CC BY
45
sin(a) =
pr ~2A
-1.
(11)
Соотношение (9) выражает связь текущего радиуса r с углом а .
Поскольку в точке A угол а = 0, а в точке F угол
а = а0 (см. рис. 2), то из этого следует, что
r2
r2 = „ Л ч . (12)
a 1 + sin( а)
Принимая во внимание допущение (4) и сравнивая соотношения (3) получим выражение для коэффициента грузоподъемности k:
,2 1
k2 =-. (13)
1 + sin( а)
Запишем очевидные соотношения:
где h - высота конического эластичного тора, мм.
С учетом уравнений (13) и (14) после преобразования уравнение (5) имеет вид:
O(l + cos т)
p =-—-—-. (15)
nhtg (m)[r + htg (ф)]
Таким образом, уравнение (15) выражает условие равновесия системы «конический эластичный тор -груз». Из этого уравнения определим минимальное значение избыточного давления в полости тора, которое необходимо создать для удерживания груза.
При изменении давления р в полости тора в сторону увеличения равновесие нарушается и тор начинает выворачиваться (наволакиваться) в осевом направлении и перемещаться вверх, поднимая груз Q. При уменьшении давления р тор перемещается в обратном направлении, опуская груз Q.
Конический эластичный тор под действием внутреннего давления, напрягающего его поверхность, перемещается в сторону широкого основания. Причем, чем больше угол конуса тороида, тем больше разница в размерах радиусов кривизны торцев.
При этом необходимо отметить особые требования к свойствам материала конического тора. При выворачивании тора, особенно у широкого основания, поперечный диаметр оболочки может увеличиваться в разы, а в продольном направлении (сечении) длина оболочки должна сохранять свои размеры. То есть упругие свойства материала оболочки тора в продольном и поперечном направлениях должны существенно различаться.
Итак, применение конического эластичного тора в качестве силового органа в ряде случаев может существенно упростить конструкцию машины или механизма, исключив использование другого (например, электромеханического) вида привода, обеспечить герметизацию, исключить использование пар трения, повысить надежность работы машины, уменьшить ее габариты. Такие механизмы при разумном использовании обладают высокой мобильностью, простотой эксплуатации, ремонта, монтажа и демонтажа, особенно в экстремальных условиях.
Таким образом, показанные функциональные особенности позволяют расширить использование торо-вых механизмов в различных отраслях промышленности, в частности в транспортном машиностроении. Это позволяет применять новые направления в конструировании, открывающие возможность не только совершенствование существующих машин, но и создания новых подходов в классической механике.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства РФ в рамках Постановления № 218 (проект № 02.G25.31.0075).
Статья поступила 03.04.2014 г.
Библиографический список
1. Шальнев О.В., Осоловская Н.А., Ионова Ш.К. Перемеще- 2. Эластичные механизмы и конструкции: монография / В.Н. ния эластичных пневмооболочек // Пневмоконструкции: сб. Шихирин, В.Ф. Ионова, О.В. Шальнев, В.И. Котляренко. Ир-трудов НИИ Резиновой промышленности. Сергиев Посад: кутск: Изд-во ИрГТУ, 2006. 286 с. Изд-во ВСП, 2010. С. 426-520.
УДК 539.3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА ТРЕХСЛОЙНОЙ ПАНЕЛИ С НЕЖЕСТКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
© Н.В. Осадчий1, В.Т. Шепель2
Открытое акционерное общество «Научно-производственное объединение «Сатурн», 152903, Россия, Ярославская обл., г. Рыбинск, пр. Ленина, 163.
Представлено аналитическое решение задачи поперечного изгиба трехслойной панели из композита с нежестким заполнителем, толщина которого больше толщины обшивок, при условии того, что две противоположные кромки панели имеют шарнирное опирание.
1Осадчий Николай Васильевич, кандидат технических наук, эксперт конструкторского отдела прочности, тел.: 89206522794. Osadchy Nikolai, Candidate of technical sciences, Expert of Construction Department of Durability, tel.: 89206522794.
