Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 1, С."37-50

УДК 517.956

DOI 10.23671/VNC.2019.1.27733

ТРИХОТОМИЯ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ НА ПЛОСКОСТИ

А. В. Неклюдов1

1 Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, Россия, 105005, Москва, Рубцовская наб., 2/18 E-mail: [email protected]

Аннотация. В двумерной области Q, внешней по отношению к кругу, рассматривается равномерно эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме с измеримыми коэффициентами, содержащее младший неотрицательный коэффициент q(x) = q(x1,x2) типа потенциала в стационарном уравнении Шрёдингера. Изучаются обобщенные решения, принадлежащие пространству С. Л. Соболева W1 в любой ограниченной подобласти. Рассматривается вопрос о возможном росте решений на бесконечности. Доказано, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента q(x) на бесконечности существует положительное решение, растущее как логарифм модуля радиус-вектора точки, т. е. так же, как фундаментальное решение соответствующего эллиптического оператора без младшего члена. Построенное решение обладает равномерно ограниченным «потоком тепла» через окружности произвольного радиуса R, концентрические с границей области Q. Далее устанавливается, что для любого решения, удовлетворяющего некоторой степенной оценке роста на бесконечности, выполнена оценка интеграла Дирихле типа принципа Сен-Венана в теории упругости. Ранее подобная оценка широко использовалась в работах для эллиптических уравнений второго порядка без младших членов в неограниченных областях. Оценка типа Сен-Венана позволяет получить оценку для интеграла Дирихле решения в кольцевой области через среднее значение решения на одной из окружностей этой кольцевой области. Из этого следует, что решение на окружности

RR зование принципа максимума позволяет показать, что любое растущее на бесконечности решение имеет логарифмический рост. Основной результат статьи состоит в том, что для данного уравнения имеет место трихотомия решений, как и для уравнения без младшего члена: решение является либо ограниченным, либо растет с логарифмической скоростью, сохраняя знак, либо осциллирует и растет по максимуму модуля как минимум степенным образом. Основным условием убывания младшего коэффициента, гарантирующего трихотомию решений, является конечность интеграла Jq q(x) ln |x| dx.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, неограниченная область, младший коэффициент, асимптотическое поведение решений, трихотомия решений. Mathematical Subject Classification (2000): 35J15.

Образец цитирования: Неклюдов А. В. Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 1.— С. 37-50. DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27733.

1. Введение

Поведение решений эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях изучалось различными авторами [1-4]. Хорошо известно [3], что при некоторых предположениях относительно неограниченной области, в случае уравнений второго порядка без младших членов, для решений, удовлетворяющих на границе неограниченной области однородному условию Неймана, типичной является трихотомия решений.

©2019 Неклюдов А. В.

Трихотомия означает, что любое решение принадлежит к одному из трех классов: 1) ограниченные решения, 2) знакопостоянные решения, растущие по модулю на бесконечности со скоростью, определяемой геометрией области, 3) осциллирующие решения, растущие по максимуму модуля быстрей, чем решения из класса 2). Например, в случае цилиндрических областей класс 2) образуют решения линейного роста, класс 3) — решения, растущие по максимуму модуля на сечении цилиндра экспоненциально. Для двумерных угловых областей, а также во внешности круга решения из классов 2) и 3) обладают соответственно логарифмическим и степенным ростом. В данной работе вопрос о трихотомии рассматривается во внешности круга для уравнения, содержащего младший член вида q(x)u(x) с достаточно быстро убывающим в бесконечности потенциалом q(x). Ранее вопрос о трихотомии решений уравнений с убывающим потенциалом был рассмотрен [5] для цилиндрических областей с условием Неймана на боковой поверхности. Близкой к этому случаю оказалась [6] также ситуация с трихотомией решений в цилиндрических областях для уравнений без младшего члена при третьем граничном условии (условии Робена).

2. Основные обозначения и определения. Вспомогательные утверждения

В двумерной области Q = {x : |x| > Ro} (будем считать, что Ro > 1) рассматривается уравнение эллиптического типа

2 d / du \

Lu = LqU — q(x)u = > —— ( dijix)—— ] — q(x)u = 0, (1)

oxj \ dxi J

г,]=\ J

где x = (xi,x2) € Rx, aij(x) — измеримые функции в Q, aij = a^, Ai|{|2 ^ Ylij=i aij(x)&^ A2|£|2, £ € R2, A^A2 = const > 0 q(x) ^ 0 — ограниченная измеримая функция.

