CC BY
40
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 10 Выпуск 1 (2009)
УДК 511.9
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ДЛЯ КВАДРАТИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ ИЗ ПОЛЯ
В работе изучаются неполные частные цепных дробей для квадратических иррациональностей из поля <0>(\/5).
1 Введение
Как известно, любое иррациональное число представляется в виде бесконечной цепной дроби. По теореме Лагранжа в периодические цепные дроби раскладываются только квадратичные иррациональности и всякая периодическая цепная дробь задает квадратическую иррациональность. Разложение алгебраических иррациональностей более высоких степеней не известно, хотя еще Л, Эйлер нашел разложение трансцендентного числа е в цепную дробь. Имеются отдельные работы, в которых приводятся результаты вычисления значительного количества неполных частных в разложении в цепную дробь различных алгебраических иррациональностей [1]. Обычно речь идет о вычислении цепных дробей корней степени не менее 3 из натуральных чисел, В нашей работе приводятся алгоритмы и результаты вычисления неполных частных для алгебраических иррациональностей, принадлежащих квадратичному алгебраическому полю <Ц>(л/5)-
Интерес именно к этим иррациональностям объясняется тем обстоятельством, что этому полю принадлежат числа
которые раскладываются в самые простые периодические цепные дроби:
Е. В. Триколич, Е. И. Юшина (г. Тула)
Аннотация
у/5 - 1 2
1
1
1
1
1 +
1 +
1 +
1Работа выполнена по гранту РФФИ 08-01-00790
С этими цепными дробями тесно связана расширенная последовательность Фибоначчи ^_ 2 = 1 F-1 = 0 = 1 = 1 ^2 = 2, ..., Гп = Г„_1 + ^П_2,...,
через которую выражаются подходящие дроби к этим цепным дробям:
1
к
и—
и— і
1 +
к
и
1
к
и+1
1 +
к
и
(3)
1 +
1
1 +
1
1
1 + Т
1
1 + т
Возникает естественный вопрос, как раскладываются в цепные дроби другие квадратические иррациональности из этого поля?
По теореме Лагранжа каждое число а Е <0>(л/5) раскладывается в периодическую цепную дробь вида,
а
а0 +
1
аі +
+
а-и +
Ьі
(4)
где ао', а\,..., ап — предпериод, а Ь\,..., Ьт — период бесконечной периодической дроби. Таким образом, число а Е <0>(л/5) имеет вил
а
Рп(а) • /3 + Рп-і(а) Рп(а) ' Р Яп-і(а)
(З — bl^
Ьо
а0 +
1
аі +
1
1
+ — аи
[(Ьі; Ь2) • • • ) Ьт)])
(5)
где
Ри(а) Ри-і(а)
Ь1
подходящие дроби к числу а, а число в ~ квадратическая
^и(а) Яи— і(а)
иррациональность, разлагающаяся в бесконечную чисто периодическую цепную
1
1
Ь
і
1
1
дробь и удовлетворяющая квадратному уравнению
Р Вт—1(/^) /3 Вт—2 (/3) д ^2 і о /Р і п //'Л
= А',?+в',3 + с = 0' (6)
где
Рт— і (в) Рт—2(в)
подходящие дроби к числу в,
^т—1(в Г ^т—2(в )
А = дт_1(в), В = дт_2(в) - Рт—1 (в) И с = -Рт-2(в). (7)
Согласно теореме Э, Галуа (см, [2] с, 58 — 60, [4] с, 100) в является приведенной квадратической иррациональностью, то есть, если в и в' ~ корни квадратного уравнения (6) и в > в' > т0
в > 1, -1 < в' < 0. (8)
Из (5) — (8) следует, что неполные частные предпериода цепной дроби для квадратичной иррациональности а могут быть произвольные натуральные числа.
