CC BY
25
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
цессов как исходной системы (£ = 0,127), так и системы с компенсирующим воздействием (£ос = 0,170). Дальнейшее увеличение этой частоты (см рис. 10, в), приводит к еще большему снижению эффективности гашения колебаний (декременты £исх = 0,09 до 5ос = 0,12). Увеличение
коэффициентов вязкого трения снижает интенсивность и продолжительность колебаний (5исх = 0,26, рис. 10, г и ^ = 1,09, рис. 10, д) и
эффективность компенсирующих воздействий (соответственно 5ос = 0,28, 5ос = 1,21). Увеличение массы привода по сравнению с массами исполнительного и передаточного механизмов (см. рис. 10, е) приводит к снижению амплитуд и продолжительности упругих колебаний при использовании компенсирующих воздействий.
Заключение
В заключение необходимо отметить, что метод электромеханических аналогий является удобным инструментом синтеза алгоритмов управления упругими колебаниями многомассовых ме-хатронных систем, позволяя свести задачу к управлению колебаниями эквивалентной двухмас-совой системы, для которой на основе решения обратных задач динамики определены необходимые компенсирующие воздействия [2, 4]. Применение данного подхода для реализации алгоритмов управления колебаниями позволит повысить точность, быстродействие и надежность работы мехатронных систем различного назначения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем : Линейные модели. М. : Наука, 1987. 304с.
2. Кузнецов Н.К. Управление колебаниями упругих мехатронных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2005. № 7. С. 7-13.
3. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Синтез алгоритмов управления колебаниями мехатронных систем на основе задания экспоненциальных законов изменения упругих координат // Вестник ИрГТУ. 2012. № 10. С. 43-47.
4. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями : монография. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2009. 288 с.
5. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Управление колебательными движениями мехатронных систем на основе задания дифференциальных уравнений движения исполнительных механизмов // Вестник ИрГТУ. 2013. №6. С. 21-25.
6. Кузнецов Н.К., Ле Ба Хань. Синтез алгоритмов управления колебаниями многомассовых ме-хатронных систем на основе интегральных квадратичных оценок // Вестник ИрГТУ. 2013. № 12. С. 83-88.
7. Дружинский И.А. Механические цепи. Л. : Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1977. 240 с.
8. Саушев А. В., Шошмин В.А. Моделирование многомассовых механических систем электроприводов методом электрической аналогии // Журнал университета водных коммуникаций. 2010. № 4. С. 57-64.
9. Крутько П.Д. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем / П. Д. Крутько, А. И. Максимов, Л. М. Скворцов. М. : Радио и связь, 1988. 306 с.
УДК 621.01: 621.81: 621.891 Огар Петр Михайлович,
д. т. н., профессор кафедры «Машиноведение и детали машин», БрГУ, e-mail: [email protected]
Тарасов Вячеслав Анатольевич, к. т. н., доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», БрГУ, e-mail: [email protected]
Горохов Денис Борисович,
к. т. н., доцент кафедры «Информатика и прикладная математика», БрГУ, e-mail: [email protected]
УЧЕТ ТРЕНИЯ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ВНЕДРЕНИИ СФЕРИЧЕСКОЙ НЕРОВНОСТИ
P. M. Ogar, V. A. Tarasov, D. B. Gorokhov
FRICTION ACCOUNTING UNDER THE SPHERICAL ASPERITY ELASTIC-PLASTIC INDENTATION
Аннотация. Рассмотрено влияние трения на высоту навала при внедрении сферы в упругопластическое полупространство. Показано, что процесс внедрения сопровождается эффектами «pile-up/sink-in», т. е. выдавливанием материала вокруг неровности (образованием навала) и упругим продавливанием материала. Упругое про-давливание материала определено с учетом распределения давления на площадке контакта. На основе подобия
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
деформационных характеристик получены выражения для определения глубины вдавливания h в зависимости от степени нагруженности. Контактная глубина hc определена на основании опубликованных результатов конечно-элементного моделирования. При этом учтено влияние характеристик упрочняемого материала - предела текучести cy и экспоненты упрочнения n. Радиальная граница навала определена из равенства вытесненного объема разгруженной лунки, находящегося ниже исходной поверхности, и объема навала выше исходной поверхности. Получены выражения для описания профиля навала для разгруженной лунки и деформации поверхности при упругом вдавливании. Полученные результаты предполагается использовать при применении дискретной модели шероховатости в виде набора сферических неровностей для определения контактных характеристик в зависимости от коэффициента трения ц .
