CC BY
111
УДК 528.622 А.Н. Петухов
ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛЬЕФА КАК СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрены методические основы автоматизации геодезических работ в части построения цифровых моделей местности. Созданный алгоритм позволяет учитывать конкретные, часто весьма сложные условия производства. ЦММ представляет собой упорядоченный массив информации, задаваемый математическими зависимостями, по которому можно однозначно получить необходимые характеристики местности.
Ключевые слова: автоматизация геодезических работ, характеристики местности, цифровую модель рельефа, математического аппарата случайных функций.
1ГТ урное развитие геодезической техники и компьютер-ных ЛЗ технологий требует разработки прочной методи-ческой основы автоматизации геодезических работ, позволяю-щей учитывать конкретные, часто, весьма сложные условия производства. Современные компьютерные технологии позво-ляют создавать цифровые модели местности (ЦММ). Практи-чески ЦММ представляет собой упорядоченный массив информации, задаваемый математическими зависимостями, по которому можно однозначно получить необходимые характе-ристики местности [6].
Достаточно сложная структура такого массива может быть разделена на две составляющие - цифровую модель рельефа (ЦМР) и цифровую модель ситуации (ЦМС). ЦМР представляет собой множество, элементами которого являются топографогеодезическая информация о рельефе местности и правила обращения с ней, позволяющие с требуемой точностью отобразить рельеф местности или его отдельные характеристики. ЦМС - это множество, элементами которого является топографогеодезическая информация об элементах ситуации и правила ее обработки, позволяющие с необходимой точностью отобразить ситуацию местности.
В статье анализируется эффективность применения математического аппарата случайных функций со стационарными приращениями для создании 3D цифровых моделей рельефа (ЦМР) на основе полевых наблюдений в условиях городской застройки. Съем-
ка рельефа в данном случае сопряжена с рядом объективных трудностей, обусловленных ограниченной видимостью и наличием техногенных изменений рельефа (неявных последствий неоднократных вертикальных планировок и других земляных работ), которые при обработке результатов высотных измерений воспринимаются как случайная компонента в общей изменчивости высот на участке съемки. Возникает задача смыслового анализа этих результатов, который позволил бы обобщить данные съемки, исключая несущественные детали или проявление воздействия случайных факторов. Традиционно такая задача решается “вручную” на основе во многом субъективных представлений наблюдателя о характере изменения высот на участке съемки путем графического редактирования автоматически построенных горизонталей. Другой подход состоит в применении различных цифровых фильтров на стадии предварительной обработки результатов измерений и интерполяционных процедур при собственно создании ЦМР [1]. Практически, применяемые программные средства моделирования рельефа реализуют в себе, более или менее удачно, оба подхода.
Метод кригинга в большинстве случаев дает хорошие результаты, даже когда плотность съемочных пикетов невелика. Но иногда возможно появление нежелательных осцилляций (резкие пики или впадины). Этот недостаток можно исправить путем применения не интерполяционного, а “сглаживающего” кригинга [6]. Следует отметить, что многие программные комплексы используют возможности кригинг-метода в значительной степени формально. Применение метода более эффективно в сочетании с вариограмм-ным анализом изменения высот на участке съемки, позволяющим математически описать закономерности этого изменения и задать параметры для фильтрации и интерполирования.
Если воспринимать рельеф на участках городской застройки одновременно как природное и техногенное явление, то очевидно решению задачи математического моделирования сложной топо-поверхности по результатам измерений в сложных условиях должен предшествовать скрупулезный анализ, имеющий целью выявление тенденций в изменении рельефа, отраженных в исходных данных. Исследование изменчивости в массивах исходных данных, описание тенденций в виде различных трендов и их учет при моделировании снижают риск исключительно формального применения
методов интерполяции и повышают тем достоверность создаваемых ЦМР.
Собственно линейная геостатистика (линейный кригинг) не оперирует с понятием тренда и любое его наличие в той или иной степени входит с математикой геостатистики в противоречие. Это противоречие в общем случае может быть снято либо применением нелинейной геостатистики, либо раздельным моделированием компонент тренда и остатков, либо применением специальных моделей вариограмм.