Введем следующие обозначения:

Q(a, b) := Q П {x : a< |x| < b}, Qr = Q(R, R + 1), Sr := {x : \x\ = R}, Vu := grad-u, u(R) := (2ttR)~1 J uds.

Sr

Q

надлежащие пространству Соболева W21(Q(Ro, R)) для всex R > R0 и удовлетворяющие интегральному тождеству

f ^ du dv , f ,

/ / aa—t;—clx + / quvax = 0 (2)

J .4=1 dxi dxj J

Q(Ro,R) i,j = 1 Q(Ro,R)

для всех функций v € W21(Q(Ro, R)) таких, что v|sR usr = 0. u(x)

ла» через окружность Sr:

( 2 \

P (R,u) = lim

, -1 I sr^ du xj , 1 I v—^ du xj ,

J dxi |x| J dxi |x|

\ Q(R,R+h) i,j=1 J Sr i,j = 1

2

последнее равенство справедливо для почти всех К ^ Ко, его также можно записать в виде

Р{П,У) = 1^(18,

Яя

ди к—^ 2 ди % 1 п

где = ¿^и ]=1 — производная по конормали к окружности ¿>д.

Пусть К0 ^ г < К, К > 0 ^2 > 0. Положим в (2) V — Ф, где Ф — Ф(|х|) — непрерывная функция, Ф — 1 при г + Н\ < |х| < К, Ф(г) — Ф(К + ^2) — 0 Ф — линейная при г < х 1 < г + К1 и при К < х 1 < К + К2:

к-

-1

Q(r,r+hl)

1,3=1

^ ди х з 1

Q(R,R+h2)

Е

»,3=1

ди Хэ дх» |х|

диФ йх — 0.

Q(r,R+h2)

Устремляя к нулю К-1, а затем К-2, получаем соотношение

Р(К'и) - Р(Г'")— / ^

(3)

Я(г^)

Легко видеть, что при К > Ко в определении потока область интегрирования Q(R, К + К) можно заменить на Q(R — К, К).

Далее будем использовать неравенство Пуанкаре следующего вида:

У V2 йв < сК2 I |Vv|2 йв

Яя Яя

(с > 0 не зависит от функции ни Я) для V € И/Г21(>5д) таких, что ТТ(-Й) = 0; и

I

Q(aR,bR)

I V2 (1х ^ с(а. ь)к2 I

\Q(aR,bR)

)

для V € ЬК)), 0 < а ^ 1, Ь> 1.

Будем использовать также оценку [7, лемма 1]

|ТТ(К) -77(К1)| ^ (2тг)" К > К1 > 0 V € Wl(Q(Кl, К)).

-1/21п1/2 М К1

\

1/2

|Vv|2 йх

(4)

\Q(Rl,R)

/

3. Существование положительного решения с логарифммичеким ростом

Рассмотрим соответствующее уравнению (1) уравнение без младшего члена

2 д ( дУ

• • дхз

1,3 = 1

дх»

0.

(5)

Хорошо известно, например [8, формула (7.5)], что в Q существует фундаментальное решение V(ж) уравнения (5), удовлетворяющее при |ж| > Ro оценке

Ci ln |ж| < V(ж) < C2 ln |ж|,

C\, C2 — неотрицательные константы.

Естественно ожидать, что при достаточно быстром убывании коэффициента q(x) на бесконечности решение с логарифмическим поведением существует и для уравнения (1).

Теорема 1. Пусть q(x) ^ 0 в Q, Jq q(x) ln |ж| dx < ж, 0 ^ q(x) ^ с|ж|-2 ln |ж| при |ж| > Ri = const; c > 0 — некоторая постоянная, зависящая от Ai, А^. Тогда в Q существует положительное решение U (ж) уравнения (1), удовлетворяющее условиям

UL =0, A1 ln |ж| ^ U(ж) ^ A2 ln |ж| (0 < A, = const, i = 1,2),

R0

P(R, U) — p0 при R — ж (0 < p0 = const).

< Для произвольного N € N N > R0, в области Q(R0, N) рассмотрим решение Un(ж) задачи

LUn = O, UNL =0, 9UN

= (2nN)-1.

sN

'^о ' ()у Функция Пм удовлетворяет интегральному тождеству

2 ди д

/ —я—+ / qUNvdx = (27гЖ)-1 vds (6)

J . дхг дх] .) J

Я(Яо,Ю г'1 = 1 Я(Яо,м) SN

для всех функций V € ^^(^(Ло,^)) таких, что = 0.

