CC BY
43
Y (t) = 528 ,S + 2,551 - SI ,92 cos 2L-t| - 1,55
- 28,82 cos і— 9t| + 19 ,7 cos (— 9t|.
129 J У 29 J
Используя формулу (11) можно вычислить прогнозные значения ряда на перспективу. На рис. 4 приведены графики среднегодового количества осадков (в мм,сплошная линия) и прогнозных значений ряда (пунктирная линия) на период до 2025 года.
1944 1957 1970 1983 1996 2009 2022
-- ОсНлч +- ПршНлчОс
Рис. 4. Фактические (сплошная линия) и прогнозные (пунктирная линия) значения ряда
Из рисунка видно, что прогнозные значения ряда носят колебательный характер и на фоне периодических колебаний в среднем имеют тенденцию повышения среднегодового количества осадков, в соответствии с линейным трендом ряда. Линейные тренды временных рядов метеопраметров, по-видимому, можно объяснить антропогенными факторами, имеющими тенденцию роста, связанную со всевозрастающим влиянием человека на окружающую среду.
Среднегодовое количество выпавших осадков в основном определяется количеством летних осадков, поэтому результаты анализа летних осадков практически совпадают с результатами анализа среднегодовых значений (отличие только в коэффициентах модели).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Андерсон Т.В. Статический анализ временных рядов.- М.: Мир, 1976.
2.Кендэл М. Временные ряды.-М:, Финансы и статистика,1981ю- 200 с.
3.Шугунов Л.Ж. Динамика среднегодового количества осадков в горной зоне КБР,/ Вестник КБГУ. Серия физ. науки. Вып. 9.-Нальчик,2004.-С. 56-57.
П.П.Кравченко, Н.Ш.Хусаинов
29
t| -
(11)
71
cos
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С УСКОРЕННОЙ АДАПТАЦИЕЙ К ВНЕШНИМ ВОЗМУЩЕНИЯМ
Особенностями методологии синтеза алгоритмов цифрового управления на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка являются возможности одновременного решения многих важных в теории и практике цифрового автоматического управления вопросов [1,2].
Рассмотрим сущность синтеза алгоритмов цифрового управления для линейных и нелинейных объектов на основе оптимизированных дельтапреобразований второго порядка [1,2].
Будем рассматривать объекты управления, исходные (реальные) уравнения которых для /-го шага представлены в следующем виде:
ХЛг )=?]\'ХЛ* }'иа(г );*)-°/г);
р = 1,п; к = 1,п; г е[г-1;гг \г = 1,2,..., где х}1(г), Хц(г), Х }1(г) - значенияу-й координаты состояния объекта и ее
производных на /-м шаге; Ры(г) - множества конечной размерности известных стационарных или в общем случае нестационарных параметров; икг(г) - управляющие воздействия; &р(г) - неизвестные
(неконтролируемые) приведенные внешние возмущающие воздействия; Х}0 = Х (г = г0);Х -0 = Х (г = г0) - начальные значения координат
состояния.
Вводим в рассмотрение задающие воздействия узад^(г) и оцениваем
ошибку управления г}1(г) = Х/г) - узад.л(г) ; 2}г(г),2}г(г),2/г) -
значения у-й координаты ошибки и ее производных.
Если хотя бы в какой-нибудь момент времени t координаты состояния принимают значения
Хрг (г) = У зад. г (г), Хр (г) = Узад.р (г), ХЦ (г) = У зад.Р (г) , т° для ЭтоГО
момента управляющие воздействия V ^(г) и возмущающие воздействия
Ор/г) можно принять равными нулю, и уравнения движения (1) записать в виде
у зад. Ц (г ) = Р (Р (г );у зад .к ( } У зад.кг(г } У зад.кг(г )>'г )
___ ________ (2)
р = 1,п; к = 1,п; г е[гг-1;гг] = 1,2,.
Вычтем из системы (1) систему (2) и получим описание модели, необходимое для последующего использования:
&& рг(г) = V (р}г(г ); Хкг(г ^ Хкг(г I’ Х кг( )>‘ Vкг(г I’г ) -' Рр (Рр(г );Узад.Ш( \'У зад.кг ( )У задЛ )г )- О }г( г)'; (3)
р = 1,п; к = 1,п; г е [гг-1;гг \г = 1,2,.
Обозначим
ї А1) = V (рї(і)-'хш()>• хш()>х )>•икі{і);і)-
- (р] (р]г(); у зад.ы(); у зад.и(У’у зад.ы();і ) (4)
у = 1,п; к = 1,п; і є [іг-1 ;іг ], і = 1,2,...,
где У р(г) = У ]Ч+1 - постоянная на г е [гг,гг+1] величина (квант модуляции). Предполагая численную определенность У р(г), в дальнейшем считаем,
что для рассматриваемых управляемых процессов (1), (3), по крайней мере в ограниченных областях, существует решение системы уравнений (4)
относительно иц(і), ]=1,п , і є [іг1,іг],і = 1,2,....
