Оценка рисковых активов на фрактальном рынке Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Финансовый рынок

ОЦЕНКА РИСКОВЫХ АКТИВОВ НА ФРАКТАЛЬНОМ РЫНКЕ

а. а. марков,

аспирант кафедры математики E-mail: AAAMarkov@gmail. com Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации

В статье проанализированы фрактальные свойства фондовых рынков РФ и США. Построена модель ценообразования рискового актива на базе дискретной аппроксимации процесса фрактального броуновского движения. Для исключения из модели арбитража в рассмотрение введены пропорциональные транзакционные издержки. На основе полученной безарбитражной модели оценены верхние и нижние границы цен фьючерсных опционов на фондовый индекс.

Ключевые слова: фондовый индекс, фьючерсный опцион, фрактальное броуновское движение, арбитраж, транзакционные издержки, корреляционная размерность, непериодические циклы, персистентность.

Традиционный анализ инструментов ценообразования фондового рынка основан на гипотезе эффективного рынка. Одним из основных допущений данной гипотезы является независимость приращений цен (доходностей) рисковых активов, в результате чего ценовая динамика подчиняется винеровскому процессу. Следовательно, инвестор лишен возможности систематически получать доход, больший, чем в среднем по рынку. Цены активов на эффективном рынке определяются фундаментальными факторами и мгновенно реагируют на новостной фон. Резкие изменения цен интерпретируются как переход к новому равновесию.

Однако допущение о независимости доход-ностей весьма уязвимо. История фондовых рынков изобилует периодами длительного сохранения тенденций, причем как повышательных, так и понижательных. В реальности устойчивость рынка

обеспечивается не фундаментальными факторами, а многообразием инвестиционных горизонтов, то есть самоподобием системы. Приняв допущение об однородности приращений доходностей рисковых активов, но отказавшись от свойства их независимости, приходим к предпосылкам гипотезы фрактального рынка. В этих условиях наиболее адекватным инструментом описания ценообразования рисковых активов служит процесс фрактального броуновского движения (далее — ФБД) с показателем Херста Н.

таким образом, модель ценообразования рискового актива имеет вид:

dSt

—- = ^dt+adВlH, (1) St

где St и S0 — стоимости рискового актива в моменты времени t и 0 соответственно; ц — дрейф базисного актива; ст — волатильность базисного актива; В1Н — сечение фрактального броуновского движения (далее — ФБД) с показателем Херста Н в момент времени t.

В исходном виде данная модель допускает арбитраж, так как ФБД с Нф 0,5 не является семи-мартингалом [3, с. 282]. Однако существует ряд подходов к исключению арбитража из модели с ФБД [7, с. 62—69]. Из их числа наиболее приближенным к практическим реалиям торговли на фондовых рынках видится подход, основанный на включении в модель пропорциональных транзакционных издержек [6]. В роли издержек выступают брокерс-

кие комиссии, вычисляемые как фиксированный процент от объема торговой сделки. Проведем оценку справедливой стоимости рисковых активов в рамках данного подхода.

1.Дискретная аппроксимация модели с ФБД

Непрерывная модель (1) является исходной в данной статье, однако для дальнейшего решения ряда задач возникает потребность в переходе к ее дискретному аналогу. Дискретный аналог [8] представляет собой модифицированное биномиальное дерево, в котором цена рискового актива на п-м шаге определяется по формуле:

Sn = Sn-1 ■ (1 + а + X n) ,

(2)

где а — смещение, определяемое как средняя доходность в расчете на шаг;

ХХп — коэффициент повышения (понижения), вычисляемый путем замены интеграла в интегральном представлении ФБД на частичные суммы.

Известно [9], что ФБД можно представить в виде интеграла:

BH = j z(t,s)dBs,

(3)

где I (¿, я) — детерминированное ядро. В5 — винеровский процесс. Детерминированное ядро вычисляется по формуле:

z(t,s) = cH(H -0,5У'5-H\ин-0■5(u -s)H-1'5(¡и, (4)

где сн =

2НГ(1,5 - H)

н Л,Г(Н + 0,5)Г(2 - 2Н) Г (х) — гамма-функция Эйлера. Следуя известным нам исследованиям [6], положим:

k(n,i):=VN I z(—,s)ds, N

i-i

(5)

где п — номер шага;

N — общее число шагов в дискретной модели.

