Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 17-21
УДК 519.4
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ НАД ПОЛЕМ НУЛЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
М. З. Жемухова, У. М. Пачев
В работе дается описание циклических подгрупп полной линейной группы ОЬ2 (Е) над произвольным полем Е нулевой характеристики.
Ключевые слова: циклическая подгруппа, полная линейная группа, характеристические корни матрицы.
В данной работе дается описание циклических подгрупп полной линейной группы ОЬ2 ) над любым полем ^ нулевой характеристики. Тем самым нами дается усиление основного результата из [1], относящегося только к случаю алгебраически замкнутого поля ^ (и значит, например, случай поля рациональных чисел ^ = ( выпадет из рассмотрения).
Итак, пусть ^ — произвольное поле нулевой характеристики,
м=(с 2)е ^ (р)-
Характеристическое уравнение матрицы М есть
х2 — (а + ё)х + аё — Ьс = 0,
а ее характеристические корни
а = ^ (а + (1+ ^(а - д)2 + 46с^ , (3 = ^ ^а + <1 - ^(а - д)2 + 46с^ .
По теореме Гамильтона — Кэли матрица М является корнем ее характеристического уравнения, т. е.
М2 — (а + й)М + (ай — Ьс)Е = 0, (1)
т? (1 п /0 0\
где Е = I 0 1 ) — единичная матрица, 0 = I 0 ^ — нулевая матрица.
В силу (1) для любого натурального п ^ 2 имеем рекуррентное уравнение для степеней матрицы М:
Мп = (а + й)Мп-1 + (Ьс — ай)Мп-2. (2)
© 2011 Жемухова М. З., Пачев У. М.
Если матрица М — вырожденная и, значит, М £ СЬ2(¥), ёе! М = 0, то в этом случае из (2) получаем
Мп = (а + й)М п-1,
откуда
Мп = (а + й)п-1 М, п ^ 1.
Следовательно, в случае вырожденной матрицы М получаем только циклическую полугруппу, которую как и в случае циклических групп обозначим через (М). Согласно полученному результату имеем
(М) = {(2БрМ)п-1| Vп £ Н},
где Бр М = а + й — след матрицы М = ^ ^ .
Пусть теперь М £ СЬ2(¥), и значит ёе! М = ай — Ьс = 0. Тогда соотношение (2) есть рекуррентное уравнение второго порядка для степеней матрицы М (обычно рекуррентные уравнения встречаются только для числовых последовательностей).
В случае матрицы М £ ) наиболее удобное описание циклических подгрупп
(М) полной линейной группы ОЬ2(^) получается с помощью характеристических корней матрицы М.
Следуя [1], рассмотрим сначала случай различных характеристических корней аЬ
(а = в) матрицы М = . с ^ Тогда имеем
а + в = а + й, ав = ай — Ьс,
и значит в силу (2) получаем
Мп = (а + в) Мп-1 + авМп-2, (3)
откуда
Следовательно,
Мп — вМп-1 = а (Мп-1 — вМп-2) .
Мп — вМп-1 = ап-1 (М — вЕ), (4)
где М0 = Е — единичная матрица, и аналогично этому
Мп — аМп-1 = вп-1 (М — аЕ). (5)
Из (4) и (5) для любого натурального п почленным вычитанием находим, что
а Ь\п ап — вп (а Ь^ аап-1 — вп-1 „
— ар---Ь. (6)
чс &) а — в \с й) а — в
В силу основной теоремы о симметрических многочленах (справедливой для многочленов над целостным кольцом [2]) коэффициенты в (6), на которые умножаются матрицы, принадлежат полю ¥ и поэтому нет необходимости считать поле ¥ алгебраически замкнутым.
Перейдем теперь к случаю кратных характеристических корней матрицы М = (а ^, т. е. случаю а = в .В этом случае в заметке [1] для вычисления М использовался предельный переход при в ^ а, что требует полноту поля ¥ (но это условие опять
не выполняется, например, для поля В этом случае наиболее подходящим является рассуждение, использующее индуктивный способ определения Мп.
Итак, в силу (3) при п = 2 в случае кратных характеристических корней имеем:
М2 = 2аМ - а2Е.
Опираясь на это соотношение, получаем, что
Мп = пап-1М - (п - 1) апЕ. (7)
Эту формулу можно записать в явном виде через элементы поля ¥:
„ гП /а + П-1 „ ^ ч/а +
Мп = п^—) М — (п — 1) ^ - ^ Е.
Формулы (6) и (7) справедливы и при п < 0, если учесть, что
М-т = (М-1 )т = (Мт)-1 (т £ М).
В [1] основной результат о циклических подгруппах (М) в случае различных характеристических корней получен при ограничительном условии п = 0. Это ограничение мы снимаем через использование функции sgn п — знак числа п. Если обозначим
а ^П = М п е N
с й) = \Сп ^п/ ' '
то в случае различных характеристических корней получаем
ап - вп „ап-1 - вп-1
а„ =-—а - ар---,
а - в
ьп = ——'—Ь, с,
_ ап-1 - вп-1
(1П =-'—(I - а/3---.
