К вопросу о рассеянии рэлеевской волны на изломе поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/ 2005, 20

С. Ю. Гуревич1, Х. Б. Толипов2

Южно-Уральский Государственный Университет,

ЮУрГУ, 454080, Россия, Челябинск, пр. Ленина, 76

К вопросу о рассеянии рэлеевской волны на изломе поверхности

Получена 13.05.2005, опубликована 17.06.2005

В рамках линейной теории упругости рассматривается дифракция рэлеевской волны на наклонной поверхности. Спектральным методом построено решение задачи о генерации возмущений, вызываемых падающей волной. Получены в явном виде аналитические выражения для коэффициентов прохождения и отражения волн Рэлея на изломе поверхностей. Проведено численное исследование амплитудно-фазовых характеристик, соответствующих наблюдаемой картине. Определены диаграммы направленности расходящихся от поверхности продольных и сдвиговых волн. Полученные выражения описывают пространственные структуры рассеянных волн, согласующихся с известными измерениями.

ВВЕДЕНИЕ

Анализ характеристик рассеянного волнового поля является классической задачей геофизики, ультразвуковой дефектоскопии, механики разрушения и др.

Поверхность, по которой распространяется рэлеевская волна, и наклонная плоскость образуют угловую область, в которой возникают сложные акустические процессы. В результате дифракции падающего поля на наклонной плоскости возникают как поверхностные, так и расходящиеся объемные волны, структура которых зависит от углового положения плоскости. Генерация этих волн является результатом совместного действия и конкуренции продольных и сдвиговых составляющих рэлеевской волны, вызываемых первичной волной, и представляет собой интересное явление, позволяющее глубже понять свойства рэлеевских волн и наблюдать их новые проявления. Поскольку закономерности изменения структуры дифрагированных волн зависят от структуры профиля волновых возмущений, представляет большой интерес исследование этой задачи для различных углов наклона плоскости.

1 prorektor@susu.ac.ru, 2 thb@susu.ac.ru

1. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ

С наклонной поверхностью, которая может быть получена путем поворота исходной системы координат (е, п) на угол в, связана локальная система координат (х, г). Связь между указанными системами определяется соотношениями:

х = scosв + «Бшв,

• в в (1)

2 = еБтв - цсоБв .

Плоская поверхностная монохроматическая волна распространяется перпендикулярно линии излома. Источником рассеянных волн служит часть плоскости, расположенной под углом в к поверхности, по которой распространяется исходная волна.

Задача определения рассеянного поля, возбуждаемого падающей волной, сводится к вычислению смещений в продольной и 1 и поперечной и волнах, удовлетворяющих уравнениям:

Ли + к^и, = 0,

AUt + kfUt = 0.

(2)

где к1 ( — волновые числа соответственно продольной и поперечной волн.

Краевыми условиями на плоскости для системы уравнений (1) является отсутствие на границе (г = 0) напряжений, обусловленных как падающей, так и порождаемой ею волнами:

Таким образом, система уравнений (2) с граничными условиями (3) полностью описывает пространственную структуру поля.

Если ввести продольный и поперечный потенциалы, связанные со смещениями соотношениями

U, = grad ф ,

Ut = rot W,

то систему уравнений (2), (3) можно переформулировать в следующем виде:

ДФ + k20 = 0,

Д¥ + kfW = 0,

С-д^ф + д^- 0, (5)

дх 2 ск&

С+2 д!Ф+д^ _д!^=0.

dxdz дх д

Колебания на наклонной плоскости возбуждаются плоской рэлеевской волной, описываемой в терминах волновых потенциалов выражениями:

Фr = ехр[/(е - °)- qn\,

Yr = exp[i(kr£ - Ot)- srr¡\ ,

где qr k2r -k*, sr =y¡k2r -k2 , p = -

При установившемся режиме колебаний, который и рассматривается далее, зависимость всех величин от времени носит гармонический характер. Общий множитель exp(-i0t) в дальнейших выкладках опускается.

