CC BY
57
Моделирование в экономике
Удк 330.322.2
разработка и обоснование финансовых планов модернизации оборудования компании на основе методов оценки стоимости реальных опционов
Ю. В. ТРИФОНОВ, доктор экономических наук, профессор, декан экономического факультета E-mail: decanat@ef. unn. ru
С. Н. ЯШИН, доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой управления инновационной деятельностью
E-mail: jashin@52.ru
Е. В. КОШЕЛЕВ, кандидат экономических наук, доцент кафедры государственного и муниципального управления E-mail: ekoshelev@yandex. ru Нижегородский государственный университет
им. Н. И. Лобачевского
В статье предложен метод решения проблемы финансовой постановки задачи оценки эффекта проекта модернизации оборудования производственной компании. Для этого проект анализируется как азиатский реальный опцион с постоянной волатиль-ностью бизнеса. Задача решается с использованием модели Блэка-Шоулза, уточненной и модифицированной биномиальной модели и модифицированной триномиальной модели. Показано, что наиболее точную оценку опциона и всего проекта в целом дает триномиальная модель.
Ключевые слова: модернизация оборудования, оценка реального опциона, азиатский опцион, постоянная волатильность, биномиальная модель, триномиальная модель.
В настоящее время технический прогресс во многом обусловливает повышение материального благосостояния общества. Однако при этом важно правильное понимание процессов внедрения технических и технологических инноваций в социальную деятельность человека, прежде всего в сфере экономического развития общества. Таким образом, экономическое внедрение, в первую очередь технических инноваций в ведущих и развивающихся компаниях, во многом предопределяет успешность функционирования экономики страны, что непосредственно влияет на повышение материального уровня жизни населения.
В Стратегии инновационного развития Российской Федерации на период до 2020 г., утвержденной
Минэкономразвития России в 2010 г. [1], указывается, что «важным инструментом формирования национальных приоритетов технологического развития и объединения усилий бизнеса, науки, государства по их реализации станут технологические платформы. Содействие формированию и реализации технологических платформ направлено на решение» в числе прочих «следующих задач:
- усиление влияния бизнеса и общества на определение и реализацию важнейших направлений научно-технологического развития;
- выявление новых научно-технологических возможностей модернизации существующих секторов и формирование новых секторов российской экономики;
- «настройка» инструментов государственной политики по стимулированию инноваций, поддержке научно-технической деятельности и процессов модернизации компаний с учетом специфики и вариантов развития отраслей и секторов российской экономики».
В таком контексте создание соответствующих экономических и финансовых технологий успешного внедрения технических инноваций является одной из первоочередных задач производственных компаний. Одним из таких направлений является теория и практика реальных опционов, которые уже достаточно давно используются в бизнесе с того момента, когда опционные технологии фондового рынка были впервые адаптированы к потребностям производства. Сам термин «реальный опцион» ввел в финансовую науку Стюарт Майерс [5]. С тех пор понятие «реального опциона» серьезно прогрессировало, развившись как в отдельное глобальное научное направление, так и в достаточно широкую сферу практического приложения в бизнесе.
Несмотря на широкий охват различных направлений бизнеса технологиями реальных опционов, бум этого метода финансового анализа и стратегического планирования прошел еще в 1990-х гг. В настоящее время многие сайты, посвященные реальным опционам1, выглядят откровенно неоптимистичными и лишь некоторые из них продолжают проводить серьезные исследования в этом направлении, но уже в чисто научной сфере, используя для этого все чаще аппарат стохастической финансовой математики2.
В выпуске журнала The Economist от 14.08.1999
1 URL: http://www. real-options. com.
2 URL: http://www. realoptions. org.
в рамках традиционной странички Economics Focus было приведено мнение: реальные опционы смогут получить широкое распространение на практике только после того, как большинство менеджеров будут иметь докторскую степень по прикладной математике. Однако многим ведущим компаниям мира именно использование реальных опционов помогло серьезно обогнать своих конкурентов в бизнесе, значительно увеличив при этом свою рыночную капитализацию. Пожалуй, наиболее ярким примером здесь является компания Amazon. com, которую в свое время даже прозвали «шведским столом из реальных опционов» [5].