Поэтому цель нашей работы — описать все возможные варианты для неполных частных разложения в цепную чисто периодическую дробь приведенной квадратичной иррациональности (3 € <Ц> (л/б) ■
Из теоремы Галуа следует, что существенную роль в описании законов разложения в цепную дробь произвольной квадратической иррациональности играет её сопряженная квадратическая иррациональность. Поэтому нам потребуются двумерная решётка Л (л/б) всех пар сопряженных целых алгебраических чисел из поля (Ц) (л/5) и множество Р (л/5) = {(а, с/)И £ О (л/5) } всех пар сопряженных чисел этого поля. Очевидно, что все рациональные точки множества Р (л/б) образуют множество рациональных точек прямой х = у.
2 Необходимые сведения из арифметики кольца целых алгебраических чисел поля 0(л/5)
Напомним некоторые определения применительно к полю <0>(л/5).
^ I ^
Алгебраические числи а поля <Ц>(-\/5) имеют вил а = ----, где а,Ь € Ъ,
с
с £ N. Если (а,Ь, с) = 1, то такое представление единственное. Сопряженное
а — Ьл/ 5
число а' = ----------, Эти числа являются корнями уравнения с целыми коэф-
с
фициентами
с2ж2 — 2асж + а2 — 5Ь2 = 0^
Многочлен f (ж) = с2ж2 — 2асж + а2 — 5Ь2 неприводим над п олем есл и Ь = 0
( а, Ь, с) = 1
Квадратичная иррациональность а называется целым алгебраическим числом, если а является корнем квадратного уравнения
х2 + Ах + В = 0, где А, В е Z.
Ясно, что целое алгебраическое число в поле <Ц>(-\/5) имеет вид или а = а +
Ъ\/5, а,!) £ 2, или а = а + Ъ\/Ь Н----т0 есть ^ = а + е—~~2~~’
(е = 0; 1) Для простоты обозначений будем кольцо целых алгебраических чисел поля <Ц>(л/5) обозначать через Z[^/5] вместо более точного обозначения Z Через и(-\/5) будем обозначать группу алгебраических единиц кольца Z
1+л/5
2
[у/Щ.
Целое алгебраическое число а называется алгебраической единицей, если оно является корнем уравнения с целыми коэффициентами вида,
х2 + Ах ± 1 = 0, А є Ъ.
По теореме Дирихле о строении группы алгебраических единиц поля алгебраических чисел имеем: а — алгебраическая единица поля <Ц>(-\/5) тогда и
, Л + л/бУ , _ я , ,
только тогда, когда а = ± I —-— I , к Є £. Ясно, что а = ±
Единица —^называется основной единицей поля <Ц>(-\/5)-
В кольце целых алгебраических чисел Z[v/5] справедлива основная теорема арифметики об однозначном разложении чисел на простые множители.
Простые числа из кольца Z вида, р = га,2 — Ъп2 в кольце Z[v/5] являются составными р = (га, — пу/5)(т + пу/5). При этом, если р = 5, то р = р2, где р = л/5 — простое число. Если р = га2 — Ъп2 ф 5, то р = р\ -р2, где р\ = т + пу/5, р2 = га — пу/5 и рі, р2 — простые числа в Z[v/5].