Решение задачи будем рассматривать для малых углов в (в < 90°). В этом случае, что принципиально важно, структура набегающей на плоскость волны остается неизменной.

С учетом преобразований [1], тензоры напряжений на плоскости в системе координат (x, z) принимают вид:

< = &L sin(9) + axz cos^X

< =^zz cos(e)-<z sin(e) с обозначениями:

^xz = P(k1x )eXP(ik1xx) + pQ(k2x )exp(ik2xx) ,

^zz = R(k1x ) eXP(ik1xx) + pS(k2x ) eXP(ik2xx) ,

^'xz = P(k1z )eXP(ik1zz) + pQ(k2z )eXP(ik2zz) ,

°’zz = R(k1z ) eXP(ik1zz) + PS(k2z ) eXP(ik2zz) .

В этих выражениях проекции продольной и сдвиговой составляющих волнового вектора падающей волны на сопутствующие оси координат x и z

k1x (в) = kr cos в + ujk2r - k2 sin в, k2x (в) = kr cos в + i^jkf-kf sin в, k1z (в) = kr sin в + ujk2r - k] cos в, k2z (в) = kr sin в + i^jkf-kf cos в

выражаются в комплексном виде, где действительная часть определяет скорость волны, а мнимая — амплитуду колебаний.

Волновое поле по всему пространству в этой задаче находится в виде интегралов Фурье:

1 ад

Ф= — |ф* (к)в~гккйк,

2п -ад 1 ад

¥ = -2- ]>* (к)е-гкхёк .

Применяя к системе (2), (3) преобразование Фурье по х , получим:

й2 Ф йі2 й2 ¥*

+('-'

2кдгФ* - к2х¥* - ї2х¥* = Л(кх)ео8(0) + Б(кг)8Іп(0):

+ (к2 - к 2)Ф* = 0,

+ (к2 - к 2)¥* = 0,

(

к,

2 Л

к2 -^

V 2 У

с обозначениями:

Ф* + кэгЧ* = С (кх ) єоб($) + Б(кг )б1п(^)

Л(кх ) =

Б(К ) = С (кх) = 0(к2) =

Ркх) + р№ х )

к - к1х к - к2 х _

) + р^(к2і)"

к - к1і к - к21 _

ОДх ) + р ^(к2х )

к - кіх к - к2х

Р(кіі) + рб(к21) '

к — кі

к — к 2

где спектральные плотности потенциалов определяются в виде:

ад

Ф* (к, г) = |ф(к, хуыдх,

—ад

ад

(к, г) = |^(к, хуыдх.

Применение обратного преобразования Фурье дает соотношения, связывающие комплексные амплитуды потенциалов с углом наклона плоскости:

ф 1 "f\[A(k,)S(k„ ) + C(k,)Q(k, )] ,

ф = 2~l 1 -------------------(, 2 + Z)2—- cos(e) +

2n I 4k qs - (k + s )

+-----ТП—Г-2—z 2 2 r sin(^) [> exp(qz)dk,

[ D(kz ) S ( kr ) + B (kz )Q (k, )] _ 4k2qs - (k2 + s2)2

(7)

1 %\[ A( kx ) R(kr ) + C ( kx ) P(kr ) ]

w=— Nl v x) ; r)—2V x;2 2 ,ncos(^) + 2n -^ I 4k qs - (k + s )

+ [ D(k )R ( kr) + ЩЖ K)] sin(,) ^ exp( œ )dk.

4k2qs - (k2 + s2)2 Wi FV '

Полученные выражения дают богатую количественную и качественную информацию о структуре дифрагированного поля. Гармоники с к = kr описывают поле рэлеевских волн, с к < kr — поле объемных волн. Полное акустическое поле представляет собой сумму падающей и дифрагированных волн.

