CC BY
62
УДК 511.625
АВТОМОРФИЗМЫ КОЛЕЦ ВЫЧЕТОВ КОЛЕЦ ЦЕЛЫХ КРУГОВЫХ ПОЛЕЙ
А.В. Шпонько1
Изучается структура колец вычетов колец целых круговых полей путем рассмотрения их кольцевых автоморфизмов. Выявлены связи особой подгруппы группы автоморфизмов с системой вложенных подколец кольца вычетов. Среди возникающих подколец выделено особо перспективное для изучения, и найдено множество его необратимых элементов для некоторых нетривиальных случаев.
Ключевые слова: абелевы поля, круговые поля, кольца целых, кольца вычетов, подкольца, автоморфизмы.
2pi
Пусть m - натуральное число. Обозначим через Zm = е m - первообразный корень степени m из единицы. Тогда Q(Zm) называется m -круговым полем. Согласно теореме Кронекера-Вебера всякое абелево поле может быть вложено в круговое, что и обуславливает их важное значение в теории абелевых полей.
Пусть I(Q(Zm)) - его кольцо целых. Известно, что оно состоит из элементов вида
^ m-iaiZlm , где a е Z "i е {1,..., m -1}, то есть I (Q(Zm)) = 4Cm ] . В частности, при m = 4 имеем
кольцо гауссовых целых. Мультипликативная структура этих колец известна лишь частично. В общем случае известны только подгруппы единиц конечного индекса. Поэтому нами изучается
im =1 (Q(Zm (Q(Z )) - кольцо вычетов по модулю p кольца целых кругового поля. В дальнейшем значения p и m полагаются простыми и различными. В отличие от I (Q(zm )) эти кольца конечны, ввиду чего более удобны для изучения.
В [1] была также показана важность исследования колец вычетов абелевых полей (в особенности, круговых полей) для изучения центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп.
В [1, 2] начато исследование мультипликативной структуры колец вычетов кольца целых круговых полей. В частности известно, что
„i p
где f = min{ j > 1| pf ° 1(mod m)} и fg = m —1. Однако, сам изоморфизм не установлен, ввиду чего мы, в общем случае, не знаем порождающих элементов.
Пусть j - произвольный кольцевой автоморфизм im . Тогда образ произвольного элемента
im относительно j можно представить в виде
^ m— 1 Л m— 1
j Y.aC' = £аМСУ .
V i=1 J i=1
Тем самым автоморфизм однозначно определяется его образом j(Z).
Вообще говоря, отображение j: íP ® IfP будет автоморфизмом IfP в том, и только в том
случае, когда j согласовано с кольцевыми операциями, ord(j(Z)) = m и j(Z), j(Z)2,--- j(Z)m—1 линейно независимы.
Автоморфизмы вида j(Z) = £k, где k = {1,...,m — 1} , обозначим как jk . Такие автоморфизмы назовем целыми. Они образуют в Aut(ijp) подгруппу. Обозначим её MAut(ijP).
1 Шпонько Андрей Викторович - аспирант, кафедра алгебры, Южно-Уральский государственный университет.
Шпонько А.В. Автоморфизмы колец вычетов колец
целых круговых полей
Легко показать, что если отображение y: x ^ xr, где x е íP , r е N+ является автоморфизмом, то уе <jp ) с MAut( Ipm). Поэтому подгруппа (jp ) играет особую роль в MAut(im), обозначим её через PAut(im), а лежащие в ней автоморфизмы назовем p -автоморфизмами.
В [3] было доказано, что для произвольной подгруппы A с PAut (íP ) множество устойчивых, относительно её действия, элементов
R( A) = ( x е iPp\"se A s( x) = x)
является подкольцом в ip . Более того, различным подгруппам соответствует различные под-кольца и если выполнено A с B с PAut(ip), то R(PAut(ip)) с R(B) с R(A). Ввиду обозначенных свойств получаем множество подколец, структура вложенности которых в точности соответствует структуре вложенности подгрупп PAut (im) (можно говорить об аналоге соответствия Галуа).
Обозначим для удобства R(PAut(im)) через RPpp и перейдем к его более детальному рассмотрению. Сперва заметим, что RPpp = ^x е im | xp = x^ . Далее, найдем общий вид его элементов,
характеризующим свойством которых является устойчивость к возведению в p -ю степень. Заметим, что
^ р— 1 Лp р—1 р—1
'Laz = Lazr = LaZp,
V i=1 J i=1 i=1
что доказывается идентично аналогичному свойству полей характеристики p . Отсюда следует
p-1
x = L aZ1 x e RPpp ^ "i, k e Zp : j ° kp(mod m) ® aj = ak, i=1
это означает попарное равенство коэффициентов ai для значений i , соответствующих одному смежному классу Zp по {p) . Теперь видно, что RPpp по сложению есть линейное пространство над Zp размерности
g = |< p): Zp Его базис образован элементами
q=L jeZ • (1)
где iе {1,...,g} , а P - смежные классы Zp по <p) . Стоит отметить идентичность данных базисов для значений p сравнимых по модулю m , что обусловливает схожесть строения соответствующих колец вычетов, выявленную ранее в ходе численного эксперимента [2].
