даже несуществующей волатильности в течение некоторого периода времени любое движение отклонения цены базисного актива вверх или вниз от ожидаемого значения в будущем, т. е. увеличения по безрисковой ставке, сделает построение биномиального дерева актива руб. невозможным [11].

-1+ Г А г

а в соответствии со следующими уравнениями:

т2 (У -1)

Ри =

и2 + та - ит - иа

т - и

Ра = Ри 1

а - т

Рт = 1 - Ри - Ра;

и = егА;

а = егА;

(9)

(10) (11) (12) (13)

Рис. 2. Биномиальное дерево изменения цены реального опциона, руб

Триномиальные деревья, разрешающие данные противоречия [11], являются другим дискретным представлением движения цены базисного актива, аналогичным биномиальным деревьям. Триномиальные решетки имеют три параметра скачков и, т и а и три соответствующие им вероятности Ри, Рт и Ра. В течение этого времени шаг цены актива может перейти к одному из трех узлов:

— с вероятностью Ри в верхний узел до значения 5и;

— с вероятностью Рт к середине узла до значения 8т;

— в нижний узел до значения 5а с вероятностью Ра.

Авторы предполагают, что сумма вероят -ностей равна единице, поэтому устанавливают Рт = 1 — Ри — Рс1. В конце каждого шага во времени есть пять неизвестных параметров: две вероятности Ри и Рё и три узла цены 5и, 5т и 5а.

При этом небольшая модификация, предложенная Ябуром, Крамином, Янгом [13] и Халлом [12], заключается в использовании более точной оценки отклонения вместо с^/А. После этих изменений, согласно точке зрения Хаателы [11], построение параметра триномиальной решетки приводит к улучшенной общей форме параметризации для всех вероятностей переходов и размеров скачков и, т и

т =е ; (14)

У = еа2/А . (15)

При этом оправданное значение дисперсионного параметра X составляет 1,12 [11]. Это делает пространство состояний плотным и обеспечивает достаточно хорошие вероятности переходов между узлами триномиальной решетки (дерева).

Используя модель (9) — (15) для Аt = 0,25 года, получаем следующую параметризацию в рассматриваемом примере:

и = 1,578623; й = 0,659076; т = 1,020016; У = 1,149317; Ри = 0,302443; Ра = 0,468074; Рт = 0,229483. В результате согласно значениям и, т и а получаем триномиальное дерево для изменения стоимости базисного актива (РУ денежных притоков пилотного проекта) в руб. (табл. 4). В табл. 4 показано также изменение цены исполнения опциона К по квартальной ставке инфляции I = 4125 -1 = 0,057371.

В триномиальной модели цену «живого» опциона [11] рассчитываем по формуле

РиС,+1,и + РтС,+1,т + РаС<+1,а

с =

(16)

Таким образом, можно оценить стоимость опциона в любом периоде ,, если известны С,+1и, С(+1т и С(+1 а в следующем периоде , + 1.

Поскольку рассматривается колл-опцион, то в каждом периоде £ цена «мертвого» опциона С/ вычисляется так же, как и в случае биномиальной модели, по формуле (8).

Используя формулы (16) и (8), можно последовательно рассчитать цены опциона, начиная с четвертого квартала и заканчивая настоящим мо-

Таблица 4

Триномиальная решетка изменения цены базисного актива, руб.

Показатель t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

— — — — 3 731 680

— — — 2 363 883 2 411 197

— — 1 497 433 1 527 405 1 557 978

— 948 569 967 555 986 922 1 006 677

600 884 612 911 625 179 637 693 650 457

— 396 028 403 955 412 040 420 288

— — 261 013 266 237 271 566

— — — 172 027 175 470

— — — — 113 379

К 650 000 687 291 726 722 768 414 812 500

Таблица 5 Триномиальная решетка изменения цены реального опциона, руб.

Показатель t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

С — — — — 2 919 180

— — — 1 595 469А 1 598 697

— — 770 711А 758 991А 745 478

— 340 4611Я 311 026N 264 726 N 194 177

142 293 N 120 629 N 91 447 N 57 575 N 0

— 30 955 N 17 071 N 0 0

— — 0 0 0

— — — 0 0

— — — — 0

ментом времени (табл. 5). При этом в каждом узле триномиальной решетки, как и биномиальной, в целях последовательного расчета из цен С и С выбирается максимальная.

В результате, работая по дереву от его конца к началу, можно получить цену данного опциона пилотного проекта в нуле. Она составит величину С0 = 142 293 руб. Тогда ЫРУ проекта модернизации оборудования с 9 опционами составит

NPV = 142 293-9 — 49 116 = 1 231 521 руб.

Это несколько больше результата расчета согласно ОРМ, но меньше результата расчета согласно биномиальной модели. Такова еще более точная оценка эффекта проекта.