Разумное понимание этой проблемы, на взгляд авторов, должно предполагать поступательность познания истинных потребностей и задач экономики в целом и бизнеса в частности. Так, например, уже давно в инструментарий бизнесменов и финансовых аналитиков вошло использование в своей работе компьютерного обеспечения, которое значительно ускоряет процессы принятия управленческих решений. Скажем, построить элементарную линейную регрессию для прогнозирования каких-либо экономических показателей в настоящее время можно почти в любой программе, в том числе и в MS-Excel. Другим примером является использование в финансовых расчетах линейного и целочисленного программирования, которые необходимы в ряде инвестиционных задач. Тем не менее сама теория этих методов подразумевает серьезные познания в области прикладной математики.
Для реальных опционов тоже уже давно существуют соответствующие программные обеспечения, позволяющие достаточно легко ввести исходные данные в программу и быстро получить конечный результат в виде конечной цифры, означающей, например, стоимость реального опциона, которую затем можно, скажем, прибавить к NPV инвестиционного проекта. Такая процедура уже ни у кого из бизнесменов и аналитиков не вызывает внутреннего неприятия, поскольку она элементарна.
Однако этим вовсе не должно исчерпываться использование реальных опционов в практике ведения бизнеса. Причин для этого, на взгляд авторов, две.
1. Многие ученые, например Дж. Рош [5], справедливо утверждают, что с реальными опционами связано много чисто технических проблем финансового характера, к числу которых в первую очередь следует отнести то, что значительное число фирм
предпочитают иметь в своем арсенале реальные опционы, но при этом их не исполнять. Это приводит к неоправданному завышению ценности инвестиционных и инновационных проектов, которые в реальности могут оказаться даже убыточными. Это негативно влияет на будущую рыночную стоимость такой фирмы.
2. Сам принцип построения и анализа реального опциона должен концентрировать свое внимание прежде всего на постановке финансовой задачи, так как неправильно сформулированные инвестором цели однозначно приведут его к ошибочным, а потому и неэффективным управленческим решениям. Правильное понимание инвестором того, что он хочет получить от бизнеса, гораздо важнее самих математических методов решения во многом стандартных задач. Попросту говоря, правильная постановка задачи - это уже наполовину решенная задача.
Учет ранее сказанных причин поможет переместить основное внимание на более адекватное построение реального опциона в целях решения задачи модернизации оборудования компании. И только после этого возможен выбор наиболее оптимального метода оценки опциона.
Реальный опцион модернизации оборудования должен быть азиатским, т. е. иметь переменную цену исполнения, например в зависимости от инфляции, поскольку деньги, в том числе инвестиции, в разные моменты времени стоят по-разному.
Классический фондовый азиатский опцион -это разновидность опциона, при которой цена исполнения определяется на основе средней стоимости базисного актива за определенный период времени. Азиатский опцион еще называют опционом средней цены, или среднекурсовым опционом. Как правило, такие опционы заключаются на товары, биржевые индексы, курсы валют и процентные ставки. Азиатские опционы популярны на рынках с высокой волатильностью базисных активов (нефть, цветные металлы и др.) [10].
Отличительная особенность опционов данного типа заключается в том, что цена исполнения (страйк) неизвестна на момент заключения контракта. Один из основных вариантов азиатских опционов подразумевает плавающую цену страйк (она же плавающая ставка) азиатского опциона [10]. В этом случае цена колл-опциона в момент времени Т определяется по формуле
С(Т) = тах{£(Т) - Ы(0,Т),0}, (1)
где Б(Т) - стоимость базисного актива в момент времени Т;
А(0,Т) - среднее арифметическое либо среднее геометрическое значение стоимости базисного актива;
k - взвешивание (обычно 1 исключается из описаний).
Как известно, реальный опцион на модернизацию оборудования является классическим «опционом на будущее развитие» [4]. При анализе перспектив будущего развития ценность опциона обычно прибавляется к ценности бизнеса или проекта, определенной по традиционной DCF-технологии. В качестве цены исполнения опциона К используются вложения капитала в развитие (расширение, тиражирование) опыта. Текущая ценность базисного актива 5"0 - это приведенная к сегодняшнему дню оценка денежных потоков, которые генерируются бизнесом (довольно часто она меньше, чем цена исполнения). Время ^ в моделях применительно к реальным опционам -это срок, в течение которого возможно принять решение о расширении бизнеса.