По основной теореме арифметики для поля (Ц) (л/б) и теореме Дирихле о строении группы алгебраических единиц имеем описание всех решений дио-фантового уравнения х2 + 4 = 5у2 в целых неотрицательных х и у, А именно:
ж — г/л/5 \ ( х + уу/5 ,
— 1
и
= 21+1 = Л + ^4 21+1
2 I 2 у ’ 2 I 2
Отсюда следует, что
**=22гЕ » = а*Е Фі1^*
к=0 к=0
Нетрудно найти рекуррентные соотношения:
хо = 1, уо = 1;
х1+1
+'
1 + у/ь'
+ У1У/5 (З + Уь" 2 12
3 XI + 5 у1 2
+
хг + 3 у1 2
у/Ъ
Поэтому
х1+1
Уг+1
Зжг + Ъуг 2
+ Зуг 2
Получаем следующую последовательность
1 0 1 2 3 4 5
XI 1 4 11 29 76
VI 1 2 5 13 34
Из этой таблицы видно, что
хг+1 = 3х — хг-1, Уг+1 = 3У — Уг-1)
Действительно, х1+1 = 3х1 — х1-1 = 3
3^г-1 + 5у1-1\ 3x^-2 + 5у1-2
2
2
3жг-1 — жг-о 3^г-1 — у1-2
3-----------------Ь 5--------------
3хг + Ъуг _ 2 ’
^1+1 = 3У — ^-1 = 3
х1-1 + %1-1\ х1-2 + %1-2
2
2
Зжг-1 - XI-2 ^Зуг-1 - уг_2 _ жг + Зуг
Нетрудно видеть, что = Р21-1 + ^21+1 и у = Р21, Действительно,
х1+1 = 3хг — хг-1 = 3 (^2г-1 + ^21+1) — (^2г-э + ^2г-1) = 3^2г+1 + 2^2г-1 — ^Ъг-э = 3^21+1 + ^21-1 + ^21-2 = 3^21+1 + ^21 = 2^21+1 + ^21+2 = ^21+1 + ^21+э;
Уг+1 = 3У1 — У1-1 = 3^21 — ^21-2 = 2^21 + ^21-1 = ^21 + ^21+1 = ^21+2-
2
2
2
2
2
Для аналогичного диофантова уравнения я2 — 4 = 5у2 в целых я и у имеем
х — уу/5\ ( х + уу/Ъ
2
2
1
я;
_ А -
21
22
Отсюда следует, что
я
2
2^"
1
я1
21
5
2
2^"
11
^С|‘+15‘;
к=0 к=0
я0 = 2, у0 = 0;
я
1+1
+ УГ+1
я;
2
2
я
2
2
2
я
_ зя; + 5у; 1+1 2 я; + 3у;
Уг+1
Получим следующую последовательность
/ 0 1 2 3 4 5
/у.* х/ 2 3 7 18 47 123
уГ 0 1 3 8 21 55
которая задается рекуррентными уравнениями второго порядка
я; = 3я; я; , я1+1 = 3я1 — я1-1,
»г+1 = 3у; —(г > 1).
Нетрудно видеть, что яг* = Р21-2 + Р21 и у; = ^21-1. Действительно,
я*+1 = 3я; — я;-1 = 3 (^21-2 + ^21) — (^21-4 + ^21-2) = 3^21 + 2^21-2 — ^21-4 = = 3^21 + ^21-2 + ^21-3 = 3^21 + ^21-1 = 2^21 + ^21+1 = ^21 + ^21+2;
У;+1 = 3У; — У;-1 = 3^21-1 — ^21-3 = 2^21-1 + ^21-2 = ^21-1 + ^21 = ^21+1-
2
2
2
2
2
(9)
Таким образом, при I ^ 0 справедлива единая формула
1 ~ 2 + ^ - Р^гл/Ь А + ^-2 + ^ + ^_!1/5
2 у _ 2 \ 2
из которой следуют три равенства для чисел Фибоначчи:
, Ш , Ш
«+«-*о*. « = ?Е с^'5*
к=0 к=0
(Я + ^_2)2 — 5^2_1 = (—1)4. (10)
3 Области Галуа и мультипликативный моноид Галуа
Прежде всего установим соотношение между множеством Р (-\/5) и М2, Теорема 1. Множество Р (л/5) всюду плотно в Е2.
Доказательство. Пусть е > 0 и (я, у) — произвольная точка из Е2, Рассмотрим систему уравнений
£ + иу/Ъ = х , ,
Ь-иу/5 = у,
решением которой будет пара Ь = и = Положим N
5
~ 1+л/5
2 10
*0 I Мо Г\ _
N т Л? у ^ ^ л? Л?