Полагая в интегральном тождестве (6) для решения Пм пробную функцию V = Пм и используя оценку вида (4) для им(К), получаем

/ I

( V72

= (2ТГЛ0"1 J UNds = и^Ы) < (2тг)"1/2 Ь1/2 ^ \ШМ\2 dx

SN ^(ЕоМ) )

Отсюда с учетом эллиптичности уравнения (1) получаем, что

J |2 dx + J дПМ dx < С11п К, (7)

здесь и далее в доказательстве неотрицательные константы с. зависят только от А1, А2. Очевидно, что Р) = 1В силу принципа экстремума Пм не может иметь отрицательный минимум в Q(Rо,N), а в силу граничного условия на Бм не может иметь минимум на Бм- Отсюда им > 0 в Q(R0, N). Так как согласно (3) при Л0 ^ г < N

P(r, Un) = P(N, Un) ~ f qUN dX,

Q(r,N)

то из положительности Пм и равенства Р) = 1 получаем, что Р(г, им) ^ 1 при Яо < г <М

Получим оценку интеграла Дирихле для Пм по области Q(Rо,г), Яо < г < N. Для почти всех г имеем

Г А димдим Г 2 Г дим

Отсюда с учетом эллиптичности уравнения, используя неравенства Коши — Буняков-ского и Пуанкаре, получаем

I (|Уим\2 + ди2м)(1х^с2 I им^(18 = с2 I (им-йм(г))^(18

Я(Ко,г) Яг Яг . ■

-Г - ( }

+ с2Р(г,им)им(г) ^с3г / \Уим\2<18 + с2Р{г,им)им{г).

Отсюда с учетом оценки вида (4) для и N (г) и неравенства Р (г, Пм) ^ 1 получим

( V2

I(г) = У (|УПм|2 + йх < Сзг I |2 + С4 1п1/2 г У |УПм|2 йх

д(До,г) Яг \Я(Яо,г) )

^с3г I \Шм\2с1з + ^с21пг + ^ У

2

Я(Яо,т)

Отсюда

I(г) ^ 2с3г J |Уим|2 йй + с21пг ^ 2с3г1'(г) + с2 1пг.

Запишем это неравенство в виде

(I(г)г-г)' ^ -с5г-6-11пг, 6 = (2сз)-1 > 0, С5 = с4/(2сз).

Интегрируя и учитывая логарифмическую оценку (7) интеграла Дирихле для им по области Q(R0,N), получаем оценку

г N

/(г) < 1(Ю + с5гг У р-6-11п с6 1п т, (9)

г

если г2 ^ N.

Таким образом, последовательность Пм ^ ^ г2) ограничен а в ^2^(Я0, г)) для любого г > Яо- Отсюда, применяя диагональный процесс, получаем последовательность имк, слабо сходящуюся в W21(Q(R0, г)) и сильно сходящуюся в Ь2^(Я0,г)) для любого г > Яо к некоторой функции и, являющейся решением уравнения (1). Очевидно, что и > 0 в Q, и справедлива оценка

У (|Уи|2 + ди2) йх < се 1пг. (10)

Я(Яо,т)

Тогда в силу (4)

/

\и(г)\ < С41П1/2Г

\

1/2

|УП |2 dx

^ с7 1п г.

ЩЯо,т) )

Из оценки Де Джорджи [9, теорема 8.17] и неравенства Пуанкаре получаем, что

/

|Пм(х)| ^ с8т

-1

1/2

и% dx\ ^ с9

\Я(т/2,2г)

)

( \ ^

I \VUjj\dx\ +йм(г)

\Я(т/2,2г) )

Отсюда, учитывая оценки (4) для им(г) и (9) для интеграла Дирихле функции рм, получаем

рм (x)| ^ С10 1п г,

откуда

supsr |и(x)| ^ С10 1пг. (11)

Из этой оценки, с учетом того, что Р(К, им) = 1 и д^) 1п < ж, получаем, что

при Л ^ Л1 = const и N > Л справедливо неравенство

1

Р(Л, рм) = РN рм) - У дРм dx ^

Из (3) следует, что

Яо+1

Р (л,рм ) = у р (г, рм )+ у дрм dx

Яо \

(Г,

я(х,я)

/

откуда вытекает, что Р(Л, Р) = Ншм^^ Р(Л,Рм) и, следовательно, Р(Л, Р) ^ 1/2 для достаточно больших Л. Из (3) и оценки сверху (11) для функции Р также следует, что Р(Л, и) ^ р0 = сош^ причем р0 ^ 1/2. Очевидно также, что

У \ЧР|2 (в ^ СцТ-1Р2(г, И) ^ С12Г-1,

У |УР|2 dx ^ С13 1п Л.