В качестве примера рациональной постановки задачи оценки стоимости реального опциона (задачи ROV) будем рассматривать проект замены оборудования на гидрогеологическом бурении скважин [4]. Этот же пример будем рассматривать в дальнейшем для сравнения различных методов решения задачи ROV.
Итак, ООО «Водяной» оказывает услуги садовым товариществам Подмосковья по бурению скважин для водоснабжения. Всего на балансе ООО «Водяной» десять буровых установок, работающих на различных объектах и в различных районах области. Директор фирмы рассматривает возможность существенной модернизации буровых агрегатов, которая позволит сократить текущие издержки, повысить производительность установок и, соответственно, получать больше заказов от потенциальных клиентов. Для решения поставленной задачи руководством фирмы решено провести обоснование модернизации.
Приведем исходные данные для расчетов по наиболее вероятному сценарию развития событий в расчете на один буровой агрегат (табл. 1).
Никаких дополнительных затрат и выгод, связанных с приростом рабочего капитала, в проекте нет. Норма амортизации техники составляет 20 %, по истечении 5-летнего срока чистая ценность от ликвидации оборудования равна нулю.
Таблица 1 Исходные экономические данные для расчетов на один буровой агрегат
Таблица 2
Исходные финансовые данные для расчетов на один буровой агрегат
Значение показателя
Показатель Базовый Новая
вариант техника
Производительность, 8,1 12,2
м/станко-смену
Коэффициент использования 0,5 0,5
оборудования по времени
Среднее число смен в году 304 304
Средняя цена одного пробурен- 22 22
ного метра, долл.
Средние текущие затраты на 123,4 96,1
одну станко-смену, долл.
Чистые капитальные затраты, - 20 000
включая приобретение новых
агрегатов за минусом чистой
ликвидационной ценности ста-
рых, долл.
Показатель Значение показателя,
% в год
WA.CC компании в реальном 12
выражении
Безрисковая ставка 4
Ставка налога на прибыль в РФ 20
Все расчеты проводились на реальной основе -в постоянном масштабе цен. Исходные финансовые данные для расчетов представлены в табл. 2.
Расчеты, проведенные финансовым директором по традиционной технологии, свидетельствуют о
невыгодности осуществления модернизации ни на одной, ни тем более на десяти буровых установках (табл. 3).
Каждый из проектов понижает богатство владельцев на 1 511,25 долл., что, по меркам данной компании, - немалая сумма.
Вместе с тем у директора возникли большие сомнения в результатах расчетов, связанные с точностью предсказания денежных потоков. Все дело в той неопределенности, которую несут в себе исходные данные:
а) относительно количества заказов и связанных с этим текущих затрат на один пробуренный метр (возможна экономия на условно-постоянных расходах) и коэффициента использования оборудования;
Таблица 3
Расчет денежного потока замены одного бурового агрегата
№ стр. Показатель Значение показателя по годам
0 1 2 3 4 5
1 Производительность новой техники, м/станко-смену - 12,2 12,2 12,2 12,2 12,2
2 Производительность имеющейся техники (база сравнения), м/станко-смену - 8,1 8,1 8,1 8,1 8,1
3 Коэффициент использования оборудования - 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
4 Среднее число смен в году - 304 304 304 304 304
5 Дополнительный объем, м/год [(Стр. 1 - Стр. 2) х Стр. 3 х Стр. 4] • - 623,2 623,2 623,2 623,2 623,2
6 Средняя цена 1 м, долл. - 22 22 22 22 22
7 Дополнительная выручка в год, долл. (Стр. 5 х Стр. 6) - 13 710,4 13 710,4 13 710,4 13 710,4 13 710,4
8 Средние текущие затраты на 1 станко-смену новой техники, долл. - 123,4 123,4 123,4 123,4 123,4
9 Средние текущие затраты на 1 станко-смену имеющейся техники (база сравнения), долл. - 96,1 96,1 96,1 96,1 96,1
10 Среднее число смен в году - 304 304 304 304 304
11 Дополнительные текущие затраты, долл. в год [(Стр. 8 - Стр. 9) х Стр. 10] - 8 299,2 8 299,2 8 299,2 8 299,2 8 299,2
12 Дополнительные капитальные затраты, долл. -20 000
13 Норма амортизации, % - 20 20 20 20 20
14 Амортизация дополнительных капитальных вложений, долл. - 4 000 4 000 4 000 4 000 4 000
15 Дополнительная прибыль в год, долл. (Стр. 7 - Стр. 11 - Стр. 14) - 1 411,2 1 411,2 1 411,2 1 411,2 1 411,2
16 Налог на прибыль (20 %), долл. - 282,24 282,24 282,24 282,24 282,24
17 Чистый денежный поток проекта CF, долл. (Стр. 15 - Стр. 16 + Стр. 14) -20 000 5 128,96 5 128,96 5 128,96 5 128,96 5 128,96
18 ^АСС, % 12 12 12 12 12
19 проекта, долл. -1 511,25 Результат дисконтирования CF по ставке 12 %
б) относительно безотказности работы новой техники и периодичности ремонта;
в) относительно средней глубины пробуриваемых скважин (оплата происходит не по метражу, а по результату бурения - количеству продуктивных скважин) и др.
