CC BY
6
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
8. Chen B.Y. Geometry of submanifolds. New York, 1973.
A. Chakmazyan
ABOUT SEMISYMMETRIC HYPERSURFACES OF AFFINE SPACE
Using the method of exterior forms equipped hypersurface M n in (n+1)-dimensional affine space An+1 is studied. It's proved that equipment induces connection of the semisymmetric submanifold on M n if
and only if h (y h k)m H m - h (ijh i)m H m = 0, where h ¡J are coef^cients
of the second fundamental form on M n. Moreover if the tangentially nondegenerate hypersurface in A is equipped and all normales of this hypersurface contain the same point (central equipment) or all these normals are parallel to the same vector (trivial equipment) then this equipment induces the geometry of semisymmetric submanifold on M n, the tangent connection on M n is equiprojective when H m ^0 and hypersurface is an affine hyperplane when H m =0.
УДК 514.76
Ю.И. Шевченко
(Российский государственный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ЦЕНТРОПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРОЕКТИВНОЙ СВЯЗНОСТИ КАРТАНА
Рассмотрено каноническое пространство проективной связности Картана со структурными уравнениями, являющимися уравнениями специального расслоения центропроективных реперов. Задание связности в этом расслоении привело к пространству центропроективной связности. Найдены дифференциальные сравнения для
154
Ю.И. Шевченко
компонент тензора центропроективнои кривизны, содержащего тензор аффинноИ кривизны. Использованы тензоры кручения проективной связности Картана, ассоциированных центропроективноИ и аффинноИ связ-ностей, причем для последней определены тензоры формального и реального кручения.
Структурные уравнения пространства проективной связности Картана Рвд, обобщающие соответствующие уравнения пространства аффинной связности, имеют вид [1, с. 234; 2, с. 176—177]
Бю1 = ю1 лю- + 8'кю1 люк (1,_|,к,т,р = 1,п); (1)
Бю' = юк л юк + 51|Юк л юк + ю^ л ю1 + Я^ю1" л юш; (2)
Бю; = ю1 л ю + Кук ю1 л юк, (3)
причем компоненты объекта кручения-кривизны Я= = { 81к,Я1кт,Яук } антисимметричны по двум последним нижним индексам: = 0, К^кш) = 0, Кук) = 0. В каноническом случае они удовлетворяют дифференциальным сравнениям [3] А^к - 0, АЯ^кш -5^юр - Э1^ - 0, АЯцк + ЯЩ>т - 0, (4)
где символ - означает сравнение по модулю базисных форм ю1, а дифференциальный оператор А действует следующим образом:
А81|к = + Б^шШ - 8ШкюШ - §1,шюШ.
Замечание. Структурные уравнения (1—3) показывают, что с точки зрения расслоений пространство проективной связности Картана не является (см. напр., [2, с. 167]) пространством со связностью.
Запишем структурные уравнения (1; 2) в следующем виде:
Бю1 = ю1 лЦ , (1')
Бю1=юк люк +юк л(ю|к + К|ктюш); (2')
Ц=ю| + ЭХ, ю|к =-5Н -З'кю|. (5)
155
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Уравнения (1') являются структурными уравнениями Лаптева [4] некоторого п-мерного гладкого многообразия Уп, которое назовем базой пространства проективной связности Рпп. Структурные уравнения (1',2',3) с учетом обозначения (51) показывают, что над базой Уп имеется расслоение касательных цен-тропроективных (коаффинных) реперов О(Уп), типовым слоем которого является центропроективная группа О = ОЛ (п), dimG = п(п+1). Группа О действует в касательном центропро-ективном п-пространстве РП , полученном проективизацией [5] касательного линейного пространства Тп к многообразию Уп в фиксированной точке. Отметим, что пространство Рп,п является центропроективным многообразием [5], а расслоение коаф-финных реперов О(Уп) порождает фактор-расслоение линейных реперов Ь 2(УП) со структурными уравнениями (1',2'),
типовым слоем которого является линейная фактор-группа = ОЬ(п), действующая в линейном пространстве Тп.
Зададим центропроективную связность в расслоении О(Уп) способом Лаптева [6]. Рассмотрим преобразование слоевых форм ш', ш; с помощью базисных форм шк:
со' = ш" - Г'к шк, =щ - Г^ш-", (6)
где коэффициенты Г "к, Г- являются некоторыми функциями на расслоении О(Уп). Дифференцируем формы (6) внешним образом:
БШ" = шк л шк + шк А (аг' к - Г>т + ш'к) + (R5 кт - Г"pSPm)шk л шт;
БШ; =ш'лШ" + л(аг' -Глшк) + (Яук -Г^т>" лшк.
