О стандартной форме матриц второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019

Математика и механика

№ 59

МАТЕМАТИКА

УДК 512.54

БОТ 10.17223/19988621/59/1

М8С 15А23

М.Н. Зонов, Е.А. Тимошенко

О СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА1

Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы подкольцо поля рациональных чисел имело единственную стандартную форму (в смысле Кона). Аналогичный критерий получен для факторколец кольца целых чисел.

Ключевые слова: матрица, стандартная форма, полная линейная группа.

В 1966 году Кон опубликовал статью [1], посвящённую (2 х 2)-матрицам, элементы которых принадлежат какому-либо кольцу с единицей. Повышенное внимание к матрицам порядка 2 объяснялось тем, что в строении группы обратимых (п х п)-матриц имеются серьёзные различия между случаями п = 2 и п > 2. В этой статье было установлено, в частности, что при выполнении определённых требований, касающихся единственности представления матриц в стандартной форме, можно многое сказать о свойствах инволюций рассматриваемой группы.

С другой стороны, инволюции служат полезным инструментом при изучении групп автоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения и периодических абелевых групп. В связи с этим важно получить ответ на вопрос, будут ли удовлетворять указанным Коном требованиям подкольца поля рациональных чисел О и факторкольца кольца целых чисел Z.

Всюду ниже Я - ассоциативное кольцо с единицей. Через Щ(Я) будет обозначаться множество всех обратимых элементов этого кольца; через ОЬ2(К) - группа обратимых (2 х 2)-матриц с элементами из Я (хорошо известно, что в случае коммутативного кольца Я группа ОЬ2(К) состоит из матриц, у которых определители принадлежат Щ(Я), см. [2]).

Определение 1 [1]. Пусть С е ОЬ2(К). Будем называть стандартной формой матрицы С всякую запись этой матрицы в виде

где t > 0, удовлетворяющую следующим условиям:

1) а, в е Щ(Я);

2) если 1 < 1 <^ то ai г Щ(Я) и{0};

3) если t = 2, то а! и а2 не могут быть равны 0 одновременно. Введём для удобства обозначения:

1 Работа второго автора выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (госзадание № 1.13557.2019/13.1).

(1)

Пусть Р - множество всех простых чисел. Для всякого множества Ь с Р будем обозначать через О(Ь) подкольцо поля О, порождённое элементом 1 и элементами вида р-1, где р е Ь. Нас интересует случай, когда Я либо является подкольцом в О (т.е. когда Я совпадает с одним из колец О(Ь)), либо имеет вид Z/nZ, где п > 1.

Всякое число а е О(Ь) \{0} может быть единственным образом записано в виде а = и(а)е(а), где и(а) - обратимый элемент кольца О(Ь), а е(а) представляет собой произведение конечного числа сомножителей, взятых из Р \ Ь (возможен случай е(а) = 1). Функция е: О(Ь) \{0} ^ N является евклидовой нормой в том смысле, что для любых а, Ь е О(Ь) \{0} выполнены два условия:

1) если а делится на Ь в кольце О(Ь), то е(а) > е(Ь);

2) найдутся числа q, г е О(Ь) такие, что а = qЬ + г и либо г = 0, либо е(г) < е(Ь).

Если Я = Z/nZ, то введём функцию е: Я\{0} ^ N полагая е(к+nZ) = к для всех

ке{1, 2, ... , п- 1} (при п >2 эта функция уже не будет евклидовой нормой).

Хорошо известно, что следующая операция:

прибавление к /-му столбцу матрицы С её 1-го столбца, домноженного на элемент а, (2)

фактически представляет собой домножение матрицы С справа на матрицу Т/а). Зафиксируем произвольную матрицу С е ОЬ2(Я), где Я - подкольцо поля О либо одно из колец Z/nZ. Среди всех матриц, которые можно получить из С, применяя операции вида (2), выберем матрицу В = (Ь/ со следующими свойствами:

I. Число нулевых элементов в В является максимально возможным.

II. Наименьшее из значений функции е, принимаемых на множестве отличных от 0 элементов матрицы В, является минимально возможным (среди всех матриц, удовлетворяющих условию I).

Предположим, что в матрице В нет нулевых элементов. Пусть Ь/ - тот из элементов этой матрицы, для которого значение е(Ь/) минимально. Найдутся q, г е Я такие, что Ь,3-/ = qЬ/j+г и либо г = 0, либо е(г) < е(Ь/). Если прибавить к (3 -/)-му столбцу матрицы В её /-й столбец, домноженный на то мы получим матрицу, имеющую на пересечении /-й строки и (3 -/)-го столбца элемент г, что, очевидно, противоречит выбору матрицы В.