Ключевые слова: упругопластический контакт, внедрение сферы, сферическая неровность, эффекты «pile-up/sink-in», высота навала, коэффициент трения.
Abstract. The effect of friction on a bulk height under the sphere indentation of an elastic-plastic half-space is considered. It is shown that the indentation is accompanied by the «pile-up/sink-in» effects, i. e. extrusion of material around asperity (bulk formation) and elastic material punching. The elastic material punching is determined by taking into account the pressure distribution on the contact area. On the basis of similarity the expressions to determine the indentation depth h depending on the degree of stress loading are given. The contact depth hc is determined on the basis of the finite element modeling published results. Our results are given by taking into account the strain-hardening material characteristic - the yield strength cy and the hardening exponent n. The bulk radial boundary is determined from the equality of the displaced volume of unloaded hole below the original surface and the bulk volume above the original surface. The expressions to describe the profile bulk of unloaded hole and surface deformation under the elastic indentation are given. The obtained results will be used during application of the discrete model of roughness as a set of spherical asperities to determine contact characteristics depending on the friction coefficient ц.
Keywords: elastic-plastic contact, sphere indentation, spherical asperity, «pile-up/sink-in» effects, bulk height, friction coefficient.
Введение
При определении контактных характеристик трибосопряжений, обепечивающих заданные эксплуатационные показатели, широко используется дискретная модель шероховатости, в которой микронеровности (далее - неровности) представлены в виде сферических сегментов [1-4]. Основными контактными характеристиками являются: плотность зазоров в стыке - отношение объема зазоров к общему объему стыка шероховатых поверхностей; относительная площадь контакта. Если для упругого контакта задача определения плотности зазоров решена, в том числе при взаимном влиянии неровностей [5-7], то для упругопластическо-го контакта такое решение имеет место для конкретных значений коэффициента трения [8-10]. Целью настоящей работы является показать роль трения при внедрении жесткой сферической неровности в упругопластическое полупространство.
Обзор методов определения высоты навала
Внедрение сферической неровности связано с выдавливанием вокруг нее материала (образованием навала) и продавливанием материала за счет упругой деформации (рис. 1). В зарубежной литературе указанные явления называют эффектами «pйe-up/sink-in».
В упругой области для определения характеристик контакта вместо сферы обычно используют выражения для параболоида вращения [11].
P
E*R
h R
h h
= 0,5
(1)
1 п 1
1
/ 1 »S?
:1 -si 1
sink-in pile-up
Рис. 1. Схема эффектов «pile-up/smk-m»
Перемещение поверхности при упругом контакте для г > а , согласно [12], определяется из выражения
ыгЕ * а ( 115 — 2 "1 5 ; • аРт Г I222
,2 Л
P
где Pm = — na
среднее давление на площадке кон-
такта; 2F (a, b; c; x) - гипергеометрическая функция Гаусса.
В упругопластической области впервые обратили внимание на эффекты «pile-up/sink-in» A. Norbury и T. Samuel при измерении твердости по Бринеллю [13]. Отношение величин s/h, где s = hc — h, они связали со способностью материа-
3
2
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
лов к упрочнению, т. е. со значением экспоненты закона Майера.
Учитывая, что для широкого спектра материалов истинное напряжение при одноосной деформации описывается степенным законом
с = кгn
(2)
где к - коэффициент, в - пластическая деформация, n - экспонента упрочнения, J. R. Matthews [14] предложил следующее выражение для ajR = 0,4...0,8 :
. = 111 + п h 21 2
(3)
2 К
(4)
включающий только экспоненту упрочнения.
Дальнейшее уточнение параметра с2 происходило для каких-либо конкретных условий. Так, используя результаты конечно-элементного моделирования, B. Taljat с соавторами [16] предложили для ау/Е = 0,002, коэффициента трения д = 0,2
и а/Я = 0,5 следующее выражение:
^ = c2 = 1 (5 - 3п0 h 4
с
Alcala J. с соавторами
y¡E = 0,001...0,003 получили: -
h
[17]
c = c2 = 1,276 -1,748n + 2,451n2 -1,469n3
(5)
для
(6)
h
-c- = c 2 = 1,4exp(- 0,97 n).
h
(7)
Как видно из выражений (10), (11), (14)—(16),
2
параметр c зависит только от n, и не показано влияние на c2 свойств материала: предела текучести а и модуля упругости E .
