Научная статья на тему 'Цифровое управление при системных неопределенностях на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка'

Цифровое управление при системных неопределенностях на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка Текст научной статьи по специальности «Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук»

52
15
Поделиться

Похожие темы научных работ по общим и комплексным проблемам естественных и точных наук , автор научной работы — Кравченко П.П.,

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Цифровое управление при системных неопределенностях на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка»

УДК 681.51

ПЛ. Кравченко

ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СИСТЕМНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

В работе рассматриваются особенности применения оптимизированных Д-преобразований второго порядка для решения задач синтеза алгоритмов цифрового автоматического управления :

♦ для линейных и нелинейных стационарных и нестационарных (с численно определенными переменными во времени параметрами) объектов при неизме-ряемых возмущающих воздействиях;

♦ для объектов с параметрической и частичной структурной неопределенностями.

Применение предлагаемой методологии для линейных и нелинейных нестационарных объектов характеризуется новыми важными для практического использования комплексными возможностями, в значительной мере раскрытыми в [1]: ( ); для линейных и нелинейных объектов; обеспечение асимптотической устойчиво-

* • 1

сти; быстродействие (при ограничениях в виде значений параметров с у, у = 1, п), соответствующее оптимальному быстродействию эквивалентной системы с объек-

,

;

на основе единого алгоритма; получение гарантированных показателей качества ( , ) -сутствии или слабом проявлении внешних возмущающих воздействий; оптимизация по точности с адаптацией к произвольным по характеру изменения ограниченным (неконтролируемым) возмущающим воздействиям, квазиоптимальное соотношение между точностью, быстродействием и внешними возмущающими воздействиями; использование для управления измеряемой ошибки (без производных ); , -ченные нестационарные параметры; простота синтеза, расчета параметров и представления самих алгоритмов управления; приспособленность теории и алгоритмов , ; проведение синтеза алгоритмов управления на основе исходных (реадьных) урав-; -ствиями; использование для широкого круга объектов и некоторые другие.

Развитие отмеченной выше методологии позволило эффективно решать некоторые задачи синтеза алгоритмов управления для систем со структурной и параметрической неопределенностями. В частности, в рамках данной статьи показана возможность организации цифрового управления с гарантированными показателями качества для объекта с частичной структурной неопределенностью, представлена алгоритмически простая методика синтеза алгоритмов управления для систем с параметрической и частичной структурной неопределенностями, обращено внимание на помехоустойчивость системы (способность обеспечивать достаточные

),

возможность обеспечения определенного уровня помехоустойчивости путем варьирования одним из коэффициентов алгоритма управления.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Синтез алгоритмов цифрового управления для линейных и нелинейных нестационарных объектов при неконтролируемых возмущающих воздействиях. Будем рассматривать объекты управления, исходные (реадьные) уравнения движения которых описывают управляемый процесс (по крайней мере для ограниченных областей изменения управляющих воздействий и координат состояния) и могут быть приведены для /'-го шага к следующему виду:

& Лг)=Фу(РДг); хк/() хкг(); х ы{г );иш{* )г)-);)'=1 п; к = 1, п; г е [^г, ], / = 1,2, к,

где х/ (г), X/ (г), Х]-/ (г) - значения у-ой координаты состояния объекта и ее производных на /-ом шаге; Рк/ (г) - множества конечной размерности известных стационарных или в общем случае нестационарных параметров; ик(г) - управляющие воздействия; Оу/(г) - неизвестные (неконтролируемые) приведенные внешние возмущающие воздействия; Ху0 = Ху (г = го);х у о =х у (г = г0 ) - -

ния координат состояния.

Вводим в рассмотрение задающие воздействия у-мдуУ) и оцениваем ошибку управления 2у/(г)=ху/(г)-уМ).у/(г); г у, (г), гу/ (г), г/ (г) - значения у-ой координаты

ошибки и ее производных.

Если хотя бы в какой-нибудь момент времени г координаты состояния принимают значения Х}1 (г) = узад}1 (гX хл (г) = узад.}1 (г), х}1 (г) = узад }1 (г), то

для этого момента управляющие воздействия иу-(г) и возмущающие воздействия Оу,(г) можно принять равными нулю, и уравнения движения (1) записать в виде:

у^.Р (г)=Фу {рр (г); у^м (г); К™ (г); у&^>м(г )г )у=1, п;

___ (2)

к = 1,п; ге[ггч;гг ], /= 1,2,к

(1) (2) , -

мое для последующего использования:

(г )=фу (р (г) хк,(г) хы(г); хк,(г \иы (г );г )--Ф; (г)УшдМ (г)КдМ (г);КсШ (г)г)-С]г (г); (3)

у = 1,п; к = 1,п; гч; г,]/ = 1,2,...

