Проектирование сжатых трехслойных сотовых конструкций минимального веса с учетом конструктивно-технологических ограничений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том V ■ 1974

№ 1

УДК 629.7.015.4.023.2

ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЖАТЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СОТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА С УЧЕТОМ КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ

В. А. Сугаков

Предложен метод выбора оптимальных параметров трехслойных сотовых конструкций при осевом сжатии. Условия устойчивости и конструктивно-технологические ограничения формулируются в виде неравенств. Проектировочный расчет сводится к решению задачи нелинейного программирования, где целевой функцией является вес сотовой панели.

Приведены результаты исследования влияния начальных деформаций и некоторых конструктивно-технологических требований на оптимальные параметры конструкции.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу проектирования трехслойной сотовой панели, обеспечивающей восприятие заданной сжимающей нагрузки и удовлетворяющей условию минимума веса. Параметры панели должны удовлетворять совокупности ограничений, характеризующих условия прочности, конструктивные и технологические возможности ее изготовления. В работе [1], посвященной этому вопросу, оптимизация конструкций данного класса осуществлялась при жестких ограничениях, записанных в форме равенств. В работе [2] для определения оптимальных параметров шарнирно опертых сотовых пластин с начальными неровностями используются специальные алгоритмы.

В настоящей работе задача оптимального проектирования слоистой конструкции при осевом сжатии ставится как общая задача нелинейного программирования и решается методом градиента [3], [4]. Совокупность ограничений записывается в виде неравенств, в число которых могут быть включены конструктивнотехнологические требования к проектируемой панели. Условия прочности учитывают наличие или отсутствие начальных неправильностей, характер закрепления нагружаемых кромок (шарнирное опирание, защемление).

Решение задачи рассмотрено как в упругой, так и в пластической области работы материала обшивок. Для описания свойств материала за пределом пропорциональности используется теория

касательного модуля, изменение которого по рабочему напряжению аппроксимируется функцией Ремберга—Осгуда [5]:

Е .

где

' [1+3/7 п(а/а0<7 £)»-'] ’ ч — 1 + 1ог 17/7 1оё (оо,7 е/зо.ЪЬ £■)•

I Результаты исследований представлены в виде номограмм, которые могут быть использованы в инженерных расчетах.

'1

• —■

Iм—

г

и

м

Фиг. 1

2. Весовая функция. Пусть бесконечно широкая трехслойная панель с сотовым заполнителем, имеющим в направлении нагрузки жесткость на сдвиг 0зап, подвергается сжатию погонным усилием д (фиг. 1). Нагруженные кромки шарнирно оперты или защемлены. Геометрические характеристики панели определяются расстоянием между нагруженными кромками /, расстоянием между срединными поверхностями несущих слоев И и толщиной обшивки каждого несущего слоя 8. Предположив, что отношение удельного веса материала фольги сотового заполнителя 7ф к удельному весу материала обшивок 7 равно <в и что ячейка сотов имеет форму правильного шестигранника, запишем следующее выражение для веса единицы площади панели без учета веса клея

С? = 2 ? [8 + 0,878 о (Я — 8) Оза„/Сф]. (1)

Здесь бф — жесткость на сдвиг материала фольги.

В соотношении (1) использована связь геометрических характеристик заполнителя, определяющих его вес, с жесткостными характеристиками, которая для случая, когда двойные стенки сотов параллельны сжимающей нагрузке (см. фиг. 1), будет иметь вид [6]

0зап = 0,878 8ф/гОф, (2)

где 8ф — толщина фольги, г — ширина грани ячейки заполнителя.

Поставим в соответствие выражению (1) некоторую безразмерную весовую функцию р. Для этого соотношение между параметрами трехслойной панели Н и 8 определим коэффициентом формы

к = Н/Ь. (3)

Принимая во внимание (3), а также очевидное тождество

Ъ = (д/1)1/2а, '

выражение (1) преобразуем к виду

Р = [ 1 + 0.878 си (к - 1) Озап/Оф] /Т.

