CC BY
105
УДК 336.76
Грылева Ирина Валентиновна
ФГБОУ ВПО «Псковский государственный университет»
Россия, Псков1 Кандидат экономических наук Доцент кафедры экономики и управления на предприятии
Границы применимости современных моделей ценообразования опционов
Аннотация. В исследовании обозначена необходимость качественно проработанных, учитывающих различные условия и ограничения, моделях ценообразования опционов, применимых к разным видам опционов. В мире в целом и в России, в частности происходит интенсивное развитие рынка опционной торговли. Однако, разработанные модели ценообразования опционов не позволяют оценивать все их разновидности, кроме того, не для всех моделей четко проработаны их границы применимости. В исследовании проведен обзор, выявлены достоинства и недостатки, а также обозначены условия применения основных существующих моделей и методов ценообразования опционов. Исследованы границы применимости биномиальной модели ценообразования опционов, выявлен ошибочный подход к расчету вероятности роста цены базисного актива в биномиальной модели, представлен график обозначающий области корректного применения биномиальной модели ценообразования опционов при различных значениях возможного дискретного увеличения цены базисного актива по истечении заданного промежутка времени. Показана некорректность применения биномиальной модели ценообразования опционов в некоторых реально складывающихся рыночных условиях. Результаты исследования расширяют знания об условиях и границах применения моделей ценообразования опционов участниками рынка опционной торговли и обозначают дальнейшие пути их совершенствования.
Ключевые слова: методы и модели ценообразования опционов; биномиальная модель; модель Кокса-Росса-Рубинштейна; производные финансовые инструменты; границы применимости.
1 180000, Россия, г. Псков, пл. Ленина, 2 1
В современных условиях российский и мировой рынок производных финансовых инструментов активно развиваются. В таблице 1 приведены объемы опционных сделок в стоимостном и количественном выражении, заключенных на ОАО «Московская биржа ММВБ - РТС» (ММВБ-РТС) в 2010-2013 годах [10].
Таблица 1
Объемы опционных контрактов на ММВБ-РТС
Объем сделок за Объем сделок за Объем сделок за Объем сделок за
Вид 2010 год 2011 год 2012 год 2013 год
опциона Млн. Тыс. Млн. Тыс. Млн. Тыс. Млн. Тыс.
руб. шт руб. шт руб. шт руб. шт
Опционы на 119 143,3 331,8 127 530,3 293,7 77 687,8 155 90 251, 9 255,9
фьючерсы
на акции
Опционы на 1 196 629,3 1674,1 3 432 342,2 3673,4 3 051 194 3094,5 3 778 167 3581,
фьючерсы 6
на индексы
Прочие 48 482,5 20,6 38 127,7 32,9 79 851,3 67,8 137 362, 5 160,5
опционы
Итого 1 364 255,1 2026,6 3 598 000,2 3999,9 3 208 733,2 3317,3 4 005 781, 4 3998
Как видно из таблицы 1, только на ММВБ-РТС заключается порядка 4 миллионов опционных сделок в год, общие объемы контрактов в стоимостном выражении достигают нескольких триллионов рублей в год, опционные контракты заключаются и на других российских биржах, кроме того, существует внебиржевой рынок опционной торговли [6]. Таким образом, у участников рынка опционной торговли возникает потребность в качественно проработанных моделях ценообразования опционов.
В настоящее время разработаны различные модели оценки опционов, однако, они не обладают универсальностью и не охватывают все разновидности опционных контрактов, существующих на рынке [1]. Обзор существующих методов и моделей ценообразования опционов, подготовленный на основе [2], [4], [5], [9], их достоинств и недостатков, представлен в таблице 2.
Наиболее универсальным способом оценки опционов является построение моделей ценообразования с использованием метода Монте-Карло [3], [5]. Однако, его применение, требует самостоятельной разработки отдельной специализированной модели для каждого вида опционов, отсутствуют стандартные готовые модели, что неудобно для большинства участников рынка опционных контрактов.
