CC BY
55
УДК 681.51
ПЛ. Кравченко
ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ СИСТЕМНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯХ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В работе рассматриваются особенности применения оптимизированных Д-преобразований второго порядка для решения задач синтеза алгоритмов цифрового автоматического управления :
♦ для линейных и нелинейных стационарных и нестационарных (с численно определенными переменными во времени параметрами) объектов при неизме-ряемых возмущающих воздействиях;
♦ для объектов с параметрической и частичной структурной неопределенностями.
Применение предлагаемой методологии для линейных и нелинейных нестационарных объектов характеризуется новыми важными для практического использования комплексными возможностями, в значительной мере раскрытыми в [1]: ( ); для линейных и нелинейных объектов; обеспечение асимптотической устойчиво-
* • 1
сти; быстродействие (при ограничениях в виде значений параметров с у, у = 1, п), соответствующее оптимальному быстродействию эквивалентной системы с объек-
,
;
на основе единого алгоритма; получение гарантированных показателей качества ( , ) -сутствии или слабом проявлении внешних возмущающих воздействий; оптимизация по точности с адаптацией к произвольным по характеру изменения ограниченным (неконтролируемым) возмущающим воздействиям, квазиоптимальное соотношение между точностью, быстродействием и внешними возмущающими воздействиями; использование для управления измеряемой ошибки (без производных ); , -ченные нестационарные параметры; простота синтеза, расчета параметров и представления самих алгоритмов управления; приспособленность теории и алгоритмов , ; проведение синтеза алгоритмов управления на основе исходных (реадьных) урав-; -ствиями; использование для широкого круга объектов и некоторые другие.
Развитие отмеченной выше методологии позволило эффективно решать некоторые задачи синтеза алгоритмов управления для систем со структурной и параметрической неопределенностями. В частности, в рамках данной статьи показана возможность организации цифрового управления с гарантированными показателями качества для объекта с частичной структурной неопределенностью, представлена алгоритмически простая методика синтеза алгоритмов управления для систем с параметрической и частичной структурной неопределенностями, обращено внимание на помехоустойчивость системы (способность обеспечивать достаточные
),
возможность обеспечения определенного уровня помехоустойчивости путем варьирования одним из коэффициентов алгоритма управления.
Синтез алгоритмов цифрового управления для линейных и нелинейных нестационарных объектов при неконтролируемых возмущающих воздействиях. Будем рассматривать объекты управления, исходные (реадьные) уравнения движения которых описывают управляемый процесс (по крайней мере для ограниченных областей изменения управляющих воздействий и координат состояния) и могут быть приведены для /'-го шага к следующему виду:
& Лг)=Фу(РДг); хк/() хкг(); х ы{г );иш{* )г)-);)'=1 п; к = 1, п; г е [^г, ], / = 1,2, к,
где х/ (г), X/ (г), Х]-/ (г) - значения у-ой координаты состояния объекта и ее производных на /-ом шаге; Рк/ (г) - множества конечной размерности известных стационарных или в общем случае нестационарных параметров; ик(г) - управляющие воздействия; Оу/(г) - неизвестные (неконтролируемые) приведенные внешние возмущающие воздействия; Ху0 = Ху (г = го);х у о =х у (г = г0 ) - -
ния координат состояния.
Вводим в рассмотрение задающие воздействия у-мдуУ) и оцениваем ошибку управления 2у/(г)=ху/(г)-уМ).у/(г); г у, (г), гу/ (г), г/ (г) - значения у-ой координаты
ошибки и ее производных.
Если хотя бы в какой-нибудь момент времени г координаты состояния принимают значения Х}1 (г) = узад}1 (гX хл (г) = узад.}1 (г), х}1 (г) = узад }1 (г), то
для этого момента управляющие воздействия иу-(г) и возмущающие воздействия Оу,(г) можно принять равными нулю, и уравнения движения (1) записать в виде:
у^.Р (г)=Фу {рр (г); у^м (г); К™ (г); у&^>м(г )г )у=1, п;
___ (2)
к = 1,п; ге[ггч;гг ], /= 1,2,к
(1) (2) , -
мое для последующего использования:
(г )=фу (р (г) хк,(г) хы(г); хк,(г \иы (г );г )--Ф; (г)УшдМ (г)КдМ (г);КсШ (г)г)-С]г (г); (3)
у = 1,п; к = 1,п; гч; г,]/ = 1,2,...