2Шепель Вячеслав Тимофеевич, доктор технических наук, профессор, начальник конструкторского отдела сертификации, тел.: 89605386407, e-mail: sshepel@yandex.ru
Shepel Vyacheslav, Doctor of technical sciences, Professor, Head of Construction Department of Certification, tel.: 89605386407, e-mail: sshepel@yandex.ru
Ил. 2. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: трехслойная панель; композит, поперечный изгиб, метод Леви.
ANALYTICAL RESEARCH OF TRANSVERSE BENDING OF A THREE-LAYER PANEL WITH A SOFT CORE N.V. Osadchy, V.T. Shepel
NPO Saturn JSC,
163 Lenin pr., Rybinsk, Yaroslavl region, 152903, Russia.
The article introduces an analytical solution of the problem of transverse bending of a three-layer composite panel with a soft core, whose thickness is greater than that of the skins, provided that the two opposite edges of the panel have a hinge support. 2 figure. 4 sources.
Key words: three-layer panel; composite, transverse bending; Levi method.
При расчете композитных панелей сложной формы, в том числе и панелей с сотовым заполнителем, с помощью метода конечных элементов необходимо выполнить верификацию конечно-элементной модели посредством сравнения результатов конечно-элементных расчетов с результатами аналитического решения. С этой целью приведем результаты аналитического решения задачи поперечного изгиба трехслойной панели, толщина нежесткого заполнителя которой намного больше толщины обшивок, при условии, что две противоположные кромки панели имеют шарнирное опирание. Для этого используем систему дифференциальных уравнений [3], описывающую поперечный изгиб пластины с учетом деформаций сдвига:
д2ф д2ф 3 . дх ду 2h
X+D
d4w
л d4w . .4
Т^Т+°уУТ = q х у +-дх ду "ду 5
D+Do1—+J
дх4 0 G )дх*ду
д4ф Dy д"ф + Gyz ду'4
(1)
где Ох,Ог,О0 - цилиндрические жесткости пластины; - модули сдвига пластины в плоскостях XZ и
YZ; х У) - поперечная распределенная нагрузка; и/( х У) - поперечный прогиб пластины; ф( х У) -функция сдвига.
На рис. 1 представлены размеры панели в плане и ее поперечное сечение. Рассматривается прямоугольная в плане пластина, две стороны которой ^ = 0, x = а) имеют шарнирное закрепление. Пластина нагружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой с интенсивностью q.
а) б)
Рис. 1. Размеры панели в плане (а) и ее поперечное сечение (б)
Для трехслойной панели с нежестким заполнителем цилиндрические жесткости Ох,Оу,О0 определяются соотношениями
dx = 2 •-
2EX\^ *
; D = 2•-
E*
2Er\ 21 *
(2)
12 (1-МуУ) (1 -МуМух )' У 12 (1-МхуМух) (1-МхуМух)' О0 = 0Х -МУХ + "ху = "у-иху + "ху;
О = 2 .^У3 + 4С (*
°ху 2 12 + ху I 2
где ЕХ,БУ- модули упругости наружной и внутренней обшивок; /лху, ^ - коэффициенты Пуассона для
2
2
наружной и внутренней обшивок; Оху - модуль обшивок в плоскости панели; t - толщина обшивок трехслойной панели; h - расстояние между срединными поверхностями обшивок.
Для трехслойной панели толщина заполнителя h намного превышает толщину обшивок /, и поэтому деформацией обшивок от сдвига можно пренебречь. Кроме того, модули упругости заполнителя в направлении осей ОХ и OY практически равны 0, и в расчете, как правило, не учитываются. Поэтому в трехслойной панели изгибающие моменты воспринимаются обшивками, а поперечные силы - заполнителем. Модули сдвига Охг,Оу-:
характеризуют свойства заполнителя, а модули упругости ЕХ,БУ - свойства обшивок.
В случае трехслойной панели наружные волокна располагаются на уровне срединных поверхностей обшивок. Это допущение приемлемо при условии h > I.