(1'>

Здесь (^//) — коэффициент напряженности конструкции, о — сжимающее напряжение в обшивках.

Поскольку постоянные множители / и т не влияют на положение оптимума, примем их равными единице и тогда (Г) станет безразмерной функцией, характеризующей приведенную толщину, т. е. вес панели

Параметры а, А и 0зап при заданных значениях (^//) и Сф однозначно определяют функцию р. С другой стороны, через эти параметры могут быть определены из соотношений (3) и (4) конкретные геометрические характеристики трехслойной панели Я и 8, а из (2) может быть определено отношение толщины фольги 8ф к ширине грани ячейку заполнителя г. Таким образом, минимизация целевой функции (3 = (2(а, А, 0зап) с учетом ограничений, налагаемых на ее независимые аргументы, решает задачу оптимального проектирования трехслойной сотовой конструкции, воспринимающей заданную сжимающую нагрузку.

3. Условия прочности. Совокупность ограничений, которым должны удовлетворять оптимальные параметры, включает условия прочности панели и ее элементов; математические ограничения применимости используемых формул; физические и конструктивнотехнологические требования.

Из различных форм разрушения сжатых сотовых панелей [2{ определяющими являются:

— местная потеря устойчивости несущих слоев как пластинок на упругом основании;

— общая потеря устойчивости;

— местная потеря устойчивости несущих слоев в пределах ячеек сотов заполнителя;

— разрушение заполнителя от нагрузок, возникающих вследствие начальных деформаций панели. Ниже будет показано, что некоторые из видов разрушения являются взаимосвязанными и это найдет отражение в соответствующих условиях прочности.

Предположим, что панель имеет начальный кососимметричный прогиб к (см. фиг. 1). В этом случае в несущих слоях кроме напряжений сжатия а появятся напряжения изгиба, пропорциональные упругому прогибу

Амплитуда кососимметричного упругого прогиба ^ зависит от степени нагруженности панели

<2 = Ш[1 + 0,878(0 (к - 1)Сзап/Сф].

(5)

. 4а21Г* ± к (ЧII) ’

(6)

где

Здесь иТ’н. к = и!7,,. К11 — безразмерный начальный кососимметричный прогиб. Неизвестное критическое значение коэффициента напряженности (д/1)кр может быть определено из выражения для критических напряжений общей потери устойчивости

кр

тс2 Е Н2 І и2 Е Ь {Н — 5)а

а 1 + •-

2'2 Озап(1-ц2) ’

(7)

где а=1 — для шарнирно опертых кромок, а = 4— для защемленных кромок. На основании (3) и (4) имеем

ал2 £т к2 ( д у ! л ( те2£т(й— 1)

°КР = 16(1-И 02 ( / ] / 1 + а 8(1 — (а2) Озапа2 \ Ч •

Поскольку в момент потери устойчивости о = акр, (д/1) = (д/1)кр, то

Я,-

о3

ап2 «э 7 (М ^ 1

8(1-^) . 2 Фзап J

Таким образом,

1(1 _ ц2)оЗ

(8)

ал2

(к — 1) а

Оз

Подставляя к в формулу (6), находим

4а2Г„ „

■'ИЗГ-------і-

+

I

'У

І(1 — (Л2) а3

а \2 Г к1

Т ™2Ег \Т

(к - 1)а

Потребуем, чтобы суммарные напряжения в обшивке от сжатия и изгиба не превосходили критических напряжений потери устойчивости несущего слоя для пластинки на упругом основании

о + зизг<|/ 2,63-^^ ПРИ (9)

Зб£тОзап

■їх) (А-1)

при £-<Р,

(10)

где

а.