Таблица 2
Обзор моделей и методов ценообразования опционов
Метод оценки стоимости опционов Модель Блэка-Шоулза-Мертона (и ее модификации) Биномиальная модель (и ее модификации) Метод Монте-Карло
Сфера применения в ценообразовании опционов Оценка европейских опционов, ограниченная оценка американских опционов Оценка европейских, американских, азиатских, экзотических опционов Оценка любых видов опционов
Достоинства Известность, легкость применения, аналитические формулы Широкая сфера применения Метод применим для оценки любых видов опционов
Недостатки Ограниченность применения Исходят из нецелесообразности досрочного исполнения американского опциона при отсутствии дивидендов, что не всегда верно Есть некорректности в формулах базовой модели, что приводит к некорректности применения в ряде случаев Необходимость самостоятельной разработки модели для каждого вида опционов Стандартные модели отсутствуют
Модель Блэка-Шоулза-Мертона имеет ограниченную сферу применения и может использоваться, главным образом, для оценки европейских опционов.
Возможность применения данной модели для оценки американских опционов колл рассматривается как следствие утверждения, что досрочное исполнение опциона на покупку бездивидендной акции не является оптимальным [9]. Однако, данное утверждение спорно. В течение срока действия опциона рыночная конъюнктура может сложиться таким образом, что текущая стоимость акции окажется выше цены исполнения опциона и в этом случае досрочное исполнение опциона будет выгодным. Кроме того, не предполагается возможность применения модели Блэка-Шоулза-Мертона для оценки американских опционов пут [7].
Биномиальная модель ценообразования опционов и основанная на ней модель Кокса-Росса-Рубинштейна предназначены для оценки европейских, американских, азиатских и экзотических опционов [6], [9]. Метод основан на построении биномиального дерева, диаграммы, демонстрирующей результаты различных вариантов изменения цены базисного актива в течение срока действия опциона. При применении данного метода исходят из предположения, что за каждый промежуток времени, продолжительностью Д^ темп роста цены базисного актива может составить либо величину и>1, либо величину d<1 (рис.1). Цена базисного актива в момент заключения опционного контракта предполагается равной So.
Ба • и2
Бс f
ии
Б • и • d
иЬ
• d
2
dd
Рис. 1. Цена акции и цена опциона в биномиальном дереве [9]
Стоимость опциона через Дt лет, в случае если темп роста цены будет равен и, равна Стоимость опциона через Дt лет, в случае если темп роста цены будет d, равна fd. Стоимость опциона через 2 шага по Д^ если на обоих шагах темп роста равен и, окажется равной £ш. Стоимость опциона через 2 шага по Д^ если на одном из них темп роста равен и, а на другом -d, будет равна Стоимость опциона через 2 шага по Д^ если на обоих шагах темп роста d, будет равна fdd.
Цена опциона f в корне биномиального дерева рассчитывается по следующей формуле
[9]:
/ = в~г'А-(р • /и +(1 - р)- )
(1)
Параметры ^ и fd определяются также с помощью формулы (1.1), исходя из данных о стоимости опционов на следующем шаге (£ш, fdd). Стоимость опциона в конечной вершине биномиального дерева (по истечении срока его действия) определяется как выигрыш от его исполнения (неисполнения) при рассчитанной для этой вершины цене базисного актива [9].
Для биномиального дерева, представленного на рис. 1, возможны следующие варианты стоимости опциона в конечной вершине: £ии, fdd. Следовательно:
/и = е г-А •(р• /ии +(1 -Р)-/иа)
/а = -(р • ^ +(1 - р)-/йй)
(2) (3)
Параметр г в формулах (1.1), (1.2), (1.3) - безрисковая процентная ставка. Параметр p рассчитывается по следующей формуле [9]:
Р = -
и - а
(4)
Параметр р в биномиальной модели ценообразования опционов рассматривают как вероятность роста цены базисного актива [8], [9]. Такая трактовка является ошибочной, поскольку данный параметр может принимать значения больше единицы. Действительно, поскольку и>1, 0^<1, г>0, Д^0, параметр р всегда будет больше нуля. Однако, исходя из формулы (1.4), для того чтобы р оказался больше единицы, достаточно чтобы
г • А
> и
Это реализуется в двух случаях: 1) г >
1п(и) А
2) А?>
1п(и)
Помимо того, что трактовка параметра p как вероятности оказывается ошибочной, в случае, если p>1, возникает некорректность в расчете цены опциона по формулам (1) -(3), а именно скачкообразное ее занижение при незначительном увеличении интервала Д^ либо
г
безрисковой ставки г. Авторские результаты исследования границ применимости биномиальной модели ценообразования опционов представлены графически на рис. 2.
