Учет поперечных сдвигов в задаче об изгибе цилиндрической панели Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 6. 2006

УДК 539.3 УЧЕТ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ В ЗАДАЧЕ ОБ ИЗГИБЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ 1

В. В. Миронов

При решении с учетом поперечных сдвигов по модели С.П.Тимошенко контактной задачи со свободной границей для круговой цилиндрической оболочки, лежащей на опорах и подкрепленной в надопорных сечениях свободно надетыми кольцами жесткости под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по части дуги кольца [1], выявлен механизм зависимости изгибающих моментов от поперечных сдвигов — в области максимальных абсолютных значений графики изгибающих моментов от изменения кривизны срединной поверхности МУ и от тангенциального изменения поперечных сдвигов М^ находятся в про-тивофазах, причем отношение |М^ /МУ | может многократно превосходить оценку погрешности гипотез Кирхгофа по критерию Новожилова-Фипкелыптейпа [3]. С целью подтверждения названного механизма зависимости ниже рассматривается задача об изгибе с учетом поперечных сдвигов прямоугольной в плане цилиндрической панели под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по области А, подобной по форме области

О срединной поверхности панели при постоянной равнодействующей Qо. Граничные условия рассматриваются двух типов: шарнирное опирание по всем краям и шарнирное опирание по двум противоположным краям = ±^о/2) и жесткая заделка по двум

другим краям (£ = ±£0/2).

1 Работа выполнена при поддержке программы “Государственная поддержка ведущих научных школ РФ” (грант НШ - 2180.2003.1)

© Миронов В.В., 2006.

Рис. 1. К расчету цилиндрической панели

1. Случай шарнирно опертых краев

Изгиб цилиндрической панели в безразмерных координатах описывается следующей системой уравнений равновесия 11, 2|:

А4 ш + 4Ь4

д4ш Н1ЕНЗ4 Аш

д£4

±__

В

4

дф2

4 А 2

2 др др

л , 1 + ^9 дф2

Ц- 1 дАи’

ае ' ~ =

_ ^1) _ ?1ф2

1 дАш

Граничные условия шарнирного онирания имеют вид

ш = 0, 02 = 0, Ми = 0 при £ = ±Со/2;

ш = 0, = 0, М22 = 0 ири р = ±р0/2.

Здесь

(1.1)

(1.2)

1 дш 1 дш

6*1 =-----— + гр 1- 6*2 =---- -\- щ — углы поворота пормаии.

Я д£ Ядр

М,

МУ + Щ, г

1, 2

Б д2ш д2 ш Б д2ш д2 ш

Мп = ~ М% = - „(юг + ^).

я2 ' де2

др2

Я2 др2

д£2

М

я>, дфх дф2л

я4 де

др

М

22

в {дф2 , 0»^!^

Я др

де

(1.3)

= ЕЛ3/12(1 — V2), Е, V, Д, Д — прогиб, цилиндрическая жесткость, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, радиус и толщина панели соответственно: 4Ь4 = 12(1 — V2)Д2/Л2, Л,2 = Л2/6(1 — V),

£0 = 1/Д — безразмерная длина панели.

Приведем граничные условия (1.2) к более удобному для решения задачи виду. Из условия т|£=±,е0/2 = 0 следует, что и все производные по координате ^ функции т равны нулю на краях ±£0/2. Отсюда имеем ^2|?=±£0/2 = 0 (см. второе уравнение в (1.2)1), и, следовательно, дф2/д^|^=±^0/2 = 0. Рассмотрим далее уравнение

дфх дгр2

1 1 д2Ф

(1.4)

д£ д<£

(ц = Е/2(1 + V), Ф ^ функция напряжения).

На краях £ = ±£0/2 первое слагаемое в правой части этого уравнения в случае опертой панели следует положить равным нулю, так как нагрузка целиком передается на опору (т|^=±^0/2 = 0). Вторым слагаемым в правой части уравнения в случае пологой оболочки можно пренебречь. Таким образом, приходим к условию

+ ^7Ж=±?о/2

0,

д^

откуда следует, что дф /д£ = 0 при £ = ±£0/2. Суммируя сказанное

(1.2)1

д2т,

т|?=±?0/2 0, ^^=±£0/2 0,

д£2

"1?=±?о/2 0-

(1.5)1

Проводя аналогичные рассуждения для краев ^ = ±<^0/2, приходим к следующим условиям ( без допущения о пологости оболочки, если на этих краях не стеснены перемещения и2, т.е. Т22 = д2Ф/д£2 = 0):

д2 т,

0.

