CC BY
60
УДК 537.9
УЧЕТ КЛЕЕВОЙ ПРОСЛОЙКИ В ТЕОРИИ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА В ДВУХСЛОЙНЫХ МАГНИТОСТРИКЦИОННО-ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
Т.А.Галичян, Д.А.Филиппов
ADHESIVE INTERLAYER IN THE THEORY OF MAGNETOELECTRIC EFFECT IN BILAYER MAGNETOSTRICTIVE-PIEZOELECTRIC STRUCTURES
T.A.Galichian, D.A.Filippov
Политехнический институт НовГУ, [email protected]
Представлена теория магнитоэлектрического эффекта в двухслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре с учетом межслоевой клеевой прослойки. На основе совместного решения уравнения движения для магнитострикционной, клеевой и пьезоэлектрической сред и материальных уравнений получены выражения для магнитоэлектрического коэффициента по напряжению в области электромеханического резонанса. Показано, что в случае предельного перехода данное выражения переходит в выражение для коэффициента при идеальной связи между слоями. Ключевые слова: двухслойная структура, клеевое соединение, магнитострикция, пьезоэлектричество, магнитоэлектрический эффект
The theory of magnetoelectric effect in bilayer magnetostrictive-piezoelectric structure is presented considering the adhesive interlayer. The expressions for the frequency dependence of magnetoelectric voltage coefficient in electromechanical resonance region are derived using the simultaneous solution of the material equations and the motion equations for magnetostrictive, adhesive and piezoelectric phases. It is shown that in the passage to the limits this expression for the coefficient transformed to the expression for ideal connection between layers.
Keywords: bilayer structure, adhesive bonding, magnetostriction, piezoelectricity, magnetoelectric effect
Введение
Магнитострикционно-пьезоэлектрические структуры интересны тем, что в них в результате механического взаимодействия магнитострикционной и пьезоэлектрических компонент возникают эффекты, которые отсутствуют по отдельности и в магнитострикционной и пьезоэлектрической фазах. Одним из таких эффектов является магнитоэлектрический (МЭ) эффект, который заключается в возникновении напряжения на обкладках конденсатора, диэлектриком которого является магнито-стрикционно-пьезоэлектрический композит при помещении его в магнитное поле. По сравнению с объемными композитами [1] двухслойные магнито-стрикционно-пьезоэлектрические структуры обладают большей величиной электрического сопротивления, лучше поляризуются, что приводит к тому, что величина МЭ эффекта в них значительно больше, чем в объемных композитах. Теория МЭ эффекта в таких структурах, развитая в работах [27], основана на совместном решении уравнений эластодинамики и электростатики для магнитост-рикционной и пьезоэлектрической фаз с учетом условий на границе раздела. При этом клеевое соединение на границе раздела учитывалось формально либо введением коэффициента связи между слоями [2-5], либо предполагалось, что связь идеальная и смещения пьезоэлектрической и магнито-стрикционной фаз одинаковы и не зависят от толщины слоя [6,7]. Недавно в работе [8] построена теория МЭ эффекта в двухслойных структурах с учетом неоднородности смещений феррита и пье-зоэлектрика по толщине слоев, однако в этой работе не учитывалась клеевая прослойка и связь между ферритом и пьезоэлектриком предполагалась идеальной. Вместе с тем, экспериментально установлено [9], что свойства и толщина клеевой прослойки оказывают значительное влияние на величину МЭ эффекта.
В данной работе рассмотрено влияние межслоевой клеевой прослойки на величину МЭ эффекта в двухслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре. Получены выражения для дисперсионного соотношения и частотной зависимости МЭ эффекта для данной структуры. На основании предельного перехода показано, что в случае, когда толщина клея стремится к нулю, эти выражения переходят в выражения для случая идеальной связи, полученные в работе [8].
Модель
В качестве модели рассмотрим структуру, представляющую собой клеевое соединение феррита и пьезоэлектрика в форме прямоугольной пластинки (см. рис.). Будем считать, что длина пластинки L много больше ее ширины Ш, в то время как толщину магнетика mt пьезоэлектрика pt и клея Gt будем считать конечной величиной. Выберем систему координат таким образом, чтобы начало совпадало с границей раздела клей — пьезоэлектрик, а ось Z направим вертикально вверх, перпендикулярно границе раздела.