В результате, точность расчета эффекта имеет среднеквадратическое отклонение с = 40 % (среднестатистическое отклонение с (%) в долл. США для вида деятельности «Машиностроение»).
Чтобы не рисковать всем бизнесом в целом и получить более точную информацию о результатах проекта, директор ООО «Водяной» решает провести эксперимент: несмотря на негативные результаты расчетов, осуществить модернизацию на одном из буровых агрегатов. Если результат окажется удачным (что прояснится в течение года), то можно будет тиражировать опыт на прочих девяти установках.
Однако остался вопрос: чья позиция в данной ситуации оказалась более обоснованной: директора или его заместителя по финансам?
Итак, пилотный проект представил информацию о том, что может произойти с последующими девятью, и раскрывает неопределенность. Фактически, он дает право в течение года вложить деньги еще в девять таких проектов при благоприятных для этого обстоятельствах (при положительном результате пилотного проекта). Это право представляет собой колл-опцион на 9 проектов (или 9 опционов, каждый на 1 проект).
Кроме всего прочего, следует учесть, что со временем деньги обесцениваются (даже за срок в 1 год). Эта проблема особенно актуальна для развивающихся рынков, каковым является и Россия. Однако, поскольку финансовые расчеты производятся в долл. США, в дальнейших расчетах необходимо учитывать ставку инфляции именно долл. США, которая в среднем за последние годы составляет 3 % в год. С учетом этого фактора цена исполнения опциона через год составит величину К = 20 600 долл. Таким образом, ситуация «приводит» к модели азиатского опциона, т. е. опциона с изменяющейся ценой исполнения (в данном случае по ставке инфляции).
Решение задачи ROV по модернизации оборудования с использованием модели Блэка-Шоулза. К основным проблемам использования модели Блэка-Шоулза (Black-Scholes Option Pricing Model, OPM) для оценки реальных опционов необходимо отнести следующие [6, 8, 15]:
1) в ОРМ входит среднеквадратическое отклонение доходности контракта, которое точно спрогнозировать не представляется возможным;
2) если а прогнозируется экспертами, то возникает проблема достоверности прогноза;
3) ОРМ применима только для европейских опционов;
4) ОРМ создавалась для условий и ограничений фондового рынка.
Первая проблема особенно актуальна для развивающегося рынка, каковым является Россия. Ее можно решить с помощью перехода к финансовым расчетам в долл. США. Таким образом, можно использовать, как уже указывалось авторами ранее, среднестатистическое отклонение а (%) в долл. США для вида деятельности «Машиностроение». В целях еще большего уточнения расчетов можно его еще скорректировать для условий реализации проекта в России. Однако сама по себе такая корректировка также обладает своей неопределенностью, которую точно оценить - проблематично. В данном случае действует один из основных принципов оценки волатильности, который используется в стохастической финансовой математике, а именно принцип: «волатильность сама по себе волатильна»
[7].
Вторая проблема также обусловлена условиями реализации проекта в России. Здесь оценки экспертов тоже будут значительно волатильны.
Третья проблема накладывает уже более серьезный отпечаток на достоверность оценки стоимости реального опциона, поскольку в реальности подразумевается, что его можно исполнить в любое время (в пределах анализируемого срока опциона). Таким образом, разумнее анализировать американский опцион. Однако, как указывают многие авторы, например М. А. Лимитовский [4], в этом случае ОРМ может быть применена для консервативной оценки американского реального опциона, т. е. цена европейского опциона является нижним пределом для цены американского опциона с такими же условиями выпуска.
