Об автоморфных системах дифференциальных уравнений и gl2(c)-орбитах бинарных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 4 (2012). С. 38-44.

УДК 517.957 + 512.745

ОБ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СЬ2(С)-ОРБИТАХ БИНАРНЫХ ФОРМ

П.В. БИБИКОВ

Аннотация. В работе предлагается новый подход к исследованию классической алгебраической проблемы классификации GL2(C)-орбит бинарных форм с помощью дифференциальных уравнений. В работе построена и исследована автоморфная система дифференциальных уравнений S не выше четвертого порядка, пространством решений которой является GL2(C)-орбита заданной бинарной формы /. В случаях, когда система S имеет порядок 2 или 3, она может быть явно проинтегрирована. В самом сложном случае, когда S имеет порядок 4, показано, что система может быть сведена к дифференциальному уравнению первого порядка типа Абеля и линейному уравнению в частных производных первого порядка.

Ключевые слова: бинарные формы, пространство джетов, дифференциальные инварианты, автоморфные дифференциальные уравнения.

1. Введение

Пусть Vn — пространство бинарных форм степени п от переменных х, у над полем C. Рассмотрим действие группы GL2(C) на пространстве Vn такое, что подгруппа SL2(C) С GL2(C) действует линейными заменами координат, а центр C* С GL2(C) действует гомотетиями / м А/, где / £ Vn и А £ C*.

В работах [1, 2] был получен эффективный критерий разделения GL2(C)-орбит бинарных форм. Для получения этого критерия использовались с одной стороны дифференциальная геометрия и геометрическая теория дифференциальных уравнений, а с другой — алгебраическая геометрия и классическая теория инвариантов. А именно, вместо вычисления классической алгебры полиномиальных инвариантов вычислялась алгебра дифференциальных инвариантов, которая оказывалась существенно проще. В терминах этой алгебры каждой бинарной форме / можно сопоставить некоторый многочлен (называемый многочленом зависимостей) от трех переменных (являющихся дифференциальными инвариантами), который полностью определяет GL2(C)-орбиту формы /.

В статье показывается, что многочлен зависимостей может рассматриваться как дифференциальное уравнение в частных производных не выше четвертого порядка. С помощью этого уравнения строится автоморфная система уравнений (которую мы будем называть GL2-системой), т.е. система, чье пространство решений есть GL2(C)-орбита соответствующей бинарной формы.

В данной статье подробно исследуются GL2-системы. Доказывается, что каждая такая система порядка 2 или 3 может быть проинтегрирована, а каждая система порядка 4 может

P.V. Bibikov, On automorphic systems of differential equations and GL2(C)-orbits of binary forms.

© Бивиков П.В. 2012.

Работа поддержана фондом Саймонса и грантом Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук МК-32.2011.1.

Поступила 30 сентября 2011 г.

быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению Абеля1 первого порядка и линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка.

Таким образом, появляется возможность исследовать орбиты бинарных форм с помощью дифференциальных уравнений.

2. Классификация ОЬ2(С)-орвит бинарных форм

Напомним основные идеи классификации бинарных форм.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера

+ у!У = п/.

Легко видеть, что бинарные формы степени п являются решениями уравнения Эйлера.

Рассмотрим пространство ^-джетов функций /к С2 с каноническими координатами (х,у,и,и10,и01,...) (все необходимые определения см. в [3]). Тогда дифференциальному уравнению Эйлера соответствует алгебраическое многообразие

£ = [хи10 + уи01 = пи} С 31 С2.

Его продолжения в пространства ^-джетов обозначим через £к.

Группа ОЬ2(С) действует на базе /0С2. Это действие канонически продолжается до действия на всех продолжениях £. дифференциального уравнения Эйлера.

Теперь мы будем решать задачу классификации орбит действия группы ОЬ2(С) на многообразии £ и его продолжениях. Для этого необходимо вычислить алгебру дифференциальных инвариантов.

