CC BY
41
УДК 539.3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ИЗГИБА ПЛАСТИН С УЧЁТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ИХ КРОМОК
© Н.В. Осадчий1, В.Т. Шепель2
ОАО «Научно-производственное объединение «Сатурн», 152903, Россия, Ярославская обл., г. Рыбинск, пр. Ленина, 163.
В статье рассмотрен поперечный изгиб пластины по цилиндрической поверхности с учётом деформаций сдвига для различных условий ее закрепления. Такая постановка задачи естественна для пластины, длина которой значительно превышает ее ширину. В результате аналитического исследования для граничных условий, характеризующих условия закрепления кромок пластины, показаны соотношения между прогибами от изгиба и от сдвига, а также влияние деформаций сдвига на изгибающие моменты в пластине. Техническим приложением данного подхода является расчет и проектирование трёхслойных панелей, к которым относятся акустические звукопоглощающие конструкции и тонкостенные конструкционные элементы авиационной техники. Ил. 5. Табл. 2. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: пластина; деформация; сдвиг; изгиб; прогиб; моменты; граничные условия.
ANALYTICAL STUDY OF CYLINDRICAL BEND OF PLATES WITH REGARD TO SHEAR DEFORMATIONS UNDER VARIOUS CONDITIONS OF THEIR EDGE RESTRAINT N.V. Osadchii, V-Т. Shepel
Research and Production Association «Saturn» JSC, 163 Lenin pr., Rybinsk, Yaroslavl region, 152903, Russia.
The article examines the transverse bending of the plate over the cylindrical surface taking into consideration shear deformations for various conditions of its restraint. Such formulation of the problem is natural for the plate whose length considerably exceeds its width. Having performed the analytical study of the boundary conditions characterizing the plate
1Осадчий Николай Васильевич, кандидат технических наук, эксперт КО Прочности, тел.: 89206522794. Osadchii Nikolai, Candidate of technical science, Expert of the Construction Department of Durability, tel.: 89206522794. 2Шепель Вячеслав Тимофеевич, доктор технических наук, профессор, начальник КО Сертификации, тел.: 89605386407, e -mail: [email protected]
Shepel Vyacheslav, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Construction Department of Certification, tel.: 89605386407, e-mail: [email protected]
82
ВЕСТНИК ИрГТУ №9 (80) 2013
edges fastening conditions, the authors demonstrate the correlations between the bending and shear deflections as well as the shear deformation effect on the bending moments in the plate. The engineering application of the given approach is the calculation and designing of three-layer panels that include acoustic soundproof structures and thin-walled structural elements of aircraft equipment. 5 figures. 2 tables. 2 sources.
Key words: plate; deformation; shear; bend; deflection; moments; boundary conditions.
Введение
В авиационной технике широко применяются детали, расчётную схему которых можно свести к прямоугольной пластине, которая подвергается поперечному изгибу. Если эти детали изготовлены из материалов с низким модулем поперечного сдвига, то расчёт необходимо выполнять с учётом деформаций поперечного сдвига. К таким деталям можно отнести композитные однослойные панели. Подход, описанный в работе, применим также и для трёхслойных панелей, состоящих из двух обшивок (работающих на растяжение - сжатие) и заполнителя (работающего на сдвиг). Так как толщина обшивок значительно меньше толщины заполнителя, то в этом случае жёсткостью обшивок на сдвиг можно пренебречь.
Постановка задачи
Поперечный изгиб пластин с учётом деформаций сдвига описывается двумя функциями: поперечным прогибом w(x,y) и функцией сдвига (p(x,y). Эти функции связаны между собой и с нагрузками, приложенными к пластине, системой дифференциальных уравнений [1, 2]:
Dv
84 w
8x
4 + 2 • D0
84 w 8x 28y
8 V 8 V 3 --1--—---
8x2 8y2 2 • h
2 + Dy
84 w
4
—г — q + — 8y 4 5
D
8x
8V+D
4 + D0
v gxz
■ + -
G
YZ
8x 2cy2
+ -
D
8 V
gyz 8y
(1)
где Ох Д - цилиндрические жёсткости пластины в плоскостях Х2 и У2; Д - жёсткость пластины при кручении; к - толщина пластины; д - распределённая поперечная нагрузка; О^,СТ2 - модули сдвига пластины в плоскостях Х2 и У2.