В более поздней работе [19] B. Taljat и G. M. Pharr уделили внимание более детальному изучению эффекта «pile-up». Используя конечно-элементное моделирование они исследовали влияние упругой деформации в зависимости от соот-
ношения E, влияние относительной глубины внедрения h¡R, экспоненты упрочнения и коэффициента трения, однако полученные результаты ими не были представлены в виде, удобном для инженерных расчетов.
В этом плане отличаются работы [20, 21], в которых c2 представлены в виде c2 = c2 (sy, n, hr).
В работе [20] H. Lee с соавторами описывают характеристики упругопластического контакта полиноминальными функциями, полученными в результате конечно-элементного анализа:
c2 (е „, n, h ) = ^ = ¿ fc¡ (г,, n). ln (0,5-)
(8)
Теоретически изучая твердость по Бринел-лю с помощью конечно-элементного анализа R. Hill с соавторами [15] предложил ввести новый параметр
1 ( 2 ~ n' h 2 i n + 4
i=0 4
fcl к, n)=I I (aA). n
] = 0 \_к=0 где ву = ау/Е, кг = к/Я .
Значения 40 коэффициентов а^к получены для
еу = 0,001 ...0,004 , п = 0...0,2 и кг = 0...0,12 .
В результате конечно-элементного моделирования X. Hernot с соавторами [21] для сферического индентирования получили:
c2 = = M 2 N (2h )f'
2-N )/ N
(9)
(1,45 + 28,55n +1745 е„ № - 0,5n + 20е„ )
где M = ^---vp---v^,
(1 + 21,4n +1020е )(1 + 0,4n + 60e )
N =
+ 21,4n +1020 Ey )(1 + 0,4n + ( (1,9 + 12,5n + 5705 e )(1 + 0,1n)
(1 + 6,8n + 340e )
Для внедрения сферы в жестко-пластичный материал S. Kucharski и Z. Mroz [18] предложили выражение:
Вышеприведенные выражения справедливы для коэффициента трения ц = 0, n = 0.. .0,4,
еу = 0,0005...0,03, кг = 0...0,4 .
Метод, отличающийся от двух предыдущих, был представлен S. H. Kim с соавторами [22]. Было указано, что контактную глубину к можно представить сложением двух независимых слагаемых
к = К' + h
pile ,
(10)
где кс - упругая контактная глубина, крПе - глубина за счет пластического навала.
Упругие перемещения могут быть вычислены согласно [23]:
P
-= h - E- max hc = hmax E
S
для сферического индентора E = 0,75.
(11)
-n
2
n
Величина пластического навала получена в результате конечно-элементного анализа [21] для предела текучести а = 100...800 МПа, модуля
упругости Е = 100...400 ГПа, коэффициента Пуассона v = 0,3, экспоненты упрочнения n = 0,05...0,5, коэффициента трения д = 0,2:
h*
= 0,131 (l — 3,243 n + 0,079n2 )(l + 6,258-г — 8,072hr2). (12)
hC
Ранее в работе [24] высказывалось соображение о том, что упругие деформации и пластический «навал» должны описываться отдельными уравнениями или функциями, однако это не было реализовано.
Следует отметить, что отсутствуют какие-либо аналитические выражения, описывающие влияние коэффициента трения д на величину навала.
Концепция метода определения высоты навала
Исходя из вышеприведенных данных и с учетом работ, посвященных взаимодействию жесткой сферы с упругопластическим полупространством [25-28], авторами [29] предложена следующая концептуальная модель определения геометрии контакта. Упругопластический контакт происходит при P > р, где Py - критическая
нагрузка, при которой начинается пластическая деформация. Степень нагруженности характеризуется величиной K = PjPy . При упругопластиче-
ской деформации всегда одновременно происходят упругое продавливание материала и образование пластического навала. В нагруженном состоянии уравнение профиля неконтактирующей неровности вокруг площадки контакта описывается уравнением uz (r), в разгруженном состоянии -
up (r). В зависимости от степени нагруженности K , неконтактирующая поверхность может находиться либо ниже исходной поверхности (левая часть рис. 2), либо выше исходной поверхности (правая часть рис. 2), соответственно величина параметра
с2 = —/h будет меньше или больше единицы. В разгруженном состоянии неконтактирующая поверхность всегда будет выше исходной поверхности. Глубина остаточной лунки от исходной поверхности hj- = h—w0, где w0 - упругое восстановление центра лунки. Высота навала в разгруженном состоянии up = hc + wc — h, где wc - упругое
восстановление контура лунки (отпечатка). В зависимости от способа определения величины h -
по выражению (9) или (10) - определяем высоту навала при ц — 0 или ц — 0,2. Имея зависимость м (К, ц), можно определить профиль неконтакти-рующей поверхности для любого значения ц .