Четвертая проблема, пожалуй, наиболее серьезная, однако приближенно ее можно решить тем же методом, что и третью.
Формальная запись ОРМ, выведенной для оценки премии по европейскому колл-опциону [9], выглядит следующим образом:
С0 = ^ N Ц) - Ке-гТ N (¿2); (2)
d1 = -
ln +
K
(
r + -
с
2 Л
T
с
л/T
(3)
Таблица 4
Оценка азиатского реального опциона с постоянной волатильностью бизнеса с использованием ОРМ
d2 = d1 — cJT, (4)
где C0 - текущая цена колл-опциона;
S0 - текущая цена базисного актива (предполагается, что актив не приносит текущего дохода, т. е. дивиденда или купона); N(d) - кумулятивная функция нормального распределения;
K - цена исполнения опциона (цена страйк); r - непрерывная годовая ставка безрисковой доходности (сила роста); T - время до исполнения опциона (в годах); с - среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за год.
Важно, что с в рассматриваемом примере не меняется по причине короткого срока реального опциона - один год. Таким образом, оцениваем азиатский реальный опцион с постоянной волатиль-ностью бизнеса по формулам (2) - (4) (табл. 4).
Таким образом, директор ООО «Водяной» оказался прав: несмотря на кажущуюся невыгодность модернизации, эксперимент вполне оправдан.
Решение задачи ROV по модернизации оборудования с использованием биномиальной модели. В целях уточнения расчетов ROV в рассматриваемом примере необходимо решить оставшиеся две проблемы, которые имелись в модели Блэка-Шоулза OPM:
1) OPM применима только для европейских опционов;
2) OPM создавалась для условий и ограничений фондового рынка.
Указанные проблемы можно решить, используя в расчетах, например, биномиальную CRR-мо-дель (Binomial Tree Model, BTM) [11], несколько модифицированную авторами [6, 8, 15]. Первая модификация заключается в изменении цены исполнения реального опциона через определенный период времени в зависимости от инфляции за соответствующее число прошедших периодов. Вторая модификация заключается в практической возможности отследить моменты времени, выгодные для досрочного исполнения реального опциона, т. е. в определении узлов биномиального дерева, где цена «мертвого» (исполненного) опциона выше цены «живого» (неисполненного) опциона.
Применим данную модифицированную биномиальную модель к решению задачи ROV по мо-
Параметр Значения параметров
и показатель и показателей
Количество опционов 9
в проекте
Б0 по каждому 18 488,75 ^ денежных
опциону, долл. притоков проекта)
К по каждому опцио- 20 600 (инвестиции)
ну, долл.
г 0,04 (безрисковая непрерывная ставка)
Т 1 (срок опционов - 1 год)
с 0,4
С1 0,103575
С2 -0,296425
АГ(С1) 0,54123
N(0 0,38346
С0, долл. 2 417,15
проекта 20 243,14 (2 417,15 х 9 - 1 511,25)
с опционами, долл.
дернизации оборудования. Главной особенностью ее применения является адекватный переход от непрерывного процесса к дискретному, используя для этого уже известную постоянную волатильность с.
При моделировании с длительным временным шагом At биномиальное дерево согласно точке зрения Ябура, Крамина, Янга [14] и Халла [13] может быть построено в соответствии с уравнениями:
u = e d = e
P =
Vec2ii -1 + rAt.
■
-1 + rAt.
rAt
e-
u — d
(5)
(6) (7)
где и - темп повышения стоимости базисного актива;
d - темп понижения стоимости базисного актива (1 - р - псевдовероятность события С, так как и и С образуют полную группу событий); р - псевдовероятность события и; с - среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за год;
At - временной шаг между узлами биномиальной решетки (в годах);
г - непрерывная годовая ставка безрисковой доходности (сила роста). Используя модель (5) - (7) для At = 0,25 года, получаем следующую параметризацию в рассматриваемом примере:
2
и = 1,236169; й = 0,825293; р = 0,449666;
1 - р = 0,550334. В результате, согласно значениям и и й получаем биномиальное дерево для изменения стоимости базисного актива (PV денежных притоков пилотного проекта) в долл. (рис. 1). На этом же рисунке отобразим изменение цены исполнения опциона К по квартальной ставке инфляции / = 4103 -1 = 0,007417.