Понятие тренда применительно к анализу изменчивости пространственной переменной может быть сформулировано следующим образом [3]. Линейные геостатистические процедуры, как уже было отмечено, основаны на двух допущениях - стационарности приращений случайной функции и стационарности математического ожидания приращений (или нулевом значении математического ожидания). Понятие тренда ассоциируем с несоответствием реальных свойств пространственной переменной и второго допущения. Легко предположить, что нестационарность математического ожидания может проявляться на малых расстояниях и не проявляться на больших - в этом случае присутствует локальный тренд, или, наоборот, проявляться на больших и не проявляться на малых -проявление тотального тренда.
Локальный тренд, который может быть охарактеризован как слишком сильная для математики случайных функций теснота взаимосвязи результатов измерений на малых расстояний, не поддается отдельной обработке вследствие многообразия видов и параметров в различных направлениях и областях исследуемого пространства [6]. Универсальный кригинг очень чувствителен к точности моделей тренда, а общих рекомендаций к выбору этих моделей нет. Но даже если модель выбрана удачно, практическое повышение качества ЦМР по сравнению с применением линейного кригинга невелико. Другая возможность учета локальных трендов предоставляется линейным кригингом, но с теоретическими вариограммами такого вида, в которых доля закономерной составляющей существенно повышена. Большинство распространенных прикладных программ, которые можно использовать для моделирования рельефа, весьма ограничены в части задания теоретических вариограмм.
Тотальный тренд отражает наиболее общие закономерности изменения моделируемой величины на всем исследуемом пространстве. В соответствии с этим определением представляется достаточным описание такого тренда несложной детерминированной моделью. Реально используются полиномы до четвертой степени, но чаще второй или третьей. Попытки повышения степени полиномов приводит к неоправданному усложнению всей процедуры моделирования, так как применение тренд-анализа в геостати-стическом моделировании имеет целью лишь устранение наиболее острых противоречий между характером изменчивости моделируемой переменной, отраженной в исходных данных, и тех допущений, на которых основывается применение математического аппарата случайных функций.
Таким образом, корректный анализ изменчивости моделируемой величины должен предусматривать в наиболее общем случае описание тотального тренда и вариограммный анализ (вариографию) остатков тотального тренда с подавлением возможных отрицательных воздействий локальных трендов. Безусловно, в конкретных условиях применимы и различные комбинации из возможных шагов.
Поверхность тренда высот на экспериментальном участке съемки площадью около 25 га (бывшая промзона) задается полиномом, в наиболее общем виде описывающим характер изменения рельефа.
Н = 196,2 + 0,053X + 0,0587 - 0,269 • 10-3XY - 0,778 • 10-4X2 - 0,142 -10-3У2 + +0,251-10-6 X 27 + 0,190-10-6 Х72 + 0,219-10-7 X3 + 0,146-10-6 73, где Н - высота точки с плоскими координатами X, У .
Эта поверхность показана на
Рис. 1 в горизонталях. Установлено, что данный тренд описывает 44% статистической дисперсии, а основные статистики остатков таковы: АНтгп= -3,3 м; АНтах= +5,2 м; DzH=1,97 м2. Тренд статистически значим по критерию Фишера при степени риска 0,05. Следует отметить, что изменение степени полинома до второй незначительно снижает процент описания статистической дисперсии исходных данных, а повышение степени до четвертой не дает заметного повышения качества аппроксимации.
Вариограммный анализ является основным инструментом описания изменчивости моделируемой переменной в рамках
Рис. 1. Поверхность тотального тренда на экспериментальном участке
сделанных допущений о стационарности приращений случайной функции и математического ожидания приращений. Понятие стационарности в широком смысле не самой пространственной переменной, а ее приращений, хорошо согласуется с интуитивными представлениями о том, что в точках, находящихся друг от друга на меньших расстояниях, результаты измерений разнятся менее, чем в точках более удаленных. Действительно, приращения / (х) - / (х + И) случайной функции представляют собой разности значений переменной в точках, расположенных на расстоянии И в данном направлении, а вариограмма - некоторая функция, играющая характеристическую роль дисперсии, т.е. характеризующая изменение среднего рассеяния парных значений в зависимости от расстояния между точками измерений в данном направлении.
Вследствие необходимости преодоления отрицательного воздействия нерегулярности (неравномерности) сети измерений и локальных трендов на качество описания изменчивости пространственной переменной, в процессе вариографии осуществляется предварительная регуляризация данных измерений [3]. Эффект достигается тем, что в вычислении текущего значения вариограммы у 0 по выбранному направлению (назовем его генеральным направлением вариографии - в) участвуют разности высот съемочных пикетов, т.е.
