О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 3 (2012)

УДК 511.9.

О МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ ТЕОРЕМЫ ГАЛУА О ЧИСТО ПЕРИОДИЧЕСКИХ ЦЕПНЫХ

ДРОБЯХ1

© 2012. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский (г. Тула), Е. И. Юшина (г. Москва)

Аннотация

Получена матричная форма теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях. Введено понятие матричного основания для приведенной квадратической иррациональности. Описаны некоторые свойства матричного основания.

Ключевые слова: чисто периодические цепные дроби, непрерывные дроби, приведенные квадратические иррациональности.

Библиография: 7 названий.

1 Введение

Рассмотрим разложение иррационального числа а в непрерывную дробь2

ВИДЯ

1 111

а — ао + ------— ао + :--- • • •- • • • , (1)

1 ai+ Й2+ an+

ai + 1-------------

Й2 +----------

+

ап + . _

где а0 — целое число, а — натуральные (г ^ 1).

Подходящие дроби этого разложения получаются по формуле

Рп апРп-1 + Рп-2)

Яп апЯп-1 + Яп-2}

или в матричном виде

( Рп Рп-1 ) _ ( Рп-1 Рп-2 ) ( ап 1 )

\ Яп Яп-1 ) \ Яп-1 Яп-2 / \ 1 0 /

1 Работа выполнена по гранту РФФИ 11-01-00571

2 Термины цепная дробь и непрерывная дробь в данной работе используются как синонимы.

Таким образом разложение (1) можно представить как бесконечное произведение матриц

с-*-'. ^

ак 1 1 0

п(а1 О•

1=0 4 7

(2)

Это произведение матриц называется сходящимся к а, если

ТЛ ( ак М — ( Ап Сп \ пд і о;— V Вп Пп)

А„

Сп

т ^ т Куп

11т — = 11т — = а.

п^<х Вп п^<х !)п

Хорошо известна теорема Лагранжа, утверждающая, что каждая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую непрерывную дробь и каждая периодическая непрерывная дробь соответствует квадратической иррациональности (см. [1], [3], [7], [5], [6]).

Э. Галуа исследовал вопрос о чисто периодических непрерывных дробях [2] и показал, что множество квадратичных иррациональностей с чисто периодическими непрерывными дробями совпадает с множеством приведенных квадратических иррациональностей.

а

квадратному уравнению

ас? — Ьа — с = 0, а Е N Ь,с Е Z, с = 0, (а,Ь,о) = 1.

Ясно, что а и в — собственные числа сопровождающей матрицы3

5

(3)

квадратного уравнения (3). Действительно,

ёе1(5 — іЕ)

—і

і

с Ь

- - — і а а

і - -і - -

с аі2 — Ьі — с

По определению квадратическая иррациональность а называется при-

Ь + V Ь2 + 4ас

веденной квадратической иррациональностью, если а = ------------------ > 1, а

2а

Ь — л/Ь2 I 4ас

ее сопряженная иррациональность р = ------------------------ удовлетворяет условиям

2а

— 1 < р < 0.

3 Через в мы всегда будем обозначать сопряженную квадратическую иррациональность к квадратической иррациональности а.

а

а

а

Из определения приведенной квадратической иррациональности следует, что коэффициенты уравнения (3) должны удовлетворять необходимым и достаточным условиям:

ас

&

{

Пусть длина периода разложения приведенной квадратической иррациональности а равна п + 1, то есть последовательность неполных частных имеет

ВИД

ао,а\,, ап-1, ап,ао,а\,..., ап-1, ап,ао,а\,....

Отсюда следует, что теорема Галуа принимает следующий матричный вид: Для любой приведенной квадратической иррациональности а существует

матрица А(а) = ( О О1-1 ) такая, что а = А(а)те. Если а = А(а)те, то

\ Оп °п-1 /

а

Цель данной работы — описать свойства матрицы А = А (а) для приведена

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем называть матрицу А = А(а) матричным основа-

а

2 Собственные числа матричного основания

Из определения матричного основания следует, что приведенная квадрати-

а

Рпа + Рп-1 /-ч

а = -------7л--.

Опа + Уп-1

Уравнение (5) равносильно квадратному уравнению

Япа2 — (Рп — Яп-1)а — Рп-1 = 0 (6)

Рп — Яп-1 + \/ (Рп — Яп-1)2 + 4Яп Рп-1 а —

2

р Рп °п-1 \/ (Рп °п-1)2 + 4°пРп-1

р= 2 . ^

Положим й = (Оп, Рп — Оп-1, Рп-1), тогда, сопоставляя уравнения (6) и (3), получим

°п йа] Рп-1 dc, °п-1 Рп йЬ. (8)

Так как

РпЯп-\ — рп-\Яп = (—1)п \ (9)

то из (8) и (9) получаем

Рп(Рп — &Ь) — й2 ас = (—1)п 1, (10)

или

(2Рп — йЬ)2 — й2(4ас + Ь2) = 4(—1)п-1. (11)

Рассмотрим квадратичную форму (1, —Ь, —ас), то есть форму

X2 — ЬХУ — асУ2.