В биномиальной СЯЯ-модели цену «живого» опциона [2, 3] можно рассчитать по формуле PCt+1,и + (1 - Р)С
Например, в III квартале (. = 3) в самом верхнем узле цена опциона вычисляется следующим образом: сначала по формуле (8) рассчитывается цена «живого» опциона:
0,449666 (43174 - 20 600) +
nN _
^—■-3 3 —
3,u
+0,550334(28 824 - 20 600)
= 14 531 долл.
nN _ Ct = '
(8)
Таким образом, можно оценить стоимость опциона в любом периоде t, если известны Ct+j u и C++1 d в следующем периоде t + 1.
Поскольку рассматривается колл-опцион, то в каждом периоде t цена «мертвого» опциона [2, 3] вычисляется по формуле
Cf = max{St - Kt,0}. (9)
Используя формулы (8) и (9), можно последовательно рассчитать цены опциона, начиная с четвертого квартала и заканчивая настоящим моментом времени (рис. 2). При этом в каждом узле биномиального дерева в целях последовательного расчета из цен Ct и C'A выбирается максимальная.
34 926
28 253
22 856
18 489
43 174
1 = 1}
20 148 1= I
20 298 1 = 2
20 448
t = i
рис. 1. Биномиальное дерево изменения цены базисного актива, долл.
Затем по формуле (9) вычисляется цена «мертвого» опциона
СА з = 34 926 - 20 448 = 14 478 долл.
3,и
Дороже получился «живой» опцион, поэтому его цена выбирается в целях вычисления более ранней цены опциона.
По этому принципу строится все биномиальное дерево (см. рис. 2). При этом в рассматриваемом примере получилось, что везде выгоднее для инвестора именно «живой» опцион. Однако на практике может возникнуть и другая ситуация, когда в каких-то узлах дерева может быть дороже «мертвый» опцион, что свидетельствует о необходимости его досрочного исполнения в данном узле. На это может повлиять ставка инфляции /, которая изменит цены исполнения опциона К.. Также подобный эффект может дать изменение параметров и и й.
В результате, «работая» по дереву от его конца к началу, можно получить цену данного опциона пилотного проекта в нуле. Она составит величину С0 = 2 468 долл. Тогда ЖУ по проекту модернизации оборудования с 9 опционами составит ШУ = 2 468 • 9 - 1511,25 =
= 20 700,75 долл., что несколько больше результата расчета согласно ОРМ. Это является уточненной оценкой эффекта проекта.
Решение задачи ROV по модернизации оборудования с использованием триномиальной модели. Применение классической биномиальной СЯЯ-модели [11], пусть даже и уточненной с помощью уравнений (5) - (7), обладает определенным набором недостатков, связанных, прежде всего, с ситуацией изменения волатиль-ности бизнеса во времени [12].
28 824
19 244
12 848
8 577
20 600 ! = 4
0,04-0,25
21 574
14 5.41'
8 46<Г
8 224
4 656
3 661
I 630
1 468
726-
заключается в использовании более точной оценки отклонения вместо с После этих изменений согласно точке зрения Хаателы [12] построение параметра триномиальной решетки приводит к улучшенной общей форме параметризации для всех вероятностей переходов и размеров скачков и, т и й в соответствии со следующими уравнениями:
Ри =
m2 (V -1)
и + md - ит - ud
Pd = Ри
т - и d-m
Рт = 1 - Ри - Pd ;
1 = 0 I=1 1=2 1=Ъ 1=4
Рис. 2. Биномиальное дерево изменения цены реального опциона, долл.
и = e
d = er
m=e
(10)
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Однако существует также и другой существенный недостаток, заключающийся в том, что в случае очень малой или даже несуществующей волатиль-ности в течение некоторого периода времени любое движение отклонения цены базисного актива вверх или вниз от ожидаемого значения в будущем, т. е. увеличения по безрисковой ставке, сделает построения биномиального дерева невозможным [12].