I
Л
0
X
2
Схематичное изображение структуры: 1 — магнитострикци-онный слой, 2 — пьезоэлектрический слой, 3 — клеевой слой, 4 — электроды
Пьезоэлектрический слой предварительно поляризован перпендикулярно плоскости контактов (ось Z). Ограничимся рассмотрением продольного эффекта. В этом случае магнитные поля (подмагни-чивающее Ныш и переменное Н) совпадают с направлением вектора поляризации.
Полагая пластинку узкой, в первом приближении можно считать, что вдоль оси У смещения будут однородными, и отличными от нуля компонентами будут только компоненты напряжений Тх и Тхг. Уравнение движения для х-проекции вектора смещения среды аих запишем в виде:
„ д2аи даТ даТ
ар_х _ хх + _ х2
дt2
дх дг
(1)
где индекс а равен соответственно т для магнитост-рикционного, р — для пьезоэлектрического и G —
для клеевого слоя, ар — плотность феррита, пьезо-
ат
электрика или клея соответственно, 1.. — тензор
У
напряжений.
Уравнения для тензора деформаций а&, для
У
магнитострикционной, клеевой и пьезоэлектрической фазы имеют следующий вид:
1 тт» . т ттг
о —- 1 + а Н , (2)
хх ту хх 1хх,г г' у 7
то _ 1 тт
хг mG хг'
Gs —-^т ,
хх Gу хх'
Gs —-^т ,
хг GG
ро _—рт +pd рЕ,
хх ру хх хх, г г'
ро _—рт ,
хг PG хг^
PD _р е рЕ + pd рТ .
г гг г хх, г хх
Здесь тд — пьезомагнитный тензор, pd
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
— пьезоэлектрический тензор, е — тензор диэлектрической проницаемости пьезоэлектрика, аУ,аG — модули Юнга и модули сдвига, рЕг и тНг
— г-проекция вектора напряженности электрическо-
3
го и магнитного полей в пьезоэлектрике и магнетике соответственно.
Так как имеется неоднородность вдоль оси Z, решение уравнение для вектора смещения среды представим в виде плоских волн, амплитуда которых изменяется по толщине образца
а и(х, z)=ag(z)(aA - kx)+aB sm(юt - kx)), (9) где ю — угловая частота, k — волновое число.
Подстановка выражения (9) в уравнение движения среды (1) приводит к уравнению для функции
аg(z). После несложных преобразований уравнения для функций, определяющих изменение амплитуды колебаний, примут следующую форму:
т£\г) + 2(1 + у) ^"(г) + 2(1 + у) + 2(1 + у)
.У
ру2
2
--k2
- k 2
- k2
Здесь введены обозначения.
g(z) = 0,
Рg(z) = 0,
g(z) = 0. 1
(10) (11) (12)
ту 2 т
Ру 2
= ^ . 0^2 = ^ , У , V и X — скорости
Х2
продольных волн в феррите, пьезоэлектрике и клее соответственно, V — коэффициент Пуассона.
Дисперсионное соотношение
Совместное решение системы дифференциальных уравнений позволяет найти дисперсионное соотношение для упругих волн, распространяющихся в структуре. В качестве граничных условий будем считать, что на верхней и нижней свободных поверхностях структуры, в точках г =-pt и z=mt+Gt, значения тензора напряжений равны нулю. На границе раздела феррит-клей и клей-пьезоэлектрик смещения первой и второй сред одинаковы, а также одинаковы сдвиговые напряжения. Эти граничные условия дают систему уравнений, условие совместности которой приводит к дисперсионному соотношению следующего вида:
т7тХШ(т к)^1 - tg(G кМР к)
=РТШ Р к)1 1 +
tg(G к) 0¥0х
,, (13) tg(р к) ртрх: v '
где введены обозначения тк=т%mt, Рк=Рхpt и
0 к=0 х^ — безразмерные переменные,
т х2 =-2(1 + у)
ю
тУ \
- k 2
G х2 = 2(1 + У)
Р X2 = 2(1 + У)
2
РУ 2J
--k 2
ю
^ 2ь
- к
Уравнение (13) в неявном виде определяет зависимость угловой частоты ю от волнового числа к
при распространении упругих волн в клеевой двухслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре. Легко видеть, что случае, когда толщина клея стремится к нулю, а следовательно, и безразмерный параметр Gк=°х^ ^ 0, соотношение (13) переходит в соотношение, полученное ранее в работе [11] для случая идеальной связи, которое имеет следующий вид:
т7тхШ(тк)=Р7Р^(Рк). (14)
Таким образом, полученное ранее в работе [11] соотношение является частным случаем более общего дисперсионного соотношения (13) для упругих волн, распространяющихся в структуре магнетик — клей
— пьезоэлектрик.