Обозначим
У/ (г) = ф, р (г); хы (г)х ы (г)х к, (г );иш (г);г )-
- фур (г) Ром (г) Ком (г)у ^м (г)г) (4
у = 1,п; к = 1,п; ге [-1;г,], /= 1,2,к
и, предполагая численную определенность Уу {г), в дальнейшем считаем, что для рассматриваемых управляемых процессов (1), (3), по крайней мере, в ограничен-
ных областях существует и единственно решение системы уравнений (4) относительно и у, (г), у=1,п, ге [г/-1; г], /=1,2,...
Теперь система (3) принимает вид
г у/(г) = &(г) - (г );у =1, п;к =1, п;г е [гм;г,] (5)
и по уравнениям ]=1,п совпадает с формой представления исходного дифференциального уравнения дельта-преобразований второго порядка, для которого определены двоичные и троичные алгоритмы оптимизированных по быстродействию и
, , -ей к произвольным неконтролируемым внешним возмущениям и некоторые другие теоретические и рекомендательные для практического использования результаты [1,2].
Следующий этап решения данной задачи синтеза связан с определением для (/'+1)-го шага управляющих воздействий и,«(О, ге[г; г+1] на основе (4). Вводим запись (4) для (/'+1)-го шага и определяем (в общем случае в неявном виде):
и ,.. () = Фт{р л );x,I+i); xk,I+i);*k,,+);yMd.k(t);
j,i+1 J V k,t+1
y]at,k,<+i); ymi,k,<+i); и te [tt, tM]; j = in; k = Ы
k,i+1 J
(6)
Для реального обеспечения теоретического значения Y j i+i (t) = const на
(i+i)-OM шаге необходимо определять такие Ц-.т(() в каждый момент времени te [t; ti+i], чтобы было выполнено указанное условие. Практически для цифрового управления нужно говорить о разбиении при необходимости шага Vt, т.е. [t; ti+i], на такое количество r более мелких шагов Vt (Vt=r-Vr, t=Vt J t+i,a= ti+VTJ J=0,i,2,...,r), при котором влияние изменяющихся в правой части (6) переменных оказывается достаточно слабым (в частном случае возможно r=i). Влияние остаточных возможных реальных отклонений Y у i+i а (t) , te [t; ti+i] от требуемого значения можно рассматривать как дополнительные приведенные к внешним возмущающие воздействия в (5) и соответственно в (i). Значения координат xki+i(t) и ее
(6) -
гнозирующих формул расчета, приведенных в [i].
Теперь для управляющих воздействий (6) можно записать:
U у, i+i, J Фу Р k ,i+i,J ; Х k i+i, J ; X k ,i+i, J ; Xk i+i, J ;У jad.k ,i+i,j ; У lad.k ,i+i,j ; У xiii.k i+i, J ;U k i+i, J ;Y k ,i+i; Vt (7)
j = i,n; k = i,n; j = i,r. J
Для разрешаемых относительно Uy,m(t) (U,;i+i o) уравнений могут применяться
; - -
. , ( -ные) параметры Pk ,i+i,j входят в правую вычисляемую часть (7).
Решение задачи адаптивной оптимизации по точности в условиях действия неиз-меряемых произвольных по характеру изменения возмущающих воздействий базируется на исследовании точностных характеристик Д-преобразования при наихудших воз-
*
действиях и определении на основе минимаксного критерия значений параметров cjs,
которые обеспечивают минимум среднему по модулю значению ошибки на определенных интервалах изменения независимой переменной г [1].
Уравнения (5) по своей структуре являются линейными второго порядка. При использовании алгоритмов Д-преобразований, отсутствии ограничений на управляющие воздействия и координаты состояния, отсутствии постоянно действующих внешних возмущающих воздействий и при однозначной определенности для всего
фазового пространства значений У у/ траектории движения описывают оптимальный по быстродействию процесс, для которого гарантируется не только ограни,
пространства в начало координат (даительность определяется, в частности, значе-
). -тельность переходных процессов также ограничена. Такие линейные системы характеризуются асимптотической устойчивостью в целом. Рассматриваемая существенно более общая задача (3) связана с (5) через соотношения (4) или (6), (7). В связи с реализацией этих соотношений, в которых должны при необходимости учитываться ограничения на управляющие воздействия, координаты состояния, существование и единственность решения относительно управляющего воздейст-( ), -( ), -ва асимптотической устойчивости уравнений (5) сохраняются и для уравнений (3), (1). -ных уравнений движения может представлять собой существенную проблему. В этом случае при необходимости эффективным инструментом для выбора параметров с*у, у = 1,п ,Уг с учетом ограничений и определения области асимптотической
устойчивости (области управляемости) в фазовом пространстве является моделирование на ЭВМ.