1 + ^
£0 = []У • £] и м0 = []У • и]. Тогда для а = Щ и <У = ^ — ^тл/5 имеем:
(а, а') Е Р > тах (Iя ~ а\ Ау ~ а’\) ^ (12)
что и доказывает утверждение теоремы.
Определение 3. Основной областью Галуа назовем множество С, заданное равенством
С = С0 = {(я,у)|я > 1, —1 < у < 0} , а сопряженной основной областью С — С = С0 = {(я,у)| — 1 < я < 0,у > 1} •
Таким образом, по теореме Галуа квадратичная иррациональность а разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда (а,а;) € С, Аналогично, сопряженная квадратичная иррациональность а; разлагается в чисто периодическую дробь тогда и только тогда, когда (а, а;) € С
Если пара (а,а;) € С и С то разложения в цепную дробь и для квадрати-
а
ноети а; не будут чисто периодическими.
Определение 4. Для, любого целого п € Ъ и-ой областью Галуа, назовем множество Сга, заданное равенством
Сп = С + (п, п) = {(я + п, у + п)|я > 1, —1 < у < 0} ,
п
СП = С + (п, п) = {(я + п, у + п)| — 1 < я < 0, у > 1} .
Ясно, что для
(а а/) € Сп
п=0
а
1
(а а/) € и СП
п=0
длина предпериода разложения в периодическую цепную дробь будет единичной для сопряженной квадратической иррациональности а;.
Для рассмотрения мультипликативных свойств квадратических иррациональностей областей Галуа недостаточно, так как произведение двух произвольных квадратических иррациональностей может и не быть квадратической иррациональностью, а является, вообще говоря, биквадратической иррациональностью, разложение которой в цепную дробь уже не будет периодическим.
Определение 5. Мультипликативным моноидом Галуа назовем, множество С (л/5), заданное равенством
С (^/^) = | с/) Е Р а ^ 1, \а'\ ^ 1|,
а сопряженным мультипликативным моноидом Галуа С (л/б) —
С ^"^/5^ = | (ск, с/) ^ Р ^"\/5^ о! ^ 1, | ск | ^ 1|.
Мультипликативная замкнутость обоих моноидов очевидна, Единицой и в
(1, 1)
пара в этих множествах.
Моноид Галуа С (л/б) содержит подмоноид
С+ ("\/5^ = | (а, а') Р ("\/5^ О!^1,0<О!/^1|
и является объединением двух множеств: С (л/б) = С+ (л/5) и С~ (л/5), где
С~ = | (а, с/) Р о. > 1, — 1 < о1 < 01.
а
периодическим разложением в цепную дробь полностью описываются множе-
ством С (л/5) - Подмоноид С+ (л/5) = ^ (л/5) У (С (л/5) + (1,1)) , где
Непосредственно из определения множеств С+ (л/б) и С (л/б) следуют следующие свойства:
• множество С~ (л/б) инвариантно относительно умножения на квадратичные иррациональности из подмоноида С+ (л/б);
• если произведение двух иррациональностей с чисто периодическими цепными дробями больше 2, то оно есть квадратическая иррациональность с
1
• произведение нечетного числа квадратических иррациональностей с чисто периодическими цепными дробями есть квадратическая иррациональность с чисто периодической цепной дробью;
• все квадратические иррациональности из (л/б) имеют предпериод раз-
1
4 Подходящие дроби для сопряженных алгебраических чисел
Покажем, что теорема 1 справедлива для более общей ситуации.
Пусть Л — произвольная решетка с базисом Л1;.., ,Л8 в Е8, Через Р (Л) будем обозначать множество
— рациональное 5—мерное векторное пространство над полем рациональных чисел Q.
Теорема 2. Множество Р (Л) всюду плот но в Е8.
е > 0
и! = (г1,..., 28) € Е8 — произвольная то чка из Е8,
Рассмотрим систему уравнений
&о (У^) = {(«, «О € Р(У^) 1 ^ а < 2,0 < а' ^ 1}.