При выводе этих уравнений предполагается, что касательные напряжения по толщине пластины изменяются по закону квадратичной параболы [1]:
7XZ —
8v 8x
1 - 4 • ^ h2
7YZ —
8v 8y
1 - 4 • ^ h2
(2)
Ввиду того, что решение системы уравнений (1) для различных условий закрепления концевых сечений пластины представляет собой сложную задачу, в данной работе рассмотрен изгиб пластины по цилиндрической поверхности для случая Ь >>Ь, когда деформациями в направлении оси У можно пренебречь. В этом случае перемещения, внутренние силовые факторы и нагрузки зависят только от одной координаты и система уравнений (1) имеет аналитическое решение, с помощью которого легко проследить влияние условий закрепления и модуля сдвига на деформации и внутренние силовые факторы в пластине.
Аналитическое исследование
Будем рассматривать цилиндрический изгиб пластины в плоскости Х02 . На рис. 1 показана система координат, связанная с пластиной, а также геометрические размеры пластины.
В случае цилиндрического изгиба при Ь >> Ь система уравнений (1) будет иметь вид:
Dv
8V
8x2
3
2 • h
q
tfw 8xA
— q + -
d^ 8V
gxz 8x \
(3)
Дифференцируя первое уравнение дважды по X и подставляя полученное выражение во второе уравне-
q
1
1
4
5
ние, получим:
Б
X
дх4
= д + -
Бх д2д
Ож ■ к дх
(4)
Коэффициент 6/5 учитывает квадратичный закон распределения касательных напряжений по высоте пласти-
ч2.
ны. В частности, для равномерно распределенной поперечной нагрузки
д 2д
дх
= 0
уравнение (4) сводится к
уравнению изгиба балки. Решение системы уравнений (3) для равномерно распределённой поперечной нагрузки имеет вид:
ф( х) = - 3-д ■ — + С ■ х + С, 2 ■ к 2 1 2
н>( х) =
д ■ х 24 ■ Б»
С ■ х
| С3 х + С4
С л ■ х
+ С ■ х + С6
(5)
Рис. 1. Система координат и размеры пластины
Постоянные Сх ...С6 определяют из условий закрепления кромок пластины.
Для формулировки граничных условий потребуются выражения для осевых смещений слоя пластины с координатой Z вдоль оси X, которые складываются из смещения, вызванного поворотом сечения от изгиба, и смещения, вызванного поворотом сечения от сдвига [1]:
(х, 2) = -2
1
дw — + -
дх О
У. •
XZ
1-
4.
3 ^ к2
дф дх
(6)
Подставляя в выражение (6) уравнения (5), определим осевое (вдоль координаты X , рис. 1) смещение сло-ёв пластины при г = ± к/ 2:
( С -Ъ-д-^ к.
( к Л / 2^ к ]_
и\ х — 1 = ±—^-- + —
С + + С^х + д'х
3 Л
V
2
Б
X
2
3^ О,
(7)
Взаимное осевое смещение наружных слоёв пластины, т.е. слоёв с координатами г = ± к/ 2, равно:
6
5
6
2
2
и( х) =
( к | ( к и\ х,— I- и\ х,—
I 7 2) У 7 2, 2
к-К -
3 - д - х 2 - к
3 - Оу
Изгибающий момент относительно оси 0У равен [2]:
(
к-
С + + с4 - X+^
у 5 2 4 6 - Дх J
2
„3 Л
. (8)
м = -о -
д2 Я
~дхГ
+4 - О -
5 х
1 д2ф
ОХ2 дх
(9)
Выражение для поперечной силы имеет вид [1]:
6X2 =
2 - к дф
3 дх
(10)
Выражение для кривизны с учётом (9) и (10):
д2 я 1 ^ 6 —т =---МУ +-
дх2 О У 5
дб.
Х2
О^ - к дх
(11)
В выражении (11) жёсткость пластины на изгиб характеризуется её цилиндрической жёсткостью , а жёсткость на сдвиг - произведением Ож - к .