Предположим теперь, что В содержит ровно один нулевой элемент (пусть это будет Ь/). Так как В е ОЬ2(Я), то Ь3-/,/ е и(Я). Прибавляя к (3 -/)-му столбцу матрицы В её/-й столбец, домноженный на -Ь3-/, 3-/ /Ь3-,/ , придём к матрице с двумя нулевыми элементами, что вновь противоречит выбору В.

Поскольку в В не может быть нулевых столбцов, мы получаем, что матрица В содержит ровно два нулевых элемента, которые могут стоять либо на побочной, либо на главной диагонали. В первом случае В является диагональной матрицей;

во втором случае для некоторых а, р е и(Я) имеем В = ^ а ^ и, значит,

в с: ш я: к

Тем самым показано, что любую матрицу С е ОЬ2(Я) можно превратить в диагональную путём домножения справа на подходящие матрицы вида Т/а). Так как (Т12(а))-1 = Т12(-а) = -7(а)7(0) и (Т21(а))-1 = Т21(-а) = -7(0)7(-а), мы можем сделать вывод, что матрица С имеет вид (1) (пока без ограничений на элементы а/). Далее (см. [1]), из соотношений

0 1V ^ ( а 10 1Ь 1А (а + Ь 1

,=-£,, „ „ , -10) 4-1 0 д-1 0 д-1 0) ^-1 0

а 1 )(а 1V Ь 1 1 = (а-а-1 1 1(а 0 ь-а-1 1 -1 0 Л-1 0 Д-1 0) [ -1 0)[ 0 а-1)( -1 0

а 11(а 0 )=(а-1 01(ааа 1 -1 0)[ 0 а-1 J ^ 0 аД -1 0

(для обратимого элемента а) следует, что для всякой матрицы из ОЬ2(К) найдётся хотя бы одна стандартная форма.

Если Я - произвольное кольцо, то множество всех обладающих хотя бы одной стандартной формой матриц составляет подгруппу группы ОЬ2(Я), обозначаемую через ОЕ2(Я) (см. [1]).

Определение 2 [1]. Будем говорить, что кольцо Я:

- имеет единственную стандартную форму для ОЕ2, если стандартная форма единственна для всякой матрицы С е ОЕ2(Я);

- квазисвободно для ОЕ2, если матрица Е обладает единственной стандартной формой (в которой t = 0 и а = в = 1).

Из определения вытекает, что если кольцо имеет единственную стандартную форму для ОЕ2, то оно квазисвободно для ОЕ2.

Длиной стандартной формы (1) будем называть число t. Выпишем общий вид матриц, обладающих стандартной формой длины 1 или 2:

а 01 У(а ) = (аа1 а1 (а 01 у(а )У(а ) = (аа1а2-а аа1

0 в)У (а1) Ч-в 0) , 10 в1 У (а1)У (а2) = 1 -ва2 -в

Нетрудно показать, что если для матрицы С = (с^) существует стандартная форма длины < 3, то эта стандартная форма восстанавливается однозначно:

- если с22 = 0, то t = 1, а = С12, в = -с21 и а! = а-1сц;

- если с22 Ф 0 и с12 = с21 = 0, то t=0, а = си и в = с22;

- если с22 Ф 0 и хотя бы один из элементов С12 и с21 не равен 0, то t = 2, в = -с22, а2 = (с22)-1с21, а = с12а2 - сп и ах = а-1с12.

Если Я - тело, то Щ(Я) и{0} = Я, а следовательно, стандартная форма в ОЬ2(Я) не может иметь длину > 2. Отсюда с учётом сказанного выше вытекает

Утверждение 3. Все тела имеют единственную стандартную форму для ОЕ2.

Следующий результат (он был установлен в [1] для произвольного дискретно нормированного кольца) для полноты изложения приведём с доказательством.

Теорема 4 [1]. Кольцо целых чисел Z квазисвободно для ОЕ2.

Доказательство. Выше было показано, что никакая матрица не может иметь более одной стандартной формы длины < 3. Предположим, что матрица Е имеет стандартную форму (1), причём t> 3. Очевидно, что тогда числа а2, а3, ... , ам е Z по абсолютной величине не меньше 2.