^1А11 + . . . + ^8Л81 = 21
^1А18 + . . . + ^8А88 = 28,
которая имеет единственное решение, так как для решетки Л с базис ом А.,-(Ад,..., А^) = 1,..., в) определитель решетки
А11 .
А
15
А«1
АЧ.Ч
= 0.
Обозначим это решение через £0 = (£10,..., ^о)-Пусть А = тах |А„-|.
Положим N = [^] + 1, Шj = [ЛГ • ^о] и <х,- = {]У • ^0} Ц = 1, • • •, «)■ Тогда у = т1 А1 + • • • + т8А8 € Л и ж = -у = (ж1,..., х8) € Р (Л). Имеем:
г=1
г=1
аг л
г=1
вА
1,...,в), (14)
что и доказывает утверждение теоремы.
Пусть ^ > 1 и — чисто вещественное алгебраическое поле степени ^ над полем рациональных чисел Таким образом, имеется в изоморфных веще-
ственных полей = К
(1)
(,
0), рде примитивные элементы 0(1),,,. ,0(,) — алгебраические сопряженные числа.
Рассмотрим в изоморфных колец целых алгебраических чисел Z„(1), ...,
Z„(з) и максимальную решетку, повторяющуюся умножением,
г в
л та = {(е(1)..... е(>)) | е“ е zF;,) о = 1,..., в)} .2
Таким образом, согласно теореме 2 рациональное векторное пространство Р (Л (Р,)) над полем рациональных чисел О будет всюду плотно в М5, Отсюда, пользуясь достаточным условием подходящей дроби3, можно доказать следующую теорему о сопряженных числах с заданной системой подходящих дробей.
Теорема 3. Пусть ... ,£г — произвольная система несократимых
VI Ув
дробей, тогда найдется алгебраическое число а из чисто вещественного алгебраического поля Р3 степени в над полем рациональных чисел, О такое, что
Р ■
для любого ? = 1,..., в дробь будет подходящей дробью к алгебраически сопряженому числу а(7) е
Доказательство. Положим е = тт тогда по теореме 2 найдется
алгебраическое число а е такое, что для точки (а(1),..., а(,)) е Р (Л(Р,)) будут выполняться неравенства
- Рз
&
О' = 1, . . . ,в),
что доказывает утверждение теоремы в силу указанного выше достаточного условия подходящей дроби.
23десь и далее через 0(1),..., 0(я) обозначаются алгебраически сопряженные числа.
3См. [5] стр. 43, теорема 19.
Приведенные квадратичные иррациональности поля 0(75)
Как известно, каждая квадратичная иррациональность эквивалентна приведенной квадратичной иррациональности, которые и описывают все виды бесконечных чисто периодических дробей. Поэтому для описания видов периодических бесконечных цепных дробей для чисел а из поля (Ц)(-\/5) необходимо описать все приведенные иррациональности из этого поля.
Теорема 4. Квадратическая иррациональность (3 из поля <Ц>(-\/5) разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда она и её сопряженная квадратическая, иррациональность в' имеют вид:
П Рк-2 + Рк + Р&-1\/5 Я' , .
,} =----------ад---------о' (15)
(16)
где неотрицательные взаимно простые целые числа Я > 0 Я' ^ 0 удовлетворяют условиям:
Я>Я', Я + Я' < р^ + рк + ^-1^^ (17)
^-2 + Рк — Гк_1\/ъ ! Гк_2 + Р& — Рк_1\/ъ ,
------------------- < Ц < Ц н----------------------, (18)
Я| ((-1)к-1 + (Рк-2 + р* - я')я') (19)
для, некоторого к ^ 1.