Подставим в первые слагаемые выражения форм ш", ш; из равенств (6):
156
Ю.И. Шевченко
DSj = 5k л Sk + Sp л rpmrom + Гркюк лй; + Гркюк л Г>т +
+ sk л (dri к - rj;йР + sjк) + (Rjkm - ri pSkm)йк л sm, DS; = Sj л SJ + s? л Гmksk + rmsJ л 5m + rmsJ л Гmksk +
+ 5 л (dri - r^sj) + (Rjjk - r,mSmk)5 л sk. Во 2-х и 3-х слагаемых вернемся к формам sj, 5 : D5j = 5k л Sk + 5k л (АГ j k + Sj k ) + (Rjkm - rjpSkm - ГР^ )йк л й? , D5¡ = 5j лй + sj л (аГ; + Гк Sk) + (Rjj к - r.mSmk - г? Г mk)5 л sk. Согласно теореме Картана — Лаптева [6] зададим поле объекта центропроективной связности { ГJk, Гна базе Vn:
АГ'к +й'к = r>m, АГ; + Гк = Г,кйк. (8)
Тогда уравнения (7) примут вид
DS; = Sk л S'k + «;ктsk л sm, D5¡ = 5 J л Sj + «ljksJ л sk, (9)
где компоненты объекта центропроективной кривизны { «jkm, «ijk } выражаются по формулам
«jkm = Rjkm - ripSkm + ri[km] - ГP[kГр?], «jjk = RIJk - ГimSjk + ГЩк] - rl[Jrmk],
причем по крайним индексам в квадратных скобках производится альтернирование.
Продифференцируем уравнения (8) внешним образом:
(АГ jkm + ГPkSPm - ГА - Г jp5^ л = 0
(АГЧк - г?«? - Гmj«m+ГЦ^Й?) л йк=0.
Разрешим квадратичные уравнения по лемме Картана, подставим выражения трехиндексных форм (52) и запишем результат в виде сравнений
157
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
АГ; кт -5тГркшр + Г[ кшт + Гткш" + Г[ тшк = 0,
АГц к + 2Г[" шк + Г;кш" + Г к"+ Гткшт = 0.
Проальтернируем эти сравнения по двум последним нижним индексам
АГ[ [кт] - 8[тГрк]шр + Г[тк]ш" - 0, АГ[["к] + Г[[" шк] + Г[к" ]ш; + ^ к]шт = о.
Теперь найдем сравнения на компоненты (10) с помощью соотношений (4; 8; 11):
А" - 0, + ^ткшт - 0. (12)
Теорема 1. Объект кривизны {И^, Иук} центропроектив-ной связности {Г[к, Г]} в расслоении центропроективных реперов О(Уп) над базой V канонического пространства проективной связности Картана Рп,п является тензором, содержащим под-
тензор кривизны И[кт аффинной подсвязности Г[к в фактор-расслоении касательных линейных реперов Ь 2 (V) •
Внесем формы аффинной подсвязности (61) в структурные уравнения (1):
Бш[ =ш" лш'+Х[кш"лшк; (13)
X [к = ^к + Т[к, ^к = ГЦк]. (14)
Альтернируя дифференциальные уравнения (81) по нижним индексам с использованием симметрии форм (52), запишем результат в виде сравнений
АТ[к - 0. (15)
Назовем Т.[к тензором формального кручения аффинной подсвязности центропроективной связности, ассоциированной с пространством Р .
158
Ю.И. Шевченко
По аналогии с формулой (142) введем [7] объект Т^Г^,
компоненты которого удовлетворяют вытекающим из уравнений (82) сравнениям
АТ["+ Т[кшк - 0. (16)
Дифференциальные сравнения (15; 16) показывают, что
объект {Т[ , Т } является тензором, который назовем тензором
формального кручения ассоциированной центропроективной связности.
Из дифференциальных сравнений (41; 15) следует, что компоненты объекта X [к удовлетворяют сравнениям
АХ [к- 0. (17)
Определение. Тензор X [к — сумму (141) тензора кручения S[k пространства проективной связности Картана Рпп и тензора формального кручения Т"к аффинной подсвязности Г"к центропроективной связности {Г[к, Г-}, ассоциированной с пространством Р , — назовем тензором реального кручения ассоциированной аффинной подсвязности.
Теорема 2. Задание центропроективной связности {Г[к, Г}
в каноническом пространстве проективной связности Картана Р , представляемом как расслоение центропроективных реперов над его базой — п-мерным гладким многообразием, приводит к ассоциированному пространству центропроективной связности с уравнениями структуры (9; 13), в которые входят тензоры центропроективной кривизны {И^, Иук} и реального
кручения X [к с компонентами (10; 14), удовлетворяющими дифференциальным сравнениям (12; 17).
Список литературы
159
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
1. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a conexion projective. Paris, 1937.
2. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.
3. Shevchenko Yu.I. Tensor of affine torsion-curvature of projective Cartan's connection // Избр. вопросы соврем. математики. Калининград, 2005. С. 49—52.
4. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
5. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
6. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.
7. Лемлейн В.Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Литовский математический сборник. 1964. Т. 4. № 1. С. 41—132.
Yu. Shevchenko
CENTERPROJECTIVE CONNECTION IN THE SPACE OF PROJECTIVE CARTAN'S CONNECTION
The canonical space of projective Cartan's connection with the structural equations (equations of the special fibering of the centerpro-jective frames) is considered. The assignment of connection in this fibering was adduced to space of the centerprojective connection. The differential comparisons for the components of the centerprojective curvature tensor, containing the tensor of affine curvature, are found. The torsion tensors of projective Cartan's connection, associated centerprojective and affine connections are used, at that the tensors of formal and real torsion are defined for the affine connection.
УДК 514.75
160