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Обозначим

У/ (г) = ф, р (г); хы (г)х ы (г)х к, (г );иш (г);г )-

- фур (г) Ром (г) Ком (г)у ^м (г)г) (4

у = 1,п; к = 1,п; ге [-1;г,], /= 1,2,к

и, предполагая численную определенность Уу {г), в дальнейшем считаем, что для рассматриваемых управляемых процессов (1), (3), по крайней мере, в ограничен-

ных областях существует и единственно решение системы уравнений (4) относительно и у, (г), у=1,п, ге [г/-1; г], /=1,2,...

Теперь система (3) принимает вид

г у/(г) = &(г) - (г );у =1, п;к =1, п;г е [гм;г,] (5)

и по уравнениям ]=1,п совпадает с формой представления исходного дифференциального уравнения дельта-преобразований второго порядка, для которого определены двоичные и троичные алгоритмы оптимизированных по быстродействию и

, , -ей к произвольным неконтролируемым внешним возмущениям и некоторые другие теоретические и рекомендательные для практического использования результаты [1,2].

Следующий этап решения данной задачи синтеза связан с определением для (/'+1)-го шага управляющих воздействий и,«(О, ге[г; г+1] на основе (4). Вводим запись (4) для (/'+1)-го шага и определяем (в общем случае в неявном виде):

и ,.. () = Фт{р л );x,I+i); xk,I+i);*k,,+);yMd.k(t);

j,i+1 J V k,t+1

y]at,k,<+i); ymi,k,<+i); и te [tt, tM]; j = in; k = Ы

k,i+1 J

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(6)

Для реального обеспечения теоретического значения Y j i+i (t) = const на

(i+i)-OM шаге необходимо определять такие Ц-.т(() в каждый момент времени te [t; ti+i], чтобы было выполнено указанное условие. Практически для цифрового управления нужно говорить о разбиении при необходимости шага Vt, т.е. [t; ti+i], на такое количество r более мелких шагов Vt (Vt=r-Vr, t=Vt J t+i,a= ti+VTJ J=0,i,2,...,r), при котором влияние изменяющихся в правой части (6) переменных оказывается достаточно слабым (в частном случае возможно r=i). Влияние остаточных возможных реальных отклонений Y у i+i а (t) , te [t; ti+i] от требуемого значения можно рассматривать как дополнительные приведенные к внешним возмущающие воздействия в (5) и соответственно в (i). Значения координат xki+i(t) и ее

(6) -

гнозирующих формул расчета, приведенных в [i].

Теперь для управляющих воздействий (6) можно записать:

U у, i+i, J Фу Р k ,i+i,J ; Х k i+i, J ; X k ,i+i, J ; Xk i+i, J ;У jad.k ,i+i,j ; У lad.k ,i+i,j ; У xiii.k i+i, J ;U k i+i, J ;Y k ,i+i; Vt (7)

j = i,n; k = i,n; j = i,r. J

Для разрешаемых относительно Uy,m(t) (U,;i+i o) уравнений могут применяться

; - -

. , ( -ные) параметры Pk ,i+i,j входят в правую вычисляемую часть (7).

Решение задачи адаптивной оптимизации по точности в условиях действия неиз-меряемых произвольных по характеру изменения возмущающих воздействий базируется на исследовании точностных характеристик Д-преобразования при наихудших воз-

*

действиях и определении на основе минимаксного критерия значений параметров cjs,

которые обеспечивают минимум среднему по модулю значению ошибки на определенных интервалах изменения независимой переменной г [1].

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Уравнения (5) по своей структуре являются линейными второго порядка. При использовании алгоритмов Д-преобразований, отсутствии ограничений на управляющие воздействия и координаты состояния, отсутствии постоянно действующих внешних возмущающих воздействий и при однозначной определенности для всего

фазового пространства значений У у/ траектории движения описывают оптимальный по быстродействию процесс, для которого гарантируется не только ограни,

пространства в начало координат (даительность определяется, в частности, значе-

). -тельность переходных процессов также ограничена. Такие линейные системы характеризуются асимптотической устойчивостью в целом. Рассматриваемая существенно более общая задача (3) связана с (5) через соотношения (4) или (6), (7). В связи с реализацией этих соотношений, в которых должны при необходимости учитываться ограничения на управляющие воздействия, координаты состояния, существование и единственность решения относительно управляющего воздейст-( ), -( ), -ва асимптотической устойчивости уравнений (5) сохраняются и для уравнений (3), (1). -ных уравнений движения может представлять собой существенную проблему. В этом случае при необходимости эффективным инструментом для выбора параметров с*у, у = 1,п ,Уг с учетом ограничений и определения области асимптотической

устойчивости (области управляемости) в фазовом пространстве является моделирование на ЭВМ.