Требования (9) и (10) с учетом (6) определяют два следующих ограничения по условию местной потери устойчивости

(з, (З3ап) — ‘Рг (б> ^зап) =

4 о2

к (дЦ) . 2

Ега

— 2,63-^-3-^<0 при6>Р, (11)

2,36 Ет (7зап (1 - р.) (Л - 0

<0 при А<[3. (12)

Сжимающие напряжения в обшивках оптимальной панели не должны превышать критических напряжений общей потери устой-

чивости (7). Соответствующее условие устойчивости панели в целом, учитывая (3) и (4), запишем в виде неравенства

?, («, k, Озап) = =3 - * (т)2 8(Г^У [-Т - -0~£- ] < °- (13>

Заметим, что из (13) следует

+ * <">

На основании (14) выражение (8) для амплитуды упругого прогиба панели можно представить в следующем виде:

wt=----------(15>

1 - у_____£___

V -тз + в*

Таким образом, через параметр Wk ограничение (13) входит в условия местной устойчивости несущих слоев (11) и (12). Значение ср3 войдет также и в условие прочности заполнителя.

Последнее сформулируем исходя из предположений, что упругий прогиб нагруженной шарнирно опертой панели аппроксимируется синусоидой

W„(x) = Wk sin^f, а панели с защемленными кромками — выражением

TV/ / \ W Ь (л 2кХ

wk (х) = -f (^1 — cos —

Тогда максимальное значение секущей силы, как при шарнирно опертых, так и при защемленных кромках, равно

dwk (х)

s= q •

dx

= q*Wk.

max

Расчетным элементом заполнителя с шестигранной ячейкой являются одинарные стенки сотов шириной г и толщиной 8ф. Напряжения сдвига в них от секущей силы 5 равны

_ _ г /-.дч

т“— ньф ■ <16>

Критические напряжения сдвига стенки как удлиненной прямоугольной пластинки [7], если принять во внимание (2), могут быть представлены в виде

т., = 1г,5°*,"д1ф+|,) . (17)

Очевидно, условием прочности заполнителя является выполнение неравенства

^ < Ткр,

которое с учетом (2), (3), (4), (16) и (17) запишем

?„ (3> к, Сзап) = 0,878 * УЪ - 12,5 —ап^+ < 0. (18)

'-/зап * ^ф

Здесь амплитуда упругого прогиба должна быть вычислена

в соответствии с выражением (15).

Местная потеря устойчивости несущих слоев в пределах ячеек сотов заполнителя зависит от соотношения размеров ячейки и толщины обшивки. Нетрудно показать, что для реальных значений этих параметров данная форма разрушения не является лимитирующей.

Таким образом, условия (11), (12), (13), (18) обеспечивают прочность конструкции панели от разрушения. Дополнив их неравенствами

1X2 EAk— 1) / <?\2 , Л

?5 (°. к, С?зап) = -у- 02(J3an (т) ~ ’

ере (к) = 7 — k < О,

представляющими собою математические ограничения применимости формулы (7), а также физическими условиями

ср7 (о) == — о <.0,

^8 (^зап) == G3an 0,

получим совокупность ограничений в виде неравенств

<Р,<0 (i=l, 2,...,8),S (19)

которые должны быть учтены в задаче поиска минимума функции (5).

4. Алгоритм решения. Определение оптимальных параметров конструкции свелось к решению неклассической вариационной задачи минимизации функционала

СКхи х2,... , хп) при £Х,. = 0;

* » (20)

тп гп

'£1^Ь(хих„...,хп) при

1 1 * Здесь т—количество ограничений, Х1==0 при ?*<(), )^=1 при

?г>0.

Эта задача может быть сформулирована следующим образом. Найти пИпСЗ^, х2,... , хп) при условии Р(хи х2, ■ ■ ■ , •*„) =

т

= ^Хг!Рг(-Х1, х2>..., хп) <; 0, где Р(хх, х2,..., хп) — обобщенная функ-1

ция ограничений, к которой формально сведены неравенства (19).

В «-мерном пространстве оптимизируемых параметров, каждой точке х(*1> х2,..., х„) которого соответствует определенный вариант конструкции сотовой панели, гиперповерхность Р{хъ х2,... ,_*„) = 0 ограничивает область определения й целевой функции С}■ Если параметры конструкции удовлетворяют совокупности ограничений

т

(19), то £Хг = 0 и, следовательно, соответствующая точка при-1

надлежит области 2; в случае нарушения хотя бы одного из огра-

т

ничений получаем, что т. е. х находится за пределами

1

области О.