(1.5)2

(1.1) (1.5

ных тригонометрических рядах с использованием следующего представления основных искомых функций и нагрузки д:

(1.6)

т " ттк сое т*£ сое к*^> "

12 1^1^ то = £ т,к=1,3,... вт т* £ сое к*^> ^ сой т*£ вт к*^>

д дтк сов т*£ сов к*

. пт пк.

(т* = , к* = —).

£0 ^0

С учетом сказанного выше нагрузка определяется так:

[ 0, (£,^) £ А

где

А = {(£, ф) : |£| < |(/?| < ^р}. е — коэффициент подобия области А

срединной поверхности П: е € [0,1];

(1.6)4

16^0 . пте , пке

*"* = 81П "Г ЯШ— (1'7)

Из уравнения (1.1) 1 определяем коэффициенты Фурье ттк

Д4 (ш2 + к\)2 ^ 2 , ,2м п сЛ

шгпк = —--------------[1 + + /с*)кть (1.8)

А Ь,тк Д2

где

Ьтк = (т* + к2)4 + 4Ь4 т4 + 2(1 + V )т4(т* + к2).

Для коэффициентов Фурье ФПк получаем систему уравнений

К + + цЬ&к + \^^-т*к*\Ф<2к = -Г^(т1 + к1)ттк,

+ [Цг“Ш* + к* + Ц^к = ~%(т* + %)Штк,

из которой находим

,(1) Л1* (2) Ш*(т2 + к1) 1 - V 2 . ,2ч .

Щпк = ^гак =---------------------[—2~ (Ш* + **) + д2>™Ь

. Г 2 1 — V 2 г 1 — V 2 ,2 Д2 п Г1 + V -,2 2 7 2 /^^л\

= к + + + к. + ц]- [—] шЛ. (1.9)

После определения прогиба и поперечных сдвигов изгибающие моменты вычисляются по формулам

Ми = — ^ (т2 + ик1)(ютк Н-------^тЬС08Ш*£ сое &*</?,

Д , ,о т*

т,к=1,3,...

Изложенный можнфнцированный метод Луи Навье определения прогиба, поперечных сдвигов и изгибающих моментов можно применять при е € (0,1]. При е = 0 (случай сосредоточенной в центре панели нагрузки) формула (1,7) переходит в следующую:

что приводит к тому, что ряды (1.10) становятся расходящимися. Поэтому в случае сосредоточенной нагрузки применялась следующая комбинированная схема — прогибы и поперечные сдвиги вычислялись в двойных рядах, а изгибающие моменты по формулам (1,3) с использованием конечных разностей для производных. При этом, во внутренних точках сетки на области П применялись симметричные разностные формулы для первой (функции ф1; ф2) и второй (функция т) производных: на границе дП использовались соответственно левосторонние и правосторонние разностные формулы для первой и второй призводных. Шаг сетки измельчался до тех пор, пока не была обеспечена сходимость. Количество членов в рядах Фурье функций т, ф1; ф2 (и Ыц при е € (0, 1]) выбиралось таким, чтобы обеспечить сходимость соответствующих рядов с точностью большей погрешности гипотез Кирхгофа,

2. Случай шарнирно опертых при ^ = ±^0/2 и жестко заделанных при £ = ±£0/2 краев

Система уравнений равновесия рассматриваемой панели по прежнему имеет вид (1.1). С целью избежания дифференцирования нагрузки в правой части уравнения (1.1) 1 введем в рассмотрение функцию Ш по следующему правилу:

Д2

ш = А2»-’ -

(2.1)

Основное уравнение равновесия перепишется так:

(2.2)

Граничные условия имеют вид

т|?=±?0/2 °’ ^1 |?=±?0/2’ ^2|£=±£0/2;

^|<^=±<^о/2, Мц |<^=±<^о/2, $1 |^=±^о/2- (2'3)

Последние равенства будут выполнены, если функции W, ^2 подчи-

нить следующим условиям:

д2^ д4^

^/Г|?=±?о/2 Я<?2 1?==*=?о/2 ^4 I€=±€о/2 О,

д£2

1 .д5^ д5^ д5^

"1(ж + 2дёд^ + + ^=*о/2 “ ’ н^0/2 0;

д2^ _п д4 W

\(Р=^(Ро/“21 Л/02 1^=±^о/2 — 0) ^ 4 |<^=±<^о/2 — 0)

д^2

д6W

|^=±^о/2 0, ф1 |^=±^о/2 0

6

(2.4)

(при формулировке граничных условий при £ = ±£0/2 в формуле (2,1) пренебрегли подчеркнутым слагаемым).