sink-in
pile-up
Рис. 2. Профили нагруженной и восстановленной лунки Реализация метода
Используя диаграмму кинетического инден-тирования и подобие деформационных характеристик [25-27], получим уравнение, описывающее упругопластическое внедрение сферы:
У - у —
605 K (m -в)
(к -1)1
5
K
Л
1,5
V Ky У
= 0,
(13)
где Ку — р0/ау - константа, р0 - максимальное контактное давление при нагрузке Ру; КК — КК (ву, п) - параметр, который учитывает характеристики упрочняемого материала и определяется согласно данным [28].
Имея решение у^ уравнения (13), находим глубину внедрения сферы
h = h
У2 -в / m 1 -в / m
и глубину упруго контактирующей части
К — • у1 , я2^ (к -1)
где К ——12К— *.
Общая глубина контактирующей части сферы
-=ь = *2 кУУ (к -1) у,2 х
(14)
(15)
(16)
R
12K,
1 + 0,131 (1 - 3,243и + 0,079и2) х' х(1 + 6,258h - 8,072h2) -=h= Кгкуу (к -1) у2-в/т
(17)
R
12 K
1 -в/т
Высота навала в разгруженном состоянии
up = hc - h + wc ,
х
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
где - упругое восстановление контура отпечатка.
Согласно [12, 26] и с учетом того, что
Рт = РуК
где
/(-а2),
■ Ъ.
Я
Кав3ККРс
•(2кг " К2)
(18)
Крс =(1 + Ре )22Ре +1Б(ре +1, ре +Б(0,5,ре + 1) , В(а, Ь) - бета-функция.
Если процесс нагружения сферического ин-дентора можно аппроксимировать выражением Р
ЕЯ2
= Акг
то параметр р е равен [30, 31]
Ре =«"1 . Радиус сферы восстановленной лунки
_ р К2 + 2К - К2
р = Я =
2К
(19)
ксг = кс " Щ + ™с
Я
КвУККр0 6
•(2кг - к2 )"2 , (21)
Кр0 = (1 + Р)22р+:В(Р + 1,р +1). (22)
Исходя из анализа лунки при жесткопласти-ческом контакте [32] и профилей разгруженных лунок при упругопластическом контакте, представленных в работах [19, 33-35], сделаем допущение: профиль навала разгруженной лунки для г > а описывается выражением
ир (г ) = ир (а)
( \2 ' ар " г
V аР " а У
г>а
или
иР(г )=и(1)
Ч -г>
V ар"1У
г > 1,
(23)
(24)
где г = г/а, ар = ар/г.
ар =-а +•
1 | б(к^ + ир )2
Ясг --
кг + \ ^
- 2а2 . (25)
Упругое перемещение ис (г) точек поверхности вне площадки контакта описывается выражением [12]
(г)
-КавЗК 2
2 Ре +1
(Ре + 1)
Я
- к:
Б(Ре + 1, Ре + 1))
(26)
х Б
3
2, Ре + ^ |2^
1,1;Ре + 2, г2 2 2 е
где к - относительная глубина восстановленной лунки
" " (20)
Тогда профиль неконтактирующей поверхности в нагруженном состоянии описывается уравнением
и2 (г ) = ир (г) + ие (г). (27)
При расчете профиля в нагруженном состоянии следует учитывать, что если к определяем из выражения (9), то при этом д = 0; если и по выражению (10) - то д = 0,2. Глубину внедрения сферы в обеих случаях определяем выражением (14), а высоту навала в разгруженном состоянии ир = ир (К) - выражением (17).
Для учета трения на высоту навала введем вспомогательную функцию
0,49 - 0,955 д + 0,601 д2 +
Д - 0,3; (28) 0,324 - 0,014 д, д> 0,3;
^(д)=
+ 3,845 д3 - 3,641 д4,
полученную в результате аппроксимации данных работ [19, 33-35].