Обозначим через f - мощность | PAut(ip )|. Очевидно f =| < p) | в Zp . Отсюда видно, что
f
для произвольного a е ip справедливо ap = a. Откуда, в частности, вытекает отсутствие в ip нильпотентных элементов.
Рассмотрим функцию
pf -1
P(x) = Д s(x) = xx+p+ . +p-1 = x p—1 ,
ssPAut (ip )
ставящую в соответствие всякому элементу из imp произведение всех его образов относительно p-автоморфизмов. Легко убедиться, что P(x) е RPpp для любого x е ip . Также легко показывается, что для любого x е RPpp имеем P(x) = x . Откуда следует, что P: ip ® RPpp является инъективным гомоморфизмом.
Поскольку P может быть сведено к возведению в степень, данное отображение сохраняет обратимость элемента. Обратимому элементу ставится в соответствие обратимый же, а необра-
Математика
тимому - необратимый. Это обуславливает интерес изучения и(РР^) • Ввиду, как правило
меньшей размерности РР^, нежели 1т , его изучение может оказаться проще. Из результатов [1] следует
и(РР,Р) @П‘.1V—1- (2)
однако сам изоморфизм пока, в общем случае, неизвестен, поскольку нет метода нахождения порождающих этих циклических групп.
Рассмотрим тривиальные случаи. При g = 1 имеем кольцо РРР, изоморфное (обычному) кольцу вычетов Хр , строение которого хорошо известно. Если g = т — 1, то Ррр совпадает со всем кольцом 1т .
Для простейшего нетривиального случая g = 2 удалось получить следующие результаты. Теорема 1. Пусть g = 2. в1, в2 - базис РРР вида (1). Тогда таблица умножения базисных элементов имеет вид:
д1 *д1 = —(а + 1)д1 — ад2 в1 *62 =в2 *61 = ав1 + ав2 , в2 *62 = ав1 — (а +1)в2,
т +1
где а е 2р =
4
т —1
-, если т ° 3(mod4)
, если т ° 1(mod 4)
Доказательство. Заметим, что 91 + в2 = Iт=\ =—1. Также найдется уе ЫЛмЦт) такое,
что у(в1) = в2 и у(в2) = в1.
Пусть в1 *62 = ав1 + Ъ62. Однако в1 *62 =в2 *61 = у(в1 *в2) = Ъв1 + ав2 . Откуда Ь = а и, следовательно, в1 *д2 = ав1 + ав2 .
В свою очередь в1 *д1 +в1 *в2 = в1 (в1 +в2) = —в1. Откуда в1 *01 = —в1 — в1 *в2 = = (а + 1)в1 — ав2.
В заключение имеем в2 *02 = у(в1 *в1) = —ав1 — (а + 1)в2 .
Теперь найдем значение а , для чего определим сумму коэффициентов разложения в1 *в1 на базисные элементы, из предшествующих соображений равную —(2а +1).
Поскольку в1 = 2^£Р , то
Т—1 Т—1 Т—1 Т—1
* **=I срХ 2: ср=11 срХ+у.
1=0 ]=0 1=0 ]=0
Отметим, что каждое £Р +Р либо входит в качестве одного из f слагаемых в в1 или в2 (см. формулу (1)), либо в случае р‘ + р] ° 0(modт) дает нам 1 = — (в1 + в2).
В первом случае имеем f2 слагаемых вида £р +Р , каждое из которых входит в разложение вида (1) для в1 либо в2 . Поскольку в1 и в2 состоят каждое из f таких слагаемых, то искомая
Т 2
сумма есть т = Т , откуда находим а .
Второй случай возможен лишь при условии разрешимости уравнения рх 1(mod т), что равносильно четности т1 и соответственно условию т ° 1(mod 4). Причем для заданного 1 су-
Шпонько А.В. Автоморфизмы колец вычетов колец
целых круговых полей
ществует единственное значение у, такое что р‘ + р] ° 0(mod т). Искомая сумма равна
Т2 — Т
—2Т +----—— = — Т — 1, откуда выражаем а . Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть g = 2. Тогда любой элемент х е РРР представим в виде х = а1в1 +а2в2, где а1,а2 е 2р.
х ги (Ррр) о а2 = са1, где с е 2р - один из корней уравнения
—1 2т — 1 _. ,
с + с =-------, если т ° 3(mod4),
т +1
—1 т — 3
с + с = 2-----, если т ° 1(mod4),
т +1
обязанного в этом случае иметь два различных корня.
Доказательство.
Для се 2р справедливо (01 + св2)(в1 + с_102) = в1в1 + (с + с-1) 00 + в2в2 = 2а +1 — (с + с_1)а , где а - из теоремы 1.
Значит в1 + св2 е и (РРР) тогда, и только тогда, когда 2а +1 — (с + с-1 )а Ф 0, что дает нам утверждение теоремы для элементов данного вида. Элементы вида й01 + кд2, где к Ф 0 л й Ф 0,
можно свести к рассмотренному случаю домножением на й_1, что никак не влияет на обратимость.