Доказательство. Итак, если в раскладывается в чисто периодическую дробь с периодом длины п ^ 1:
,3 = 6,+--------------1------------= + ■ (20)
фп-1(в)в + фп-2(в) ’
+
1
Ьп н —
Ъг +----------------
ТО, полагая Р = Рп-1(в) Р' = Рп-2(в) Я = Яп-1(в) Я' = Яп-2(в) и применяя теорему Э, Галуа, получим
РЯ' - Р'Я = (-1)п, (21)
ь
1
/3 = (Р ~ Q,) + ^(Р ~ Q')2 + iQF“ > 1, (22)
2Q
^ (Р - Q') - л/(Р - QО2 + 4QP' , ,
-1 < 0 = --------------------—----VV --------— < 0, (23)
2Q
Из (22) и условия /3 £ Q(-\/5) находим
(P - Q')2 + 4QP' = 5m2, m £ N. (24)
Воспользовавшись равенством (21), получим (P - Q')2 + 4QP = (P - Q')2 + 4(PQ' - (-1)n) = (P + Q')2 - 4(-1)n = 5m2.
^ (P + Q' + mVb\ (p + Q'-m\/b\
Отсюда следует, что I ---------------------------- I I ----------- I = (— 1) , Из равен-
ства (9) (стр. 83) вытекает, что
P + Q' = Pk-2 + Pk, m = Pk-1, k ^ 1, k = n (mod 2). (25)
Преобразуя выражение для в и в', получим
P - Q' = P + Q' - 2Q' = Pfc-2 + Pfc - 2Q',
, = (р - Q') + V(p ~ Q')2 + ^Qp' = + Fk + Fk-iVb Q' ^
Р 2 Q 2Q Q ’
, (Р - Q') - л/(Р - W + 4QP' Pfc-2 + Pfc - Pfc-iv/5 Q' n
ад - ад <3
Отсюда следуют неравенства (17) и (18). Так как
4QP' = 5Pfc2-i - (P - Q')2 = 5Pfc2-i - (Pfc-2 + Pfc - 2Q')2 =
= 5P2-1 - (Pk-2 + Pk)2 + (Pk-2 + Pk)4Q' - 4Q'2 =
= (-1)k-14 + 4(Pk-2 + Pk - Q')Q',
to (19) выполнено, а поэтому утверждение теоремы в одну сторону (необходимость) доказано.
Перейдем к доказательству достаточности. Пусть неотрицательные, взаимно простые целые числа Q, Q' удовлетворяют условиям (17) — (19) для некоторого к ^ 1. Положим
,/ (-1)k 1 + (Pk-2 + Pk - Q')Q
P — Pfc-2 + Pfc — P; ^
Из (17) вытекает
n _ pfc-2 + Pfc + Pfc-i"\/5 Q'
^ ад q >L
Аналогично, из (18) следует
1 „ д/ _ Fk-2 + Fk - Ffc_ 1л/5 Q' ^ а
-1<Р- ад q <а
Поэтому по теореме Э, Галуа квадратичная иррациональность /3 из поля Q(-\/5) разлагается в чисто периодическую цепную дробь.
Таким образом,
g = (р - у)+ V(p - Q')!±igp: = (р - у) + е q(V5)- (26)
2Q 2Q
а дроби
PP
Q’ Q (27)
в
доказана,
в
нечному числу уравнений вида,
П_ Pkn-l(P) /3 + Ркп-2(Р)
Qkn-MP + Qkn-г(/3)
Нетрудно получить рекуррентные формулы
P
Ры-М _ + P(t-4n-2(tV
+<з№-.)„-2(/з)’
Pkn-1(e) = P(k-1)n-1(e)P + P(k-1)n-2(e)Q, Qkn-1(в ) Q(k- 1)n-1 (в )P + Q(k- 1)n-2 (e)Q; Pkn-2(в) = k?1, 92,..., qn,... , 91,..., qn, 91,... , 9n-1 =
4------------v------------'
k-1 = P(k-1)n-1(e)P' + P(k-1)ra-2(e)Q', Q kn-2 (в) = [92,... ,9n, 91,... ,9n,... ,91,... ,9n,91,... ,9n-1] =
4-----------V----------/
k-2 = Q (k- 1)n-1 (в) P' + ^^1)га-2(в)^. k=2 P2n-1 (в) = P2 + P'Q, P2n-2^) = PP' + P'Q', Q2n-1(в) = QP + Q'Q, Q2n-2 (в) = QP' + (Q')2;
(р2 + р'я - яр1 - т2) + л/(р2 - (<зо2)2 + 4(яр+я'я)(рр' + р'яо =
2д(р + до _
_ (Р + д')(р - Я') + (Р + Я')\/{р - Я')2 + ЩР'
2Я(Р + Я')
= Р-Я' + У(Р - Я')2 + 4ЯР'
~ 2 д
и мы видим, что, действительно, уравнение, фактически не меняется.