С учетом квадратического закона изменения касательных напряжений по толщине пластины [3]
dx
1 - 4-
h2
dy
1 - 4-
h2
осевые смещения волокна пластины с координатой z будут равны:
ux( x y, z) =-z
dw dx
dw
+ z^ = -z dw + z ^ dx G^ dx
G
dw т„ dw z di^
uJx У, z) =-z-+ z-^ = —z-+---1
Y У dy Gz dy Gz dy
- í
(3)
(4)
(5)
(6)
3 . х . У ^ г\\/
■*хг ? уг
Решение системы уравнений (1) методом Леви [4] для шарнирного опирания кромок с координатами х = 0 и х = а можно представить в виде:
/кпх
Взаимные осевые смещения наружных волокон пластины г = ±11 / 2 вдоль осей равны [3]:
иди 1 2Л дф х иди 1 2Л
их(* У) = и- -—ТдФФ у =и &
dx
G 3 dy
w{x,y ) = £ W (у) sin —
(7)
(8)
где 1Уп( у) и Рп( у) - неизвестные функции. Выражение для поперечной нагрузки можно разложить в ряд по синусам:
(9)
Для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда можно воспользоваться формулой Фурье [1]:
л /
РП(У)=- Г<7(* .y)s¡n
я JQ
тгпх
dx.
(10)
Для равномерно распределенной поперечной нагрузки с интенсивностью ц функции Р ( у) будут равны:
7ТП
КП 2
(11)
Подставляя уравнение (8) в первое уравнение системы (1) и приравнивая коэффициенты при sin (яnx¡a),
получим неоднородное дифференциальное уравнение относительно у:
d2 с . n-2ríl с 6 . 2 (яп
(у )--—F (у ) = -——Я sin2 —
dy a hnn 1 2
(12)
действительные корни характеристического уравнения которого равны: /?12 = +лп!а . Результаты исследования цилиндрического изгиба пластины [2] показали, что функция сдвига является четной функцией. Следовательно, у) будет четной функцией относительно переменной у, и решение уравнения (12) можно записать в следующем виде [4]:
Fn(y) = Cnchl^ | + С
(13)
Значение постоянной С1л определяется из условий закрепления кромок пластины.
Выражение (13) с учетом постоянной Сп, найденной путем подстановки выражения (13) в уравнение (12), с учетом (9) имеет вид:
П / \ и(ЖПУ\ б£,2Ч '2 I ЯП
Подставив выражения (7) и (14) во второе уравнение системы (1), получим неоднородное дифференциальное уравнение относительно переменной у:
Корни характеристического уравнения
о -IV (у )
У I 4 п ^ '
с/У
О0^Ау) + Ох^Ау) - О а ау а
соответственно имеют вид:
(15)
(16)
Ч2,3.4(л)
: +-
7ГП
(Оа±р02-ОхОу )Шу ±«±д * (17)
В зависимости от соотношений цилиндрических жесткостей рассмотрим три случая [4]:
Случай 1: О0 / ^ О хОу < 1, уравнение (16) имеет комплексные корни.
Случай 2: О0 / ^ОхОу = 1, уравнение (16) имеет кратные вещественные корни.
Случай 3: О0 / ^ОхОу > 1, уравнение (16) имеет различные вещественные корни.
Так как противоположные кромки пластины у = +//2 имеют одинаковые условия закрепления, то изогнутая
поверхность пластины будет симметрична относительно оси X. Поэтому в уравнения прогибов будут входить лишь четные функции от у, вместо шести постоянных необходимо определить только три. Эти постоянные будут определены из условий закрепления кромок пластины с координатой у = //2 . Случай 1. Общее решение уравнения (16) можно записать в следующем виде [4]:
Найдем выражение для правой части уравнения (15). Для этого подставим в правую часть уравнения (15) выражение (14):
(У )--^ ^ 2 г 2 п (У ) + 7(У )
е^с/у*
в в
х? уг
а2 ¿у2
4 а . 2 Гяп
■— ЭШ -
яп 2
4 я'пЦО^в^ +вкг)-(Охвкг+Оув^)) (лпу
4
Ъяв^а Ип
Частное решение уравнения (15) запишем так:
\А/^у) = НпсН
'' лпу '
V 3 У
+ А.
(19)
(20)
Константы Ип и Ап найдем, подставляя выражение (20) в уравнение (16) и приравнивая полученное выражение к выражению (19). Для константы А имеем:
А =■
4а2д
бхОС^г?
81п2\X-\5Gzha-2 + <6л2Охп2).