2.1. Алгебра дифференциальных инвариантов. Напомним, что функция 7 £ С^(£к) называется дифференциальным инвариантом действия группы ОЬ2(С) порядка к, если она инвариантна относительно продолженного действия группы ОЬ2(С) на многообразии £к. Мы будем рассматривать только инварианты, полиномиальные по иа и и~1. Аналогично, дифференцирование

с! $

V = А— + В— (где А, В е С~(£те))

ах ау

называется инвариантным, если оно перестановочно с продолженным действием группы

ОЬ2(С) (здесь через ^ и ^ обозначены полные производные). Мы будем рассматривать

только инвариантные дифференцирования, компоненты А и В которых полиномиальны

1

по иа и и 1.

Теорема 1 ([1]). Алгебра дифференциальных инвариантов действия группы ОЬ2(С) на многообразии £те свободно порождается дифференциальным инвариантом

2

П20П02 - Щ1

^ 2 и2

порядка 2 и инвариантным дифференцированием

= «01 Л Ию d

и dx и с1у

Отметим, что инвариант Н — это гессиан, деленный на и2, а дифференцирование V — это гамильтоново дифференцирование.

1Т.е. дифференциальному уравнению, полиномиальному по производным.

2.2. Описание орбит. Теперь рассмотрим бинарную форму £. Ограничения дифференциальных инвариантов

Н, VH, V2 н

на график Lf этой формы являются однородными рациональными функциями от переменных х, у. Значит, между этими ограничениями существует алгебраическая зависимость:

^ (Н (/), VH (/), V2 Н (/)) = 0.

Мы считаем, что многочлен Р неприводим, имеет минимальный порядок и определен с точностью до умножения на ненулевую константу. Мы будем называть этот многочлен многочленом зависимостей формы f.

Таким образом, каждой бинарной форме £ можно каноническим образом сопоставить некоторый многочлен Р от трех переменных.

Теорема 2 ([2]). Бинарные формы !1 и !2 эквивалентны если и только если их многочлены зависимостей совпадают,: Р1 = Р2.

3. ОЬ2-систЕмы дифференциальных уравнений

Изучим более подробно многочлен зависимостей Р. Для этого подставим в него вместо переменных Н, VН и V2H их координатные представления в пространстве джетов:

2

ТТ Щ0Щ2 — и11

^ 2 иг

Щ1и20и12 — 2«01 Щ1Щ1 + и01и02^30 — июи20Щз + 2^10^11^12 — Щ0Щ2Щ1

V 11 3

и6

2тт 3^01^11^20 Щ2 + и01ици02из0 + 2Щ1и12июЩ1 — 2и01Щ0и20и13

Ч2Н

и4

иоіи2ощ2и2і + 4иоіи22иіоип — 2иоіЩоиіоиоз — 2иоіизіиіощ2

и4

иіоио2Щоиі2 + 3иіоЩ2иііи,2і + ЩоЩіЩоЩз — 2и2іи^і — 2и^2и1о

и4

2щіи\іи2і + 2иі2и‘0і Що — и0іи20Щз + и22и'^іи20 — 2щци'0іиіі

+

+ и0іио2 Що — Щои02изо + 2щзи\0и21 + и\0и2оЩ4 — 2ию и2іиі2

и4

2иізи210Щі + Щ2и2і0Щ2

и4

Мы получим соотношение между координатами пространства джетов, т.е. дифференциальное уравнение Т. Таким образом, многочлен зависимостей может быть интерпретирован как дифференциальное уравнение не выше четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Б = Т П 8 (или, что то же самое, будем рассматривать только однородные степени п решения уравнения Т). Эту систему мы будем называть ОЪ2-системой.

Теорема 3. СЪ2-сисш,е.ма 5 авшоморфна, и ее пространство решений в точности совпадает с ОЬ2 (С)-орбитой некоторой бинарной формы f.

Доказательство. В самом деле, очевидно, что ОЬ2(С)-орбита бинарной формы будет пространством решений системы £. С другой стороны, из теоремы 2 следует, что никаких других решений не существует. □

Теперь рассмотрим следующую задачу: как по заданному многочлену Р от трех переменных найти форму £, для которой Р является многочленом зависимостей? Иначе говоря, как решить систему £?

Рассмотрим дифференциальные уравнения Т и 8. Используя продолжения уравнения Эйлера, можно выразить производные, содержащие переменную у, через производные по переменной х (например, и0і = (пи — хиі0)/у). Таким образом, уравнение Т можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению не выше четвертого порядка.