Теперь система (3) принимает вид
и по уравнениям ]=1,п совпадает с формой представления исходного дифференциального уравнения дельта-преобразований второго порядка
В частности, например, троичный алгоритм оптимизированного по быстродействию и точности Д-преобразования в записи, приспособленной для цифрового управления, имеет вид (при отсутствии постоянно действующих внешних возмущений Ор(г) = 0 и Узад (г) = 0 , г > г0 значение производной для Д-преобразований точно оценивается в виде 2НУг = 'VSH и точно выполняются соотношения для двойного
интегрирования У р(г) в (6)) [1]:
Начальные условия для (6) предполагаются заданными. При отсутствии или слабом влиянии внешних возмущающих воздействий и
(5)
[1, 2].
],г+1
0,75с* < су < с* качественные характеристики данного Д-преобразования соответствуют приводимым ниже оценкам (12)^(15).
Впервые алгоритмы оптимизированных по быстродействию и точности Д-преобразований второго порядка были разработаны и представлены в работе [3].
Применяя на /-м шаге алгоритм Д-преобразования к каждому у-му,
Следующий этап решения данной задачи синтеза связан с определением для (/+1)-го шага управляющих воздействий Ц ,/+1(0, tе[ti, t/+^] на основе (4). Вводим запись (4) для (/+1)-го шага и определяем (в общем случае в неявном виде)
на (i+1)-M шаге необходимо определять такие Uji+1(t) в каждый момент
времени t е [tit ti+1], чтобы было выполнено указанное условие; практически для цифрового управления нужно говорить о разбиении при необходимости шага Vt, т.е. t е [titti+1] на такое количество Г более
мелких шагов V т, при котором влияние изменяющихся в правой части (7) переменных оказывается достаточно слабым (в частном случае возможно r = 1). Влияние остаточных возможных реальных отклонений Y. i+1a(t),
t е [tt,ti+1] от требуемого постоянного значения можно рассматривать
как дополнительные неконтролируемые приведенные к внешним возмущающие воздействия в (5) и соответственно в (1). Значения координат Xki+i(t) и ее производных для правой части (7) могут быть определены с использованием прогнозирующих формул расчета, базирующихся на точных соотношениях при G.(t) = 0 , узад.(t) = 0 и
обеспечении Y . i (t) = const, Y . i+1 (t) = const, t е [ti-1, tt+1 ] (при наличии
отклонений от указанных условий приводимые ниже алгоритмы являются приближенными) [1]:
j=1, n уравнению системы (5), численно определяются
U (t)=Ф],і+і (p (t); xki+l(t); xki+l(t); Xk,M (t); y3ad.k,I+l(t);
j, i+1 V k, i+1
У 3a6.k,i+1 (t) У 3a6.k,i+1 (t) U (t);Yk,,+l;Vt I;
k,i+1 J
t є [tt,tt+1]; j = 1,n; k = 1,n.
Г (7)
Для реального обеспечения теоретического значения Y ji+1( t) = const
где хы и хк 1-1 - измеряемые координаты. Очевидно, что для обеспечения достаточной точности прогноза (на шаге или в среднем) необходимо, чтобы, по крайней мере на протяженных интервалах, значение Ук1+1
было существенно больше \узад j(t) или средних значений этих величин.
Учитывая это, практически в (8) можно не учитывать узад.(1) (принято
У зад, ](*) = 0 ).
Теперь для управляющих воздействий (7) можно записать:
и], 1+1,а = Ф'] 1+1-а’ Хк, 1+1,а ’ Хк, 1+1,а ’ Хк, 1+1,а ’
У’зад.к, 1+1, а’ У зад.к,1+1,а ’ У’зад.к, 1+1, а ’ ик,1+1,а’ ^'к,1+1 ’ )’ * (9)
] = 1, п; к = 1,п; а = 1, г.
Для разрешаемых относительно и1+1 а уравнений могут применяться
прямые методы; для неразрешаемых - методы решения систем уравнений в неявной форме.
Обращаем внимание на то, что известные переменные (нестационарные) параметры Рк,1+1,а входят в правую вычисляемую часть (9), естественно вписываются в процесс синтеза и, в конечном счете, формирования управляющих воздействий в соответствии с данной методологией.