(21)
Уравнение для константы И имеет вид:
4 _4
-И (2Оп - О - О )/
п а4 V 0 * у)
п эл
лпу | 4х4п4 (Оо С С )-(ОхСУ2 + ОС))
С1П |.(22)
Из уравнения (22) находим константу Hп :
H ="4С1п D G +Gyz )
\dxgyz + DGxz )) / 5GxzGyz ( Dx 2d0 + Dy ) ■
(23)
Решение уравнения (15), равное сумме общего и частного решений, имеет вид:
Wn(y) = C2nch (ayCps (Py) + C3nsh («ys)n (fiy)-
4 (d (Gxz +Gyz) - (DxGyz + dygxz ))
5GZGYZ (Dx - 2D0 + Dy )
a sin2 ¡^KBGxzha2 + 6n2Dxn2 ).
bn DxGxzhn
Случай 2. Цилиндрические жесткости удовлетворяют условию
Dx = Dy = d0 = DgGzz =GZ =g-
CncCh\n ,+
(24)
(25)
В данном случае характеристическое уравнение имеет вид:
к,« - 2 пП
( n
2 (
kn
4 4
n n
= 0.
(26)
Корни характеристического уравнения равны: к1234 = ±пя/а = ±а . Общее решение уравнения (16) можно записать в виде [4]:
Щ0( У = С2пОИ(ау) + СпаувИ(ау).
(27)
Правую часть уравнения (15) с учетом (18) и (14) можно записать в виде:
(28)
Общее решение уравнения (15) будет равно постоянной величине Сп:
4а2д
C =
n 5n5DGhn5
sin21^1(15Gha2 +6n2Dn2 ),
(29)
следовательно
W°n( y = C2nch (a y) + C3naysh (ay) +
4a2q . 2 \ nn
5 n5DGhrf
sin 2\ —I5( Gha 26+ n2Dn2) ? \ О I v '
(30)
Случай 3. Корни характеристического уравнения равны:
к 1,2 =±n(D0 +D - DxDy )/Dy =±«i k =±n D-JD-DxDy )/Dy =±a2. (31)
а \ \ " ' " " ' I ' ' а
Общее решение получим, комбинируя решения (18) для а и а2 при ¡ = 0:
К°( у) = С2„еЬ (а! у) + С Ъпск (а2 у).
(32)
Частное решение будет иметь вид (20), где постоянные An и Hn определяются по формулам (21) и (23). Таким образом, решение уравнения (15) будет иметь вид:
V ^ u \ п и \ 4(D0 (GXZ +gyz) (DxGYZ + DyGXZ)) (nny ~
Wn( y = C2nch(aiy) + C3nch(a2y)--*-7-^-y-'-LCch\ y
4a2q
5nbDxGxzhn
5GzzGyz Dx - 2D0 + Dy )
sin2 inibGh + 6n2Dn2 )■
(33)
Константы Cn , C2n, C находятся из условий закрепления кромок пластины: y = b\2 .
Рассмотрим шарнирное закрепление кромок, при котором поперечные перемещения и изгибающие моменты при у = Ь/2 равны 0:
х,Ь\ = 0,Мх I х,Ь\ = 0,Му I х,Ь | = 0.
(34)
Учитывая выражения для изгибающих и крутящих моментов [3]
д2м д2м
Мх =-Оу
Му =-ох
~.2 + №ху _2
д2 у д2х
д2м д2м
+4 а
д2х
д2у
.. д2м
Мху =-аху^^2
+4а
дф
ду2 дх2 1 д2ф д2ф
Ой дх2
О ду2
+2а
дх2ду2 5
условия закрепления пластины (34) можно переписать в виде:
1 1
- + -
д2 ф
дхду
(35)
(36)
(37)
™\х,- | = 0;
д2 \ д у 'х ь \ + №ху д2 -—м д х 'хЬ
д2 \ д х 'х Ь \ + у д2 \ д у хЬ
4
+ —
5
4
+ —
5
1
Оуг ду2 1
Ох? дх2
х-\ + '2 ) в„ дх2
х,- | + №Ух #
2 ) Оуг ду2
Ь
х,— 2
Ь
х,— 2
= 0; = 0.