(12)

Я(Яо,Я)

Получим логарифмическую оценку снизу для Р (x).

и

да (8):

,1(г) = У |У[/|2(й; < с3г У |УС/|2^ + с2Р(г,С/)^(г)

Я(Яо,г) Sr

^ с3г / |У[/|2 с^ + с2Щг) = с3г7'(г) + С2й(г),

(J(r)r £У ^ -Cur £ 1U(r), е = с31, ci4 = c2/c3. Интегрируя это неравенство от R до mR при m > 1, получаем

mR

j U{r)r~£~l dr > Cu(J(R)R~e - J{mR){mR)~£).

R

Отсюда, используя двустороннюю логарифмическую оценку (10), (12) для J(R), получим

mR

U(r)r £ 1 dr ^ c15R £ ln R — c16(mR) £ ln(mR).

R

Пусть m > 1 таково, что ci5 — 2m £ci6 ^ C15/2. Возьмем R > m. Получим оценку

mR

1

U(r)r~£dr ^ - C15 ln Д.

R

Тогда для некоторого £ € (R, mR) имеем

отсюда

(m - ^ ö ci5 ln

U(0 > -(m — l)_1ci5 ln R.

Так как в силу (4)

|Щ£)-ЩЯ)|^(2тгГ1/21п(£)

/

\

1/2

|VU |2 dx

< C17 ln1/2 R,

\3(я,0 /

то из предыдущей оценки для Р (£) получаем для достаточно больших Л оценку

и (Л) ^ С181п Л. (13)

Так как функция и> = и — и (Я) удовлетворяет уравнению Ьоъи = , то из оценки

Де Джорджи [9, теорема 8.17] имеем

/ \

suPi? \U{x) - U{R\2 < с8

R

-2

\ Q(R/2,2R)

Q(R/2,2R)

/

Используя неравенство Пуанкаре, условия на функцию g(x) и оценку (10), получаем, что

/ \

sup. \U(x) - IJ(R\2 < С19

< 7 c?8 In2 Я,

j |VU|2 (1ж + c ln R j qU2 (1ж

\Q(R/2,2R) Q(R/2,2R) J

c

для U(R) получим оценку U(ж) ^ Ai ln |ж|, Ai = const Ai > 0 >

Заметим также, что точечную оценку q(ж) ^ с|ж|-2 ln |ж| для неотрицательной функции q^) в условии теоремы можно заменить на интегральную оценку Jq(r/2 2R) q2 dж ^ cR-2 c > 0

4. Трихотомия решений

Лемма 1. Пусть и(х) — решение (1) в Q, д(ж) ^ 0. Тогда при Я > Я0 + 1 справедлива оценка

J ^и|2 йх * с1Я-2 J и2 йх, д(Яо+1,я) Q(R,2R)

с1 > 0 зависит только от А1; Л2.

< Пусть Ф = Ф(|х|) = 1 при Я0 + 1 < |х| < Я, Ф(|х|) = |х| — Я0 при Я0 < |х| < Яо + 1, Ф(|ж|) = <£>2(|ж|) при Я < \х\ < 2Я, где у(|ж|) = —Положим в интегральном тождестве (2) V = иФ:

I ^ А ди ди , / о , ¡' А ди х- ,

/ Ф > ац ————аж + / аи Ф ах = 2Я / ш > ац ——-г^тах.

] дх» дх- ] ] .—= дх» |х|

д(Яо,2Я) г-=1 д(До,2Д) Q(R,2R) г-=1

Используя эллиптичность уравнения (1) и неравенство Коши — Буняковского, получаем

/ Ф|уи|2 * * / ^2|уи|2 ^+с1Я-Ч и2 Лх-

^(До,2Д) Q(R,2R) Q(R,2R)

Учитывая, что Ф = ^>2 в области Q(R, 2R), то отсюда сразу получаем утверждение леммы. >

Лемма 2. Пусть u(x) — решение (1) в Q, q(x) ^ 0 в Q выполнено условие

|u(x)| ^ co|x|7

для некоторых постоянных j > 0 co > 0. Тогда, если 4Y/(1 + 5) < 1, 5 > 0, то для некоторой последовательности Rk — оо, к — то, справедлива оценка

J |Vu|2 dx < 5 J |Vu|2 dx.