Известно, что в твердых телах на границе сред происходит взаимная трансформация продольной волны в сдвиговую. Поэтому при распространении поверхностной волны, состоящей из сдвиговых и продольных составляющих, плотность энергии волны монотонно падает, т. к. сдвиговая волна движется медленнее продольной. Это приводит к тому, что скорость поверхностной волны постепенно уменьшается. Поэтому, гармоники с kr > к > kt описывают волны, скорости которых стремятся к скорости

рэлеевской волны. Также с уменьшением скорости волны увеличивается толщина пограничного волнового слоя. При этом происходит перестройка его пространственной структуры, т. к. плотность энергии волны снижается, рассредоточиваясь по большему объему. Скорость волны будет монотонно уменьшаться до тех пор, пока скорости продольной и сдвиговой составляющих не выровняются соответственно скорости рэлеевской волны. Этот эффект является специфическим в твердых телах и не имеет аналогов в других средах. Следовательно, при малых углах наклона плоскости (от 0° до в0, где в0 = arccos kt / kr ) с изменением проекции волнового вектора на границе от kr

до kt, происходит вырождение задачи.

2. ИЗЛУЧЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН

Применение метода перевала к интегральному представлению решения приводит к формулам для диаграмм направленности расходящихся объемных волн [2]. Окончательные выражения для смещений сдвиговых и продольных волн в силу их громоздкости не приводятся. На рис. 1, 2 показаны распределения по азимутальным углам у амплитуд смещений в продольных и поперечных волнах соответственно. (Кривые 1-4 относятся к углам в равным 30°, 40°, 60°, 80° соответственно).

Сравнительный анализ кривых, представленных на этих рисунках, показывает, что при углах у, близких к 30°, наблюдается высокий уровень амплитуд смещений. При уменьшении угла наклона плоскости происходят как изменение амплитуды смещений в волне, так и небольшое смещение максимума угловой зависимости амплитуды от угла у.

Рис. 1. Азимутальное распределение смещений в продольных волнах

Рис. 2. Азимутальное распределение смещений в поперечных волнах

Для понимания физических факторов, определяющих поведение волн в зависимости от углового расположения наклонной плоскости, рассмотрим более подробно характерный случай: падение рэлеевской волны на плоскость, составляющей с поверхностью прямой угол. В этом примере возникает очень интересный эффект, который в рамках известных представлений объяснить не представляется возможным. Волна падает на плоскость по нормали, а максимальное смещение в отраженной

объемной волне приходится на угол, примерно равный в0 (рис. 3). В классическом

случае при отражении волн амплитуда волновых возмущений на границе сред неизменна, что приводит к выполнению закона Снеллиуса. В данном случае амплитуда колебаний источника вторичных волн по мере движения убывает, что отражается на характере изменения амплитуд фурье-гармоник, формирующих объемные волны. С изменением угла в изменяется характер поведения амплитуд фурье-гармоник, и происходит угловое смещение максимума амплитуды. Как известно, распространение упругих волн связано с движением энергии колебаний в деформируемой среде. Векторы лучевых скоростей (потоков энергии) при волноводном распространении связаны с направлением распространения волны.

ъ

л V '

кг

X г

Рис. 3. Картина поля сдвиговой волны для в = 90°

С физической точки зрения векторы плотностей потоков энергии определяют направления движения фронтов волн. В рэлеевской волне лучевая скорость направлена вдоль границы среды, а фазовая определяется направлением нормали к фронту волны, составляющей угол в0 с лучевой скоростью.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ РЭЛЕЕВСКИХ ВОЛН

Вычеты в полюсах подынтегрального выражения определяют рэлеевские волны, распространяющиеся вдоль поверхности плоскости. Структура решения, в основном, определяется физическими представлениями. Из сказанного выше следует, что решение задачи надо находить для невырожденного случая в > в0. Гармоники с

кг > к > к{ определяют волноводное распространение вдоль поверхности рэлеевских

волн. Амплитуды волн определяются спектральными представлениями волновых возмущений, т. е. характером их движения и пространственными структурами.