Триномиальные деревья (Trinomial Tree Model, TTM), разрешающие данные противоречия [12], являются другим дискретным представлением движения цены базисного актива, аналогичным биномиальным деревьям. Триномиальные решетки имеют три параметра скачков: и, т и d и три соответствующие им вероятности: p pm иpd. В течение этого времени шаг цены актива может перейти к одному из трех узлов: с вероятностьюри в верхний узел до значения S с вероятностью рт к середине узла до значения Sm и в нижний узел до значения Sd с вероятностью pd. Предположим, что сумма вероятностей равна единице, поэтому устанавим, что pm = 1 - pu - pd. В конце каждого шага во времени существуют пять неизвестных параметров: две вероятности (p и pd) и три узла цены (S Sm и Sd).
При этом небольшая модификация, предложенная Ябуром, Крамином, Янгом [14] и Халлом [13],
V = в°А, где оправданное значение дисперсионного параметра X составляет 1,12 [12]. Это делает пространство состояний плотным и обеспечивает достаточно хорошие вероятности переходов между узлами триномиальной решетки (дерева).
Используя модель (10) - (16) для Аt = 0,25 года, получаем следующую параметризацию в рассматриваемом примере:
и = 1,236169; й = 0,825293; т = 1,01005;
V = 1,040811; ри = 0,350268; рл = 0,439457; рт = 0,210275.
В результате согласно значениям и, т и й получаем триномиальное дерево для изменения стоимости базисного актива (РУ денежных притоков пилотного проекта) в долл. (табл. 5). В этой же таблице покажем изменение цены исполнения опциона по квартальной ставке инфляции / = -1 = 0,007417.
В триномиальной модели цену «живого» опциона [12] можно рассчитать по формуле
ри Ct+1,u + РmCt+1,m + pd Ct+1,d
(17)
Таким образом, можно оценить стоимость опциона в любом периоде ^ если известны С+1 и, см,т и Сг+и в следующем периоде t + 1.
Поскольку рассматривается колл-опцион, то в каждом периоде t цена «мертвого» опциона С
-1
-1
Таблица 5
триномиальная решетка изменения цены базисного актива, долл.
Параметр t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
47 681
37 626 28 004
29 691 29 989 30 291
23 430 23 665 23 903 24 144
18 489 18 675 18 862 19 052 19 244
14 885 15 035 15 186 15 338
11 983 12 103 12 225
9 647 9 744
7 766
к 20 000 20 148 20 298 20 448 20 600
вычисляется так же, как и в случае с биномиальной моделью, т. е. по формуле (9).
Используя формулы (17) и (9), можно последовательно рассчитать цены опциона, начиная с IV квартала и заканчивая настоящим моментом (табл. 6). При этом в каждом узле триномиальной решетки (как и биномиальной) в целях последовательного расчета из цен СN и СА выбирается максимальная.
Например, в III квартале = 3) в самом верхнем узле цена опциона вычисляется следующим образом: сначала по формуле (17) рассчитывается цена «живого» опциона
0,350268(47 681 - 20 600) +
+0,210275 (38 004 - 20 600) +
CN з =
+0,439457(30 291 - 20 600)
= 17 231 долл.
Затем по формуле (9) вычисляется цена «мертвого» опциона
СА з = 37 626 - 20 448 = 17 178 долл.
3,и
Дороже получился «живой» опцион, поэтому его цена выбирается в целях вычисления более ранней цены опциона.
По этому принципу строится все триномиальное дерево в табл. 6. При этом в рассматриваемом
примере снова получилось, что везде выгоднее для инвестора именно «живой» опцион.
В результате, «работая» по дереву от его конца к началу, можно получить цену данного опциона пилотного проекта в нуле. Она составит величину С0 = 2 510 долл. Тогда NPV проекта по модернизации оборудования с 9 опционами составит:
ЫРУ = 2 510• 9-1511,25 = 21078,75 долл., что даже больше результата, чем по расчету согласно биномиальной модели. Это еще более точная оценка эффекта проекта.
В заключение проведем сравнение результатов трех описанных моделей оценки азиатского реального опциона модернизации оборудования компании с постоянной волатильностью бизнеса. Напомним, что в целях анализа использовались три модели:
1) модель Блэка-Шоулза ОРМ;
2) уточненная биномиальная модель ВТМ;
3) триномиальная модель ТТМ.