Q(Rk,2Rk) Q(Ro,Rk)

< Предположим противное. Тогда для всех R > R0 = const имеем

/ 1 Vu 1 2^- / 1 Vu 1 2dx = / 1 Vu 1 2dx>5 / 1 Vu 1 2

|2 dx = J |Vu|2 dx>5 J ivui2

Q(Ro,2R) Q(Ro,R) Q(R,2R) Q(Ro,R)

т. e.

J |Vu|2 dx < (1 + 5)-1 J |Vu|2 dx < (1 + 5)-2 J |Vu|2 dx

Q(Ro,R) Q(Ro,2R) Q(Ro,4R)

< ••• < (1 + 5)-k J |Vu|2 dx.

Q(Ro,2kR)

Используя лемму 1, получаем

J |Vu|2 dx < (1 + S)

(

-k

Q(Ro,R)

\

ci (2k R 2 J u2 dx + 1o

Q(2k R,2k+1R)

/

< (1 + S)-k(ci(2kR)-2n(2k+iR)2c0(2k+lR)2Y + /0) - 0, k

,

если 4Y/(1 + S) < 1 (здесь /0 те зависит от k). Таким образом, Vu = 0 что невозможно. >

Лемма 3. Пусть u(x) решение (1) в Q, |u(x)| ^ c0|x|7, 0 < c0 = const 0 ^ q(x) ^ c|x|-2, y > 0 и c > 0 — некоторые постоянные, зависящие от Ai, А2. Тогда для некоторой последовательности Rk — то, k — ж, для x € Sr/ справедлива оценка

ЧЮ - \wk)\ u(x) < й(4) + + Д,

где 1\ > 0 не зависит от к.

< Пусть для 5 > 0 выполнено условие 47/(1 + 5) < 1. Как и ранее, через С1,С2,... будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от А1, А2-

Используя леммы 2 и 1 и неравенство Пуанкаре, получим для некоторой последовательности Rк — то оценку

J |Vu|2 dx < S J |Vu|2 dx < ciS

Q(Rfc,2Rfc) Q(Ro,Rk)

/

< c2S

\

R

-2

u2 dx + /0

V Q(Rk,2Rk)

\

|Vu|2da;+II2(3Efc/2) + J0

\Q(Rk ,2Rk)

/

где /0 не зависит от ^^ли c2S ^ 1/2, то

J \Vu\2dx^2c25(v2(3Rk/2)+Io). (14)

Q(Rk,2Rk)

Введем обозначение gfc := supQ(#fc)2.Rfc) <?(ж)- Так как функция w = u — v,(?>Rk/2) является решением уравнения L0W = qu, то, используя оценку Де Джорджи [9, теорема 8.17]

и далее дважды неравенство Пуанкаре, получаем

/ \

iq2 J \u-v,(3Rk/2)2\dx +R2k J q2u2dx

sups3Rk/2 \u - u(3Rk/2) | ^ c3

\ Q(Rk ,2Rk)

Q(Rk ,2Rk)

/

/

^ c4

\

J |Vu|2 dж + qkRk J u2 dж

\Q(Rk,2Rk) Q(Rk,2Rk) J

^ C5

|Vu|2 dж + (?2r4

\Q(Rk ,2Rk)

\Vu\2dx + v2(3Rk/2)

Q(Rk,2Rk)

/

= c5(l+ifciifc) j \Vu\2dx+c5qlR4ku2(3Rk/2) < c6 j \Vu\2 dx+c5c2u2(3Rk/2).

Q(Rk,2Rk) Q(Rk ,2Rk)

Используя оценку (14) получаем, что при k > ko = const

sUPS3Rk/2 lU

-H(3Efc/2)|2 < c75(u2(3Rk/2) + J0) + c5c2u2(Rk) < 2c75u2(3Rk/2) + /¿,

если c5c2 ^ c7S. Здесь /0 те зависит от k.

Пусть S > 0 Y > 0 и c > 0 таковы, что c25 ^ 1/2, 2c7S ^ 1/4 4Y/(1 + S) < 1, c5c2 ^ c7S. Тогда при k > ko = const справедлива оценка

sup |и - u{3Rk/2)\2 < ^2(3Efc/2) + l'Q.