Обратимость остальных ненулевых элементов РРтР легко получить из теоремы 1. Из (2) следует наличие РРР ровно 2р — 1 необратимых элемента, откуда получаем необходимость существования корней у уравнения 2а +1 — (с + с-1 )а = 0 . Теорема доказана.
Таким образом, довольно подробно исследован случай, когда размерность g = 2 . В настоящее время исследуются случаи большего значения g . Однако в силу того, что будут возникать уравнения более высоких степеней весьма проблематично найти такие же подробные описания колец РРт для больших значений размерности g .
Теперь рассмотрим в качестве иллюстрации подкольца элементов устойчивых к р -автоморфизмам кольца вычетов 13-кругового поля по модулю р = 41. Заметим, что 41 ° 2(mod13), а 2 - есть первообразный корень по модулю 13 . Соответственно g = 1 дает нам
РР1431 @ 2 41 и РЛи (141) = МЛи (14з).
Перейдем к подгруппе 2 > = <^4 > с РЛи(1т). Имеем | (р4 : РЛи(1т )|= 2, а, значит, соответствующие подкольцо Р((^4 >) по сложению будет линейным пространством размерности 2 над 241. Его базисными элементами являются в1 = ^143 + £13 + £13 + + £13 + £13 и
02 =^123 +£о + Аб? + £11 + Й + £13.
Единственным подкольцом размерности 3 , которое можно получить при помощи приведенных выше методов, будет Р((^8 >) = (х е 11431 | х8 = х> . Его базисными элементами вида (1) будут
01 = £8 + £12 +Аз +£13, ^2 = Й + Й + АУ + £130 и ^3 =^143 + Аб3 + С9 +^173. Попарно их перемножая, построим таблицу умножения:
01 *0 = —40 — 302 — 203,
01 * 02 =01 + 202 + 03 ,
01 *03 = 201 +02 + 03 ,
02 * 02 = —201 — 402 — 303 ,
02 * 03 =01 +02 + 203 ,
Математика
q3 * q3 = 3qi 2q2 4q3 ,
откуда видно наличие автоморфизмов подкольца y : 91 ® $2 ® $3 ® д1 и y2:01 ®д3 ® в2 ® в1.
Нерассмотренными остались еще два собственных подкольца R((j^ )) = R(j3 )) и R«j4i6 )) = R((j2)) размерностей 4 и 6 соответственно. Найденные подкольца образуют следующую структуру вложенности:
RPif с R(j )) с R(j )) с I*1,
Rpf с R« j )) с R(< j2 )) с I]4,1 ,
RP141 с R« j )) с R« j )) с I41, что находится в полном соответствии с вложенностью соответствующих подгрупп PAut(I1431 ) .
Литература
1. Алеев, Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Р.Ж. Алеев. - Челябинск, 2002. - 354 с.
2. Шпонько, А.В. Порядки элемента в группах вычетов колец целых абелевых полей / А.В. Шпонько // Проблемы теоретической и прикладной математики: труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург, 2009. - С. 72-75.
3. Шпонько, А.В. Подкольца колец вычетов целых круговых полей / А.В. Шпонько // Проблемы теоретической и прикладной математики: труды 42-й Всероссийской молодежной конфе-
ренции. - Екатеринбург, 2011. - С. 256.
Поступила в редакцию 13 июля 2011 г.
AUTOMORPHISMS OF RESIDUE RINGS OF INTEGER RINGS OF CIRCULAR FIELDS
A.V. Shponko1
The authors research the structure of residue rings of integer rings of circular fields by analyzing their ring automorphisms. The connections between a special subgroup of the automorphism group and the system of the inserted subrings of the residue rings are found. Among the occurring subrings the authors found a very prospective one for further research as well as a multitude of its noninvertible elements for some nontrivial cases.
Keywords: Abelian fields, circular fields, integer rings, residue rings, subrings, automorphisms.
References
1. Aleev R.Zh. Central'nye edinicy celochislennykh gruppovykh kolec konechnykh grupp: dis. d-ra. fiz.-mat. nauk (The central units of integral group rings of finite groups: Thesis of Doctor of Physical and Mathematical Sciences). Cheljabinsk, 2002. 354 p.
2. Shponko A.V. Porjadki ehlementa v gruppakh vychetov kolec celykh abelevykh polejj (The orders of elements in groups of residue rings of Abelian fields). Problemy teoreticheskojj i prikladnojj matematiki: Trudy 40-jj Vserossijjskojj molodezhnojj konferencii (Proc. of the 40th All-Russian Youth Conference “Problems of Theoretical and Applied Mathematics”). Ekaterinburg, 2009. pp. 72-75. (in Russ).
3. Shponko A.V. Podkol'ca kolec vychetov celykh krugovykh polejj (Subring of residue rings of integers of cyclotomic fields) // Problemy teoreticheskojj i prikladnojj matematiki: Trudy 42-jj Vserossijjskojj molodezhnojj konferencii (Proc. of the 42th All-Russian Youth Conference “Problems of Theoretical and Applied Mathematics”). Ekaterinburg, 2011. p. 256. (in Russ.).
1 Shponko Andrey Victorovich is Post-graduate Student, Algebra Department, South Ural State University.