Алгоритм решения задачи составим на основе одного из вариантов метода градиента, позволяющего учесть ограничения

в виде неравенств [3], [4]. Примем, в качестве начального, произвольный вариант конструкции и будем последовательно его „улуч-шать“ целенаправленным изменением параметров. Каждый последующий вариант считаем лучше предыдущего, если

Переход к новому варианту будет наиболее выигрышным, если он направлен по антиградиенту функционала (20). После пересечения границы обобщенной поверхности Р(хи х2,... ,хп) — 0 произойдет возврат в область 2, так как антиградиент функционала (20) при этом будет направлен нормально к границе. В дальнейшем движение пойдет вдоль границы по »пилообразной“ траектории. Особенности решения задачи нелинейного программирования с использованием подобных алгоритмов подробно рассмотрены в работах [4], [8].

Величина шага по параметру х1 вычисляется в соответствии с формулой

где /? — модуль нормированного вектора шага. В окрестности оптимума значение I? последовательно уменьшается. Порядок уменьшения модуля вектора шага зависит от характера целевой функции и обобщенной функции ограничений. В рассматриваемой задаче он определялся численным экспериментом.

5. Конструктивно-технологические ограничения. Проектирование реальных конструкций минимального веса сопряжено с необходимостью учета конкретных конструктивно-технологических условий, возникающих, например, вследствие ограниченности номенклатуры сотового заполнителя или листа для несущих слоев, конструктивных ограничений, накладываемых на некоторые геометрические размеры, и т. д. Эти требования, заданные в виде неравенств, могут быть включены в условия задачи, рассмотренной в п. 4.

Если же конструктивно-технологические ограничения представлены в виде жесткого равенства

то задача минимизации видоизменяется и формулируется следующим образом.

Требуется найти ш!п С? (хи х2,..., хп) при условиях ^(х,, х2,..., хл)<0, Р(хи х2, ...,х„) = 0. '

В этом случае описанный выше алгоритм решения необходимо дополнить итерационной процедурой, направленной на последовательное приближение к заданному условию (21).

В качестве примера такого рода модификации алгоритма рассмотрим задачу проектирования сотовой панели с заданным расстоянием между срединными поверхностями несущих слоев Н=ИС.

или

Ах

Р(хи х2,... ,хп) = 0,

(21)

Из равенств (3) и (4) следует, что параметры & и о, при этом будут связаны условием

/г (я/1)1 — 2Ясв = 0. (22)

Определив при произвольном начальном значении &„оптималь-ное“ для него сочетание о и озап, подставляем найденное а в (22) и находим /г следующего приближения. Для него вычисляем новое „оптимальное11 сочетание а и азап, и т. д. Процесс заканчивается выполнением условия (22) с заданной точностью.

6. Некоторые результаты оптимизации. Рассмотренный метод реализован в программе для системы ВА81С-БЭСМ-4. В номограммах, составленных по результатам расчетов, оптимальные параметры представляются в виде функций коэффициента напряженности. На фиг. 2 приведены соотношения для случая, когда начальная деформация конструкции отсутствует, —О, данные на

фиг. 3 получены при и^н. к —0,002.

о

Начальный кососимметричный прогиб существенным образом изменяет соотношения между параметрами оптимальной панели. В обшивках и заполнителе вследствие неровностей конструкции возникают дополнительные нагрузки. В связи с этим потребные толщины несущих слоев и жесткость заполнителя возрастают. Общая оценка влияния начальных прогибов может быть сделана на основе сравнения эффективных напряжений, определяемых по формуле

23

Оэф--- 3ор4 )

^ о + Озап

где 8зап—толщина заполнителя, приведенная к весу материала несущих слоев. Для панелей с прогибом к = 0,002 эффективные напряжения снижаются на 25—50%.

