Вариография рельефа в городских условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.4

ВАРИОГРАФИЯ РЕЛЬЕФА В ГОРОДСКИХ УСЛОВИЯХ А.Н. Петухов

Кафедра геодезии Российского университета дружбы народов,

117198 Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

В статье рассматриваются вопросы математического моделирования рельефа по результатам измерений высот в городских условиях. Определяется область практического применения методов геостатистистики для создания цифровых моделей рельефа.

Если воспринимать рельеф на участках городской застройки одновременно как природное и техногенное явление, то очевидно решению задачи математического моделирования сложной топоповерхности должен предшествовать скрупулезный анализ, имеющий целью выявление тенденций в изменении рельефа. Исследование изменчивости в массивах результатов измерений высоты, математическое описание тенденций в виде различных трендов и их учет при моделировании снижают риск исключительно формального применения методов интерполяции и повышают тем достоверность создаваемых цифровых моделей рельефа (ЦМР).

Детерминированные модели рельефа, какими бы сложными они не были, не могут детально описать сложную топоповерхность и являются лишь первым приближением к "идеальной" модели. Геостатистический подход к моделированию предоставляет значительно более широкие возможности для исследования изменчивости моделируемой величины и наилучшей ее оценки, но имеет и свои ограничения.

Вариограммный анализ, или структурный анализ, является основным инструментом описания изменчивости моделируемой переменной в рамках допущений о стационарности приращений случайной функции и математического ожидания приращений. Понятие стационарности в широком смысле не самой пространственной переменной, а ее приращений, хорошо согласуется с интуитивными представлениями о том, что в точках, находящихся друг от друга на меньших расстояниях, результаты измерений разнятся менее, чем в точках более удаленных. Действительно, приращения f{x) — f{x + h) случайной функции представляют собой разности значений переменной з точках, расположенных на расстоянии И в данном направлении, а вариограмма - некоторая функция, играющая характеристическую роль дисперсии, т.е. характеризующая изменение среднего рассеяния парных значений в зависимости от расстояния между точками измерений в данном направлении.

Собственно линейная геостатистика (линейный кригинг) не оперирует с понятием тренда, и любое его наличие в той или иной степени входит с математикой геостатистики в противоречие. Это противоречие в общем случае может быть снято либо применением нелинейной геостатистики, либо раздельным моделированием компонент тренда и остатков, либо применением специальных моделей вариограмм.

Понятие тренда применительно к анализу изменчивости пространственной переменной сводится к следующему. Линейные геостатистические процедуры основаны на двух допущениях - стационарности приращений случайной функции и стационарности математического ожидания приращений (или нулевом значении математического ожидания). Тогда тренд ассоциируется с несоответствием реальных свойств пространственной переменной и второго допущения. Легко предположить, что не стационарность математического ожидания может проявляться на малых расстояниях и не проявляться на больших - в этом случае присутствует локальный, или высокочастотный тренд, или, наоборот, проявляться на больших и не проявляться на малых - это случай проявления тотального, или низкочастотного тренда. Наличие тренда того или иного типа можно установить по графикам эмпирических вариограмм, на которых наличие тренда обычно четко проявляется в гак называемом параболическом эффекте (вогнутые формы кривой). Параболический эффект “в нуле” (рис. 1а)

свидетельствует о наличии локального тренда, а параболический эффект “на бесконечности” (рис. 16) - о наличии тотального.

Локальный тренд, который может быть охарактеризован как слишком сильная для математики случайных функций теснота взаимосвязи результатов измерений на малых расстояниях, не поддается отдельной обработке вследствие многообразия видов и параметров в различных направлениях и областях исследуемого пространства. Наиболее часто в литературе указывается на метод “универсального кригинга”, как инструмент моделирования переменной при наличии многообразных локальных трендов [1,2]. По сути, метод представляет собой одну из процедур нелинейной геостатистики, входящую непосредственно в систему уравнений оценивания точки или площади элементарной ячейки ЦМР, определяющую кроме весовых коэффициентов измеренных значений коэффициенты тренда в области точки или ячейки. К сожалению, это красивое математическое решение практически невозможно корректно применить. Дело в том, что применение универсального кригинга требует очень точного задания вида и параметров полиномиального тренда, которые очень трудно связать с реальными особенностями моделируемого участка. Если же в выборе модели тренда допустить ошибку, универсальный кригинг выродится в линейный, либо в слегка сглаженную сплайн-аппроксимацию, что еще хуже. Тем самым универсальный кригинг очень чувствителен к точности моделей тренда, а общих рекомендаций к выбору этих моделей нет. Но даже если модель выбрана удачно, практическое повышение качества ЦМР по сравнению с применением линейного кригинга невелико. Многие исследователи связывают это с тем, что использование в процедуре кригинга не всех измеренных значений, а только ближайших, автоматически приводит к противоречию с допущением о стационарности математического ожидания приращений.

Другая возможность учета локальных трендов предоставляется линейным кригингом, но с теоретическими вариограммами такого вида, в которых доля закономерной составляющей существенно повышена. Если повышенная закономерность соответствует реальным свойствам моделируемого участка, то такие вариограммы обеспечивают хорошее качество моде-

Рис. 1. Параболический эффект на графиках эмпирических вариограмм: а) - в нуле,

б)- на бесконечности

лирования рельефа. Но если хотя бы в одном измерении содержится грубая ошибка, это приводит к резкому выбросу модельных значений на значительных участках исследуемого пространства. Следует отметить и чисто технические трудности в реализации описанной возможности. Большинство распространенных прикладных программ, которые можно использовать для моделирования рельефа, весьма ограничены в части задания теоретических вариограмм и, тем более, использования вариограмм экзотических видов.