На рис. 2 приведены графики функции г = для различных значений параметра и.
At
Корректное применение рассматриваемой биномиальной модели при каждом значении параметра и возможно при сочетаниях г и Д^ находящихся слева от графика.
Рис. 2. Границы применимости биномиальной модели при различных значениях темпа роста цены базисного актива (и) за промежуток времени At
В частности, если рассматривается изменение цены базисного актива на 0,5% за интервал времени Дt (и=1,005) и безрисковая процентная ставка составляет 10 процентов годовых, то при интервале изменения цены Д^ равном 12 рабочим дням расчет, выполненный по формулам (1.1 )-(1.3) окажется корректным. В случае же, если будет выбран интервал, продолжительностью 13 рабочих дней, возникнет скачкообразное занижение цены опциона.
Аналогично, если при построении биномиального дерева исходят из возможности дискретных изменений цены базисного актива на 0,1% за интервал времени Д^ равный 4 рабочим дням, (и=1,001), то при безрисковой процентной ставке равной 5% годовых расчет цены опциона по формулам (1.1)-(1.3) будет корректным. При ставке 7% годовых корректность расчета окажется сомнительной, т.к. возникнет скачкообразное занижение цены опциона.
Для вычисления параметра и, отражающего возможные дискретные изменения цены базисного актива за интервал времени Дt Коксом, Россом и Рубинштейном в 1979 году была предложена следующая формула [8]:
и = е
л/А
(5)
Параметр о в формуле (2) является волатильностью цены базисного актива, а а- ТА является среднеквадратическим отклонением цены базисного актива за короткий промежуток
времени Дt [8], [9]. Следовательно, приведенные на рис. 2 значения параметра и являются реалистичными. Действительно, для того чтобы параметр и принял значение 1,005, значение среднеквадратического отклонения цены базисного актива должно быть равно а • л/Х = 0,005. Такое незначительное среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за промежутки времени Дt продолжительностью 5-15 рабочих дней является вполне возможным. Значения цены базисного актива, взятые в определенный момент времени и спустя 5-15 рабочих дней от этого момента времени, могут отличаться весьма незначительно.
Таким образом, использование биномиальной модели ценообразования опционов может приводить к некорректным результатам в реальных рыночных условиях. В зависимости от того какие интервалы изменения цены базисного актива выберет пользователь, осуществляющий расчеты по вышеуказанной модели, он получит совершенно различные скачкообразно меняющиеся результаты. Кроме того, трактовка параметра р как вероятности роста цены базисного актива оказывается в корне неверной.
Полученные результаты исследования свидетельствуют о необходимости модификации биномиальной модели ценообразования опционов с целью исключения возможности некорректных результатов ее применения.
В результате проведенного исследования можно сделать следующие заключительные выводы:
1. Модель Блэка-Шоулза-Мертона нуждается в исследовании границ применимости и соответствия предположениям, использовавшимся при выводе.
2. Биномиальная модель может давать некорректные результаты при применении в реальных рыночных условиях.
3. Обширным полем дальнейшего исследования является разработка схем применения метода Монте-Карло к задачам ценообразования опционов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Давнис, В.В., Богданова С.Ю. Моделирование риск-трендовых оценок стоимости опционов / Современная экономика: проблемы и решения. 2010. №1. С. 119 -129.
2. Ермаков М.Ю., Лётчиков А.В., Фёдоров Т.Ю. Ценообразование опционов на основе модели геометрического случайного блуждания в случайной среде / Вестник удмуртского университета. 2007. №2. С. 59-68.