В целом сущность рассмотренной методологии синтеза алгоритмов управления состоит в том, что формируется процесс управления, эквивалентный процессу - ( -действию и точности цифрового управления объектом, описание которого включает последовательность двух интегрирующих звеньев). Интересной особенностью

- , , , различных объектов имеют место фактически шаблонные характеристики для областей асимптотической устойчивости, качественные оценки и рекомендации, которые могут быть априорно использованы при синтезе цифровой системы. При этом базовыми являются, например, простейшие соотношения для оценки гарантированных значений показателей качества при отсутствии (или слабом влиянии)

внешних возмущений И постоянстве (или медленном изменении) с у :

♦ количество шагов переходного процесса (2 у (г0 ) = 0):

♦ длительность пе реходного процесса:

т ~ I Уг- (9)

3,пер },пер ’ ' '

♦ ( ):

, ч *

2 у (г) <« с у. (10)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Синтез алгоритмов цифрового управления для объектов с частичной структурной неопределенностью. Будем рассматривать объекты управления,

( 1,

по крайней мере для ограниченных областей изменения управляющих воздействий и координат состояния) и могут быть приведены для /'-го шага к следующему виду:

(г) = Рур (г); хш,(г); (г); хк,(гг)- Ру(р (г); у™^ (г); (г); у■„<>*(г);г)+а1)

+ ил(г)/Рл(г) -(г); у = 1,п; к = 1,п; ге [-1;г1 ], / = 1,2,...,

где в дополнение к (3) введены переменные (нестационарные) параметры рДО, которые меняются медленно по сравнению с возможным изменением координат состояния по крайней мере на протяженных интервалах времени.

Обозначим

(г)=Ру((г); г(г); хш(г); хы(г);г)- р ((г); (ш(г); уш,ш(г); Кош(г);г)+(12) + и/ (г)/ р^ (г); у' = 1, и; к = 1, и; г е [гм; г, ], / = 1,2,...

и, предполагая, как и в разделе 1, численную определенность У у, (г), считаем, что

для рассматриваемых процессов (11), по крайней мере, в ограниченных областях

(12) -

сительно иу/(г), у=1,п, ге [г/-1; г], /=1,2,....

(12)

2 у,(г) = У у,(г) - Су,(гХу' =1 п; к =1, п;г е [гм;г, ]

и по уравнениям ]=1,п совпадает с формой представления исходного дифференциального уравнения дельта-преобразований второго порядка.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Вводим запись уравнений (12) для (/+1)-го шага и определяем:

и ]/1+1 (г)=у - Ру ( (г); г(г);х к,(г); хш(г);г)+

+ Ру((г) у*>дм(г)у зад.ш(г);у задшХг)г ))ру,,+1(г ); г е [г,, г г +1]; у = 1,п; к = 1,п

(13)

, (13)

\ру (1(г) г(г); хш(г); хь-(г);г )) (((г); у ((г);у «*>.«(г);у «й.*,- (г);г) ^ );

г е [г,, г,+1]; у = 1,п; к = 1,п.

*

Выбираем значение с у, приближенно соответствующее требуемой точности

*

управления в установившемся процессе (с у «> Ц у , ц - требуемый уровень ошибки управления при отсутствии или слабом проявлении внешних возмущающих ). ,

уу = с у/ уг \

выбираем такое значение шага дискретизации У г, чтобы выполнялось соотноше-:

>« 4Б,. (15)

Последнее выражение базируется на условии обеспечения оптимизированных соотношений между модулем кванта модуляции и наихудшими возмущающими [1].

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

, (13) -

вия можно ослабить требования к точности представления правой части и даже пренебречь ее функциональной составляющей. Остановимся на предельном случае упрощения, и теперь (13) можем представить в виде

и у,ж = У у,+1р],,+!(г); у =1,п; к =1,п. (16)

Неучтенная в (16) составляющая уравнений движения перешла в приведенные (неизмеряемые) внешние возмущающие воздействия Су(г) (11). Таким обра-, -

мов управления при существенной структурной неопределенности с обеспечением достаточных качественных характеристик (характеристики соответствуют примерно (8)^(10)). С более точными характеристиками при наихудших воздействиях можно ознакомиться в [1]. Бу -

зательным знание описания функции Ру(...). Кроме того, это значение может

( ). -

Бу

*

можно организовать адаптивный режим автоматического определения с у (по необходимости в сочетании с подбором У г) [1]. Обращаем внимание на то, что в пра-

(16) -, -ния на основе экстраполяционных соотношений. Проблемы применения рассмотренной методики синтеза могут возникнуть при наличии ограничений на управ, -рительных качественных характеристиках процессов управления.