В целом сущность рассмотренной методологии синтеза алгоритмов управления состоит в том, что формируется процесс управления, эквивалентный процессу - ( -действию и точности цифрового управления объектом, описание которого включает последовательность двух интегрирующих звеньев). Интересной особенностью
- , , , различных объектов имеют место фактически шаблонные характеристики для областей асимптотической устойчивости, качественные оценки и рекомендации, которые могут быть априорно использованы при синтезе цифровой системы. При этом базовыми являются, например, простейшие соотношения для оценки гарантированных значений показателей качества при отсутствии (или слабом влиянии)
внешних возмущений И постоянстве (или медленном изменении) с у :
♦ количество шагов переходного процесса (2 у (г0 ) = 0):
♦ длительность пе реходного процесса:
т ~ I Уг- (9)
3,пер },пер ’ ' '
♦ ( ):
, ч *
2 у (г) <« с у. (10)
Синтез алгоритмов цифрового управления для объектов с частичной структурной неопределенностью. Будем рассматривать объекты управления,
( 1,
по крайней мере для ограниченных областей изменения управляющих воздействий и координат состояния) и могут быть приведены для /'-го шага к следующему виду:
(г) = Рур (г); хш,(г); (г); хк,(гг)- Ру(р (г); у™^ (г); (г); у■„<>*(г);г)+а1)
+ ил(г)/Рл(г) -(г); у = 1,п; к = 1,п; ге [-1;г1 ], / = 1,2,...,
где в дополнение к (3) введены переменные (нестационарные) параметры рДО, которые меняются медленно по сравнению с возможным изменением координат состояния по крайней мере на протяженных интервалах времени.
Обозначим
(г)=Ру((г); г(г); хш(г); хы(г);г)- р ((г); (ш(г); уш,ш(г); Кош(г);г)+(12) + и/ (г)/ р^ (г); у' = 1, и; к = 1, и; г е [гм; г, ], / = 1,2,...
и, предполагая, как и в разделе 1, численную определенность У у, (г), считаем, что
для рассматриваемых процессов (11), по крайней мере, в ограниченных областях
(12) -
сительно иу/(г), у=1,п, ге [г/-1; г], /=1,2,....
(12)
2 у,(г) = У у,(г) - Су,(гХу' =1 п; к =1, п;г е [гм;г, ]
и по уравнениям ]=1,п совпадает с формой представления исходного дифференциального уравнения дельта-преобразований второго порядка.
Вводим запись уравнений (12) для (/+1)-го шага и определяем:
и ]/1+1 (г)=у - Ру ( (г); г(г);х к,(г); хш(г);г)+
+ Ру((г) у*>дм(г)у зад.ш(г);у задшХг)г ))ру,,+1(г ); г е [г,, г г +1]; у = 1,п; к = 1,п
(13)
, (13)
\ру (1(г) г(г); хш(г); хь-(г);г )) (((г); у ((г);у «*>.«(г);у «й.*,- (г);г) ^ );
г е [г,, г,+1]; у = 1,п; к = 1,п.
*
Выбираем значение с у, приближенно соответствующее требуемой точности
*
управления в установившемся процессе (с у «> Ц у , ц - требуемый уровень ошибки управления при отсутствии или слабом проявлении внешних возмущающих ). ,
уу = с у/ уг \
выбираем такое значение шага дискретизации У г, чтобы выполнялось соотноше-:
>« 4Б,. (15)
Последнее выражение базируется на условии обеспечения оптимизированных соотношений между модулем кванта модуляции и наихудшими возмущающими [1].
, (13) -
вия можно ослабить требования к точности представления правой части и даже пренебречь ее функциональной составляющей. Остановимся на предельном случае упрощения, и теперь (13) можем представить в виде
и у,ж = У у,+1р],,+!(г); у =1,п; к =1,п. (16)
Неучтенная в (16) составляющая уравнений движения перешла в приведенные (неизмеряемые) внешние возмущающие воздействия Су(г) (11). Таким обра-, -
мов управления при существенной структурной неопределенности с обеспечением достаточных качественных характеристик (характеристики соответствуют примерно (8)^(10)). С более точными характеристиками при наихудших воздействиях можно ознакомиться в [1]. Бу -
зательным знание описания функции Ру(...). Кроме того, это значение может
( ). -
Бу
*
можно организовать адаптивный режим автоматического определения с у (по необходимости в сочетании с подбором У г) [1]. Обращаем внимание на то, что в пра-
(16) -, -ния на основе экстраполяционных соотношений. Проблемы применения рассмотренной методики синтеза могут возникнуть при наличии ограничений на управ, -рительных качественных характеристиках процессов управления.