Уравнения (5) по своей структуре являются линейными второго порядка. При использовании алгоритмов Д-преобразований, отсутствии ограничений на управляющие воздействия и координаты состояния, отсутствии постоянно действующих внешних возмущающих воздействий и при однозначной определенности для всего фазового пространства
значений У., траектории движения описывают оптимальный по
быстродействию процесс, для которого гарантируется не только ограниченность, но и минимальность длительности перехода из данной точки фазового пространства в априори определенную достаточно малую область в начале координат (длительность определяется, в частности, значением модуля кванта модуляции). При допустимых внешних воздействиях длительность переходных процессов также ограничена. Такие линейные системы характеризуются устойчивостью по Ляпунову в целом. Рассматриваемая существенно более общая задача (3) связана с (5) через соотношения (4) или (7), (9). В связи с реализацией этих соотношений, в которых должны при необходимости учитываться ограничения на управляющие воздействия, координаты состояния, существование решения относительно управляющего воздействия (определяется управляемостью), может потребоваться анализ ограничений области фазового пространства, в которой процесс управления может быть реализован и, соответственно, свойства устойчивости уравнений (5) сохраняются и для уравнений (3), (1).
Для различных объектов имеют место шаблонные характеристики для областей асимптотической устойчивости, качественные оценки и
рекомендации, которые могут быть априорно использованы при синтезе цифровой системы управления. При этом базовыми являются простейшие соотношения для оценки гарантированных значений показателей качества при отсутствии (или слабом влиянии) внешних возмущений и постоянстве
(или медленном изменении) с*:
количество шагов переходного процесса (і,(і0) « 0):
Я
2 •
2Д^0 ] . —
----Г-1, ,=1,П;
длительность переходного процесса:
Г
],пер
' К],пер
ошибка установившегося процесса (для троичного алгоритма):
Ь(М <* 0,5с.
(10)
(11)
(12)
Решение задачи адаптивной оптимизации по точности в условиях действия неизмеряемых (неконтролируемых) произвольных по характеру изменения возмущающих воздействий базируется на исследовании точностных характеристик Д-преобразования при наихудших воздействиях и определении на основе минимаксного критерия значений параметров
с. , которые обеспечивают минимум среднему по модулю значению
ошибки
на определенных интервалах изменения независимой
переменной 1 [1,2]. Алгоритм Д-преобразования для /-го шага можно дополнить следующими формулами, реализующими возможности одного из вариантов ординарной адаптации (начальные значения
I = 0,ё = 1,8 = 1) [1,2]:
/ := / +1
I,
= И
зп\
] = 1,п;
если і - ё +1 = д, то 7
I р = ],сум
і,,! =
- н
.+1 = с3/1 + /3Д3,>0));! := ! + 1;ё := і +1 ,
иначе
'},> +1
= С„;!:= >,
(13)
где
определяющий
вес
кванта
модуляции
(У, і+1 = с*Л, і+1/('Чї)2; см. (6)); Ц - интервал для оценки среднего
'}, > ], І+1
с
д
р
3,сР
значения модуля ошибки; Qjs(t) - положительно определенная функция, ограниченная малым по сравнению с единицей значением.
В (13) 2рср - реальная (экспериментальная) оценка среднего
значения модуля ошибки; H - теоретическая оптимизированная оценка среднего относительного значения модуля ошибки при наихудших
воздействиях и данном c*s (H&1 для троичного алгоритма при
измеряемых производных ошибок; H«1,4 для троичного алгоритма при вычисляемых, как в алгоритме (6), производных ошибок [1]). Сущность алгоритма (13) состоит в выполнении через каждые q шагов коррекции
*
значения Cj s, которое остается постоянным до новой коррекции.
Особенностью алгоритма (13), является использование в виде достаточно малой относительно единицы положительной константы, т.е. Qjs(t) = Qj s = const, s = 1,2,.... При среднем медленном изменении во времени интенсивности возмущающих воздействий адаптация путем изменения значения c** s нацелена на приближение средней экспериментальной оценки относительной ошибки к теоретическому оптимизированному значению H.
Более глубокий анализ соответствия значений c* s и H
J’сР I J’s
позволил решить вопрос реализации адаптации с существенно увеличенными при определенных условиях значениями Qj,s(t) в
сочетании с возможностью существенного повышения скорости адаптации и, соответственно, улучшения динамических свойств системы управления в целом. Данному вопросу, в основном, и посвящена настоящая работа.