Далее мы разберем три случая: когда порядок ОЬ2-системы £ равен 2, 3 или 4. В первых двух случаях мы явно проинтегрируем систему £, а в последнем случае покажем, как свести систему £ к уравнению Эйлера 8 и некоторому дифференциальному уравнению Абеля.

3.1. Порядок системы 5 равен 2.

Теорема 4. В этом случае бинарная форма f эквивалентна форме хп.

Доказательство. Уравнение Т записывается в виде

пии20 — (п — 1)и210 = 0.

Это уравнение легко интегрируется, и общее решение имеет вид

/ (х,у) = (а(у)х + Ь(у))п.

Выбирая из этих решений те, которые удовлетворяют уравнению Эйлера, окончательно получаем f (х,у) = (ах + Ьу)п. Очевидно, что форма f эквивалентна форме хп. □

3.2. Порядок системы 5 равен 3.

Теорема 5. В этом случае бинарная форма f эквивалентна форме хкуп~к для некоторого к = 0, п.

Доказательство. В этом случае многочлен зависимостей имеет вид Р(Н, VН) = (VН)2 — аН3, где а Є С — константа. Докажем, что форма f с таким многочленом зависимостей эквивалентна форме хкуп~к и

4(п — 2к)2

П =-----------------

к(п — к)(п — 1).

Рассмотрим функцию хкуп~к, где

Непосредственной проверкой легко убедиться, что многочлен зависимостей для этой функции равен Р. Это означает, что бинарная форма f локально эквивалентна форме хкуп~к. Но это означает, что число к целое и f эквивалентна форме хкуп~к, причем к = 0, п. □

3.3. Порядок системы 5 равен 4. Это самый сложный и интересный случай.

Теорема 6. Уравнение Т можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, являющемуся уравнением Абеля.

Доказательство. Заметим, что группа ОЬ2(С) является группой симметрий уравнения Т. Т.к. в ОЬ2(С) есть трехмерная разрешимая подгруппа верхнетреугольных матриц, то по теореме Ли-Бьянки уравнение Т заменами координат можно привести к уравнению первого порядка.

Опишем явно замены координат, позволяющие понизить порядок уравнения Т. Будем считать, что гессиан формы / не равен 0, и рассмотрим однородные формьіі

£

(Уну н2

2Н У2Н — 3(УН )2 Н3

Тогда многочлен зависимостей можно представить в виде многочлена лишь от двух переменных £ и г/. Его мы также будем обозначать через Р, а уравнение (Р = 0} — через .

1. Замена А = 1п f:

(п2 Аххх + 6пАхАхх + 4А3Х)2 (п — 1)(пАхх + А2)3

2(^ )х

VхпА

XX + А1

п

2. Замена г = Ах, В = Ахх:

з2

(п2ВВг + 6пгВ + 4 г3) (п — 1)(пВ + г2)3

2В(^1 Ь

3. Замена і = 4-, С = —:

пл/пВ+г2

(п2і С + 6 пЪ + 4)2 (и — 1)(пЬ + 1)3 _ 2і(С — 2і)

4. Замена ( = :

+ 1

п2іС + 6пі + 4

■(\/£)*

у/п — 1(пЪ + 1)3/2

2^п — 1(пі + 1)( — 4^ пі + 1(пі + 2)

и3

С*

Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка на функцию £. Это уравнение является уравнением Абеля, т.е. оно полиномиально по производной, что и требовалось доказать. □

Предположим, что, решив это уравнение, мы нашли общее решение £(1,й). Тогда последовательным интегрированием получаем:

В(г) = Ь ехр |

&

2і — (і, й)

/ (х,у) = а ехр

|, 8 (м)

dz

Ж*)

dz

5'-і(г + с)

Таким образом, основной проблемой в решении ОЬ2-системы £ является исследование получившегося уравнения Абеля.

£

п

£

п

С

г

ш

X

1Эти формы отличаются от форм, введенных в [2]. Это сделано для упрощения вычислений.

Отметим, что каждое дифференциальное уравнение Абеля задает на плоскости ткань, слоения которой являются интегральными кривыми полей направлений, задающих дифференциальное уравнение Абеля. Было бы интересно связать алгебраические свойства бинарной формы f и геометрические свойства соответствующей ей ткани W/.

