CC BY
37
Дерябин А.А.1, Ремизов А.Л.2, Прилуцкий М.А.3 ©
1,2,3К.т.н., доцент кафедры «Технологии сварки и диагностики» Московского государственного университета им. Н.Э. Баумана
ТВЕРДОТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИИ ВОЛН ЛЭМБА ПРИ НАЛИЧИИ
ТРЕЩИНОПОДОБНЫХ ДЕФЕКТОВ
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы дифракции волн Лэмба при наличие плоскостных дефектов (трещин). Представлена твердотельная модель дифракции волн Лэмба.
Ключевые слова: неразрушающий контроль, ультразвуковой метод, дефектоскоп. Keywords:non destructive testing, ultrasonic method, flow detector.
Ведение
В настоящее время широкое применение в диагностических работах находят технологии, основанные на анализе характеристик волн Лэмба. Данные технологии применяются для диагностики недоступных участков трубопроводов. Особую опасность представляют трещиноподобные дефекты, которые приводят к разрушению трубопроводных систем. В работе рассматривается вопрос дифракции волн Лэмба при наличие плоскостных дефектов (трещин). Модель разработана на основе работ [1- 6].
Плоскостной дефект. Расчетная модель
Как правило, для расчетов принято представлять трещину в виде прорези. Но реальная трещина представляет собой несплошность сложной геометрии. Трещины развиваются по границам зерен и имеют приблизительно ступенчатую геометрию. Для стали Ст 3 сп минимальный размер зерна составляет примерно 15 мкм, а максимальный размер достигает 50-60 мкм. Размер зерна можно принять за размеры «ступенек». Необходимо отметить, что для пластичных материалов концы трещин представляют собой сферическую поверхность, где s = s T .
При разработке расчетной модели трещины необходимо учесть следующие факторы:
- ступенчатую геометрию дефекта;
- величину раскрытия дефекта;
- геометрию конца трещины;
Пусть частоты вводимой в металл волны будут в диапазоне 1.25 - 10.0 МГц (что соответствует линейке частот прибора УД 2- 12). Тогда длина продольной волны будет находиться в диапазоне 3.3 - 0.6 мм, что на много больше величины ступенек, а значит ступенчатостью можно пренебречь, а значит, дефект можно представить гладким.
Расчетную схему можно представить так, как показано на рис.1.
Пусть трещина расположена под углом а к горизонтали, расположение по глубине определяется размером h0, величина трещины определяется размером h.
©Дерябин А.А., Ремизов А.Л.,Прилуцкий М.А., 2013 г.
Рис 1.Расчетная схема трещины как «акустически не прозрачного» препятствия:
1 - трещина, а - угол наклона трещины, Х121 и Х222 - вспомогательные системы координат, Н -толщина пластины, h и М - геометрические характеристики трещины и ее расположения
Будем считать, что:
- нормальная волна представляется в виде совокупности плоских волн;
- в пластине распространяется только поперечная волна под углом большим третьего
критического угла (примем угол распространения волны равный 45 ).
Далее задача сводится к падению поперечной волны на поверхность дефекта. В соответствии с [1], поперечная волна, падая на трещину и касаясь ее краев, порождает два типа краевых дифракционных волн - поле продольных и поперечных волн. Если луч падает под третьим критическим углом к поверхности трещины, то образуется дополнительное поле из-за неоднородных головных волн.
Пусть угол падения волны меньше третьего критического угла. В этом случае происходит отражение поперечной и продольной (трансформированной) волн. Для решения этой задачи применяем систему уравнений:
3 р
д х
д у
17
др + ду д z д х
д 2р д t2
С2 Ар
д 2у
д t2
С А у
1 (
д2р + др дх2 +
дz2
) + 2т (
+ ду
дz2 +
дxдz
) = 0
(1)
1 (2^ + дУ
дxдz дх2
д2у дz2
) = 0
где с1 , с( - скорости продольной и поперечной волн. Решение данной задачи представлено в [2] и представляется в следующем виде:
2 £ 2 k = ®/
р = а_ ехр(- ik3 z) + а+ ехр(гк3 z) к3 = -у к - X
(2)
у = ь- ехр(- ц зz) + ь+ ехр(я зz) С
С
X2 с = у
Здесь а- и Ь_ - постоянные, имеющие смысл амплитуд соответственно продольной и
поперечной волн, распространяющихся в сторону отрицательных 2, а волн, распространяющихся в сторону положительного 2.