Сравнение цен опциона в исследуемом примере
дает следующие результаты:
С0 =<¡2417 < 2468 < 2 510 I. [ "вТ^ '""ТТм"' ]
Тогда NPV проекта по модернизации оборудования компании с 9 опционами составит
Таблица 6
триномиальная решетка изменения цены реального опциона, долл.
0,04-0,25
е
Параметр t = 0 t = 1 2 = 3 = t = 4
С, 27 081
1 7231^ 17 404
9 756 И 9 595 И 9 691
5 094 И 4 715 И 4 098 И 3 544
2 510 ы 2 170 И 1 677 И 1 229 И 0
670 И 426 И 0 0
0 0 0
0 0
0
ЫРУ = I 20 243 < 20 701 < 21079 к
[ ^йТ ^ГТ ^ТГ ]
Данные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1) модель Блэка-Шоулза действительно является нижним пределом для цены американского опциона с такими же условиями выпуска, как и европейский;
2) при постоянной волатильности бизнеса с, что позволяет принять условие существования опциона в течение всего одного года, разница в оценках по разным моделям является незначительной;
3) реальный опцион модернизации оборудования должен быть азиатским, т. е. иметь переменную цену исполнения, например в зависимости от инфляции, поскольку деньги, в том числе инвестиции, в разные моменты времени стоят по-разному;
4) в промежуточных расчетах в узлах деревьев всегда необходимо сравнивать цену «живого» и «мертвого» опционов и выбирать тот, который дороже. Это позволяет кроме всего прочего отследить возможности досрочной реализации опциона;
5) наиболее важным практическим выводом является то, что наиболее точную оценку азиатского реального опциона с постоянной волатильнос-тью бизнеса позволяет получить триномиальная модель. В исследуемом примере денежный выигрыш за счет этого незначителен, однако на практике могут возникнуть ситуации, в которых выигрыш может быть большим (вплоть до того, что разные модели могут привести как к положительным, так и к отрицательным NPV с опционами). А это, в свою очередь, существенно повлияет на принятие управленческого решения в отношении инвестиций. Полученные в исследовании результаты могут
способствовать модернизации программного обеспечения, позволяющего составлять и оценивать реальные опционы. А главное, они могут быть полезны бизнесменам, менеджерам и финансовым аналитикам (прежде всего производственных компаний) в целях разработки и обоснования стратегических решений в инновационном развитии бизнеса.
Список литературы 1. Инновационная Россия - 2020 (Стратегия инновационного развития Российской Федерации
на период до 2020 года). URL: http://www. economy. gov. ru.
2. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер. 2000.
3. Крушвиц Л., Шефер Д., Шваке М. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений. СПб.: Питер. 2001.
4. ЛимитовскийМ. А. Инвестиционные проекты и реальные опционы на развивающихся рынках: учеб. -практич. пособ. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Юрайт. 2008.
5. Рош Дж. Стоимость компании: от желаемого к действительному. Минск: Гревцов Паблишер. 2008.
6. Трифонов Ю. В., Яшин С. Н., Кошелев Е. В. Применение реальных опционов для инвестирования инноваций в условиях ограниченности информации // Финансы и кредит. 2011. № 30(462). С. 2-9.
7. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС. 1998.
8. Яшин С. Н., Кошелев Е. В., Купцов А. В. Разработка и реализация инновационно-инвестиционной стратегии предприятия: монография. Н. Новгород: Изд-во НГТУ. 2011.
9. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journ. Polit. Econ. 1973. May-June. P 637-657.
10. Chance D. M. An Introduction to Derivatives and Risk Management. Fort Worth, TX: Harcount College Publishers. 2001.
11. Cox J., Ross S., Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach // Journal of Financial Economics. 1979. № 7. P 229 - 263.
12. Haahtela T. Recombining Trinomial Tree for Real Option Valuation with Changing Volatility // Real Options: Theory Meets Practice, 14th Annual International Conference. Rome, Italy. 2010. June 1619. URL: http://www. realoptions. org/papers2010/241. pdf.
13. Hull J. Options, futures and other derivatives, 6th edn. Prentice-Hall, 2006.
14. Jabbour G., Kramin M., Young S. Two-state Option Pricing: Binomial Models Revisited // Journal of Futures Markets. 2001. Nov. Vol. 21. P 987-1001.
15. Koshelev E., Trifonov Y., Yashin S. Corporate Innovative Strategy: Development and Financing. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012.