Синтез алгоритмов цифрового управления для объектов с параметрической и частичной структурной неопределенностями. В качестве исходных уравнений движения будем рассматривать (11) при у=1. Далее индекс уопускаем из рассмотрения. Принимаем, также, в рамках данного рассмотрения уш)л=0; ,=0,1,2,_ (в более общем случае можно рассматривать переменное задающее воздействие Узой.^0; ,=0,1,2,_).

Предположим далее, что в уравнениях движения (11) параметр рте [р"^рв] (р - , р - ) -ственно большого диапазона числовых значений (рв>>р") и применение предложенной в разделе 2 методики оказывается невозможным. В то же время на рассматриваемых интервалах управления это значение остается постоянным (данное

).

р=р(г).

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Предполагаем, что для всех возможных значений параметров в (11) выполняются условия (14), (15) и тогда выражение (16) для управляющего воздействия запишем в виде

U

i+1

где Ь3 - переменная, конечное значение которой должно быть идентифицировано достаточно близко действующему в (11) параметру р, s - номер интервала идентификации.

Ниже рассматривается простейший алгоритм одного варианта решения зада-

( ). -ганизации процессов идентификации и адаптивного управления: а) Идентификация. Принимаем

Ь0 ^ РН , Узад.^е.ш,,, = ^ 1 = 0, ^

)

идеи т.

0, і

идеит.

Формирование Ь5 ~р осуществляется в процессе пошагового выполнения действий в соответствии с двоичным алгоритмом дельта-преобразований и следующим алгоритмом формирования значения Ь5 начальные значения і=0, й=1, 5=1):

і := і + 1;

Z сум ■ ■■\Zп |’ SZ СУМ \Zi

П=d п=d

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

если і - d + 1 = q, то Z SZ

Z p = °ум p _ °ум

F\ =

если то

'і-1 P

q

sign

’ Ср q

f Zi,

ср * H ’ F 2

V С0 J

■ Sign

SZ

-Г- - h

V C° J

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

F1s > 0 или F2 s < 0,

bs+1 = bs (1 + Q1s)’s := s + 1’d :=i + 1

иначе Ь5+і = Ь5; 5 := ^ ^„й, =і.

) .

Узад.і = 0; і = іидент. + 1, іидент. + 2, іидент. + 3,... .

■■X,.

Ошибка управления определяется в виде

У зад л

Используется двоичный алгоритм дельта-преобразования и адаптации к не-

*

измеряемым возмущающим воздействиям (Со - начальное значение).

В процессе выполнения первого этапа формируется вынужденное движение в направлении, параллельном оси ординат. При малых значениях Ь по сравнению с р формируются управляющие воздействия, которые не обеспечивают перемеще-

z

, р ,

поинтервальное (дшагов) нарастание значения Ь; на небольшую относительно единицы величину, определяемую Q1s ((21;, - переменная, а в частном случае постоянная величина). Нарастание Ь; выполняется до тех пор, когда под действием собственных управляющих воздействий при знакопеременном характере знаков квантов двоичной модуляции объект начинает "двигаться по ухабам". В качестве признаков соответствия этого движения идентифицированному используется граничное условие Н для оптимального соотношения в установившемся процессе между средней по модулю ошибкой управления и заложенным теоретическим зна-

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

*

чением Со [1], а также граничное условие к для выявления достаточно больших

соответствующих квантам модуляции в установившемся процессе (знакоперемен-) .

На втором этапе вводится истинное задающее воздействие и реализуется адаптивный алгоритм управления.

Заключение. В данной работе рассмотрена новая методология синтеза алгоритмов цифрового автоматического управления, представляющая важные для практического использования широкие возможности эффективного проектирования систем с линейными и нелинейными стационарными и нестационарными объ-, , частичной структурной неопределенностями в описании объектов. Проведенные эксперименты с использованием программных моделей систем управления подтвердили справедливость приводимых в статье результатов.

*

Возможности оперативного изменения параметров квантов модуляции (С, и

V/) представляют основу для развития логических (интеллектуальных) методов формирования определенных качественных характеристик в процессе проектирования и собственно управления (ускорение процесса идентификации; приспособление процесса идентификации к специфике конкретных технических требований; управление помехоустойчивостью системы и формирование требований к цифро; ; управление потребляемой энергией, решение вопросов ее минимизации, в частности, по каналу управляющего воздействия и т.п.).

ЛИТЕРАТУРА

1. Кравченко ПЛ. Основы теории оптимизироваииых дельта-преобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации. - Таганрог: изд-во ТРТУ, 1997. - 200 с.

2. Крав ченко ПЛ. Высокопроизводительные алгоритмы дельта-модуляции, оптимизированной по быстродействию и точности // Электросвязь. - 1989. - Вып. 9. - С. 44-47.