Особенностью (13), является необходимость использования достаточно малых относительно единицы значений Qjs(t). Это
обусловлено принципиальными особенностями теории оптимизированных дельта-преобразований второго порядка - постоянство (или существенно
*
малые изменения) значений cj s+1 на протяженных интервалах преобразований. Для алгоритмов адаптации данное условие относится к стыку участков S. Существенное отклонение от выполнения данного условия может привести к локальному (на ограниченном интервале) увеличению ошибки преобразования. При резком увеличении интенсивности внешних возмущений и малом значении кванта модуляции происходит также значительное увеличение ошибки. В данных условиях оказывается допустимым произвести существенное, в значительной
*
степени в больших размерах, чем в (13), изменение cj S+1, так как, по
крайней мере, локальное увеличение ошибки оказывается неизбежным. В то же время такой режим адаптации позволит сократить интервал повышенных значений ошибки и время выхода на адаптированный режим. При резком уменьшении интенсивности внешних возмущений на основе используемых алгоритмов математически затруднительно точно оценить
степень уменьшения возмущений. В данном случае целесообразно оставить реализацию алгоритма в том же виде.
Оценка влияния на ошибку преобразования наихудших внешних возмущений получена в работе [1].
Алгоритм адаптации к априори неопределенным внешним возмущениям с ускорением на основе указанных выше принципов можно представить в следующем виде (Н=1,4; начальные значения І=0, 6=1, Б=1)\
і := і +1
2 3,сум ^ \2},п
ц=й
если і - й +1 = д, то
2
2 р = 3,сум
2 3,ср ~
д
(
= ^ёп
2\
- Н
Qi> =
V сз,*
Q если * < 0;
2Р 2Р
Q (0.3 *ср + 0.6), если /.* > 0 и *сг < Р;
, С3*
2Р
-3^ > Р;
с, ,
С,
Q (0.3Р + 0.6), если /, в > 0 и
с
= сІ *(1 + їі ДіЛ* :=* + 1;й:=і +1 ,
3',з+1
иначе
с3. *+1 = с}./>*:= *,
(14)
Следует заметить, что дополнительные возможности повышения быстродействия адаптации могут быть расширены путем обоснованного варьирования значением Ц, шагом решения, а также другими параметрами в алгоритме (14).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Кравченко П.П. Синтез алгоритмов цифрового управления на основе
оптимизированных дельта-преобразований второго порядка при недостаточной информированности о системе // Материалы Международной конференции “Идентификация систем и задачи управления, Б1СРРО-2000”. -М: Институт проблем управления им.
В.А.Трапезникова РАН, 2000.-С. 1656-1684.
2. Кравченко П.П. Основы теории оптимизированных дельтапреобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации: Монография. -Таганрог: ТРТУ,
п
1997.-200с.
3. Кравченко П.П. Высокопроизводительные алгоритмы дельта-модуляции, оптимизированной по быстродействию и точности // Электросвязь. 1989.-№9.-С.44-47.
П.П.Кравченко, Н.Ш.Хусаинов
ФИЛЬТРАЦИЯ КООРДИНАТ В СИСТЕМЕ ЦИФРОВОГО УПРАВЛЕНИЯ С АЛГОРИТМАМИ УПРАВЛЕНИЯ, СИНТЕЗИРОВАННЫМИ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В рамках данной работы освещается принципиально новый теоретический подход построения и конкретные алгоритмы работы фильтра, а также принципы организации работы системы управления с этим фильтром в условиях действия помех. Решение данного вопроса базируется на теории оптимизированных дельта преобразований второго порядка, используемой при синтезе алгоритмов управления, и соответствующих особенностях поведения объекта при действии этих алгоритмов. Важными особенностями фильтра являются отсутствие в его алгоритмическом описании явлений накопления ошибки и задержки сигнала. Условием эффективной работы фильтра является близость к достаточно малому значению (в пределе к нулю) математического ожидания, характеризующего помеху, на определенном предшествующем моменту управления интервале. Обеспечение работоспособности и эффективных точностных характеристик системы управления в целом при изменяющихся задающих воздействиях осуществляется введением условий "грубости" алгоритмов управления. При совместной работе фильтра и ускоренной адаптации выполняется адаптивная оптимизация по точности при текущей интенсивности помех. Качественная характеристика фильтра по точности может подвергаться при необходимости регулированию путем изменения упомянутого интервала и параметров алгоритма.
Сущность и особенности синтеза алгоритмов цифрового управления на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка освещены в работах [1,2].
Алгоритмическое построение фильтра для координат х^ базируется
на том, что процесс управления, независимо от исходных уравнений движения, описывается «шаблонным» поведением координат состояния. При этом собственно «шаблоном» и являются процессы и характеристики оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Благодаря этому при рассмотрении данного вопроса практически можно временно отвлечься от собственно управления. В соответствии с этим принимая, что поведение координат х^ в системе дифференциальных уравнений (6) [3]
описывается (приближенно) выражениями формирования
демодулированных значений переменных в (6), запишем с введением