Для решения системы уравнений (2,2), (1.1)2, 1.1)з с граничными условиями (2,4) применим модифицированный метод одинарных тригонометрических рядов Мориса Леви с использованием следующего представления для искомых функций W Фъ г2 и нагрузки д:

' W ' Wk (£) сое к*^>

12 1^1^ то = £ к=1,3,... г*1)(£) сОЙ к*^ г(2)(£) вш к*^

д _ д^ (£)сов к*^ _

(2.5)

С учетом представления (2,5) система обыкновенных дифференци-

(1.1)2 1.1)з

шется так:

•йе

+ 464-^-2(1 + ^- к1^)ЦГк = ^-дк,

Д4

15

г ^2 , V — 1

[^+(—

Д2

*г- %МВ+Н-*.*]*? - - ОТ*

1 — V ^2 , Д2 ,(2) 1 , , ^2

ь (—Т2“ — ) — — ~Бк*(~77о. ~

ИЧ П П п

^^=±6/2-0, -^2“|?=±?о/2 - и, -^^к=±?о/2 - 0,

(2.6)

1 ¥ук 0,2а ¥ук . ,4 ,(1), _ „ ,(2)| _п /0 ^

д ( ^5 ^3 ^ к=±5о/2 0) Фк 1?=±?о/2 0- (2-7)

Еще одно граничное условие

#*’ _ п (2 Т\

-^Ч{=±Со/2 - 0 (2.7)

следует из уравнения (1.4).

Замечание. Сделаем оценку подчеркнутого в уравнении (2.6) 1 слагаемого. Следуя В.3.Власову [4] выпишем соответствующее однородное дифференциальное уравнение

1(^2 - к^‘ + + ~ к'-^Щ = (к (2'8)

и его характеристическое уравнение

('Мс — к*)4 + 4&4Л^.—2(1 + и)(\1 — к1\\) = 0. (2.9)

Последнее уравнение имеет восемь попарно сопряженных корней, которые можно записать в виде

А™ = ±р<1) ± „И А<2) = ±р<2) ± „<2). (2.10)

При неучете подчеркнутых в уравнении (2.9) слагаемых получим харак-

теристические корни классического уравнения В.3.Власова. Близость названных корней и корней уравнения (2.9) будет означать, что роль подчеркнутого слагаемого в уравнении (2.8) мала, и его можно не учитывать при численных расчетах. В приведенных таблицах помещены значения корней характеристического уравнения (2.10) с учетом подчеркнутого слагаемого (табл.1) и без него (табл.2) при следующих значениях параметров:

Я = 1 м, V = 0.3, = п/8.

Табл. 1

Н = 1 /1 = 5 О

к = 1 ±2.7507±1.9267* ±15.630 ±10.902* ±5.1777±1.8624* ±10.983 ±3.8290* ±5.9590±1.5557* ±10.104 ±2.4262*

к = 5 ±33.577±5.4214* ±46.456 ± 7.4072* ±37.098±2.8326* ±42.909 ±2.8522* ±37.913±2.2625* ±42.093 ±1.6805*

к = 10 ±73.563±5.9765* ±86.443 ±6.8518* ±77.086±3.1222* ±82.917 ±2.5415* ±77.864±2.6471* ±82.139 ±1.1505*

к = 100 ±793.54±7.1252* ±806.46 ±5.6546* ±796.46±5.5176* ±801.06 ±0* ±796.70±5.4925* ±800.26 ± 0*

Табл. 2

h = 1 /1 = 5 О

к = 1 ±2.7518±1.9268* ±15.606 ±10.927* ±5.1911±1.8499* ±10.940 ±3.8986* ±5.9842±1.5171* ±10.049 ±2.5477*

к = 5 ±33.586±5.3947* ±46.440 ± 7.4594* ±37.126±2.6677* ±42.875 ±3.0808* ±37.968±1.9291* ±42.033 ±2.1357*

к = 10 ±73.575±5.9107* ±86.429 ±6.9434* ±77.126±2.7710* ±82.874 ± 2.9775* ±77.968±1.9808* ±82.032 ±2.0840*

к = 100 ±793.57±6.3754* ±806.43 ± 6.4787* ±797.18 ±2.8639* ±802.87 ±2.8846* ±796.97±2.0272* ±802.03 ±2.0376*

Как усматривается из приведенных таблиц для не очень толстостенных цилиндрических оболочек (h/R < 0.05) и с не сильно изменяющимся напряженно-деформированным состоянием (при котором все функции можно описать с использованием не очень большого числа гармоник) подчеркнутым слагаемым в уравнении (2.6) i можно пренебречь.И Заданную нагрузку q можно представить так:

д = в2д?^0А^°/2’е; W2, е; Ф), (2.11)

где

А(фо/2, е; ф) = И(ф + ефо/2) - И(ф - ефо/2) (2.12)

(И — функция Хевисайда).