В работе рассмотрены следующие типы граничных условий:
- шарнирное закрепление, при котором поперечные перемещения и изгибающие моменты концевых сечений равны 0 (граничные условия 1 рода) при х = ± Ь/ 2; Ь/ 2) = М7 (± Ь/2) = 0;
- жёсткая заделка концевых сечений, при которой поперечные перемещения и суммарные углы поворота концевых сечений (углы поворота сечения от сдвига и от изгиба) равны 0 (граничные условия 2 рода) при
х = ± Ь/ 2; я(± Ь/ 2) = 0; -
1 дф
дя
--ь-
дх Ош дх
= 0 - шарнирное закрепление кромок с запретом осевого смеще-
ния
наружных слоёв пластины в осевом направлении (граничные условия 3 рода) при х = ± Ь/ 2; я(± Ь/ 2) = 0;
ь д
к--я
дх
Ь
2 - к д ---ф
3 дх
±I)=0;
- жёсткая заделка, при которой поперечное перемещение и угол поворота концевых сечений пластины от изгиба равны 0 (граничные условия 4 рода) и угол поворота сечения от деформаций сдвига не ограничен при
х = ± Ь/2; я(± Ь/2) = 0; —
ёх
± Ь 1 = 0.
Для каждого типа граничных условий закрепления получены выражения для поперечного прогиба, изгибающего момента и взаимного осевого смещения наружных слоёв пластины.
В табл. 1 приведены уравнения поперечных прогибов, вызванных деформацией изгиба и деформацией сдвига для различных типов условий закрепления концевых сечений пластины. Анализ табл. 1 показывает, что все выражения для прогиба пластины от изгиба совпадают с выражениями для изгиба балки. Причём первый тип граничных условий соответствует шарнирному закреплению балки. Последние три типа граничных условий дают одинаковые выражения для прогиба от изгиба и соответствуют балке, жёстко закреплённой по концам. Выражения для поперечного прогиба от сдвига для различных типов граничных условий отличаются только постоянными коэффициентами. Причём в случаях, когда граничные условия не накладывают ограничений на угол поворота сечения от сдвига (граничные условия 1 и 4 рода), выражения для поперечного прогиба от сдвига совпадают.
Для оценки соотношения между максимальными прогибами от сдвига (/макссдвига) и изгиба (/максмзгиба) введен в рассмотрение коэффициент а (табл. 1):
1
_ 3^макс .сдвига
а - (12)
I,
макс .изгиба
Таблица 1
Уравнения для поперечного прогиба и изгибающего момента при цилиндрическом изгибе пластины
Тип граничных условий Поперечный прогиб а Изгибающий момент
от изгиба от сдвига
Шарнирно опёртая пластина д Г 5-И 3-Ь2-х2 + х4 1 24-Пх ( 16 2 ) 3Я (и х21 5-вхг-Ь ( 4 J 11.52 -йх Охг-и2- Л Я-Ц2 Я-х2 8 2
Жёсткая заделка (суммарный угол поворота равен 0) д -Г Ь х 2 + х41 24- П 116 2 ) 3-Я (и х21 72-йх Я -Ц2 Я-х2 3-Я-йх
4-вхг-Л ( 4 х J вхг-^-Л 24 2 Ю-в^-Л
Шарнирное опирание с запретом осевых смещений наружных сло- ёв д Г Ь4 Ь2- х2 41 Я (* х21 48-йх Ц2 - Я Я-х2 Я-йх
24-Пх ---+ х 116 2 ) 2-Охг -Ь ( 4 J вхг-Ц2-ь 24 2 5 - вХ2 - Л
Угол поворота от изгиба равен 0 Я '14 Ц2 -х2 41 3-Я (и2 Х21 57.6-йх Я-Ц2 Я-х2 24 2
24-Ох 16 2 ) ч У 5-в>а-Л (4 ' вхг-и2 Ь
В табл. 1 также приведены выражения для изгибающих моментов, которые получены для четырёх перечисленных выше типов граничных условий. Для шарнирного закрепления (граничные условия 1-го рода) и для жёсткой заделки при ограничении углов поворота концевых сечений от изгиба (граничные условия 4-го рода), изгибающий момент не зависит от модуля сдвига. Выражения для изгибающих моментов совпадают с выражениями для балки с теми же граничными условиями. Для второго и третьего типов граничных условий изгибающий момент зависит от модуля сдвига, а в выражениях для изгибающих моментов появляется дополнительное слагаемое, которое зависит от соотношения жёсткостей пластины при сдвиге и при изгибе. Сам момент можно представить как сумму момента, обусловленного изгибом, и момента, обусловленного сдвигом. Следует заметить, что изгибающий момент, обусловленный деформациями сдвига, не зависит от координаты X.