S'3Rk/2 4

Отсюда сразу вытекает утверждение леммы для последовательности R'k = 3Rk/2. >

Лемма 4. Пусть для и(ж) выполнены условия теоремы 1 и леммы 3. Тогда при | ж| > Ri = const

|u(ж)| ^ c0 ln |ж|,

0 < c0 = const не зависит от ж.

< Предположим противное, тогда для некоторой последовательности Rk — ю имеем supRk |и|/ ln Rk — ю, k — oo. Пусть U(ж) — положительное решение уравнения (1), удовлетворяющее логарифмической оценке, существование которого доказано в теореме 1. Применяя к функциям u ± ciU при достаточно большом ci принцип максимума, легко получить, что supsR |u|/ln R — oo, R — ю. В противном случае функция и(ж) удовлетворяла бы логарифмической оценке в Q, что противоречит предположению. Пусть R'k — последовательность, для которой справедливо утверждение леммы 3. Без

ограничения общности можно считать, что sups , и > 0. Тогда из леммы 3 получаем,

Rk

что infs„, и/ ln R'k — +ю, k — ю. Применяя принцип максимума к функции U — c2 — еи

Rk k

при достаточно большом c2 и устремляя е > 0 к нулю, получаем, что U ^ c2 в Q(R', с), что невозможно. >

Лемма 5. Пусть для и(ж) выполнены условия теоремы 1 и леммы 3. Тогда

/ |Vu|2 <co ln r'

Q(Ro,r)

0 < с0 = со^ не зависит от г > К0.

< Используем для функции и(х) дифференциальное неравенство вида (8):

1{г)= J |У-и|2 с1х ^ С1г1'(г) + с2Р(г,и)й(г), (15)

Я(Яо,г)

здесь и далее в доказательстве сг > 0 зависят только от А^ А2. В силу леммы 4 |и(х)| ^ с3 1п |х|, поэтому /д д|и| бх < оо. Тогда из (3) следует, что |Р(г, и) | ^ с4. А из (15) тогда вытекает, что

I(г) ^ сгт1 '(г) + с51п г. Интегрируя как и в доказательстве теоремы 1, при г2 < К получаем оценку

+с61пг < с01пг,

последнее неравенство следует из того, что в силу леммы 1 выполнена оценка I(К) ^ с71п2 К, здесь 0 <5 = сош^ >

Лемма 6. Пусть для и(х) выполнены условия теоремы 1 и леммы 3, причем для

некоторой последовательности Кк, К — о, к — о справедлива оценка т£sR М =

^к

о(1п Кк), к — <о. Тогда решение п(х) ограничено в Q.

< Согласно лемме 4 |и(х)| ^ Со 1п |х|. В силу оценки Де Джорджи и неравенства Пуанкаре

sup |u(x) — u(Rk) |2 ^ ci /

SRk

(

R¡Г2 J \u-v,{Rk)\2 dx + R\ J q2u2 dx .

\ Q(Rk/2,2Rk ) Q(Rk/2,2Rk ) J

< C2

|Vu|2 dx + supQ(Rk/2,2Rk)(qu2)R| ln 1 Rk J q ln |x| dx

\g(Rk/2,2Rk ) Q(Rk/2,2Rk )

/ \

< C3

J |Vu|2 dx + ln Rk J q ln |x| dx \g(Rk/2,2Rk ) Q(Rk/2,2Rk ) /

Отсюда, учитывая логарифмическую оценку интеграла Дирихле в силу леммы 5, получаем, что при х € SRk выполнена оценка u(x) — v,(Rk) = o(\nRk), откуда следует, что u(x) = o(ln Rk) на SRk. Применяя принцип максимума к функциям u ± Со ± eU (где, как и выше, U(x) — решение уравнения (1) с логарифмическим ростом) при достаточно большом Со, получим, что |u| ^ Со + eU в Q(Ri, Rk) для k ^ ko(e). Устремив e к нулю, получим утверждение леммы. >

Теорема 2. Пусть выполнены условия Jq q(x) ln |x| dx < oo, 0 ^ q(x) ^ c|x|-2 для зависящей от Ai, A2 постоянной c > 0, удовлетворяющей условиям на константу c в теореме 1 и лемме 3. Тогда любое решение уравнения (1) в Q ведет себя одним из трех возможных способов:

1) supsRk |u| ^ c0R^ для некоторой последовательности Rk — 00, k — 00, причем u(x) меняет знак на любой окружности Sr при R > R0 = const; постоянная 7 > 0 зависит только от А1; A2; 0 < c0 = const;

2) Ci ln |ж| < и(ж) < C2 ln |ж|, Ci > 0, C2 > 0;

3) и(ж) ограничено в Q.