Введём обозначения 2_\ = 0, 20 = 1, 2,+1 = 2^ а+\ - 2,^. Несложно показать по индукции, что первая строка матрицы У(а1)У(а2)...У(а,) имеет вид (2, 2,^). Докажем индукцией по /', что \2,\ > 2_1|, если 1 < i < t - 1.

При i = 2 нам необходимо показать, что |22|> \2\\, т.е. что \аа- 1| > |а11. Случай а! = 0 очевиден; если же а! Ф 0, то требуемое неравенство следует из соотношений 1 + \а1а2 - 1\ > \а1а2\ > 2\аа \ > 1 + |а11. Допустим теперь, что выполняется неравенство \2,\ > \2i_1 \, где 1 < i < t - 1. Тогда

2/+1| + 12— | = 12/ а+ - Z/-: | + ^ | > |ziа,+1| > 2%\ > + 2,-1 |, откуда получаем 2+1 > |2/|. Индукция завершена.

Так как |а2| > 2, то 22 = а1а2 - 1 Ф 0, а значит, 2м | > ... > |23| > |22| > 0. Таким образом, в правом верхнем углу задаваемой выражением (1) матрицы стоит отличный от 0 элемент а 2^, откуда следует, что эта матрица не равна Е - противоречие.

Итак, матрица Е обладает ровно одной стандартной формой (нулевой длины), что и требовалось. ■

Следующий результат даёт полезное необходимое условие того, чтобы кольцо (не обязательно коммутативное) было квазисвободно для ОЕ2.

Теорема 5. Если кольцо Я квазисвободно для ОЕ2, то для любых необратимых в Я ненулевых элементов Ь и с выполнено Ьс - 1 г ЩЯ).

Доказательство. Допустим, что элемент Ьс - 1 является обратимым, и введём обозначение р = (1 - Ьс)-1. Заметим, что

сЬ • срЬ = с(1 - Р-1)РЬ = с(Р - 1)Ь = сР(1 - р-1)Ь = срЬ • сЬ. Отсюда следует, что произведения (1 - сЬ)(1 + срЬ) и (1 + срЬ)(1 - сЬ) равны выражению 1- сЬ + срЬ - с(Р - 1)Ь = 1, т.е. 1 - сЬ е Щ(Я) и (1 - сЬ)-1 = 1 + срЬ. Убедимся теперь, что справедливо соотношение

1 0 ) Г1 - сЬ 0 ) у (_сР)7 (Ь)Г (с)у (-РЬ). (3)

V 0 1 ^ I 0 р Действительно, имеют место равенства

у(-св)У(Ь)У(с) = |-св 1 )Г Ь 1 )Г с 1

-1 0 д-1 0 ^ V-1 0

-срЬ -1 -св) С с 1 ^С-срЬс - с + ср -срЬ -1 -Ь -1 Д-1 0 у1~С 1 - Ьс -Ь

-сР(1 -р-1) - с + ср -(1 + срЬ)) = Г 0 (сЬ -1)-1

р-1 -ь ) ^Р-1 -ь

а значит, правая часть соотношения (3) равна матрице

V1 Г 0№ ^-Г')^ 0Н0 Ж 0)=Е,

что и требовалось. Если при этом выполнено Ь, с г Щ(Я) и{0}, то запись (3) показывает, что матрица Е обладает стандартной формой длины 4, а это невозможно, так как по условию Я квазисвободно для ОЕ2. ■

Частным случаем теоремы 5 является доказанное в [1] утверждение о том, что не являющееся телом локальное кольцо не может быть квазисвободным для ОЕ2. Справедливо также

Следствие 6. Если кольцо содержит делители нуля, то оно не квазисвободно

для ОЕ2.

Доказательство. В самом деле, если в кольце Я есть элементы Ь, с Ф 0, такие, что выполняется Ьс = 0, то Ь, с г Щ(Я) и Ьс - 1 = -1 е Щ(Я), а следовательно, в силу теоремы 5 кольцо Я не квазисвободно для ОЕ2. ■

Предложение 7. Пусть Я = Z/nZ, где п > 1. Следующие условия эквивалентны:

а) Я имеет единственную стандартную форму для ОЕ2;

б) Я квазисвободно для ОЕ2;

в) п - простое число.

Доказательство. Если n - простое число, то кольцо R является полем и ввиду утверждения 3 имеет единственную стандартную форму для GE2 (откуда следует, что R квазисвободно для GE2).

Если же число n составное, то R содержит делители нуля. Поэтому по следствию 6 кольцо R не квазисвободно для GE2, откуда сразу получаем, что R не имеет единственную стандартную форму для GE2. ■

Теорема 8. 1) Подкольцо поля Q квазисвободно для GE2 тогда и только тогда, когда оно совпадает с Q или с Z.