Пусть I = 1, 2,..., N — дискретные случайные величины, такие, что Р(^ = 1) = 0,5 = Р(^ = -1). Формулы:

п-1

un =а£(k(n,i)-k(n - 1,i) Ei +<jk(n,n)■1, (6)

i=1

n-1

dn =ct£(k(n,i) - k(n - 1,i) Е +ak(n,n) ■ (-1) (7)

задают повышающие и понижающие коэффициенты на n-м шаге.

В формулах (6) и (7) 1 и — 1 — возможные значения дискретной случайной величины Еп. Соответственно, на n-м шаге ХХп из формулы (2) может принять одно из двух значений:

XX = u , если Е. = 1, или

n W '

XXn = если Е = — 1.

Таким образом, повышающие и понижающие коэффициенты модели (2) отличаются от шага к шагу и зависят от движений цены базисного актива на предыдущих шагах модели. Это отражает память приращений, свойственную ФБД. В результате в данной биномиальной решетке, в отличие от классической биномиальной модели Кокса—Росса—Рубинштейна, на любом n-м шаге все значения Sn различны.

динамика цены безрискового актива описывается соотношением:

Bondn = Bondn-1 ■ (1 + rn) , (8) где rn — безрисковая процентная ставка на n-м

шаге.

В отдельных исследованиях [8] подчеркивается, что рынок не допускает арбитражных возможностей, если и только если для всех n = 1,..., N выполнено:

d„ < г - а < u

(9)

2. Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом трашакционных издержек (брокерских комиссий)

Предположим, что базисный актив не приносит дивидендного дохода. Для оценки границ справедливой стоимости опционов возьмем за основу известную методологию [5] и адаптируем ее к случаю ФБД.

Оценка верхней границы стоимости европейского опциона-колл на п-м шаге (п < N вычисляется по формуле:

Cu(Sn,n) = E[ Sn -K) | SJ-1-1 - k (1 + r)

, (10),

где Sn и SN — стоимость базисного актива на п-м и Л-м шагах соответственно; k — комиссия за операции по покупкам и продажам в процентах от оборота; К — цена исполнения опциона-колл; г — безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.

Оценка нижней границы стоимости европейского опциона-колл на п-м шаге (п < N вычисляется по формуле:

N

i=1

Ci(S n) = E[C'(Sn+i,n +1 )\Sn,Sn+i <S'(n], (11)

1 + r

где S' (n) определяется из условия:

l-+-k E[Sn+1 \Sn,Sn+i < S'(n) = (1 + r). (12)

1 - k Sn

При этом для n = N граница равна:

Cu(Sn,N) = C'(Sn,N) = (SN - K)) .

Отметим, что формулы (10) — (12) применимы к случаю ФБД, поскольку в их выводе не используется свойство независимости доходностей.

Оценки стоимостей опционов-пут можно получить по аналогии с оценками для опционов-колл.

3. Оценка фрактальных характеристик фондовых индексов на основе исторических цен закрытия

Оценки показателя Херста получены методом нормированного размаха.

для вычисления показателя Херста исторические дневные цены закрытия индексов преобразуются к виду Д-дневных логарифмических доходностей с удаленным линейным трендом вида:

этом из данных удален линейный тренд согласно интегральному виду модели (1).

Путем расчета V-статистики оценена продолжительность непериодических циклов в динамике индексов. V-статистика получена по формуле: (R/S)n

V(R/S)n = -

4n

Y = П

S

S

--|k

к-Д ,

где Sk — цена закрытия индекса в к-й день;

Sk —Д — цена закрытия индекса в (к — Д)-й день;

ц — параметр линейного тренда. Пусть имеется N значений У1, У2,..., Уя. Метод нормированного размаха S-метод) предполагает вычисление следующей статистики для различных значений параметра п:

кк

(R/S)n = ( 1 /Äj£

max

1< k <,

[Z(Yi,a -ea)J - min[£(Yha -ea)]

1<k<n

a=1

V

(1 /n)Z (Yk, a - ea)

k=1

где n — длина временного интервала разбиения; а — порядковый номер интервала разбиения; А — общее количество временных интервалов разбиения, A ■ n = N;

Y a — i-е значение Yв а-м интервале разбиения, включающем k значений Y; ea — среднее по а-му временному интервалу длины n.