Га = 7“£[/(х,)-/(х,+]■)? , i'=l,2,..., 7=l,2,..., где п - количество
взятых разностей. Но только тех из них, расстояние между которыми соответствует некоторому интервалу, например 5±0,55, а направление вектора расстояния отличается от генерального направления вариографии не более, чем на некоторую угловую величину, например в±0,5ф. Величины 5 и ф являются параметрами регуляризации и задаются из следующих соображений. Шаг регуляризации 5 должен примерно соответствовать среднему расстоянию между пикетами на участке съемки вне зависимости от направления, а в процессе вариографии его значение уточнится. При этом, аргумент вариограммы является лагом установленного параметра, т.е. И = т5, где т=1,2,...,/, а I - порядок эмпирической вариограммы. Параметр ф должен соответствовать желаемой детальности выявления анизотропии и реальной плотности исходных данных. Принцип регуляризации исходных данных иллюстрируется рис. 2. Заметим, что массив исходных данных не изменяется и в собственном виде используется в кригинге.
Вариограммный анализ изменчивости остатков тренда высот проводился по четырем направлениям, что дало возможность оценить анизотропию массива данных. Вариография проводилась с предварительной регуляризацией данных, при этом параметры выбраны следующими: 5=20 м, ф=90о. Графики эмпирических вариограмм (порядок вариографии до 12) по генеральным направлениям в = 0о, 45о, 90о, 135о показаны нарис. 3.
Сравнение графиков позволяет сделать следующие суждения. Во-первых, хотя информативность вариограмм не высока (ввиду вариографии остатков тотального тренда, а не собственных значений высот), но достаточна для интерпретации. Во-вторых, вариограммы всех направлений весьма схожи, что позволяет сделать вывод о практической изотропности анализируемой величины и описать изменчивость остатков тренда одной "осредненной" вариограммой (вне зависимости от направления), график которой представлен на рис. 4.
По форме график осредненной вариограммы очень близок к сферической модели, что свидетельствует о выполнении условий стационарности, поэтому аппроксимирование свелось
Рис. 2. Принцип регуляризации исходных данных для вариографии; параметры: s - по расстоянию, ф - по направлению
к оценке параметров теоретической функции этого вида по методу наименьших квадратов: порог вариограммы - C0/DAH = 0,62; эффект включений - C/Dah =0,39; зона влияния - а = 109,6 м (DAH = 1.97 м2 - статистическая дисперсия).
Собственно создание ЦМР обычно связывают с процедурой интерполирования по какому-либо методу. Смысл процедуры состоит в том, чтобы, используя результаты измерений, получить приближенные значения моделируемой переменной в тех точках исследуемого пространства, в которых измерения не проводились. Другими словами, осуществляется переход от нерегулярной сети измеренных значений к регулярной сети модели с введением соответствующей оценки моделируемой переменной в узловых точках и указанием (явно или неявно) детерминированной функции связи, соседних по узлам модели, значений оценки. Размер ячейки сети, или шаг дискретизации модели, обычно задается более или менее произвольно.
Для решения задачи собственно интерполирования применяется линейный дискретный кригинг по регулярной прямоугольной сети (grid). Чем меньше шаг дискретизации сети, тем выше детальность полученного построения, но выше и затраты компьютерных ресурсов. Наверное, решающим фактором здесь является назначе-
ние создаваемой модели, а также способ хранения и представления содержащейся в ней информации.
6 =0°
0 46 92 138 184 h, \ 0 46 92 138 184 h, \
в) variogram (^, I 2 г) variogram (^, I 2
Рис. 3. Графики эмпирических вариограмм остатков тренда высот по направлениям: а) - 0°; б) - 45°; в) - 90°; г) - 135°
6 =45
Рис. 4. Графики осредненной эмпирической (а) и теоретической (б) вариограмм
При оценивании высоты в узловых точках сети, как и во всех процедурах оценивания-интерполяции, в расчете участвуют не все высоты пикетов из массива измерений, а только те, которые находятся от оцениваемой точки на расстоянии, не превышающем некоторого критического. То есть, расположенных в пределах окружности радиусом R с центром в данной узловой точке - зоне кригинга. Величина радиуса не превышает параметра а - зоны влияния из вариографии.