< Если решение и(ж) не удовлетворяет условию 1), то, согласно лемме 4, справедлива оценка |и(ж)| ^ c ln |ж|, c = const. Если при этом не выполнено условие 2), то по лемме 6 решение и(ж) ограничено в Q.

Покажем, что любое решение, удовлетворяющее 1), является знакопеременным.

и(ж)

|ж| > Ri = const

Легко видеть, что для неотрицательных решений уравнения (1) в области Q(R/2,3R/2) выполнено неравенство Харнака с константой K, не зависящей от R: u(A)/u(B) ^ K для всех A,B € Q(R/2, 3R/2). Действительно, отобразим Q(R/2, 3R/2) на область Q(1/2, 3/2) преобразованием ж — y = ж/R. Уравнение (1) перейдет в уравнение Lru — qR(y)u = 0, где Lr — равномерно эллиптический дивергентный оператор по переменным y с постоянными эллиптичности, не зависящими от R qR(y) = R2q(ж) ^ c2 = const, поэтому константа Харнака для решений u(y) в Q(1/2, 3/2) не зависит от R. Соответственно не зависит от R константа Харнака для решений и(ж) в Q(R/2, 3R/2).

Так как supsR и/ ln Rk — 00, k — 00, то в силу неравенства Харнака получаем Rk

infsRk и/ ln Rk — 0. Применяя принцип максимума, как и в доказательстве леммы 4, получим, что существование решения и(ж), растущего на некоторой последовательности окружностей SRk быстрее, чем ln |ж|, противоречит существованию решения U(ж) с логарифмическим ростом. Таким образом, решение из класса 1) может быть только знакопе-

| ж| > Ri

SR R

последовательность Rk — 0 такая, что и ^ 0 на Sffk, то в силу принципа максимума и > 0 в Q(R', 00), что невозможно. Таким образом, теорема полностью доказана. >

В заключение отметим, что интегральное условие убывания потенциала Jq q(z) ln |ж| dж < оо является смогом условия трихотомии J жlq(ж) (ж < 00 для

решений задачи Неймана в бесконечном цилиндре [5] (здесь ж! — переменная, соответствующая оси цилиндра).

Литература

1. Ландис Е. М., Панасенко Г. П. Об одном варианте теоремы типа Фрагмена — Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.—1979.—Т. 5.—С. 105-136.

2. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Мат. сб.—1980.—№ 4.—С. 588-610.

3. Ландис Е. М., Ибрагимов А. И. Задачи Неймана в неограниченных областях // Докл. РАН.— 1995.-Т. 343, № 4.—С. 17-18.

4. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Об асимптотике в окрестности бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле эллиптических уравнений второго порядка // Тр. семинара им. И. Г. Петровского.^1987.^Т. 2—С. 149-163.

5. Неклюдов А. В. О решениях эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Уфимск. мат. журн.—2016.—Т. 8, вып. 4.—С. 135-146.

6. Неклюдов А. В. О задаче Робена для эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Мат. заметки.^2018.^Т. 103, вып. 3—С. 417-436.

7. Неклюдов А. В. Асимптотика решений двумерного уравнения Гаусса — Вибербаха — Радемахера с переменными коэффициентами во внешней области // Сиб. электрон, мат. изв.—2018.—Т. 15.— С. 338-354.

8. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular Points for Elliptic Equations with Discontinuous Coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. Ser. 3.—1963.—Vol. 17, № 3.—P. 43-77.

9. Гилбарг Д., Трудигер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.—М.: Наука, 1989.—464 с.

Статья поступила 16 мая 2018 г.