Магнитоэлектрический коэффициент по напряжению
Магнитоэлектрический коэффициент по напряжению определяется как отношение среднего значения напряженности электрического поля в структуре к среднему значению напряженности внешнего магнитного поля, ее вызвавшей, т.е.:
< аЕ >=< Е > / < Н >, (15)
где < Е >= и /(mt+Gt+Р1) — среднее значение напряженности электрического поля в структуре, и
— возникающая разность потенциалов между электродами. При таком определении МЭ коэффициент по напряжению характеризует эффективность МЭ преобразования всей структуры.
Для того чтобы получить теоретическое выражение для МЭ коэффициента по напряжению, воспользуемся методом, использованным ранее в работах [2-6]. Для этого вначале, используя граничные условия, определим смещения среды при упругих колебаниях. Условия механического равновесия на свободных боковых поверхностях образца в точках х = + Ь /2 дают следующие граничные условия:
•о
| РТхх (± Ь/ 2, +
Сt
+ | %(+ Ь/2, + | тТхх(± Ь/2, = 0. (16)
0 Сt
Используя эти граничные условия, для постоянных интегрирования А и В получим следующие выражения:
А = 0, В =
пгут^ <тН >+Р7та <РЕ >
к cos(к)| Т1^ с +СY0^ г+РГР1 ^
4 л тк т Gк О рк
,(17)
где введен безразмерный параметр к = кЬ /2, и для сокращения записи введены обозначения:
Ст = ^ к)!1 - tg(Р к)tg(Gк) GYGX
И Р¥Рх
ССт = 1 - tg(Р к^! —
2 ) GYGх'
2
со
т
G
1
2
СО
Далее, выражая из (6) компоненту тензора напряжений через компоненты тензора деформаций и подставляя получившиеся выражение в уравнение для нормальной компоненты вектора электрической индукции, получим уравнение в виде:
PD _р е
( рУ (рС )2 ^
1 у хх, г7
р
рЕ + рУрс1 —^х.. (18)
г хх, г дх
V гг /
Электрический ток, протекающий в структуре, найдем из уравнения:
Ш Ь/2
(19)
0 - Ь/2
Подставляя выражение (18) в уравнение (19) и выполняя интегрирование, уравнение для
электрического тока приведем к виду:
р р р
/ |су |
I _тШ
(1 _к 2)крЕ >+УСхх,г 2В«1п(к)1Е(рк)
v р ' г ре
Ь
(20)
рУ(рС )2
4 ГГ 7'
где К " _-
рр
— квадрат коэффициента
электромеханической связи.