На рис. 4 представлена угловая зависимость коэффициента прохождения рэлеевской волны на наклонную плоскость (кривая V). Как показывает анализ, при малых углах в основной вклад в формирование пространственной структуры рассеянного акустического поля вносят касательные составляющие возмущающих сил (кривая VI). С увеличением угла в вклад этих сил падает, но в то же время увеличивается влияние нормальной составляющей (кривая V2 ), монотонно достигающей максимума.

Рис. 4. Зависимость модулей коэффициентов Рис. 5. Фазовая характеристика

прохождения волны Рэлея коэффициента прохождения (V)

(экспериментальные точки из работы [3])

Изменения фазы колебаний в прошедшей волне носят немонотонный характер (рис. 5) и являются результатом совместного действия и конкуренции продольных и сдвиговых составляющих рэлеевской волны.

Для того чтобы выяснить смысл полученной зависимости, рассмотрим пример, в котором волна движется по нормали к границе при двух характерных положениях плоскости (рис. 6).

а) б)

Рис. 6. Направления волновых векторов прошедшей (а) и отраженной (б) рэлеевских волн при двух характерных углах

Как показывает анализ, амплитуда смещений в прошедшей волне имеет максимум не в случае падения первичной волны по нормали к плоскости, а тогда, когда фазовая скорость V. =ш /кг составляет прямой угол с плоскостью. Характер движения источника возмущений, определяемый первичной волной, для поверхностных волн остается неизменным. Однако, если для прошедшей волны амплитуда источника вторичных волн по мере движения убывает, то для отраженной волны, движущейся к месту излома поверхности, нарастает. В первом случае вектор фазовой скорости отстает от вектора лучевой скорости во втором — опережает.

Рис. 7. Угловая зависимость модулей Рис. 8. Фазовая характеристика

коэффициентов отражения коэффициента отражения

(экспериментальные точки из работы [3])

Зависимость коэффициента отражения от углового параметра наклонной плоскости иллюстрирует рис. 7. Максимальное значение этого коэффициента приходится на угол 90° -в0 (кривая Я). В этом случае вектор фазовой скорости падающей волны

направлен по нормали к плоскости (см. рис. 6, б), вызывая максимальные возмущения плоскости. Экспериментальные данные из работы [3] получены для отраженной волны на поверхности, по которой распространяется первичная волна. Следовательно, отраженная волна, сформированная на плоскости, проходит в обратном направлении через излом на поверхность, в которой амплитуда колебаний в волне определится выражением:

Я,(в) = Я(в)У (в).

Изменения фазы колебаний в отраженной волне носят монотонный характер (рис. 5). ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье подробно рассмотрены физические аспекты возникновения поля поверхностных и объемных волн, вызываемых падением на плоскость неоднородной волны. В ходе исследования закономерностей рассеяния волн на поверхности получены соотношения, определяющие законы отражения, прохождения, коэффициенты отражения, прохождения, связывающие амплитуды отраженной и прошедшей волн с амплитудой падающей волны. Получены диаграммы направленности расходящихся от поверхности объемных продольных и сдвиговых волн.

Выяснено, что азимутальное направление максимума поля дифрагированных объемных волн определяется волновым вектором фазовой скорости поверхностной волны, который не совпадает по фазе с волновым вектором лучевой.

Решение данной задачи имеет широкое поле технических приложений: в сейсмологии (распространение сейсмических волн по резким изломам), в акустоэлектронике (использование ребра клина в качестве отражателя поверхностных волн, взаимного преобразователя поверхностных волн в объемные, линий задержки, фильтров), в механике разрушения и физике поверхностных явлений (выявление дефектов типа «трещина»).

ЛИТЕРАТУРА

1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988.

2. Гуревич С. Ю., Толипов Х. Б. Особенности дифракции поверхностных волн на ребре клина. ПМТФ, 2003, т. 44, №5, 162-167.

3. Викторов И. А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука. 1966.