Неклюдов Алексей Владимирович Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, доцент кафедры высшей математики РОССИЯ, 105005, Москва, Рубцовская наб., 2/18 E-mail: [email protected]

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 1, P. 37-50

TRICHOTOMY OF SOLUTIONS OF SECOND-ORDER ELLIPTIC EQUATIONS WITH A DECREASING POTENTIAL IN THE PLANE

Neklvudov, A. V.1

1 Bauman Moscow State Technical University, 2/18 Rubtsovskaya nab., Moscow 105005, Russia E-mail: [email protected]

Abstract. We consider a uniformly elliptic second-order divergent equation with measurable coefficients in two-dimensional domain Q external to the circle. An equation contains the lower nonnegative coefficient q(x) = q(xi,X2) of potential type in the stationary Schrodinger equation. Weak solutions in the Sobolev space W2l in any bounded subdomain are studied. The possible rate of solutions at infinity is considered. It is established that if the lower coefficient decreases with a sufficient rate then the positive solution exists and has the same rate at infinity as the fundamental solution of respective elliptic equation without lower term. The rate is logarithmic. This solution has uniformly bounded "heat flow" on circles of radius R. It is established Sen-Venan type inequality for Dirichlet integral of solution of power rate. Sen-Venan inequality leads to the evaluation of Dirichlet integral in a ring domain via average value of solution on the circle. It means that the solution has the same rate on the circle as its average value. Maximum principle implies that any tending to infinity solution has the logarithmic rate. The main result of paper is the trichotomy of solutions: The solution is either bounded, or tends to infinity with a logarithmic rate, preserving the sign, or oscillates and has a power-law rate of the maximum of the modulus. The basic condition for the decrease of the lower coefficient is formulated in integral form Jq q(x) ln |x| dx < to.

Key words: elliptic equation, unbounded domain, lower coefficient, asymptotic behaviour of solutions, trichotomy of solutions.

Mathematical Subject Classification (2000): 35J15.

For citation: Neklyudov, A. V. Trichotomy of Solutions of Second-Order Elliptic Equations with a Decreasing Potential in the Plane, Vladikavkaz Math. J., 2013, vol. 21, no. 4, pp. 37-50 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC. 2019.1.27733.

References

1. Landis, E. M., Panasenko, G. P. A Variant of a Theorem of Phragmen-Lindelof Type for Elliptic Equations with Coefficients That Are Periodic in All Variables But One, Trudy Seminara imeni I. G. Petrovskogo [Proceedings of the Petrovskiy Seminar], 1979, vol. 5, pp. 105-136 (in Russian).

2. Oleinik, O. A., Iosif'yan, G. A. On the Behavior at Infinity of Solutions of Second Order Elliptic Equations in Domains with Noncompact Boundary, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1981, vol. 40, no. 4, pp. 527-548. DOI: 10.1070/SM1981v040n04ABEH001849.

50

HeKjiioflOB A. B.

3. Landis, E. M. Ihragimov, A. I. Neumann Problems in Unbounded Domains, Doklady Akademii Nauk [Reports of Akademy of Science], 1995, vol. 343, no. 1, pp. 17-18 (in Russian).

4. Kondrat'ev, V. A. and Oleinik, O. A. Asymptotics in a Neighborhood of Infinity of Solutions with Finite Dirichlet Integral of Second-Order Elliptic Equations, Journal of Soviet Mathematics, 1989, vol. 47, no. 4, pp. 2596-2607. DOI: 10.1007/BF01105913.

5. Nekludov, A. V. On Solutions of Second Order Elliptic Equations in Cylindrical Domains, Ufa Mathematical Journal, 2016, vol. 8, no. 4, pp. 131-143. DOI: 10.13108/2016-8-4-131.

6. Nekludov, A. V. On the Robin Problem for Second-Order Elliptic Equations in Cylindrical Domains, Mathematical Notes, 2018, vol. 103, no. 3-4, pp. 430-446. DOI: 10.1134/S0001434618030094.

7. Nekludov, A. V. Asymptotic of Solutions of Two-Dimesional Gauss-Bierbach-Rademacher Equation with Variable Coefficients in External Area, Sibirskie Electronnie Matematicheskie Izvestiya [Syberian Electronic Mathematical Reports], 2018, vol. 15, pp. 338-354 (in Russian).

8. Littman, W., Stampacchia, G. and Weinberger, H. F. Regular Points for Elliptic Equations with Discontinuous Coefficients, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. Ser. 3, 1963, vol. 17, no. 1-2, pp. 43-77.

9. Gilbarg, D. and Trudinger, N. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Berlin, N.Y., Springer Verlag, 1977, 401 p.

Received May 16, 2018

Aleksey V. Neklyudov

Bauman Moscow State Technical University,

2/18 Rubtsovskaya nab., Moscow 105005, Russia,

Assosiate Professor of the Department of Higher Mathematics

E-mail: [email protected]