Величину напряженности электрического поля
<рЕг >, индуцированного в пьезоэлектрике, найдем из уравнения (20) с использованием условия разомкнутой цепи, а именно I _ 0. С учетом этого условия и выражения (17) для постоянной интегрирования В, для среднего значения напряженности электрического поля получим уравнение в виде:
рурс та
р^ хх, г ± хх, г
р е Д
гг а
тутКтН >
mYmt к) С +GYGt 8Ш( к) с + рур{ tg(рк)
т к т G к G р к
„ tg(к) tg(рк)
кр где введено обозначение:
к
(21)
Д _ 1 _ К х
а р
1 --
рур
ут ±Чтк) с ^О^ к) с + рур1 tg(рк)
tg(к) tg(р к)
(22)
Полагая, сосредоточено
что все электрическое поле в пьезоэлектрике, поскольку проводимость магнитострикционной фазы гораздо больше проводимости пьезоэлектрика, возникающая разность потенциалов между электродами равна и _<рЕг > pt, и тогда для среднего значения напряженности электрического поля в структуре имеет место выражение:
< Е >_<рЕ >р1 /(mt+Gt+р/). (23)
Используя определение (15) и уравнение (21), получим окончательно для МЭ коэффициента по напряжению выражение в виде:
рурс та
хх, г ¿хх, г
р е Д
гг а
nYmt
пут{ Л(тк) +GYGt 8Ш( к) с + рур{ tg(рк)
к
к
к
tg(к) tg(рк) р
(24)
к р к mt+Gt+
Как следует из выражения (24), частотная зависимость МЭ коэффициента по напряжению имеет резонансный характер. На частотах антирезонанса, определяемых условием Да _ 0, имеет место
резонансное увеличение МЭ коэффициента. Величина МЭ коэффициента по напряжению в одинаковой мере зависит от параметров магнитострикционного, клеевого и пьезоэлектрического слоев. Из уравнения (24) следует, что в случае, когда толщина клея стремится к нулю, выражение для МЭ коэффициента переходит в выражение для МЭ коэффициента по напряжению для случая идеальной связи, полученное ранее в работе [8]. Таким образом, представленное уравнением (24) выражение для МЭ коэффициента по напряжению является более общим, чем выражения, полученные ранее.
Уравнение (24), описывающее зависимость величины МЭ коэффициента по напряжению от параметров клея, не совсем удобно для анализа. Его можно упростить для случая тонких слоев, который часто реализуется в эксперименте, когда безразмерные параметры т к, ° к и р к много меньше единицы. Разлагая стоящие в уравнении (24) функции в ряд по малым параметрам и сохраняя члены первого порядка малости, для МЭ коэффициента по напряжению в этом случае получим выражение в виде:
tg(к) ^
а„ _
хх г 1хх,г
ре Д к mt+Gt+Pt
гг ?
(25)
д = 1 - к 21 -
где в случае тонких слоев выражение для Да принимает вид
к ) .
Из уравнения (25) хорошо видно, что величина МЭ коэффициента по напряжению уменьшается с увеличением толщины клея.
В низкочастотной области спектра, когда параметр к << 1, величина МЭ коэффициента не зависит от частоты и определяется выражением: ^^ та 1
хх г ¿хх г А
аЕ _"
1 к 2Ь ^ 1
р V J
mYmt Pt
X-Т^--^-. (26)
Пр mt+Gt+Pt
Из этого уравнения легко видеть, что зависимость величины МЭ коэффициента от толщины пье-зоэлектрика имеет максимум.
аЕ _
X
X
X
X
г
X
X
X
X
к
к
к
р
к
к
Заключение
Учет межслоевой клеевой прослойки в двухслойной магнитострикционно-пьезоэлектрической структуре приводит к изменению как дисперсионного соотношения для упругих волн в структуре, так и величины МЭ коэффициента по напряжению. Величина МЭ коэффициента по напряжению уменьшается с увеличением толщины клея и на ее зависимости от толщины пьезоэлектрика имеется максимум.
Полученные соотношения в предельном случае, когда толщина клея стремится к нулю, переходят в соотношения, полученные ранее для случая идеальной связи.
1. Филиппов Д.А., Лалетин В.М., Srinivasan G. Низкочастотный и резонансный магнитоэлектрические эффекты в объемных композиционных структурах феррит никеля — цирконат-титанат свинца // ЖТФ. 2012. Т.82. №№1. С.47-51.
2. Филиппов Д.А. Теория магнитоэлектрического эффекта в двухслойных ферромагнет- и пьезоэлектрических структурах // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. №23. С.24-31.
3. Филиппов Д.А. Теория магнитоэлектрического эффекта в двухслойных структурах на основе ферромагнетик-пьезоэлектрик // Известия вузов. Физика. 2004. №12. С.3-6.