а - в а - в
Еще более простые выражения получаются для этих элементов в случае кратных характеристических корней, а именно
ап Ъп\ _ (пап~1а — (п — 1) ап пап~1Ъ \ _а + с1
сп <1П) у па™-^ пап~1с1 — (п — 1) ап) 7 2
Полученный основной результат дает усиление доказанной в [1] теоремы о циклической подгруппе (М) полной линейной группы (¥).
Теорема 1. Циклическая подгруппа (М), порожденная любым элементом М = а Ь
а
ап
а
ап
а
ап -¡Г
с ^ I группы ) над полем ¥ нулевой характеристики, определяется равенства-
ми:
ап_вп а1 п| — 1 _в1 п|—1
1) Мп = а_р Мщпп — ар---Е, где а ф р, — характеристические корни
матрицы М, sgn п — знак числа п;
2) Мп = пап-^пМ^п _ (| „I _ 1) апЕ при а = (3 =
Доказанная теорема 1 дает явное описание бесконечных циклических подгрупп полной линейной группы GL2(F) над произвольным полем F c charF = 0. Но некоторые конечные циклические подгруппы в GL2(F) могут быть построены, например, в том случае, когда поле F = K(n), где K— n-круговое поле над произвольным полем K нулевой характеристики.
Итак, пусть M = ^ ^ £ GL2 (K(n)) и £ — один из первообразных корней n-ой
степени из 1#, где 1# — единичный элемент поля K. Пусть матрица M £ GL2(K(n)) такова, что ее характеристические корни равны £m£-m, где 1 ^ m ^ n, НОД (m,n) =
Если теперь t — порядок элемента £m, то £mt = 1, откуда получаем следующие условия делимости
n m n
t .
n
I
mn
Отсюда, ввиду того, что 4 должно иметь наименьшее возможное значение, следует, что 1 =
Положив теперь в теореме 1 характеристические корни матрицы М равными а = £т
п
и ¡3 = £~"г, найдем, что М(т-п) = Е, где (т,п) = НОД (га, п). Действительно, имеем
П П П__1 П__1
= ^ ' ,-^---М - ---^---Е
£т _ £—т £т _ £—т
£-т_ £т
= ОМ - I--5—Е = Е,
£т £- т
при этом учитывалось, что
Значит, (М) — конечная циклическая подгруппа порядка , п ^ группы
СЬ2(К(п)).
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 2. В полной линейной группе ОЬ2(К(п)) над п-круговым полем
К (п) произвольного поля К нулевой характеристики существует циклическая подгруппа (М) порядка ^п), где матрица М имеет своими характеристическими корнями £"г и £_т", £ — первообразный корень степени п из единицы над полем К; 1 ^ т ^ п.
Приведем пример конечной циклической подгруппы в полной линейной группе СЬг(^), где Р = — круговое поле деления окружности на п равных частей.
Тогда для элемента М е ОЬ2 (^)
/ cos -sin^\
M=
2п 2п
\ — sin — cos — / nn
получаем циклическую подгруппу (М) = {Мк | 0 ^ К ^ п — 1}, порядка группы ОЬ2 ^).
Представляет большой интерес перенесение полученных результатов на полные линейные группы степени п > 2 (см. [6]) и на поля простой характеристики, например, на предельное поле 0,р = Fpn!, являющееся алгебраически замкнутым полем
характеристики р (нужные для этого предварительные сведения можно найти в [3-5]).
Литература
1. Пачев У. М., Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы ОЬ2 (-Р) // Изв. КБНЦ РАН.—2001,— Т. 7, № 2.—С. 72-74.
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.
3. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд.— М.: Наука, 1985.—504 с.
4. Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру.—М.: Наука, 1973.—448 с.
5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х т. Т. 1.—М.: Мир, 1988.—430 с.
6. Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы СЬз (^) // Изв. КБНЦ РАН, 2001.—Т. 7, № 2.— С. 75-77.
Статья поступила 27 февраля 2011 г. Жемухова Майя Залимовна
Кабардино-Балкарский государственный университет, старший преподаватель кафедры геометрии и высшей алгебры РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175
Пачев Урусви Мухамедович
Кабардино-Балкарский государственный университет, доцент кафедры геометрии и высшей алгебры РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail: [email protected]
CYCLIC SUBGROUPS OF SECOND DEGREE FULL LINEAR GROUP OVER A FIELD OF THE ZERO CHARACTERISTIC
Zhemuhova M. Z., Pachev U. M.
A description of cyclic subgroups in a full linear group GL2(F) over any zero characteristic field F is given.
Key words: cyclic subgroup, full linear group, characteristic roots of a matrice.