Её дискриминант Б = Ь2 + 4ас > 0 и значит она неопределенная.

Рассмотрим характеристический многочлен матрицы А(а):

/ (і) = det(A(а) — іЕ)

Рп і Рп-1

Яп Яп-1 — і

і (Рп + Яп-1)і + РпЯ'п-1 ЯпРп—1-

Собственные числа А1 и \2 матричного основания А задаются формулами

л _ Рп + Яп-1 + \/ (Рп — Яп-1)2 + 4ЯпРп-1 _ ^ ^

А1 = ----------------------2----------------- = Япа + Яп-1,

л _ Рп + Яп-1 — /(Рп — Яп-1)2 + 4ЯпРп-1 _ гл а гл

а2 = ---------------------------------------- = ЯпР + Яп-1-

Вычисления показывают, что

я\ ,

I Япа

0 ЯпР + Яп-1

Vа — р /

(Япа+Яп-1 0 ^ і 1 ар

V 0 Япв + Яп-1)

а — р а — р

Яп(а + р)+ Яп-1 —Я'пар\ = Ґ Рп Рп-Л = А ^3^

. Я'п Я'п-1 ) \Я'п Я'п-1 )

В. п Рп Яп-1 0 Рп-1

х пета а + р =--------------—------ и —ар = ——.

Яп Яп

Из равенства (13) следует, что

Ат

/ а р\ / л п

р^((Япа + Яп-1)т 0 )1 1 ~р

0 (Япр + Яп-1)т

а — р

\а — р )

а — р а — р

( а(Япа + Яп-1)т— РШ + Яп-1)т — аР ((Япа + Яп-1)т— (ЯпР + Яп-1)т)\

а — р а — р

(Япа + Я'п-1)т— (Япр + Яп-1)т а(Япр + Яп-1)т — р (Япа + Яп-1)

V а — р а — р /

Так как

то

п+т(п+1)

Яп+т(п+1)

Ат ___ ( Рп+т(п+1) Рп+т(п+1)-1 \

\чЯп+т(п+1) Яп+т(п+1)-1 у

Р = а(Япа + Яп-1)т— р (Япр + Яп-1)т

Рп

а — р

(Япа + Яп-1)т — (Япр + Яп-1)

а — р

Р = —ар ((Япа + Яп-1)т— (Япр + Яп-1)т)

Рп

п+т(п+1)-1 Яп+т(п+1)-1

а — р

а(Япр + Яп-1)т — р(Япа + Яп-1)

а — р Отсюда следует

Рп+т(п+1) = а(Япа + Яп-1)т— р(Япр + Яп-1)Г

т^^ Яп+т(п+1) т^^> (Япа + Яп- 1)т (Япр + Яп- 1)Г

р(Япр + Яп-1)т

а—

так как

Т (Япа+Яп-1)т

1іт —(Я р + Я—т = а (14)

т^<х (Япр + Яп-1)

— (Япа + Яп-1)т

Я п- 1 Я п- 1

— 1 <р + “Я—< 1, а + “Я—> 1,

Яп Яп

'го—1 \ т

1іт (Япр + Яп-1)т = 1іт (р + ° 1 т^^ (Япа + Яп-1 )т т^^ (а +

Аналогично имеем:

1іт Рп+т(п+1)-1 = ііт —ар ((Япа + Яп-1)т— (Япр + Яп-1)т) т^^ Яп+т(п+1)-1 т^-ж а(Япр + Яп- 1)т р(Я'па + Я'п- 1)т

а 1 -

(Япр + Яп-1)т

г ч (Япа + Яп-1)т/ /1С,

1іт--------а(Я р + Я—^ = а- (15)

т^<х а(Япр + Яп-1)

1 —

р (Япа + Яп-1)г

Таким образом, (14) и (15) доказывает, что, действительно, а = Ате.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Венков Б. А. Элементарная теория чисел. — М.-Л.: Главная ред. общетих-нической и технологической литературы 1937 г.

[2] Галуа Э. Сочинения. — М.: ОНТИ, 1936.

[3] Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Из-во Наука, 1965.

[4] Лежен Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР 1936.

[5] Сушкевич А. К. Теория чисел. — Харьков. 1956.: Из-во ХГУ им. А. М. Горького.

[6] Хинчин А. Я. Цепные дроби, (второе издание) — М.-Л.: ГТТИ, 1949.

[7] Lagrange J. L. Additions au memoire laresolution des equations numeriques. // Mem. Berl. 24.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Московский педагогический государственный университет Поступило 20.07.2012