В табл. 2 представлены уравнения для взаимного осевого смещения наружных слоёв пластины. Анализ уравнений показывает, что взаимное осевое смещение складывается из двух составляющих: смещения, вызванного изгибом, и смещения, вызванного сдвигом. Причём для последних трёх типов граничных условий уравнения для взаимного осевого смещения, вызванного изгибом, совпадают.
Таблица 2
_Уравнения для взаимного осевого смещения наружных слоёв пластины_
Тип граничных условий Взаимное осевое смещение наружных слоёв пластины
Шарнирно опёртая пластина д-х-Ь2 -Н д-х3 -Н д-х и(х) ------+ —- 16-П 12-П 10-°Х2
Жёсткая заделка (суммарный угол поворота равен 0) д-х-Ь -Н д-х3-Н д-х и(х) ------+ —- 48-Пх 12-П 4-Ож
Шарнирное опирание с запретом осевых смещений наружных слоёв . . д-х3 -Н д-х-Ь -Н и(х) - ----- 12-Пх 48-Пх
Угол поворота от изгиба равен 0 д-Ь2 - Н-х д-Н-х3 9 -д-х и(х) - -----+--- 48-П 12-П 40-Ож
С помощью уравнений, приведённых в табл. 1 и 2, было выполнено исследование зависимости поперечного прогиба и изгибающего момента от толщины, длины пластины и величины модуля сдвига для граничных условий 2-го и 3-го рода, когда изгибающий момент зависит от соотношения жёсткостей пластины на изгиб и на сдвиг. Были рассмотрены пластины толщиной 1, 10 и 20 мм. Длина пластин 100, 200 и 500 мм. Модуль упругости пластины был принят равным 2-104 кгс/мм2. Значение модуля сдвига изменялось в пределах: от 10 кгс/мм2 (легкий заполнитель) до Б/2 - (1 + ¡л) (металл).
Была исследована зависимость отношений изгибающих моментов, вычисленных с учетом и без учёта деформаций сдвига, от величины модуля сдвига. Исследование выполнялось для граничных условий 2-го и 3-го рода. Полученные зависимости приведены на рис. 2 и 3.
Анализ зависимостей показывает, что для тонких и длинных пластин влияние модуля сдвига на величину изгибающего момента незначительно. В частности, для пластины толщиной 1 мм и длиной 500 мм учёт деформаций сдвига увеличивает величину изгибающего момента менее чем на 1%. С увеличением толщины пластины и уменьшением её длины влияние деформаций сдвига увеличивается. Причём для коротких и толстых пластин влияние модуля сдвига на изгибающий момент проявляется сильнее.
Для сечения пластины с максимальным изгибающим моментом в середине пролёта было найдено отношение изгибающих моментов, обусловленных деформациями сдвига и деформациями изгиба для граничных условий 2-го и 3-го рода. Причём рассматривались случаи, когда изгибающий момент от сдвига составляет 0,5% изгибающего момента от изгиба, т.е. рассматривались случаи, когда влиянием сдвига на изгибающий момент можно пренебречь.
Для этих случаев получены минимальные значения модуля сдвига. Зависимость модуля сдвига от отношения толщины пластины к её длине представлена на рис. 4. В двойной логарифмической сетке она имеет вид прямой линии.
а)
б)
кгс/мм2 в)
Рис. 2. Отношение изгибающих моментов в середине пролёта и на кромках пластины к модулю сдвига для граничных условий 2-го рода при толщине: а - 1 мм; б - 10 мм; в - 20 мм, различной длине пластины (1, 2, 3 - 100 мм, 300 мм, 500 мм соответственно, середина пролёта пластины; 4, 5, 6 - 500 мм, 300 мм,
100 мм соответственно, кромка пластины)
Рис. 3. Отношение изгибающих моментов в середине пролёта и на кромках пластины от модуля сдвига для граничных условий 3-го рода при толщине: а - 1 мм; б - 10 мм; в - 20 мм, различной длине пластины (1, 2, 3 - 100 мм, 300 мм, 500 мм соответственно, середина пролёта пластины; 4, 5, 6 - длина пластины 500 мм,
300 мм, 100 мм соответственно, кромка пластины)
1х 10"3 001 0.1 I 1х ю"3 0.01 0.1 1
а) б)
Рис. 4. Зависимость модуля сдвига от отношения толщины пластины к её длине: а - граничные условия 2-го рода; б - граничные условия 3-го рода
Если точка с координатами (Н/Ь,ОХ2) расположена выше линии (рис. 4), то отношение изгибающих моментов от сдвига и изгиба будет больше 0,5%. В этом случае данный подход использовать нельзя, так как по концам балки сумма моментов отлична от 0 на величину более чем 0,5%.