Принцип применения дискретного кригинга в качестве интерполяционной процедуры иллюстрируется рис. 5, а. Оценка высоты в узловых точках модели задается, как средневзвешенное из измерений в зоне кригинга, а весовые коэффициенты определяются в результате решения системы линейных уравнений кригинга [5].
Принято считать, что интерполяция точна, если подбираемые функции в точках измерений принимают значения равные измеренным. Но, если положение съемочного пикета совпадает с положением узловой точки модели, кригинг присваивает ей измеренное значение высоты пикета. С одной стороны это признак корректности и точности самого метода, с другой - возможность появления в цифровой модели нежелательных осцилляций (резких пиков или впадин). Действительно, только в точке модели, совпадающей с
пикетом, соотношение весовых коэффициентов будет 1 к 0, а в сколь угодно малой окрестности точки соотношение весов, как правило, резко изменяется и особенно при значительной доле случайной компоненты в общей дисперсии высот. Вообще, изменение значений весовых коэффициентов с удалением от точки оценивания - не линейно, а задается начальной (криволинейной) ветвью вариограммы. Поэтому на общем фоне более гладкой смоделированной топоповерхности измеренное значение может проявиться как аномальное. Этот эффект, в целом снижающий качество моделирования, при малых радиусах интерполирования может усиливаться действием локальных трендов и тогда возможная область аномальных значений увеличивается.
Для предотвращения проявления отмеченных недостатков целесообразно использовать сглаживающие свойства кригинга, которые основаны на интегральных (протяженных в пространстве) оценках моделируемой переменной. Получению интегральной оценки полностью отвечает математическая процедура блочного кригинга, применение которого позволяет строить оценки не по узловым точкам сети ЦМР, а по сети элементарных ячеек - прямоугольников или квадратов, имеющих фиксируемые размеры.
Блочный кригинг имеет главное преимущество перед точечным именно в том, что позволяет оценивать ячейку сети как множество точек, решая систему линейных уравнений не множество раз, а один. Точность интегрирования задается целым числом, определяющим число точек, распределенных в ячейке вдоль каждой из ее сторон. Так, при параметре точности равным 1 двумерная ячейка интегрируется по единственной точке и блочный кригинг совпадает с дискретным, а при параметре равным 2 ячейка интегрируется по 4 угловым точкам и т.д. Принцип применения блочного кригинга в качестве сглаживающей процедуры иллюстрируется рис .5, б. Радиус зоны кригинга отсчитывается от центра ячейки и не может быть задан меньшим ее полудиагонали. При оценивании ячеек, расположенных вблизи границ участка съемки радиус динамически уменьшается. Естественно, что блочный кригинг за счет интегральных оценок уменьшает влияние локальных трендов, т.е. производит сглаживание данных. Степень сглаживания регулируется параметрами кригинга - радиусом зоны кригинга и
б)
Зона кригинга
О
си
І
о
о
ф
к
о
2
о
о
о
ї1
-Н
-н
+ Ячейка оценивания
ї
2
Рис. 5. Применение кригинга: а) - дискретного, 11,ї2 - шаги дискретизации сети; б) - блочного с параметром точности интегрирования равным 2, її, 12 - размеры ячейки
Оси сети модели
размерами ячейки. Учет тотального тренда осуществляется путем вычитания тренда из результатов измерений при входе в процедуру и последующего суммирования по тем же точкам в каждой ячейке, по которым производится интегральное оценивание остатков.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что использование сглаживающего эффекта блочного кригинга не ведет к снижению точности оценивания переменной, но в определенной степени снижает детальность создаваемой ЦМР по сравнению с интерполяционной процедурой дискретного кригинга. Чем сильнее сглаживание (чем больше площадь интегральной оценки), тем меньше количество интегральных оценок (модельных значений переменной) на данном участке съемки. В определенных ситуациях это обстоятельство нельзя считать недостатком, например, при использовании создаваемой ЦМР в качестве топографической поверхности, как элемента компьютерной трехмерной графической среды. Но в традиционном (2D) понимании детальность модели может оказаться недостаточной, что может выразиться, например, в недопустимой угловатости горизонталей рельефа на плане участка. Представляется возможным избежать противоречия между необходимостью сглаживания исходных данных и детализации модельных значений путем последовательного применения обеих процедур. Действительно, почему бы не применить блочный кригинг в качестве цифрового фильтра исключительно для предварительного сглаживания исходных данных по достаточно крупным по площади ячейкам? Тогда для собственно создания ЦМР можно применить дискретный кригинг по уже сглаженным значениям переменной, задав сколь угодно высокую плотность сети точечных оценок и используя при интерполировании параметры все той же вариограммы.