(38)
Сформулируем также кинематические граничные условия, которые накладывают ограничения только на перемещения кромок пластины:
- условие шарнирного опирания с запретом осевого смещения кромок пластины для у = ЬЬ2 :
I Ь\ п .д ( ь\ 2Л д( Ь\ - .д ( ь\ 2Л д( ь\ .
х— | = 0; Л— х,— |---ф\х— | = 0; Л—х — |---ф\х — | = 0;
I '2) ; ду ^ '2) 3Оу? дуфф '2) ; дх { '2) ЗОхг дхФф '2 | ;
(39)
- жесткая заделка кромки пластины для у = Ь2, при которой суммарный угол поворота кромки пластины у = Ь2 равен 0:
4 хЬ| = 0;
д I Ь\ 1 д
-Т"х~ ' + ду
, Г\хЬ\ = 0;
2) О?ду \ 2 |
д 1 Ь\ 1 д --х,— | +---ф
дх \ 2) в^ дх
х,Ь\ = 0.
(40)
Подставляя в граничные условия выражения (38)-(40), получаем системы уравнений для вычисления постоянных интегрирования.
Для оценки точности и адекватности полученных выражений было исследовано, как изменяется прогиб пластины по мере увеличения размера а по сравнению с размером Ь. Погрешность метода интерпретировалась как разница в процентах 5 между максимальным прогибом м1тах, рассчитанным с помощью выражений, полученных
в данной работе, и прогибом м2тах, полученным при изгибе пластины по цилиндрической поверхности [2]. Вычисления произведены для одних и тех же условий опирания в зависимости от отношения сторон панели а/Ь и различных ее толщин h:
М -м, I
^ = \_\тах-. 100%.
Для расчетов использовалась панель шириной Ь = 100 мм с модулями упругости Е = 2-104 кгс/мм2,
Ex = E/2 сдвига в плоскости пластины G^ = 7692 кгс/мм2, сдвига в плоскости XZ G^ = 7692 кгс/мм2 и коэффициентом Пуассона, равным 0,3. Поперечная нагрузка принималась равной 0,02 кгс/мм . При вычислении прогибов удерживалось 6 членов ряда.
На рис. 2 показано изменение величины 5 в зависимости от соотношения сторон панели a¡b для толщины h = 10 мм.
Рис. 2. Относительная погрешность между прогибами от соотношения сторон панели при ее толщине Ь, равной 10 мм
Из рис. 2 видно, что при соотношении сторон а/Ь > 4 прогиб пластины не зависит от размера а (разница
между мЫях и ^2тах не превышает 1%), что согласуется с результатами работы [4]. Таким образом, полученные
уравнения адекватно описывают поперечный прогиб пластины с учетом деформаций сдвига при условии, что две противоположные кромки имею шарнирное закрепление.
В работе получены выражения для поперечного прогиба и функции сдвига прямоугольной композитной трехслойной панели с учетом деформаций поперечного сдвига при различных соотношениях цилиндрических жест-костей. Результаты исследования будут использованы для прочностных расчетов акустически панелей изделий авиационной техники, а также для тестирования конечно-элементных моделей пластин, изготовленных из композитных материалов.
Для различных условий закрепления кромок пластины получены выражения, которые позволяют определить постоянные интегрирования и вычислить значения поперечных прогибов пластины с учетом деформаций сдвига.
Показано, что при увеличении отношения длины к ширине панели значения поперечных прогибов, полученных с помощью выражений данной работы, совпадают со значениями поперечных прогибов, полученных для панели при ее изгибе по цилиндрической поверхности, что подтверждает точность и адекватность полученных уравнений.
Статья поступила 26.03.2014 г.
Библиографический список
1. Курс высшей математики и математической физики / под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. Вып. 2. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1965. 608 с.
2. Осадчий Н.В., Шепель В.Т. Аналитическое исследование цилиндрического изгиба пластин с учетом деформаций сдвига при различных условиях закрепления их кромок // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2013. № 9 (80). С. 82-89.
3. Справочник по строительной механике корабля / Г.В. Бойцов [и др.]. В 3 т. Т. 2. Пластины. Теория упругости, пластичности и ползучести. Численные методы. Л.: Судостроение, 1982. 464 с.
4. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.