Показатель Херста равен тангенсу угла наклона графика зависимости ln (R/S) от ln (n).

Результаты R/S-метода проверены другими методами (табл. 1). расчеты проведены по историческим логарифмическим доходностям [4], при

Проверена гипотеза о том, что характер динамики рынка на некоторых горизонтах обусловлен детерминированным хаосом. Для этого оценена корреляционная размерность индексов.

Полученные оценки показателя Херста (H), а также длины выделенного непериодического цикла для индекса РТС приведены в табл. 1.

Результаты вычислений дают основания считать, что динамика индекса ртс подчиняется процессу черного шума. Это персистентный процесс, характеризующийся существенной зависимостью от начальных условий.

Вместе с тем на некоторых инвестиционных горизонтах наблюдаются признаки детерминированного хаоса в поведении данного индекса. В случае 10-дневного горизонта логарифмические доходности имеют конечную корреляционную размерность, тангенс угла наклона кривой корреляционного интеграла стабилизируется на уровне около 7.

Аналогичные расчеты проведены для индексов ММВБ, Dow Jones Industrial Average, NASDAQ и Standard&Poors 500. Подробнее указанные расчеты и их результаты описаны в работе А. А. Маркова [1].

4. Фьючерсный опцион-колл американского типа на индекс РТС (погашение опциона 14.10.2009.)

По состоянию на 12.10.2009 данный опцион торговался на РТС FORTS. Базисный актив — фьючерсный контракт на индекс РТС с исполнением 14.12.2009.

Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами исполнения 100 000, 110 000, 120 000, 125 000, 130 000 и 150 000 базисных пунктов с одним и тем же базисным активом) проводился ежедневно в течение четырех недель, с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (2) с N = 10 шагов. Оценки параметров модели (2) составили: Н= 0,617 (см. табл. 1); ¡л = 0,000709 (в пересчете на 1 день); ст = 0,02883 (в пересчете на 1 день); r = 9,0079 % годовых — безрисковая процентная ставка, соответствующая доходности наиболее близкой по дюрации государственной облигации 0ФЗ-25057 по состоянию на начало сентября 2009 г. Транзак-ционные издержки (брокерские комиссии) взяты равными 0,01 % от торгового оборота.

i=1

i=1

2

Таблица 1

Оценки показателя Херста и длины выделенного непериодического цикла для индекса РТС

Метод оценки Период (дни) н И средний Циклы

1 0,614

К^-метод 3 0,646

5 0,664

1 0,619

Метод модулей приращений 3 0,646 403-дневный (персистентный).

5 0,597 0,617 При увеличении горизонта

1 0,623 персистентность усиливается

Метод дисперсии 3 0,640

5 0,597

По скорости возрастания дисперсии логдоходностей — 0,586

Проведено сравнение результатов расчетов с реальными ценами сделок, с котировками на покупку и продажу, а также с теоретической ценой опциона-колл, рассчитываемой биржей РТС по формуле Блэка—Шоулза [2]. В табл. 2 представлены результаты расчетов границ стоимостей наиболее ликвидного (из перечисленного набора) опциона в базисных пунктах (б. п.). Опцион имеет цену исполнения 120 000 б. п.

По мере приближения дня погашения, величины оценок верхней и нижней границ стоимости опциона естественным образом сходятся друг к другу. Оценки, как и следовало ожидать, находятся в выраженной прямой зависимости от цены базисного актива. Цены последних сделок

во все дни, когда проводился расчет, попали в интервал между верхней и нижней границами. В данном случае то же самое можно сказать и о теоретических ценах опционов, хотя это скорее стечение обстоятельств, поскольку результаты применения формулы Блэка—Шоулза никак не зависят от модели (2). В то же время цены bid и ask ведут себя достаточно произвольно, что в ряде случаев объясняется невысокой ликвидностью торгов опционами на FORTS.