Эти выкладки легко объяснить, если перейти к матричной форме записи рекуррентных соотношений для подходящих дробей.
Рассмотрим матрицу вида,
А = [ Р* Рк—1 ^ = / Рк-1^к + Рк—2 Рк—1 \ = (Рк—1 Рк—2 \ Ак 1
Я*;—1у у^к—19* + Як-2 фк- 1у у^к-1 Я&-2/ \ 1 0
Таким образом,
а = а*—. (? 0) = П (? 0
\ / ^=0 \
при этом последняя формула остается верной и при к = 0, если положить
А—1 = (1 ^ , Р—1 = Я—2 = 1, Р—2 = Я —1 = 0.
Говорят, что иррациональное число а раскладывается в бесконечное матричное произведение
“ = П ('? І) • <28)
.=0 4
если справедливы равенства
Равенство
р.
Ит —^ = а. (29)
Я.
Рк(га+1)-1 Р&(га+1)—2 | | Р&га— 1 Рк:га—2 | | Р Р
Яй(га+1)-1 Яй(га+1) — 2у уЯкга—1 Яйга-2/ Я
для периодических цепных дробей становится простым следствием ассоциативности матричного умножения.
Из равенства
о р/3 + р/
р Я/з + Я'
для квадратической иррациональности в с чисто периодической цепной дробью получаем, что вектора
г _ (в) • в _ (в
являются собственными векторами матрицы Ап—.:
р р' А /в в' А = /Рв + р' Рв + р' А = Аа в'А' А = /в в А /а 0
Я Я7 ^1 V \Яв + Я' Яв' + Я7 V а а ) ^1 1Д0 а
с сопряженными собственными значениями: А = С^/З + С^' и А; = С^/З' + С^' из поля QV5■
(Рв + Р)(Яв' + Я') - (Рв + р)(Яв + Я') = = ев'(РЯ - РЯ) + в(РЯ' - Р'Я) + в'(Р'Я - РЯ') + (Р'Я' - Р'Я') =
= (в - в')(-1)п—1
6 Некоторые частные случаи
В этом разделе рассмотрим некоторые частные случаи квадратичных иррациональностей из поля с чисто периодической цепной дробью,
6.1 Период единичной длины
Рассмотрим приведенные квадратичные иррациональности в (т) вида,
л, \ 1 г/ м т+ л/т2 + 4
Дга) = га +-----------= [(т)] =------------.