а±
и
Ь+
- то же, для
их =
и
2
а
г
х
xz
2
3
Подстановка (2) в (1) дает связь между амплитудами: к3 (а + - а_) + р(Ь+ + Ь_) = 0
р-\(х2 - 21з)
с 3(Ь+ - ь_) - р(а+ + а_) = О
(3)
Эта система уравнений описывает все случаи отражения от свободной границы плоских гармонических волн с поляризацией в плоскости падения.
В данном случае нам необходимо знать амплитуды отраженной поперечной и трансформированной продольной волны от границы, поэтому вводим коэффициент трансформации поперечной волны в продольную волну:
V - а~/
а ~ /ь
/ь+ (4)
Решая систему уравнений (3), зная, что X - к Бт(аг) - с ), где 1 - угол падения поперечной волны, а 1 - угол распространения продольной трансформированной волны, получаем:
- 2^(1)с^(21)
V, -
2^(1 2(21) + ^ 1 - sin2(l)^
с,
'М с (5)
Аналогично находим коэффициент трансформации для поперечной волны:
V - V
и А
(6)
с I с
1 1 - sin2(l^(1)- ^2(12(21)
V „ -
^2(1 )с^2(21) + cos(l) 1 - sin2(l)%
(7)
т-/)
VI К'/)
'( , гряз.
Рис. 2. Зависимости коэффициентов трансформации от угла падения поперечной волны
2
с
с
с
с
Угол падения поперечной волны больше третьего критического
В этом случае отражается поперечная волна, формируется головная волна, распространяющаяся вдоль поверхности дефекта, излучая боковые волны поперечного типа. Потенциал продольной волны записывается следующим образом:
<? = УА ехр(|кз|г +/(Хх0) (8)
(9)
\К\ =-,1Г- к = с ¡^(г)- (^)2
Коэффициент отражения поперечной волны равен:
У* = ехР(- *
Коэффициент трансформации равен:
V, = - 2с з р
уйСт)
ШП
кз С з 2аг^(——)
(кзС з + Р2)
(10) (11)
I ГРаз
Рис. 3. Зависимости коэффициентов трансформации от угла падения поперечной волны
Анализ вышеуказанных зависимостей для коэффициентов трансформации показывает, что существует особый угол падения поперечной волны на границу раздела сред, а в нашем случае - угол падения на поверхность несплошности, который должен быть рассмотрен отдельно.
Необходимо рассмотреть случай, когда отражается только волна того же типа, что и падающая, то есть не происходит трансформации волны при отражении. Для этого потребуем равенства нулю коэффициента трансформации У, = 0, представленного в формуле (11). Данный эффект возможен только в случае падения поперечной волны. Имеется весьма тесная аналогия рассмотренного эффекта с явлением полного внутреннего отражения в акустике, когда волна падает из среды с меньшей скоростью на границу со средой, где скорость волн больше. Здесь вместо другой среды мы имеем другой тип волны (отражение продольной волны при падении на границу поперечной). Для полного внутреннего отражения существенно, что С, > С. Отсюда ясно, почему аналогичного эффекта не происходит при падении продольной волны. Анализ формулы (11) показал, что угол, при котором происходит полное внутреннее отражение поперечной волны, равен Г = 450, что отражено на рис.з.
Согласно [1], при распространении продольной волны вдоль трещины, часть энергии продольной волны в результате взаимодействия с берегами трещины переходит в две головные волны, которые излучают по обе стороны от трещины боковые волны под углом (для стали) 33.50 к нормали трещины. Боковая волна - поперечная волна.
Решение задачи взаимодействия продольной волны, распространяющейся вдоль трещины, с концами трещины (расчет коэффициента отражения волны, трансформации в другие типы волн, образующиеся на концах трещин) представляется следующим образом.
Представим конец трещины в виде точки, в которой должны выполняться граничные условия:
* х - 0, * , - 0 и т^^ - 0 (12) Выражения для потенциалов в общем виде запишем в следующей форме: ф - А ехр[- qz + '(кх - а t)]
у - B ехр[- sz + i(kx - а t)] (13)
где s2 - k2 - к2, q2 - k2 - к2, к- волновое число волны.
Подстановка (13) в (1), а потом полученный результат в граничные условия (12) дает следующий результат в виде системы уравнений:
1 [- Ak2 + Aq2 - A1X2 + ^з2 ] + 2т [- Ak2 + iksB - A1X2 ] - * х0
1 [- 2ikqA - Bk2 - Bs2 + 2iA1Xk3 ] - т ^ (14)
1 [- Ak2 + Aq2 - AlX2 + A1k32 ] + 2т [- Aq2 - iksB + A1k32 ] - * г0 где * х0, * г0 и т хг - напряжения, создаваемые возмущениями продольной волны, распространяющейся вдоль поверхности трещины, на конце трещины, A0 - амплитуда этой волны.
