Циклические подгруппы полной линейной группы второй степени над полем нулевой характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 17-21

УДК 519.4

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ НАД ПОЛЕМ НУЛЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

М. З. Жемухова, У. М. Пачев

В работе дается описание циклических подгрупп полной линейной группы ОЬ2 (Е) над произвольным полем Е нулевой характеристики.

Ключевые слова: циклическая подгруппа, полная линейная группа, характеристические корни матрицы.

В данной работе дается описание циклических подгрупп полной линейной группы ОЬ2 ) над любым полем ^ нулевой характеристики. Тем самым нами дается усиление основного результата из [1], относящегося только к случаю алгебраически замкнутого поля ^ (и значит, например, случай поля рациональных чисел ^ = ( выпадет из рассмотрения).

Итак, пусть ^ — произвольное поле нулевой характеристики,

м=(с 2)е ^ (р)-

Характеристическое уравнение матрицы М есть

х2 — (а + ё)х + аё — Ьс = 0,

а ее характеристические корни

а = ^ (а + (1+ ^(а - д)2 + 46с^ , (3 = ^ ^а + <1 - ^(а - д)2 + 46с^ .

По теореме Гамильтона — Кэли матрица М является корнем ее характеристического уравнения, т. е.

М2 — (а + й)М + (ай — Ьс)Е = 0, (1)

т? (1 п /0 0\

где Е = I 0 1 ) — единичная матрица, 0 = I 0 ^ — нулевая матрица.

В силу (1) для любого натурального п ^ 2 имеем рекуррентное уравнение для степеней матрицы М:

Мп = (а + й)Мп-1 + (Ьс — ай)Мп-2. (2)

© 2011 Жемухова М. З., Пачев У. М.

Если матрица М — вырожденная и, значит, М £ СЬ2(¥), ёе! М = 0, то в этом случае из (2) получаем

Мп = (а + й)М п-1,

откуда

Мп = (а + й)п-1 М, п ^ 1.

Следовательно, в случае вырожденной матрицы М получаем только циклическую полугруппу, которую как и в случае циклических групп обозначим через (М). Согласно полученному результату имеем

(М) = {(2БрМ)п-1| Vп £ Н},

где Бр М = а + й — след матрицы М = ^ ^ .

Пусть теперь М £ СЬ2(¥), и значит ёе! М = ай — Ьс = 0. Тогда соотношение (2) есть рекуррентное уравнение второго порядка для степеней матрицы М (обычно рекуррентные уравнения встречаются только для числовых последовательностей).

В случае матрицы М £ ) наиболее удобное описание циклических подгрупп

(М) полной линейной группы ОЬ2(^) получается с помощью характеристических корней матрицы М.

Следуя [1], рассмотрим сначала случай различных характеристических корней аЬ

(а = в) матрицы М = . с ^ Тогда имеем

а + в = а + й, ав = ай — Ьс,

и значит в силу (2) получаем

Мп = (а + в) Мп-1 + авМп-2, (3)

откуда

Следовательно,

Мп — вМп-1 = а (Мп-1 — вМп-2) .

Мп — вМп-1 = ап-1 (М — вЕ), (4)

где М0 = Е — единичная матрица, и аналогично этому

Мп — аМп-1 = вп-1 (М — аЕ). (5)

Из (4) и (5) для любого натурального п почленным вычитанием находим, что

а Ь\п ап — вп (а Ь^ аап-1 — вп-1 „

— ар---Ь. (6)

чс &) а — в \с й) а — в

В силу основной теоремы о симметрических многочленах (справедливой для многочленов над целостным кольцом [2]) коэффициенты в (6), на которые умножаются матрицы, принадлежат полю ¥ и поэтому нет необходимости считать поле ¥ алгебраически замкнутым.

Перейдем теперь к случаю кратных характеристических корней матрицы М = (а ^, т. е. случаю а = в .В этом случае в заметке [1] для вычисления М использовался предельный переход при в ^ а, что требует полноту поля ¥ (но это условие опять

не выполняется, например, для поля В этом случае наиболее подходящим является рассуждение, использующее индуктивный способ определения Мп.

Итак, в силу (3) при п = 2 в случае кратных характеристических корней имеем:

М2 = 2аМ - а2Е.

Опираясь на это соотношение, получаем, что

Мп = пап-1М - (п - 1) апЕ. (7)

Эту формулу можно записать в явном виде через элементы поля ¥:

„ гП /а + П-1 „ ^ ч/а +

Мп = п^—) М — (п — 1) ^ - ^ Е.

Формулы (6) и (7) справедливы и при п < 0, если учесть, что

М-т = (М-1 )т = (Мт)-1 (т £ М).