Синтез алгоритмов цифрового управления для объектов с параметрической и частичной структурной неопределенностями. В качестве исходных уравнений движения будем рассматривать (11) при у=1. Далее индекс уопускаем из рассмотрения. Принимаем, также, в рамках данного рассмотрения уш)л=0; ,=0,1,2,_ (в более общем случае можно рассматривать переменное задающее воздействие Узой.^0; ,=0,1,2,_).
Предположим далее, что в уравнениях движения (11) параметр рте [р"^рв] (р - , р - ) -ственно большого диапазона числовых значений (рв>>р") и применение предложенной в разделе 2 методики оказывается невозможным. В то же время на рассматриваемых интервалах управления это значение остается постоянным (данное
).
р=р(г).
Предполагаем, что для всех возможных значений параметров в (11) выполняются условия (14), (15) и тогда выражение (16) для управляющего воздействия запишем в виде
U
i+1
где Ь3 - переменная, конечное значение которой должно быть идентифицировано достаточно близко действующему в (11) параметру р, s - номер интервала идентификации.
Ниже рассматривается простейший алгоритм одного варианта решения зада-
( ). -ганизации процессов идентификации и адаптивного управления: а) Идентификация. Принимаем
Ь0 ^ РН , Узад.^е.ш,,, = ^ 1 = 0, ^
)
идеи т.
0, і
идеит.
Формирование Ь5 ~р осуществляется в процессе пошагового выполнения действий в соответствии с двоичным алгоритмом дельта-преобразований и следующим алгоритмом формирования значения Ь5 начальные значения і=0, й=1, 5=1):
і := і + 1;
Z сум ■ ■■\Zп |’ SZ СУМ \Zi
П=d п=d
если і - d + 1 = q, то Z SZ
Z p = °ум p _ °ум
F\ =
если то
'і-1 P
q
sign
’ Ср q
f Zi,
ср * H ’ F 2
V С0 J
■ Sign
SZ
-Г- - h
V C° J
F1s > 0 или F2 s < 0,
bs+1 = bs (1 + Q1s)’s := s + 1’d :=i + 1
иначе Ь5+і = Ь5; 5 := ^ ^„й, =і.
) .
Узад.і = 0; і = іидент. + 1, іидент. + 2, іидент. + 3,... .
■■X,.
Ошибка управления определяется в виде
У зад л
Используется двоичный алгоритм дельта-преобразования и адаптации к не-
*
измеряемым возмущающим воздействиям (Со - начальное значение).
В процессе выполнения первого этапа формируется вынужденное движение в направлении, параллельном оси ординат. При малых значениях Ь по сравнению с р формируются управляющие воздействия, которые не обеспечивают перемеще-
z
, р ,
поинтервальное (дшагов) нарастание значения Ь; на небольшую относительно единицы величину, определяемую Q1s ((21;, - переменная, а в частном случае постоянная величина). Нарастание Ь; выполняется до тех пор, когда под действием собственных управляющих воздействий при знакопеременном характере знаков квантов двоичной модуляции объект начинает "двигаться по ухабам". В качестве признаков соответствия этого движения идентифицированному используется граничное условие Н для оптимального соотношения в установившемся процессе между средней по модулю ошибкой управления и заложенным теоретическим зна-
*
чением Со [1], а также граничное условие к для выявления достаточно больших
соответствующих квантам модуляции в установившемся процессе (знакоперемен-) .
На втором этапе вводится истинное задающее воздействие и реализуется адаптивный алгоритм управления.
Заключение. В данной работе рассмотрена новая методология синтеза алгоритмов цифрового автоматического управления, представляющая важные для практического использования широкие возможности эффективного проектирования систем с линейными и нелинейными стационарными и нестационарными объ-, , частичной структурной неопределенностями в описании объектов. Проведенные эксперименты с использованием программных моделей систем управления подтвердили справедливость приводимых в статье результатов.
*
Возможности оперативного изменения параметров квантов модуляции (С, и
V/) представляют основу для развития логических (интеллектуальных) методов формирования определенных качественных характеристик в процессе проектирования и собственно управления (ускорение процесса идентификации; приспособление процесса идентификации к специфике конкретных технических требований; управление помехоустойчивостью системы и формирование требований к цифро; ; управление потребляемой энергией, решение вопросов ее минимизации, в частности, по каналу управляющего воздействия и т.п.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Кравченко ПЛ. Основы теории оптимизироваииых дельта-преобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации. - Таганрог: изд-во ТРТУ, 1997. - 200 с.
2. Крав ченко ПЛ. Высокопроизводительные алгоритмы дельта-модуляции, оптимизированной по быстродействию и точности // Электросвязь. - 1989. - Вып. 9. - С. 44-47.