В заключение проведем сравнение результатов трех описанных моделей оценки азиатского реального опциона модернизации оборудования компании с постоянной волатильностью бизнеса. Напомним, что в целях анализа использовались три модели:

1) модель Блэка-Шоулза (ОРМ);

2) биномиальная модель (ВТМ);

3) триномиальная модель (ТТМ).

Сравнение цен опциона в исследуемом примере

дает следующие результаты:

С0 = \ 129 966 < 142 293 < 144 046!

Тогда ЫРУ проекта модернизации оборудования компании с 9 опционами составит

ЫРУ = Л 120 578 < 1 231 521 < 1 247 388 I.

I ОРМ ТТМ ВТМ

Без пересчета в рублях входных параметров опциона [6] авторами была получена иная зависимость для цены опциона и ЫРУ проекта

ОРМ < ВТМ < ТТМ .

Новый результат обусловлен следующими причинами.

1. Поскольку с пересчитывали с учетом коэффициента корректировки на риск для России, а также использовали в качестве безрисковой ставку рефинансирования 8,25 % и реальный уровень инфляции в России 25 %, оценка проводилась, таким образом, в условиях / > г^., в то время как в развитых странах соотношение ставок иное: / < г^..

2. Указанный подход привел к тому, что в некоторых узлах биномиальной и триномиальной решеток цена «мертвого» (исполненного) опциона превысила цену «живого» (не исполненного) опциона. А это привело к тому, что наиболее высокую оценку

реального опциона дала биномиальная модель, а не триномиальная, как это было в долларах.

Данный результат не противоречит финансовой практике оценки реальных опционов, а скорее подтверждает ее основные выводы. Например, представители бразильской финансовой школы реальных опционов [8] утверждают, что биномиальная СЯЯ-модель дает несколько завышенную оценку опциона. И это при том, что представители финской школы [11] доказывают: триномиальная модель является более точной дискретной моделью оценки, нежели биномиальная. Это не противоречит классической теории опционов, поскольку, чем больше знаний о будущем, тем точнее будет настоящая оценка актива. Подобные рассуждения подводят к основному выводу относительно практики оценки азиатских реальных опционов: оценку азиатского реального опциона необходимо проводить в условиях инфляции, что позволяет учесть влияние безрисковой ставки по инвестициям на стоимость опциона.

Все это может существенно влиять на принятие управленческих решений в отношении инвестиций в инновации. Полученные результаты способны ускорить модернизацию программного обеспечения, позволяющего составлять и оценивать реальные опционы. А главное — они могут быть полезны бизнесменам, менеджерам и финансовым аналитикам производственных компаний при разработке и обосновании стратегических решений в инновационном развитии бизнеса [7].

Список литературы

1. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер. 2000.

2. Крушвиц Л., Шефер Д., Шваке М. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений. СПб.: Питер. 2001.

3. Лимитовский М. А. Инвестиционные проекты и реальные опционы на развивающихся рынках:

учеб. -практич. пособие. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Юрайт. 2008.

4. Рош Дж. Стоимость компании: от желаемого к действительному. Минск: Гревцов Паблишер. 2008.

5. Трифонов Ю. В., Яшин С. Н., Кошелев Е. В. Применение реальных опционов для инвестирования инноваций в условиях ограниченности информации // Финансы и кредит. 2011. № 30.

6. Трифонов Ю. В., Яшин С. Н., Кошелев Е. В. Разработка и обоснование финансовых планов модернизации оборудования компании на основе методов оценки стоимости реальных опционов // Финансы и кредит. 2013. № 25.

7. Яшин С. Н., Кошелев Е. В., Купцов А. В. Разработка и реализация инновационно-инвестиционной стратегии предприятия: монография. Н. Новгород: Изд. НГТУ. 2011.

8. Bastian-Pinto C., Brandгo L., Ozorio L., A Symmetrical Binomial Lattice Approach, for Modeling Generic One Factor Markov Processes. Real Options: Theory Meets Practice. 16th Annual International Conference. Rome, Italy. 2012. June. URL: http:// realoptions. org/openconf2012/data/papers/26.pdf.

9. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journ. Polit. Econ. 1973. May—June.

10. Cox J., Ross S., Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach // Journal of Financial Economics. 1979. 7.

11. Haahtela T. Recombining Trinomial Tree for Real Option Valuation with Changing Volatility. Real Options: Theory Meets Practice. 14th Annual International Conference. Rome. Italy. 2010. June. URL: http://www. realoptions. org/papers2010/241.pdf.

12. Hull J. Options, futures and other derivatives. 2006. Prentice-Hall.

13. Jabbour G., Kramin M., Young S. Two-state Option Pricing: Binomial Models Revisited // Journal of Futures Markets. 2001. Vol. 21.