т Н--------
т
2
Квадратичная иррациональность (3(т) € <Ц>-\/5 тогда и только тогда, когда т
2 ^ 1 т - т
4 = . Следовательно ----------- -------- = — 1 и га = £ = г/1 для
некоторого I ^ 0. Таким образом, в(т) € 5 только для т гада т = Р21—. +
Р2г+ь где I — произвольное натуральное число. То есть
в (р21—1 + р21+1 ) = [(Р21—1 + Р21+1)]
р21-1 + р21+1 + Р2 г\/5 1 + \/5
21+1
2
— нечетная степень основной единицы поля <Ц>-\/5 ,
6.2 Периоды вида [(т, 1)] и [(1,т)]
Пусть теперь квадратическая иррациональность в. = в.(т) = [(т, 1)], то есть
1
(Зг = А (га) = т Н--------—,
1 +
в.(т)
тогда
А
А +1 ’
ф п п а т + ^т2 + 4га
р1-тр1-т = 0; /Л =---------------------;
т2 + 4т = 5*2; (т + 2)2 - 5*2 = 4,
га + 2 — ^ л/5 Л (т + 2 + £л/5 ,
т + 2 = X*, * = У* в1
2
ж;-2 + у;^
2
Таким образом, (3\{т) € <Ц>л/5 только для га вида га = Ргг-2 + р21 — 2, где I — произвольное натуральное число. То есть
в1 (Р21—2 + Р21 - 2) = [(Р21—2 + Р21 - 2, 1)] =
_ Р21-1 + Р21+1 + РЪг л/5 _ /1 + л/5 \
- 2 ”
— четная степень основной единицы поля <Ц>-\/5, уменьшенная на 1,
Согласно Э, Галуа (см, [2] стр.59) союзное число /32 = ~^г имеет период [(1, т)]
Р2 = 1 н —; /^2 = 1+ ^ '
1 тв2 + 1
т+ж
твг + в2 = тв2 + 1 + в2; тв| - тв2 - 1 = 0
то
га + V га2 + 4га 2 1
в2
2?в га — л/т2 + 4га Д
в1 в2
6.3 Периоды с произвольными началами и концами
Пусть д0, д., ..., — произвольная последовательность натуральных чисел.
Рассмотрим несократимую дробь
£=*+-4- (зо)
«1 + —Г
Яп
По теореме 3 (стр. 86) для любого натурального Q и для любого натурального Р с Р) = 1 найдется квадратичная иррациональность а Е Ол/б такая,
что
а —
Р
1 П
Qn
<
1
Р
QQn
<
1
Действительно, положим
Рпя - р ЮЯг
PnQ - Р
а =
+
(РпЯ + Р)^гЯЯг.
5
л/5
а
6(QQn)2
(РпЯ + Р)^гЯЯг.
5
л/5
2QQn
6(QQn)2
Тогда для в =
3
л/5
справедливо неравенство 0 < в < 1 и
а=
3\/5
Рп(^ — Р (РпЯ + Р)^—
2QQn
6(QQn)2
а =
3\/5
рп(^) — р (РпЯ + Р)—<5<5пл/5
2QQn
6^^)2
2(QQn)2
2^„)2
Р
п
Qn
2(QQn)2’
Р
QQn 2(QQn)2
Отсюда следует, что для любой пары натуральных чисел Р и Q таких, что (QQn, Р) = 1 и 1 ^ Р< QQn квадратическая иррацион альпость а будет приведенной квадратической иррациональностью, разлагающуюся в чисто периодическую цепную дробь, у которой период начинается с натуральных до, 91, ■ ■ ■, 9п, Так как для разных пар Р и Q соответствующие алгебраические иррациональности различные, то таких цепных дробей будет бесконечно много. Если рассмотреть союзное число (3 = —Л, то для него период будет заканчиваться последовательностью дп, qn-l, ..., до.
Таким образом, в квадратичном поле <Ц>-\/5 встречаются квадратичные иррациональности с периодами сколь угодно длинными и в этих периодах могут встречаться сколь угодно большие неполные частные.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Александров А, Г, Исследование на ЭВМ непрерывных дробей // Сб. "Алгоритмические исследования в комбинаторике" М., Из-во Наука, 1978 г, С. 142 - 161.
[2] Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М. - Л., Главная ред. общетих-нической и технологической литературы 1937 г.
[3] Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.; Л.: Гостехиздат, 1940.
[4] Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. М.: І Із-г,о Наука, 1965 г.
[5] Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстова Получено 10.04.2009