В [1] основной результат о циклических подгруппах (М) в случае различных характеристических корней получен при ограничительном условии п = 0. Это ограничение мы снимаем через использование функции sgn п — знак числа п. Если обозначим

а ^П = М п е N

с й) = \Сп ^п/ ' '

то в случае различных характеристических корней получаем

ап - вп „ап-1 - вп-1

а„ =-—а - ар---,

а - в

ьп = ——'—Ь, с,

_ ап-1 - вп-1

(1П =-'—(I - а/3---.

а - в а - в

Еще более простые выражения получаются для этих элементов в случае кратных характеристических корней, а именно

ап Ъп\ _ (пап~1а — (п — 1) ап пап~1Ъ \ _а + с1

сп <1П) у па™-^ пап~1с1 — (п — 1) ап) 7 2

Полученный основной результат дает усиление доказанной в [1] теоремы о циклической подгруппе (М) полной линейной группы (¥).

Теорема 1. Циклическая подгруппа (М), порожденная любым элементом М = а Ь

а

ап

а

ап

а

ап -¡Г

с ^ I группы ) над полем ¥ нулевой характеристики, определяется равенства-

ми:

ап_вп а1 п| — 1 _в1 п|—1

1) Мп = а_р Мщпп — ар---Е, где а ф р, — характеристические корни

матрицы М, sgn п — знак числа п;

2) Мп = пап-^пМ^п _ (| „I _ 1) апЕ при а = (3 =

Доказанная теорема 1 дает явное описание бесконечных циклических подгрупп полной линейной группы GL2(F) над произвольным полем F c charF = 0. Но некоторые конечные циклические подгруппы в GL2(F) могут быть построены, например, в том случае, когда поле F = K(n), где K— n-круговое поле над произвольным полем K нулевой характеристики.

Итак, пусть M = ^ ^ £ GL2 (K(n)) и £ — один из первообразных корней n-ой

степени из 1#, где 1# — единичный элемент поля K. Пусть матрица M £ GL2(K(n)) такова, что ее характеристические корни равны £m£-m, где 1 ^ m ^ n, НОД (m,n) =

Если теперь t — порядок элемента £m, то £mt = 1, откуда получаем следующие условия делимости

n m n

t .

n

I

mn

Отсюда, ввиду того, что 4 должно иметь наименьшее возможное значение, следует, что 1 =

Положив теперь в теореме 1 характеристические корни матрицы М равными а = £т

п

и ¡3 = £~"г, найдем, что М(т-п) = Е, где (т,п) = НОД (га, п). Действительно, имеем

П П П__1 П__1

= ^ ' ,-^---М - ---^---Е

£т _ £—т £т _ £—т

£-т_ £т

= ОМ - I--5—Е = Е,

£т £- т

при этом учитывалось, что

Значит, (М) — конечная циклическая подгруппа порядка , п ^ группы

СЬ2(К(п)).

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 2. В полной линейной группе ОЬ2(К(п)) над п-круговым полем

К (п) произвольного поля К нулевой характеристики существует циклическая подгруппа (М) порядка ^п), где матрица М имеет своими характеристическими корнями £"г и £_т", £ — первообразный корень степени п из единицы над полем К; 1 ^ т ^ п.

Приведем пример конечной циклической подгруппы в полной линейной группе СЬг(^), где Р = — круговое поле деления окружности на п равных частей.

Тогда для элемента М е ОЬ2 (^)

/ cos -sin^\

M=

2п 2п

\ — sin — cos — / nn

получаем циклическую подгруппу (М) = {Мк | 0 ^ К ^ п — 1}, порядка группы ОЬ2 ^).

Представляет большой интерес перенесение полученных результатов на полные линейные группы степени п > 2 (см. [6]) и на поля простой характеристики, например, на предельное поле 0,р = Fpn!, являющееся алгебраически замкнутым полем

характеристики р (нужные для этого предварительные сведения можно найти в [3-5]).

Литература

1. Пачев У. М., Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы ОЬ2 (-Р) // Изв. КБНЦ РАН.—2001,— Т. 7, № 2.—С. 72-74.

2. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.

3. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд.— М.: Наука, 1985.—504 с.

4. Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру.—М.: Наука, 1973.—448 с.

5. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х т. Т. 1.—М.: Мир, 1988.—430 с.

6. Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы СЬз (^) // Изв. КБНЦ РАН, 2001.—Т. 7, № 2.— С. 75-77.

Статья поступила 27 февраля 2011 г. Жемухова Майя Залимовна

Кабардино-Балкарский государственный университет, старший преподаватель кафедры геометрии и высшей алгебры РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175

Пачев Урусви Мухамедович

Кабардино-Балкарский государственный университет, доцент кафедры геометрии и высшей алгебры РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail: [email protected]

CYCLIC SUBGROUPS OF SECOND DEGREE FULL LINEAR GROUP OVER A FIELD OF THE ZERO CHARACTERISTIC

Zhemuhova M. Z., Pachev U. M.

A description of cyclic subgroups in a full linear group GL2(F) over any zero characteristic field F is given.

Key words: cyclic subgroup, full linear group, characteristic roots of a matrice.