5. Фьючерсный опцион-колл американского типа на индекс РТС (погашение опциона 14.12.2009.)

По состоянию на 12.10.2009 данный опцион торговался на РТС FORTS. Базисный актив — фьючерсный контракт на индекс ртс с исполнением

Таблица 2

Результаты оценки границ справедливой стоимости фьючерсного опциона на индекс РТС

дата дней до исполнения Цена базового актива (б. п.) Верхняя граница стоимости опциона (б. п.) Нижняя граница стоимости опциона (б. п.) Bid Ask Теоретическая цена Last

14.09.2009 30 116 340 8 435,05 1 316,69 5 530 5 810 5 705 5 425

15.09.2009 29 120 780 10 661,47 4 306,88 7 105 7 230 7 270 7 185

16.09.2009 28 123 590 12 447,71 6 288,69 1 055 9 000 8 550 8 400

17.09.2009 27 124 960 13 143,21 7 296,29 8 070 8 700 8 585 8 400

18.09.2009 26 121 730 10 698,40 4 698,39 7 310 7 705 7 535 7 635

21.09.2009 23 119 805 8 734,03 3094,13 6 500 6 600 6 535 6 500

22.09.2009 22 124 045 11 207,60 6 125,49 8 330 8 895 8 525 8 000

23.09.2009 21 125 010 11 600,38 6 801,86 8 370 9 075 8 990 9 200

24.09.2009 20 123 720 10 443,71 5 682,46 7 435 8 170 7 925 7 700

25.09.2009 19 121 190 8 501,72 3 661,69 5 815 6 375 6 035 7 090

28.09.2009 16 123 640 9 257,57 5 231,83 7 125 7 545 5 500 7 310

29.09.2009 15 124 145 9 303,09 5 530,50 7 100 7 625 5 500 7 400

30.09.2009 14 125 720 10 065,62 6 673,29 7 860 8 385 8 145 8 250

01.10.2009 13 125 370 9 517,86 6 289,06 7 185 7 700 7 700 7 600

02.10.2009 12 120 750 6 168,66 2 611,52 4 205 5 555 4 595 4 610

05.10.2009 9 120 485 5 019,20 2 067,98 3 625 3 700 3 615 3 580

06.10.2009 8 124 070 6 973,69 4 681,80 5 570 6 025 5 875 5 900

07.10.2009 7 129 000 10 471,36 8 865,79 5 000 9 980 9 550 9 800

08.10.2009 6 131 880 12 738,86 11 423,88 12 150 13 350 12 335 12 300

09.10.2009 5 138 460 18 965,10 17 781,01 1 555 20 000 18 515 18 135

Таблица 3

Результаты оценки границ справедливой стоимости фьючерсного опциона на индекс РТС с более длинным сроком исполнения

дата дней до исполнения Цена базового актива Верхняя граница стоимости опциона Нижняя граница стоимости опциона Bid Ask Теоретическая цена Last

(б. п.) (б. п.) (б. п.)