* xo- А[- k021 + qo21 - 2т ko2]
* г0,тхг - 0 (из граничных условий). (15)
Систему (14), принимая во внимания (15), решаем методом Гаусса. В результате находим следующие зависимости.
Коэффициент отражения продольной волны, распространяющейся вдоль поверхности трещины, от конца трещины:
п- A1 - 1 (-X2 + к2)- 2тХ
Ao / а33а11 \ / а33а21 \ а12 а31 а32 а11
(а13 - (а 23
а31
где
а11 - -1 кг2 + 1 q2 - 2т к2 а12 - i2m к^ а13 - - Ц 2 +1 к32 - 2т X
а22 а31 а32 а21 (16)
а
21 - - '21 к^ а22 - -1 (к + s ) а23 - '21 Хк
а31 - -1 к2 + 1 q2 + 2т q2 а32 - - '2т к^ а33 - - Ц 2 +1 к32 + 2т к32
к3 - , к3 - кsin(l), у - угол падения поперечной волны на трещину.
Коэффициент трансформации продольной неоднородной волны в поперечную волну на конце трещины:
2
П (-Ц 2 +1 к3 - 2тХ 2)- D(al3 -V _ В __аз1
А0 а - а32 а11
12
аз1 (17)
Коэффициент трансформации продольной неоднородной волны в продольную волну на конце трещины:
V _ _ - Vlta32 - Раз3 ¥и _ А " " а
31 (18)
Зная вышеуказанные зависимости, необходимо рассчитать амплитуды продольной и поперечной волн, излучаемых концом трещины (дифрагированных волн) при падении на дефект поперечной волны. Для расчета необходимо учесть (в соответствии с [1]), что при распространении продольной неоднородной волны вдоль трещины (головной волны),
- 32
амплитуда этой волны ослабевает по закону г , а также зависимости, полученные ранее, и приняв амплитуду поперечной волны равной единице.
Согласно [1], на поверхности дефекта всегда существуют головные волны и волны
Рэлея.
Потенциалы волны Рэлея можно записать следующим образом:
р _ aVtl ехр(|к3 )ехр([i(X 0х - а t)] у _ а ехр(| с 3| z)exp['(£ 0 х - а t)]
(19)
_ а,
cR _ "/X
/70
Факт существования перечисленных волн можно объяснить существованием диаграммы направленности падающей поперечной волны.
Как показали расчеты коэффициентов трансформации амплитуда поперечной волны в десятки раз меньше амплитуды продольной волны (например, при угле падения 600 амплитуда продольной краевой волны в 30 раз больше амплитуды поперечной краевой волны). Данные расчетов подтверждаются результатами экспериментов, где измеренные значения амплитуд продольных головных волн были на 16 - 22 дБ больше амплитуд поперечных краевых волн в зависимости от угла. Учитывая и то, что амплитуды боковых волн имеют еще более низкое значение, при расчете волн Лэмба, возникающих в результате дифракции, будем учитывать только краевые продольные волны.
Для продольной волны, излучаемой концом трещины, можно считать, что волна Лэмба в данном случае имеет продольную и поперечную составляющие (при отражении продольной волны от границ пластины происходит трансформация волны в поперечную и отражение продольной волны). Уравнения для волн Лэмба можно представить в следующем виде:
- симметричные моды:
их _ ('ХС1 С08(к3г)- с 3А С08(с 3г))ехр['^х- ® 0] (20)
иг _ (- к3С1 8т(к3г) + iXD2sin(c 3г))ехр['(^х - а 0]
- антисимметричные моды:
их _ С2 81П(к3г) + С 3 А 81П(С 3г))еХР['(Хх - а t)]
иг _ (к3С2 С0Б(к3г) + iXD1 соб(с 3г))ехр[/'(£х - а t)]
(21)
Для нахождения амплитуд (Cl,2, Д,2) задаем начальные условия: при
г = ^ ® их = их1, иг
К
и.
г, где 0 - координата конца трещины, " - амплитуды продольной волны в этой точке.