4. Филиппов Д.А. Теория магнитоэлектрического эффекта в гетерогенных структурах на основе ферромагнетик — пьезоэлектрик // ФТТ. 2005. Т.47. №6. С.1082-1084.
5. Filippov D.A., Laletsin U., Srinivasan G. Resonance mag-netoelectric effects in magnetostrictive-piezoelectric three-layer structures // J. of Appl. Phys. 2007. V.102. P.093901.
6. Vopsaroiu M., Blackburn J., Cain M.G. A new recording read heat technology based on the magnetoelectric effect // J. of Physic D: Applied Physics. 2007. V.40. P.5027-5033.
7. Бичурин М.И., Петров В.М., Аверкин С.В., Филиппов А.В. Электромеханический резонанс в магнитоэлектрических слоистых структурах 11 ФТТ. 2010. Т.52. Вып.10. С.1975-1980.
8. Филиппов Д.А., Лалетин В.М., Galichyan T.A. Магнитоэлектрический эффект в двухслойной магнитострикци-
онно-пьезоэлектрической структуре // ФТТ. 2013. Т.55. №9. С.1728-1733.
9. Лалетин В.М., Поддубная Н.Н. Электрическое и магнитное взаимодействие в двухкомпонентной структуре пер-мендюр — цирконат-титанат свинца // Материалы, технологии, инструменты. 2008. Т.13. №4. С.24-27.
10. Филиппов Д.А., Галичян Т.А., Фирсова Т.О. Распространение упругих волн в двухслойной структуре феррит-пьезоэлектрик // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. №68. С. 116-118.
Bibliography (Transliterated)
1. Filippov D.A., Laletin V.M., Srinivasan G. Nizkochastotnyi i rezonansnyi magnitoelektricheskie effekty v ob"emnykh kompozitsionnykh strukturakh ferrit nikelia — tsirkonat-titanat svintsa // ZhTF. 2012. T.82. №1. S.47-51.
2. Filippov D.A. Teoriia magnitoelektricheskogo effekta v dvukhsloinykh ferromagnet- i p'ezoelektricheskikh strukturakh // Pis'ma v ZhTF. 2004. T.30. №23. S.24-31.
3. Filippov D.A. Teoriia magnitoelektricheskogo effekta v dvukhsloinykh strukturakh na osnove ferromagnetik- p'e-zoelektrik// Izvestiia vuzov. Fizika. 2004. №12. S.3-6.
4. Filippov D.A. Teoriia magnitoelektricheskogo effekta v geterogennykh strukturakh na osnove ferromagnetik — p'ezoelektrik // FTT. 2005. T.47. №6. S. 1082-1084.
5. Filippov D.A., Laletsin U., Srinivasan G. Resonance magnetoelectric effects in magnetostrictive-piezoelectric three-layer structures // J. of Appl. Phys. 2007. V.102. P.093901.
6. Vopsaroiu M., Blackburn J., Cain M.G. A new recording read heat technology based on the magnetoelectric effect // J. of Physic D: Applied Physics. 2007. V.40. P.5027-5033.
7. Bichurin M.I., Petrov V.M., Averkin S.V., Filippov A.V. Elektromekhanicheskii rezonans v magnitoelektricheskikh sloistykh strukturakh // FTT. 2010. T.52. Vyp.10. S.1975-1980.
8. Filippov D.A., Laletin V.M., Galichyan T.A. Magnito-elektricheskii effekt v dvukhsloinoi magnitostriktsionno-p'ezoelektricheskoi strukture // FTT. 2013. T.55. №9. S.1728-1733.
9. Laletin V.M., Poddubnaia N.N. Elektricheskoe i magnitnoe vzaimodeistvie v dvukhkomponentnoi strukture permendiur — tsirkonat-titanat svintsa // Materialy, tekhnologii, instrumenty. 2008. T.13. №4. S.24-27.
10. Filippov D.A., Galichian T.A., Firsova T.O. Rasprostranenie uprugikh voln v dvukhsloinoi strukture ferrit-p'ezoelektrik // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2012. №68. S.116-118.