Следует отметить, что зависимость изгибающих моментов от модуля сдвига имеет место лишь для граничных условий, которые накладывают ограничения на угол поворота концевого сечения от деформаций сдвига (граничные условия 2-го и 3-го рода). Если указанные ограничения отсутствуют (как в случае граничных условий 1-го и 4-го рода), то изгибающий момент не зависит от величины модуля сдвига и жёсткости пластины на сдвиг. Обнаруженную зависимость изгибающего момента можно объяснить следующим образом.
В процессе деформации под действием внешней поперечной нагрузки концевые сечения пластины испытывают поворот от сдвига. Для обеспечения выполнения граничных условий 2 и 3 рода в рамках гипотезы плоских сечений необходимо к концевым сечениям приложить дополнительные изгибающие моменты, которые, поворачивая концевые сечения в противоположные стороны, будут компенсировать возникающие углы поворота от сдвига. Этим и объясняется появление дополнительных изгибающих моментов. Для перечисленных выше типов граничных условий были исследованы соотношения между прогибами от изгиба и сдвига в зависимости от толщины и длины пластины, а также в зависимости от величины модуля сдвига. Эти зависимости представлены на рис. 5.
1С 100 [.1С3 1*10" I 10 100 1х103 1x1 о4
в, кгс/мм2 С, кгс/мм2
Рис. 5. Зависимости отношений суммарного прогиба пластины к прогибу от изгиба и сдвига от модуля сдвига для пластин с различными геометрическими размерами (1- 4 типы граничных условий)
Из рис. 5 видно, что модуль сдвига оказывает наименьшее влияние на прогиб для шарнирно закреплённой
пластины (граничные условия 1-го рода). При длине и толщине пластины 500 мм и 1 мм, соответственно, преобладает прогиб от изгиба. Причём для шарнирно опёртой пластины прогиб от изгиба (в зависимости от величины модуля сдвига) составляет не менее 97% от общего прогиба. В случае коротких и толстых пластин (рассмотрена пластина длиной 100 мм и толщиной 20 мм) доля прогиба от сдвига составляет не менее 10% от общего прогиба и увеличивается с уменьшением модуля сдвига. При величине модуля сдвига менее 100 кгс/мм2 прогиб от сдвига составляет 90% от полного прогиба пластины для шарнирно опёртой пластины. Наибольшее влияние изменения модуля сдвига на прогиб имеет место для трёх последних типов граничных условий. Причём для них изменение модуля сдвига оказывает практически одинаковое значение на соотношение между прогибами от изгиба и от сдвига.
Заключение
1. В случае ограничения углов поворота концевых сечений от сдвига (граничные условия 2-го и 3-го рода) возникают дополнительные изгибающие моменты, величина которых зависит от соотношения жёсткости пластины на сдвиг к жёсткости пластины на изгиб. При этом условия статического равновесия не выполняются, так как сумма моментов, приложенных к пластине, не равна 0.
2. Для граничных условий 2-го и 3-го рода при различных толщинах и длинах пластины вычислены минимальные значения модуля сдвига, при которых условия статического равновесия выполняются с точностью 0,5%. Эти значения позволяют определить рамки применимости изложенной теории.
3. Наибольшее влияние модуля сдвига на прогиб имеет место для граничных условий 2-4-го рода. Причём для них величина модуля сдвига оказывает практически одинаковое значение на соотношение между прогибами от изгиба и от сдвига.
Библиографический список
1. Справочник по строительной механике корабля / Бойцов Г.В. [и др.]. В трёх томах. Том 2. Пластины. Теория упругости, пластичности и ползучести. Численные методы. Л.: Судостроение, 1982. 464 с.
2. Амбрацумян С.А. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колебания). // М.: Наука, 1967, 268 с.