Тогда высота навала при определении кс из выражения (9) в зависимости от коэффициента трения д
Л (д)
ир (К, д) = ир (К,0)- ,
р рУ ^ (0)
при определении кс по выражению (10)
Рд (д)
,(К, д) = ир (К,0,2)
Рд (0,2)
(29)
(30)
Значение а р (рис. 2) находим из равенства
вытесненного объема разгруженной лунки, находившегося ниже исходной поверхности, и объема навала, находящегося выше исходной поверхности:
По данным [36], зависимость, относительного внедрения к/ку от относительной нагрузки K
при коэффициентах трения д = 0 и д = 0,3 отличается всего на 4 %. Поэтому для инженерных расчетов допустим, что величина внедрения не зависит от коэффициента трения и, следовательно, объем вытесняемого материала, находящегося ниже исходной поверхности, при различных значениях д будет одинаковым. Поэтому для высоты
навала ир (К, д), определенной по выражению (29) или (30), значение ар (К,д) следует определять по выражению (25).
1
2
6
V
и
2
3
и
р
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
а)
z 0.6
0.4
0.2
- 0.2 - 0.4
- 0.6 - 0.8 -1
0.600.40т 0.200.00; -0.20-I
-0.40-
-о.ео--0.80-
д = 0.0 = 0.1 L
n = 0.0 = 0.2 = 1.0
/
0 0 .5 i i .5 Га
е„ = 0.001 h/R = 0.2
y
б)
Loaded
-1.00-
ц = 0.0 .__ = 0.1 Hi
......П = 0.0 = 0.2 — -in —TTL^NSb.
J1 = 0.0-T
п — и.о
E/сту = 1000; h/R = 0.2
0.0
0.5
1.0 г/а
1.5
2.0
На рис. 3, а представлены результаты расчетов профилей сечений контакта по выражению (27) с использованием расчетов Нс по выражению (9) для исходных данных, используемых в работе [19] для решения аналогичной задачи методом конечных элементов (рис. 3, б). Как следует из рис. 3, имеет место хорошее совпадение результатов с достаточной для инженерных расчетов точностью.
Рис. 3. Профили полупространства: а - по выражению (27); б - по данным [19]
Объем зазора, приходящегося на одну неровность
ас
V = 2я (г) - щ (г ))гйг, (31)
где a = (А/пУ'5, - площадь, приходящаяся на одну неровность; zi (r) - уравнение, описывающее 7-ю неровность.
Учитывая функцию распределения сферических неровностей по высоте шероховатого слоя, можно определить плотность зазоров и относительную площадь контакта при внедрении жесткой шероховатой поверхности в упругопластиче-ское полупространство в зависимости от приложенной нагрузки и свойств материала полупространства.
Заключение
1. Получены аналитические выражения для описания профиля неконтактирующей поверхности, учитывающие упругое продавливание материала и пластическое образование навала.
2. Упругое продавливание материала определено с учетом распределения давления на площадке контакта.
3. При определении высоты навала необходимо учитывать способ определения контактной глубины h и значение коэффициента трения д, используемое при этом.
4. Высота навала при заданном коэффициенте трения д определена с помощью вспомогательной функции ^(д).
5. Радиальная граница навала а (К,д)
определена из условия равенства вытесненного объема разгруженной лунки, находящегося ниже исходной поверхности, и объема навала, находящегося выше исходной поверхности.
6. Полученные результаты могут быть использованы при определении контактных характеристик при контактировании жесткой шероховатой поверхности с упругопластическим полупространством в зависимости от значения коэффициента трения д .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М. : Машиностроение, 1981. 244 с.
2. Огар П.М. Контактные характеристики и герметичность неподвижных стыков пневмогид-ротопливных систем двигателей летательных аппаратов : дис. ... д-ра техн. наук. Братск, 1997. 345 с.
3. Долотов А.М., Огар П.М, Чегодаев Д.Е. Основы теории и проектирование уплотнений пнев-могидроарматуры летательных аппаратов. М. : Изд-во МАИ, 2000. 296 с.
2
а
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
4. Огар П.М., Шеремета Р.Н., Лханаг Д. Герметичность металлополимерных стыков шероховатых поверхностей. Братск : Изд-во БрГУ, 2006. 159 с.