Из номограмм видно, что оптимальные сжимающие напряжения в обшивках и жесткость заполнителя монотонно возрастают с увеличением (<?//). Рациональное сочетание коэффициента формы

и заполнителя потребной жесткости позволяет получить панели' с критическими напряжениями, превышающими условный предел текучести материала несущих слоев. Следует вместе с тем отметить, что если во внимание принимать только ограничения по условиям прочности, то некоторые оптимальные геометрические параметры в ряде случаев являются не конструктивными.

4^1 *

о

£аЩ

20\г 200

1.5

10

- 100

Защемление нагружаемых кромок может быть эффективным средством повышения весовой отдачи конструкций (фиг. 4). Панели с защемленными кромками имеют оптимальные напряжения примерно на 10% выше, чем шарнирно опертые, а общий выигрыш в весе составляет 12,5—23%.

Рассмотрим влияние некоторых конструктивно-технологических ограничений на параметры сотовых панелей. В таблице приведены

результаты оптимизации панелей при условии, что жесткость заполнителя постоянна в рассматриваемом диапазоне (д/1)

ш. Н/мм2 03ап — 295 Н/мм2 Оптимальные значения Весовой эффект, %

а, Н/ММ2 к а, Н/мм2 к Озап. Н/мм2

0,1 200 150 220 231 11,5 35

0,5 258 54,9 276 89,8 16,9 8

1,0 286 42,0 300 63,3 19,5 4,5

3,0 340 33,1 356 48,5 22,3 1,8

6,0 383 31,8 383 44,0 23,3 0,7

К.*= 0,002

М/ммг

Фиг. 5

Сравнение этих результатов с оптимальными свидетельствует о некотором снижении значений параметров а и Л. В связи с этим весовая эффективность конструкции с заполнителем постоянной жесткости заметно ухудшается при (д/1)<^\ Н/мм2. Для более высоких значений коэффициента напряженности проигрыш в весе таких панелей не превышает 5%.

Зависимости, приведенные на фиг. 5, получены в предположении, что минимально допустимая толщина обшивок несущих слоев составляет 0,3 мм. Выход на минимальную толщину происходит при относительно небольшом значении коэффициента нагруженно-сти конструкции и характеризуется линейной зависимостью напряжений от (д/1). При этом происходит некоторое увеличение потребной жесткости заполнителя. Весовая отдача снижается с уменьшением расстояния между нагружаемыми кромками и может составить 20—30% весовой отдачи панелей с обшивкой оптимальной толщины.

Приведенные результаты исследований свидетельствуют о воз-1 можностях оптимального проектирования трехслойных сотовых панелей. Учет конструктивно-технологических ограничений приводит в ряде случаев к существенному перераспределению материала в конструкции.

Автор выражает благодарность В. М. Фролову и В. А. Белоусу за полезное обсуждение настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А. Я., Наумова М. П. Оптимальные параметры трехслойных пластин и пологих оболочек с сотовым заполз нителем при сжатии. В сб. „Расчеты элементов авиационных конструкций', № 4. М., „Машиностроение", 1965.

2. Иерусалимский К. М. Несущая способность и оптимальные параметры шарнирно опертых по контуру трехслойных пластин с сотовым заполнителем при сжатии. Труды ЦАГИ, вып. 1101, 1968.

3. Голубев И. С. Аналитические методы проектирования конструкции крыльев. М., .Машиностроение", 1970.

4. Стаховский Р. И. Метод изохрон в решении задач оптимального управления. М., „Энергия", 1967.

5. Lackman L. М. Ault R. М. Influence of plasticity correction factor in minimum weignt analysis. AIAA, vol. 4, No 4, 1966.

6. Александров А. Я., Брюккер Л. Э., КуршинЛ. М., Прусаков А. П. Расчет трехслойных панелей. М., Оборонгиз, 1960.

7. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., Физмат-гиз, 1963.

8. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. М., „Мир", 1972.

Рукопись поступила 14[Ш 1973 г.