14.09.2009 91 116 340 19 661,96 5 495,29 11 030 11 130 11 040 10 845

15.09.2009 90 120 780 22 349,77 8 626,52 13 010 13 130 13 050 13 130

16.09.2009 89 123590 25 464,41 10 584,77 11 700 18 400 14 340 14 800

17.09.2009 88 124 960 26 301,98 11 566,23 14 220 14 370 14 300 14 650

18.09.2009 87 121 730 23 716,00 9 124,05 12 750 12 800 12 750 12 900

21.09.2009 84 119 805 21 785,77 7 557,63 11 510 11 620 11 550 11 790

22.09.2009 83 124 045 24 637,78 10 542,67 11 105 18 390 14 180 13 775

23.09.2009 82 125 010 25 163,64 11 236,97 14 460 14 915 14 670 15 050

24.09.2009 81 123 720 24 004,17 10 172,75 13 800 13 900 13 875 13 800

25.09.2009 80 121 190 21 981,71 8 298,00 11 735 11 850 11 800 12 565

28.09.2009 77 123 640 23 156,02 9 857,01 12 955 13 075 11 610 13 000

29.09.2009 76 124 145 23 329,34 10 179,31 12 980 13 510 11 610 13 000

30.09.2009 75 125 720 24 303,61 11 359,39 13 700 14 240 13 975 14 070

01.10.2009 74 125 370 23 839,68 11 017,65 13 530 13 680 13 590 13 440

02.10.2009 73 120 750 20 306,88 7 533,94 11 015 11 135 11 080 11 450

05.10.2009 70 120 485 19 532,97 7 148,79 10 665 10 740 10 710 10 555

06.10.2009 69 124 070 21 866,23 9 668,28 11 535 13 530 12 625 10 900

07.10.2009 68 129 000 25 359,11 13 576,65 15 180 15 330 15 290 15 330

08.10.2009 67 131880 27 351,20 15 858,36 10 000 17 725 17 360 17 660

09.10.2009 66 138 460 32 217,48 21 250,91 12 000 24 890 22 305 22 000

14.12.2009. Таким образом, опцион исполняется одновременно с базисным активом.

Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами исполнения 110 000, 120 000, 130 000 и 150 000 базисных пунктов с одним и тем же базисным активом) проводился ежедневно в течение тех же четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (2) с N = 10 шагов. Все параметры модели, кроме срока до исполнения, остаются прежними.

Для обеспечения наглядной сопоставимости расчетов в табл. 3, как и в табл. 2, приведены результаты оценки границ стоимости опциона с такой же ценой исполнения — 120 000 б. п., но более длинным сроком до исполнения.

Как и следовало ожидать, разность между оценками верхних и нижних границ стоимости «длинного» опциона больше, чем «короткого». Однако она предсказуемо уменьшается по мере приближения срока исполнения инструмента. теоретические цены опционов, как и цены последних сделок, попали в интервал между верхней и нижней границами. Цены bid и ask вели себя более произвольно.

результаты проведенных расчетов показали, что гипотеза фрактального рынка вполне согласуется с реальным поведением исследуемых рисковых активов и производных финансовых инструментов

на фондовом рынке. Динамика всех рассмотренных фондовых индексов подчиняется процессу «черного шума», то есть ФБД с показателем Херста H > 0,5. Персистентность индексов меняется в зависимости от длины инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы, и всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл.

Безарбитражная модель, основанная на процессе ФБД, адекватно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов. Показаны адекватность модели (2) — (12) и ее практическая применимость как минимум на российском рынке опционов.

Автор выражает признательность научному руководителю, заведующему кафедрой математики Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации, кандидату физико-математических наук В. Б. Гисину за постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы

1. Марков А А. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов // Сегодня и завтра российской экономики. 2009.. № 30. С. 103—112.

2. Фьючерсы и опционы RTS FORTS — доска опционов. URL: http://www. rts. ru/ru/

forts/optionsdesk. aspx?sby=0&isin = RTS-3.09&sid=1&bSubmit= %CF %EE %EA %E0 %E7 -E0 %F2 %FC+ %2F+ %CE %E1 %ED %-EE %E2 %E8 %F2 %FC.

3. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 2004.

4. Экспорт / Архив РТС Классический. Индекс РТС. Экспорт данных daily. URL: http://export. rbc. ru/expdocs/free. rts. 1.shtml?RTSI.

5. Constantinides G. M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control, 26. 2002. pp. 1323—1352.

6. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Mathematical Finance, Volume 16, Issue 3. 2006. pp. 569-582.

7. Rostek S. Option Pricing in Fractional Brownian Markets. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

8. Sottinen T. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models // Finance & Stochastics 5. 2001. pp. 343—355.

9. Sottinen T., Valkeila E. Fractional Brownian motion as a model in finance. // University of Helsinki, Department of Mathematics, Preprint. — 2001, 302.

и полиграфические работы

ф

Тел.:8-499-166-61-80

Издания любой сложности

• книги • журналы

• проспекты • буклеты

• рекламная продукция

Товаросопроводительная, деловая и представительская документация

Оперативность Высокое качество