5. Огар П.М., Тарасов В.А., Корсак И.И. Оптимальное проектирование затворов трубопроводной арматуры. Братск : Изд-во БрГУ, 2012. 145 с.
6. Огар П.М., Горохов Д.Б. Контактирование шероховатых поверхностей: фрактальный подход. Братск : Изд-во БрГУ. 2007. 171 с.
7. Огар П.М., Тарасов В.А, Турченко А.В. Плотность стыка при упругом контакте шероховатых поверхностей с учетом взаимного влияния неровностей // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 4 (12). С. 35-40.
8. Огар П.М., Тарасов В.А, Турченко А.В. Контакт жесткой шероховатой поверхности с упру-гопластическим полупространством // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 1 (13). С.17-22.
9. Огар П.М., Тарасов В.А., Турченко А.В. Развитие инженерных расчетов характеристик контакта жесткой сферы с упругопластическим полупространством // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1 (23). С. 80-87.
10. Огар П.М., Тарасов В.А., Турченко А.В. Три-бомеханика упругопластического контакта // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2. C. 116-122.
11. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М. : Мир. 1989. 510 с.
12. Огар П.М., Тарасов В.А. Влияние формы осе-симметричной нагрузки на напряженно-деформированное состояние упругопластиче-ского полупространства // Системы. Методы. Технологии. 2010. № 1 (5). С. 14-20.
13.Norbury A., Samuel T. The Recovery and Sink-ing-in or Piling-up of Material in the Brinell Test, and the Effect of these Factors on the Correlation of the Brinell with Certain other Hardness Tests // Journal of the Iron Steel Institute. 1928. v. 117. P. 673-687.
14. Matthews J. R. Indentation Hardness and Hot Pressing // Acta Materialia. 1980. v.28. p. 311318.
15.Hill R., Storakers B., Zdunek A. B. A Theoretical Study of the Brinell Hardness Test // Proceedings of the Royal Society of London. 1989. v. A. № 423. P. 301-330.
16. Taljat B., Zacharias T., Kosel T. New Analytical Procedure to Determine Stress-strain Curve from Spherical Indentation Data // International
Journal of Solids and Structures. 1998. v. 35.
P. 4411-4426.
17.Alcala J., Barone A. C., Anglada M. The Influence of Plastic Hardening on Surface Deformation Modes Around Vickers and Spherical Indents // Acta Materalia. 2000. v.48. P. 34513464.
18. Kucharski S., Mroz Z. Indentation of Plastic Hardening Parameters of Metals from Spherical Indentation Tests // Materials Science and Engineering A. 2001. № 318. P. 65-76.
19. Taljat B., Pharr G. M. Development of Pile-up During Spherical Indentation of Elastic-plastic Solids // International Journal of Solids and Structures. 2004. № 41. P. 3891-3904.
20. Lee H., Lee J.H., Pharr G.M. A Numerical Approach to Sphericalindentation Techniques for Material Property Evaluation // J. Mech.Phys. Solids 2005. № 53.P.2037-2069.
21.Hernot X., Bartier O., Bekouche Y., Mauvoisin G., El Abdi R. Influence of Penetration Depth and Mechanical Properties on Contact Radius Determination for Spherical Indentation // International Journal of Solids and Structures. 2006. № 43. P. 41364153.
22. Kim S.H., Lee B.W., Choi Y., Kwon D. Quantitative Determination of Contact Depth During Spherical Indentation of Metallic Materials-a FEM Study // Materials Science and Engineering. 2006. A. 415. P.59-65.
23. Oliver W. C., Pharr G. M. An Improved Technique for Determining Hardness and Elastic Modulus using Load and Displacement Sensing Indentation Experiments // Journal of Materials Research. 1992. v. 7. № 6. P. 1564-1583.
24.Ahn J.H., Kwon D., Mater J. Res. Derivation of Plastic Stress-strain Relationship from Ball Indentations: Examination of Strain Definition and Pileup Effect // 2001. v. 16. №11. P. 31-70.
25. Огар П.М., Дайнеко А.А., Щур Д.Д. Контакт жесткой сферической неровности с упругопла-стическим полупространством // Системы. Методы. Технологии. 2009.№ 4. С. 17-19.