Экспериментальная оценка сглаживающего эффекта проводилась по результатам предварительного сглаживания исходных данных блочным кригингом по ячейкам различных размеров - 10х10, 20х20, 40х40 и 70х70 м. Каждый вариант сглаживания заканчивался построением собственно ЦМР с применением дискретного кригинга по сети одинаковой плотности 5х5 м и параметрами, установленными в ходе вариограммного анализа.
Рис. 6. Кригинг с предварительным сглаживанием по сети 10х10 м
Рис. 7. Кригинг с предварительным сглаживанием по сети 70х70 м
В качестве характеристики степени сглаживания использовался коэффициент К8 = DH*/ DH , где DH*, DH - статистические
дисперсии оценок (точечной или площадной) и самой переменной (исходных данных) соответственно. На рис. 6 и рис. 7 в виде топографических планов экспериментального участка представлены результаты для первого и четвертого вариантов. Значения коэффициента сглаживания для каждой стадии эксперимента приведены в таблице.
в эксперименте сглаживания
Шаг сети предварительного сглаживания блочным кригингом, м 10х10 20х20 40х40 70х70
Коэффициент предварительного сглаживания 0,90 0,71 0,65 0,55
Интерполирование дискретным кригингом по сети, м 5х5 5х5 5х5 5х5
Коэффициент сглаживания после интерполирования 0,87 0,68 0,60 0,47
Большим преимуществом предлагаемого подхода к моделированию рельефа, на наш взгляд, является возможность варьирования степенью сглаживания исходных данных в зависимости от требований, вытекающих из цели создания ЦМР. К достоинствам рассмотренного метода дискретного кригинга можно также отнести практически реализуемую возможность задавать сколь угодно высокую детальность представления информации, ограниченную только компьютерными ресурсами. Перечисленные достоинства позволяют рассчитывать на значительное повышение как достоверности самих ЦМР, так и уровня автоматизации работ по их созданию.
---------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Капутин Ю.Е. Горные компьютерные технологии и геостатистика. СПб.: НЕДРА, 2002. - 400 с
2. Кравченко Ю.А., Чепкасов А.Ф. “О некоторых современных проблемах цифрового картографирования”.//Информационный бюллетень ГИС-Ассоциации.
- М.: №3(10), 1997, с. 24-25.
3. Мальцев В.А. О некоторых свойствах линейного крайгинга. В кн: Практическая геостатистика. Труды всесоюзного семинара. КНЦ АН СССР. 1991.-с. 24-41.
4. Мальцев В.А. Программный комплекс геостатистического моделирования и оценивания - GST/Руководство пользователя. - М.: НИИГР, 1993. - 153 с.
5. МатеронЖ. Основы прикладной геостатистики. -М.: Мир, 1968. -408 с.
6. Мусин О.Р. “Цифровые модели для ГИС.//Информационный бюллетень ГИС-Ассоциации. - М.: №4(16), 1998, с.30-32.
7. Mac-Irchen Alan M. How Map Work: Representation, Visualization and De-sign//GIS Europe, June 1996. -c.52.
8. Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. Numerical Recipes
- The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, 1986. -256 c. hIES3
A.N. Petuhov
THE DIGITAL MODELING OF THE LAND GEOMETRY AS A RANDOM FUNCTION
In the article methodical bases of automation of geodesic works are considered in part of construction of digital models of locality. The created algorithm allows to take into account concrete, often very difficult terms of production. CMM is a well-organized array of information, set mathematical dependences, on which it is possible simply to get necessary descriptions of locality.
Key words: survey work automation, topography description, digital model of the relief, mathematical device producing random functions.
— Коротко об авторе -----------------------------------------------
Петухов А.Н. - кандидат технических наук, доцент кафедры геодезии Российского университета дружбы народов, alex5004@bk.ru.