В заключение мы приведем несколько примеров многочленов зависимостей и соответствующих им уравнений Абеля.

3.4. Примеры. 1. Рассмотрим бинарную форму f (х,у) = ху(х + у)(-х + у). Многочлен зависимостей в координатах (£, г/) имеет вид

F (C,v) = 18£ + 9^ + 32.

Соответствующее абелево уравнение имеет вид

г ,m =_________2( 2(t) + 32/9______________

V4f+I(V3(4i+I)С(t) - 4(2f +1))'

Можно показать, что такое же уравнение (с другими коэффициентами в числителе) будет возникать для любой бинарной формы, эквивалентной хп + уп.

Эксперименты показывают, что формы, эквивалентные хп + уп, — единственные, для которых соответствующее абелево уравнение будет разрешено относительно производной (т.е. переменная ^ входит в многочлен зависимостей линейно).

При попытке решить полученное дифференциальное уравнение на функцию ( в компьютерной системе Maple возникает громоздкий ответ, выраженный через гипергеомет-рические функции. С другой стороны, зная форму f, функция ( легко вычисляется. Таким образом, используя наши конструкции, удается получить новые соотношения между гипергеометрическими функциями.

2. Рассмотрим бинарную форму f (х,у) = ху(х + у)(-2х + у). Многочлен зависимостей в координатах (£, г/) имеет вид

F(С/п) = 75 гf + 675 rfi - 1887rf + 2025 ^2 - 5148 ^i-

- 15552 <q + 2025 £3 - 1548 £2 - 24704 £ - 27648.

Соответствующее абелево уравнение имеет вид

(225С3(t)V3 + 43200^3((t)t - 27000(2(t)V4t + 1t-

- 28800t(4t + 1)3/2 - 57600t2(4i + 1)3/2 + 14400^3(3(t)t3 + 230400^3((t)t4+

+ 187200^3((t)t2 - 4800(4t + 1)3/2 - 86400(2(t)t3^4t + 1 + 3600^3((t) +

+ 345600^3((t)t3 - 38400^(4i + 1)3/2 - 2700(2(t)V4t + 1-

- 86400C2(t)t2V4t + 1 + 10800^3(3(t)t2 + 2700(3(i)V3^ (<'(t))3+

+ (483072^3( (t)V4t + 1 + 2898432^3( (t)W4t + 1 + 164448(2(t) +

+ 518400C4(t)t + 1315584C2(t)t - 19322880t2 - 15458304t3+

+ 5529600C2(t)t3 - 7729152t - 966144 + 64800(4(t)-

- 1036800C3(t)V3W4t + 1 + 1036800C4 (t)t2 - 172800C3(t)V3V4t + 1 +

+ 3864576л/3( 2(t)V4t + 1 - 1382400С 3(t)V3t2V4t + 1 +

+ 4013568С2(t)t^ (C(t))2 + ( - 16588800C4(t)V4t + 1t-

- 8294400C4(t)V4t + 1 - 15925248^3((t) + 2073600(5(t)V3+

+ 63700992 V4i + 1 + 8294400C5(t)V3t - 63700992^3((t)t-

- 5271552C3(t)V3 + 21086208C2(i)V4i + 1 + 42172416(2(t)V4t + 1t-

- 21086208C3(t)V3t + 127401984V4iTT'(t) - ^905969664-

- 50724864C4(t) + 66355200C6(t) - 809500672(2(i)) = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бибиков П., Лычагин В. СЬ2(С)-орбиты бинарных форм // Доклады АН. Т. 435. Вып. 4. 2010. С. 439-440.

2. Bibikov P., Lychagin V. GL2(C)-orbits of binary rational forms // Lobachevskii J. Mathematics. Vol. 32. No. 1. 2011. P. 95-102.

3. Алексеевский Д., Виноградов А., Лычагин В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Москва, ВИНИТИ, 1988, т.28, 289 с.

Павел Витальевич Бибиков,

Институт проблем управления им. Трапезникова РАН, ул. Профсоюзная, 65,

117997, г. Москва, Россия E-mail: [email protected]