26. Огар П.М., Тарасов В.А, Дайнеко А.А. О некоторых общих закономерностях упругопласти-ческого внедрения сферического индентора // Системы. Методы. Технологии. 2010. № 8. С.38-43.
27. Огар П.М., Тарасов В.А, Дайнеко А.А. К вопросу упругопластического внедрения сферического индентора // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 10. С. 14-16.
28. Огар П.М., Тарасов В.А, Турченко А.В. Влияние характеристик упрочняемого материала на упру-
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
гопластическое внедрение сферической неровности // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 12. С. 29-34.
29. Огар П.М., Тарасов В.А, Турченко А.В. Геометрия контакта при упругопластическом внедрении сферической неровности // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 1. С. 9-16.
30. Огар П.М., Тарасов В.А, Турченко А.В. Описание взаимодействия жесткой сферы с упругопла-стическим полупространством // тр. Братск. гос. ун-та. Сер.: Естественные и инженерные науки.
2012. Т. 1. С. 163-169.
31. Огар П.М., Тарасов В.А, Турченко А.В. Распределение давления при контактировании сферического индентора с упругопластическим полупространством // Механики XXI веку : сб. тр.
2013. № 12. С. 71-72.
32.Царюк Л.Б. О вдавливании выпуклого осесим-метричного штампа в жесткопластическое полупространство // Известия СКНЦ ВШ. 1973. № 4. С. 89-92.
33. Ai K., Dai L.H. Numerical study of pile-up in bulk
metallic glass during spherical indentation // Physics Mechanics and Astronomy. 2008. V. 51. № 4. P. 379-386.
34.Cipriano G.L. Determinacao do Coeficiente de Encruamento de Metais Atraves da Morfologia das Impressoes de Dureza na Escala Macrcopc [Electronic resource]. URL: http://www.ppgem.ct. utfpr.edu.br/dissertacoes/CIPRIANO,%20Gustavo %20Luiz%20-%20volume%201.pdf (access date: 12.03.2014).
35. Monelli B.D. Mechanical Characterization of Metallic Materials by Instrumented Spherical Indentation Testing [Electronic resource]. URL: http://eprintsphd.biblio.unitn.it/436/1/Bernar do-Monelli_PhD.pdf (access date: 12.03.2014).
36. Болотов А.Н., Сутягин О.В., Васильев М.В. Исследование упругопластических контактных деформаций металлов применительно к процессам фрикционного взаимодействия // Изв. Самар. науч. центра Рос. акад. наук. 2011. Т. 13. № 4 (3). С. 977-981.
УДК 621.3 Пашков Виктор Павлович,
старший преподаватель, аспирант ИрГТУ, тел. 89647310675
Зотов Игорь Николаевич, к. т. н, доцент ИрГТУ, тел. 89643568050 Пыхалов Анатолий Александрович,
д. т. н., профессор ИрГУПС, тел. 89641145025
МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ МАТЕРИАЛА С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ
V. P. Pashkov, I. N. Zotov, A. A. Pykhalov
MODELING OF MECHANICAL SYSTEMS WITH UNCERTAINTIES OF MATERIAL PROPERTIES USING FINITE ELEMENT METHOD AND COMPUTED TOMOGRAPHY
Аннотация. Предложена методика определения механических характеристик деталей из материалов с неопределёнными свойствами прочности на основе растровых изображений сечений деталей, полученных с помощью компьютерной томографии. Способ позволяет моделировать объекты сложной геометрической формы, с изменением механических свойств области определения объекта (тела) в широком диапазоне. Дополнительно реализуется возможность анализировать конструкции, составленные из разнородных материалов, и, определяя реальные модули упругости материала, присваивать их, в последующем, в узлы конечно-элементной сетки модели исследуемых деталей. Методика опробована на опорно-двигательной (костной) системе человека.
Ключевые слова: математическое моделирование, метод конечных элементов, модуль упругости.
Abstract. A method for determining the mechanical properties details of materials of uncertain strength properties based on detail sections bitmaps obtained by computed tomography is proposed. The method allows to model of objects complex geometric shapes, with the change of mechanical properties of the domain object (the body) in a wide range. In addition the ability to analyze structures composed of dissimilar materials and by determining the real material elasticity coefficients to assign them later in the nodes of the details modulus finite element mesh is implemented. Technique is tested on the musculoskeletal (bone) system of a person.
Keywords: mathematical modeling, finite element method, modulus of elasticity.