2) Подкольцо поля Q имеет единственную стандартную форму для GE2 тогда и только тогда, когда оно совпадает с Q.

Доказательство. Из утверждения 3 следует, что поле Q имеет единственную стандартную форму для GE2 и, следовательно, квазисвободно для GE2. Кольцо Z квазисвободно для GE2 (см. теорему 4), но не имеет единственную стандартную форму для GE2, как показывают следующие равенства:

0 0) W(2™ i3, -2iH_2, -2

о °i)-и ¿г»1 -2и-, -,

Остаётся рассмотреть случай R = Q(L), где L Ф 0 и L Ф P. Предположим сначала, что 2 g L, и обозначим через a наименьший элемент множества L. Поскольку для числа c = (a + 1) /2 при всех p е L выполнено 2 < c < a < p, то натуральное число c обладает простым делителем, принадлежащим P \ L. Полагая теперь b = 2, имеем b, c g U(R) u{°} и bc- 1 = a е U(R).

Наконец, допустим, что выполнено 2 е L, и обозначим через a наименьший из элементов множества P \ L. Полагая b = c = a, заметим, что число

2 , ~ ~ a -1 a +1

bc -1 = a2 -1 = 2 • 2----

2 2

представляет собой произведение натуральных чисел, каждое из которых строго меньше a. Отсюда вытекает, что элемент bc - 1 можно разложить в произведение простых сомножителей, принадлежащих L, и, следовательно, bc - 1 е U(R).

В обоих случаях нашлись b, c g U(R) u{°} такие, что выполнено bc - 1 е U(R). Тогда ввиду теоремы 5 кольцо R не квазисвободно для GE2, а значит, R не имеет единственную стандартную форму для GE2. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Cohn P.M.. On the structure of the GL2 of a ring // Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 1966. V. 3°. P. 5-53. DOI: 1°.1°°7/BF°2684355.

2. ГлуховМ.М.,ЕлизаровВ.П,НечаевА.А. Алгебра. Т. 1. М.: Гелиос АРВ, 2003. 336 с.

Статья поступила 05.04.2019 г.

Zonov M.N., Timoshenko E.A. ON THE STANDARD FORM FOR MATRICES OF ORDER TWO. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 59. pp. 5-10

DOI 10.17223/19988621/59/1

Keywords: matrix, standard form, general linear group.

10

M. H. 3OHOB, E.A. TuM0weHH0

We establish a criterion for a subring of the field of rational numbers to have a unique standard form (in the sense of Cohn). A similar criterion is obtained for quotient rings of the ring of integers.

Definition 1. Let R be an associative ring with unit, C e GL2(R) and

where t > 0. Suppose that the following conditions are satisfied:

1) a and p are invertible in R;

2) if 1 < i < t, then at is a nonzero non-invertible element of R;

3) if t=2, then a1 and a2 cannot both be 0.

Then the above representation is said to be a standard form for C.

Definition 2. 1) A ring R is said to have a unique standard form if no matrix C e GL2(R) can be represented by two different standard forms.

2) A ring R is said to be quasi-free if the identity matrix E e GL2(R) does not possess a nontrivial standard form.

Theorem 5. If a ring R is quasi-free, then for every nonzero non-invertible elements b and c of R the element bc - 1 is non-invertible in R.

Theorem 5 enables us to prove Proposition 7 and Theorem 8.

Proposition 7. Let R = Z/nZ, where n > 1. The following conditions are equivalent:

a) R has a unique standard form;

b) R is quasi-free;

c) n is a prime.

Theorem 8. 1) A subring of the field Q is quasi-free if and only if it coincides with Q or with Z. 2) A subring of the field Q has a unique standard form if and only if it coincides with Q.

AMS Mathematical Subject Classification: 15A23

Financial support. The work of the second author was supported by the Ministry of Science and Higher Education of Russia (state assignment No. 1.13557.2019/13.1).

ZONOV Matvey Nikitovich (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: mnzonov@gmail.com

TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru

1. Cohn P.M. (1966) On the structure of the GL2 of a ring. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 30. pp. 5-53. DOI: 10.1007/BF02684355.

2. Glukhov M.M., Elizarov V.P., Nechaev A.A. (2003) Algebra. Vol. 1. Moscow: Gelios ARV (in Russian).

REFERENCES

Received: April 5, 2019