3. Ефремов В.А. Ценообразование опционов на неполных и неликвидных рынках / Международный научно-исследовательский журнал.2012. № 6-1. С. 52-54.
4. Колоколов А.В. Модель расчета цен европейских опционов в дискретном времени, основанная на устойчивых законах распределения / Вестник российского экономического университета им. Г.В. Плеханова.2013. №7. С.102-113.
5. Попова А.А. Оценивание стоимости стандартных опционов с помощью метода Монте-Карло / Актуальные инновационные исследования: наука и практика.
2010. №2. 9-9.
6. Федосеев А.М., Коротких В.В. Особенности оценки стоимости опционов на полном и неполном рынках. / Современная экономика: проблемы и решения.
2011. №4. С. 137-144.
7. Broadie M. and Detemple J. American option valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods // Review of Financial Studies, 9, 4 (1996). - P. 1211-1250.
8. Coval J.E. and T. Shumway. "Expected Option Returns", Journal of Finance, 56, 3 (2001): p. 983 - 1009.
9. John C. Hull Options, Futures, and other derivatives/ John C. Hull. - New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2009.
10. Раскрытие информации ОАО «Московская биржа». Ежемесячная статистика [Электронный ресурс] // Московская биржа [Офиц. сайт] . URL: http://moex.com/a197 (дата обращения: 03.10.2014).
Рецензент: Николаев Михаил Алексеевич, заведующий кафедрой экономики и финансов, декан финансово-экономического факультета Псковского государственного университета, д.э.н., профессор.
Irina Gryleva
Pskov State University Russia, Pskov [email protected]
Limits of applicability of modern option pricing models
Abstract. The study showed the necessity of further development of option pricing models. Russian options market and the world options market are actively developing now. However existing option pricing models can't be used for valuation of all kinds of options. Besides, limits of applicability of some option pricing models are not studied. The report showed the review of option pricing models and methods, their advantages and disadvantages, and the conditions of their using. The paper presents the results of the author's research of limits of applicability of the binomial option pricing model. The erroneous approach to the calculation of the probability of an increase in the underlying asset price was detected in the research. The paper showed the procedure for constructing the graph showing the areas of the correct application of the binomial option pricing model for different values of the percentage increase in the underlying asset price during each time step. The results of the study extended the knowledge of the conditions and limits of applicability of option pricing models.
Keywords: option pricing methods and models; binomial model; Cox, Ross and Rubinstein model; option pricing models; derivatives; limits of applicability.
REFERENCES
1. Davnis V.V., Bogdanova S.U. Model building of risk-trend estimation of option cost / Modern economy: problems u decisions. 2010. №1. P. 119 -129.
2. Ermakov M.Yu., Letchikov A.V., Fedorov T.Yu. Geometric random walk in random environment for option pricing / Herald of Udmurtia university. 2007. №2. C. 59-68.
3. Efremov V.A. Option pricing on incomplete and illiquid markets / International scientific journal.2012. № 6-1. C. 52-54.
4. Kolokolov A.V. European option pricing model in discrete time, based on stable law of distribution / Herald of Plekhanov Russian University of economics. 2013. №7. C.102-113.
5. Popova A.A. Standard options pricing by using Monte-Carlo method / Relevant innovation research: science and practice. 2010. №2. 9-9.
6. Fedoseev A.M., Korotkikh V.V. Features valuation of options on complete and incomplete markets. / Modern economy: problems u decisions. 2011. №4. P. 137-144.
7. Broadie M. and Detemple J. American option valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods // Review of Financial Studies, 9, 4 (1996). - P. 1211-1250.
8. Coval J.E. and T. Shumway. "Expected Option Returns", Journal of Finance, 56, 3 (2001): p. 983 - 1009.
9. John C. Hull Options, Futures, and other derivatives/ John C. Hull. - New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2009.
10. Moscow Exchange Information disclosure. Monthly trading volumes [Electronic Resource] // Moscow Exchange [The official site]. URL: http://moex.com/a197 (Date of access: 03.10.2014)..