Решая системы соответствующих уравнений с учетом начальных условий, получаем соотношения для амплитуд: - симметричная мода:
антисимметричная мода:
их
+
и,
в _ % с°5(АзКО) - kз sin(kзho) (21) 2 " гХ зКо) + С з С0^С зЮ ( )
- k3sin(k3h0) гХ cos(k3h()) ий - ^ зМ
_
- kз sin(k3 К0)
(20)
А _
/Х sin(k3К0) k3 cos(k3К0)
С з^п(С з М - /Х С0^С 3 К0) /Х sin(k3К0) k3 cos(k3К0) (21)
£>1/Х з К0)
и
С 2
Значения фазовых скоростей, определяющихся как (ср)п _
k3 cos(k3 К0) , где
(22) проекция
волновых чисел на ось, вдоль которых распространяются волны, будут зависеть от угла наклона трещины, так как будет меняться вместе с углом наклона трещины и проекция волнового числа поперечной краевой волны, которая и формирует волну Лэмба. В результате получается, что отношения фазовых скоростей волны Лэмба до дефекта и после дифракции будет иметь следующий вид:
,) х С1
X
sin(a ) С
1 2 (23)
где Ср/ - фазовая скорость волны Лэмба до дефекта, Ср/ - фазовая скорость волны Лэмба, образованной в результате дифракции, а1 - угол ввода поперечной волны, а - угол наклона трещины.
При угле наклона трещины, равном 900, (трещина расположена строго горизонтально) схема дифракции может быть представлена, как на рис. 5.
При горизонтальном расположении трещины (несплошность металла в виде расслоения) волны Лэмба будут формироваться следующими волнами:
- краевыми поперечными волнами;
- отраженной поперечной волной (продольная трансформированная волна, отраженная от поверхности в расчет не берется, так как углы ввода для стандартной линейки преобразователей находятся в диапазоне между третьим и вторым критическими углами, то есть продольная трансформированная волна будет распространяться вдоль поверхности трещины).
и
и
А а грш.
Рис. 4. Зависимость отношений фазовых скоростей волны Лэмба от угла наклона трещины, для
угла ввода поперечной волны, равного 450
т
Рис. 5. Схема дифракции при угле наклона трещины 900
Отраженная от поверхности трещины поперечная волна обладает большей энергией, чем краевые поперечные волны, поэтому в расчетах будем учитывать только поперечную отраженную волну (согласно расчетам, сделанным ранее, амплитуда поперечной отраженной волны примерно в 10 раз больше амплитуды краевой поперечной волны).
В данном случае фазовые скорости волн Лэмба останутся без изменений, так как проекция волнового числа на ось, вдоль которой распространяется волна, не изменится, а сформировавшаяся волна в результате будет иметь временную задержку.
Данная временная задержка будет зависеть от величины отставания по фазе отраженной поперечной волны от падающей поперечной волны. Критерием обнаружения расслоения принимаем постоянство фазовой скорости при уменьшении величины амплитуды волны Лэмба. Значение амплитуды рассчитываем следующим образом: - симметричная мода:
1
°2 и21 % эЬ^ 3
С = 0
антисимметричная мода:
(24)
(25)
А = и*
% 3*)
(26)
С 2 = 0
Значения С, =0, так как продольная волна не участвует в формировании волны Лэмба. Для расчета амплитуд берем следующие начальные условия: при * = Ь ® ,и* = иг( , где Ь - координата конца трещины по глубине, ил - амплитуда поперечной волны в этой точке.
В случае, когда трещина расположена вертикально, волна Лэмба формируется краевыми поперечными волнами, так как продольная краевая волна направлена строго вертикально и участия в процессе формирования нормальных бегущих волн участия не принимает. В данном случае изменяются фазовые скорости волн Лэмба, так как меняется проекция волнового числа, причем угол распространения поперечной краевой волны относительно вертикали равен третьему критическому углу. Согласно (3.30), рассчитана зависимость изменения фазовых скоростей от угла ввода (распространения) поперечной волны, при условии вертикального расположения трещины, что представлено на рис. 6.
А(а>
И , гряз.
Рис. 6. Зависимость изменения фазовых скоростей волн Лэмба от угла ввода (распространения) поперечной волны, при условии вертикального расположения трещины
Вывод
Основываясь на результатах расчетов и экспериментального исследования влияния геометрии дефектов на параметры распространения волн Лэмба, можно сделать следующий вывод: фазовая скорость нормальной волны зависит от угла наклона трещины, так как на ее формирование оказывает влияние краевая волна продольного типа, направленная по направлению трещины.
Литература
1. Щербинский В.Г., Алешин Н.П. Ультразвуковой контроль сварных соединений. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 496 с.
2. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982. - 335 с.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973. - 344 с.
4. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике. - М.: Издательство иностранной литературы, 1957. - 726 с.
5. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах.- М.: Наука, 1981. - 288 с.
6. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. -М.: Наука, 1966. - Гл. 1. - С. 5 - 77.