Функцию А(ф0/2,е; ф) можно представить следующим рядом Фурье:

. , , , ^^ 4 пке . ,

Д(фо/2,е;ф) = у — sm —— cos /с*ф. (2.13)

' пк 2

к=1,3,...

Подставив ряд (2.13) в формулу (2.11) получаем следующее выражение для функций qk (£):

*-р^5еЬ,2тД(6,/2-#:°- (2Л4)

Нетрудно видеть, что в случае сосредоточенной в центре панели нагрузки (е = 0) функции qk выражаются по формуле:

» = ^(0- (2.15)

Краевая задача (2,6), (2,7) обладает той особенностью, что граничные условия не распадаются отдельно для функции Шк и функций > чт0 делает затруднительным ее аналитическое решение, поэтому дня решения названной системы используются численные методы, включенные в состав стандартных математических пакетов,

3. Численный эксперимент

Ниже приведены графики изгибающих моментов при следующих значениях параметров:

11=1 м, к=0.05 м, 1=4 м, фо = п/8,

Е = 2 ■ 106 кг/см2, V = 0.3, Q0/R2 = 1 кг/см2 .

4000

-1000

о II Ьа

\ \ , 11

\ * У”!!

4000

-1000

г=0

-Л / и

л ^\щ

а!

Рис. 3.1. График изгибающих моментов Мц по линии £ = 0 (случай а)) и <р = 0 (случай Ь)) при £ = 0 (шарнирное опирания краев при £ = ±£о/2)

Рис. 3.2. График изгибающих моментов М22 по линии £ = 0 (случай а)) и ^ = 0 (случай Ь)) при £ = 0 (шарнирное опирания краев при £ = ±£0/2)

Рис. 3.3. График изгибающих моментов Мц по линии £ = 0 (случай а)) и <р = 0 (случай Ь)) при £ = 0 (жесткая заделка краев при £ = ±£о/2)

Рис. 3.4. График изгибающих моментов М22 по линии £ = 0 (случай а)) и ^ = 0 (случай Ь)) при £ = 0 (жесткая заделка краев при £ = ±£0/2)

Как усматривается из приведенных графиков во всех случаях происходит релаксация максимальных значений изгибающих моментов за счет того, что графики моментов от изменения кривизны срединной поверхности и от тангенциального изменения поперечных сдвигов находятся в нротивофазе в области максимальных абсолютных значений (см. рис. 3.1 - 3.4). Названный эффект тем заметнее чем больше параметр к/Я (рис. 3,5,), Таким образом, учет поперечных сдвигов главным образом оказывает влияние па НДС в цилиндрической напели через дополнительные слагаемые в формулах для изгибающих моментов.

. h!R h/R

а) , b)

Рис. 3.5. График отношения |M‘fi /MW | при е = 0.

Случай а) — шарнирное опирания краев при £ = ±£0/2, случай Ь)— жесткая заделка краев при £ = ±£0/2

Литература

1, Михайловский Е.И., Миронов В.В. Две контактные задачи со свободной границей дня цилиндрической оболочки // Матер. V Российской копфер. с меоюдупар. участием / Под ред. акад. Н. Ф. Морозова. - Саратов: Изд-во Саратовск. ун-та, 2005. С. 213-218.

2, Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел: Учеб, пособие, Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2004, 324 с.

3, Новожилов В.В., Финкелынтейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ. 194-3. Т.7. Вып. 5. С. 331-340.

4, Власов В.З. Избранные труды, Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 528 с.

Summary

Mironov V.V. The account of transversal shears in a problem about a bend of the cylindrical panel

In this paper the task about a bend of cylindrical panel under effect of normal load is considiered. The normal load are distributed on field, simular to middle surface of a panel. The bend of panel on register of transversal shears by S.P. Timoshenko’s model is described. The mechanism of dependence of a momemts for transversal shears is confirmed — the graphics of moments for change of curvature of middle surface and for change of transversal shears are be in anti-phases in fields of a maximal absolute values.

Сыктывкарский университет

Поступила 31.01.2006