Практически приемы учета локальных трендов можно свести к следующему. При построении эмпирических вариограмм целесообразно производить предварительное сглажи-

вание измеренных значений, позволяющее приблизить вид локальных трендов к виду тотального тренда. Параметр теоретической вариограммы сферического вида а, т.е. зону влияния измеренных-значений, можно интерпретировать как обобщенную характеристику периода проявления локальных трендов. Задание параметров линейного кригинга в точном соответствии с этой характеристикой уменьшит отрицательное воздействие локальных трендов на общее качество моделирования переменной.

Тотальный тренд отражает наиболее общие закономерности изменения моделируемой величины на всем исследуемом пространстве. В соответствии с этим определением представляется достаточным описание такого тренда несложной детерминированной моделью. Реально используются полиномы до четвертой степени, но чаще второй или третьей. Попытки повышения степени полиномов приводит к неоправданному усложнению всей процедуры моделирования, так как применение тренд-анализа в геостатистическом моделировании имеет целью лишь устранение наиболее острых противоречий между характером изменчивости моделируемой переменной, отраженной в исходных данных, и тех допущений, на которых основывается применение математического аппарата случайных функций. Более сложная модель тренда наверное лучше описывает характер изменения исходных данных, чем более простая, но начиная с определенного шага усложнения общее качество моделирования пространственной переменной будет снижаться ввиду более резкого падения информативности остаточной компоненты. Поэтому целесообразно использовать модели тотального тренда такой степени сложности, которая позволяет хорошо интерпретировать вариограмму и не более. Кроме того, в выборе модели не следует пренебрегать и “человеческим фактором”, т.е. субъективным, но профессиональным восприятием наблюдателя, проводившего съемку, хотя бы и на таком, например, уровне: “Рельеф имеет четко выраженную тенденцию к понижению в направлении на северо-восток”. Оценить значимость выбранной модели тренда можно по критерию Фишера и проявлению параболического эффекта на графиках эмпирических вариограмм, а также сравнением статистик дисперсии исходных данных и остатков тренда.

Таким образом, корректный анализ изменчивости моделируемой величины должен предусматривать в наиболее общем случае описание тотального тренда и вариограммный анализ (вариографию) остатков тотального тренда с подавлением возможных отрицательных воздействий локальных трендов. Безусловно, в конкретных условиях применимы и различные комбинации из возможных шагов. Например, не анализировать тренды, а выполнить вариографию исходных данных, произвести линейный кригинг и оценить его остатки, выполнить вариографию остатков и повторить кригинг.

Вследствие необходимости преодоления отрицательного воздействия локальных трендов и нерегулярности (неравномерности) сети измерений на качество моделирования переменной, в процессе вариографии осуществляется предварительное сглаживание и регуляризация данных измерений. Принцип сглаживания и регуляризации исходных данных иллюстрируется рис. 2. Эффект достигается тем, что в вычислении текущего значения варио-граммы у0 по выбранному направлению (назовем его генеральным направлением вариографии - 9) участвуют разности высот съемочных пикетов на всем исследуемом пространстве, т.е.

1=1»2..

где п - количество взятых разностей. Но не всех, а только тех из них, расстояние между которыми соответствует некоторому интервалу э ± О.Зэ, а направление вектора расстояния отличается от генерального направления вариографии не более, чем на величину 0,5 ср, т.е. ограничивается интервалом 0 ± 0,5ср, Величины вив являются параметрами сглаживания и регуляризации и задаются из следующих соображений. Шаг регуляризации э должен примерно соответствовать среднему расстоянию между пикетами на участке съемки вне зависимости от направления, а в процессе вариографии его значение уточнится. При этом, аргумент вариограммы является лагом установленного параметра, т.е. /г = т.ч, где т~1,2,...,/,

а / - порядок (количество вычисляемых значений) эмпирической вариограммы. Параметр (р должен соответствовать желаемой детальности выявления анизотропии и реальной плотности исходных данных; например, если принять <р = 0°, то вариограмма должна будет рассчитываться строго по генеральному направлению в, но практически на этом направлении может не оказаться ни одного пикета, и вариография становится невозможной. Заметим, что массив исходных данных не изменяется и в собственном виде используется в кригинге. Качественно оценить эффективность подавления локальных трендов можно по форме получаемой вариограммы, а именно наличию параболического эффекта в нуле.

раметры: s - расстоянию, (р - по направлению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузьменко КН. и др. Применение теории случайных функций в геодезии. - Киев: Ви-щащкола, 1980. - 144с.

2. Мусин О.Р. “Цифровые модели для ГИС.//Информационный бюллетень ГИС-Ассоциации. -М.: №4(16), 1998, с.30-32.

CONTOUR VARIOGRAPHY UNDER URBAN CONDITIONS A.N. Pietukhov

Department of Geodesy Peoples' Friendship University of Russia,

Miklukho-Maklaya st, Moscow, 117198 Russia

In paper the problems of mathematical simulation of a contour by results of measurings altitudes under urban conditions are considered. The area of practical applying of geostatistical methods for digital elevation models creation is instituted.