Поведение решений уравнения Гаусса-Бибербаха-Радемахера на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 3 (2014). С. 88-97.

УДК 517.956

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА НА ПЛОСКОСТИ

А.Б. НЕКЛЮДОВ

Аннотация. В работе изучена асимптотика решений уравнения Гаусса-Бибербаха-Радемахера Au = еи в области, внешней по отношению к кругу на плоскости. Установлено, что главный член асимптотики является логарифмической функцией, убывающей к —то. Найдены также вторые члены асимптотики при различных значениях коэффициента в главной части.

Ключевые слова: полулинейное эллиптическое уравнение, уравнение Гаусса-Бибербаха-Радемахера, асимптотическое поведение решений.

Mathematics Subject Classification: 35J15, 35J61, 35J91

1. Введение

Уравнение

Au = еи, (1)

возникает как модельное в задачах дифференциальной геометрии в связи с вопросом существования поверхностей отрицательной гауссовой кривизны [1], теории автоморфных функций [2], при изучении равновесия заряженного газа [3]. Вопросы существования решений уравнений вида (1) в неограниченных областях, в частности глобальных решений, рассматривались в работах [1], [4]-[8]. В частности хорошо известно [1], что глобальных решений уравнения (1) не существует при любом числе независимых переменных п, а при п > 3 не существует решений, определенных во внешности ограниченной области [8]. Поведение на бесконечности решений полулинейных эллиптических уравнений с экспоненциальной нелинейностью рассматривалось ранее в основном в цилиндрических областях [9]-[13]. В настоящей работе рассматривается асимптотическое поведение решений двумерного уравнения (1), определенных во внешности круга. Используется метод энергетических оценок типа принципа Сен-Венана [14]-[17], а также метод усреднения.

Рассмотрим уравнение (1) в двумерной области Q = {х : |х| > До} С Ri, где х = (х\,х2), A — двумерный оператор Лапласа. Будем считать, что u G C2(Q).

Введем следующие обозначения. Среднее значение функции и(х) на окружности Sr = {х : |х| = R}:

u(R) =- I uds,

"поток тепла"функции и(х) через Sr :

Г Яи

Р(R, и) = —ds = 2nRuU(R), (2)

JsR 9У

A.V. Neklyudov, Behavior of solutions to Gauss-Bieberbach-Rademacher equation on plane.

© НЕклюдов А.В. 2014.

Поступила 28 марта 2014 г.

где V — единичная внешняя нормаль к Sr. Пусть Q(a, Ъ) = [х : а < |ж| < Ь}, 0 < R0 < а < b. Очевидно, что для решения и(х) уравнения (1) в Q имеем

Р (b,u) = Р (a,u) + еа dx. (3)

jQ(a, b)

Будем также использовать обозначение Vu = grad и. Для условия f /д ^ 1 при некотором стремлении аргумента функций f и д будем использовать стандатное обозначение: f — д при данном стремлении.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

Теорема 1. Пусть и(х) - решение уравнения (1) в Q. Тогда справедливы следующие утверждения:

/ еа dx < ж;

Q

Р(R,u) ^ 2пС, u(R) - Сln R, R ^ ж, С = const < -2. Доказательство. Из (2) и (3) получим

Р(R, и) = 2kRm'(R) = Р(Ro, и) + / еа dx. (4)

jq(r 0,R)

Покажем, что правая часть равенства (4) отрицательна для всех R > R0. Предположим, что это не так, тогда при R > R\ = const > R0 получаем

Rv!(R) >ci > 0,

здесь и далее через Cj будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от рассматриваемого решения (1) и не завиящие от R,a,b,t и т.п. Отсюда при R > R2 = const > R\

u(R) > c2 ln R.

Используя интегральное неравенство Иенсена, отсюда получаем

[ еи ds > 2nRea(R) > 2жЕС2+\

Jsr

[ еи dx>c3RC2+2, jq(r0 ,r)

R > R3 = const > R2. Снова используя (4) и интегрируя, получаем

Ru'(R) > c4RC2+2, u(R) > c5Rc2+2, R> R4 = const > R3. Наконец, еще раз используя (4) и неравенство Иенсена, имеем при R > R§ = const

й' (R) > се + —^ I еи dx > се + 1 I геи(г) dr > ( I еи(г) dr) ' 2KRJq(r0,r) RJr0 \Jr0 J

Пусть JR еи(г) dr = z(R), тогда u(R) = ln z'(R), последнее неравенство можно записать в

IR о

виде

J!

— > -г1!2

> z

откуда при Р > Р6

z' > с^3/2.

Отсюда легко следует, что z(R) ^ ж, Р ^ Р7 — 0 для некоторого Р7 > Р6, что невозможно для решения, определенного при |ж| > Р0. Таким образом, полученное противоречие означает, что правая часть (4) отрицательна при всех Р > Р0, отсюда немедленно вытекает первое утверждение теоремы.

Из (4) тогда следует, что

Р (R, и) — 2ттС, U(R) - С ln R, R — то, С = const < 0. Из неравенства Иенсена также получаем, что

I гe"'(r) dr < — I еи dx < то, Jrо 2ж JQ

откуда вытекает, что С < — 2. Теорема полностью доказана. Лемма 1. Пусть f Е Сi(Q) П L1(Q),

/ г ( / |/| dx I dr < то. 'ro \jsr j

Тогда в Q существует решение V(x) уравнения

А V = f,

удовлетворяющее при R > Ri = const > R0 оценкам

j |V V|2 dx < Co In R, |V(R)| < ci In R. (5)

jq(ro,r)

При этом если f > 0 в Q, то V < 0 в Q. Если также выполнены условия

Г —i |/| dx < то, f |x|2/2 dx < то, (6)

Jr о r Jq(v,<X) Jq

то

/ |V V|2 dx < то, V(x) —У С = const, |x| —У то>. Jq

Доказательство. Для любого натурального N > R0 рассмотрим в области Q(R0,N) решение Vm краевой задачи

dVN

А VN = f, VN =0,

= СИ,

SN

1 ' ди

где

Очевидно, что при N > R > R0

Р) = Р) -[ ¡Ах = -[ ¡Ах.

JQ(R,N) JQ(R,<x)

С учетом того, что 2к RV'N( R) = РУм), получаем тогда при N > R >> R0

(R) | < с21п R.

Оценим интеграл Дирихле решения Ум. Очевидно, что

/ IV Ум|2 ¿х = СМ [ Ум ¿в -/ ¡Ум ¿х. JQ(Ro,N) JsN JQ(Ro,N)

Оценим интегралы в правой части (9). С учетом (8) имеем

См / Vm ds j Sm

2тгN| СмVм(N) | < сз In N. (10)

Так как в силу теоремы вложения для функций одной переменной и неравенства Пуанкаре sup sr \Vn - V^(r)\ < С4Г1/2( fSr\VVn\2ds)l/2, то

< C4r1/2(j VVN\2dsУ Г 2

f(Vn -Vn(r))ds

d

< 2

\V Vn\2ds + c5rl / \f\ds .

(I,1

'11)

В силу (8) имеем

Из (9)-(12) получаем

Vn (г) fds

< с6 ln г

d s.

'12)

\VVn\2dx < сз lnN + ^

JQ(R o,N) pN

+ c5 r J R1

2 jq(r0,N)

\V Vn\2dx+

(IH

ds dr + c6 ln N

'Q(Ri,N)

| | x.

'13)

Таким образом, получаем

[ VV*\2 ¿X < с7 1пМ.

Оценим теперь интеграл Дирихле функции V* по области Q(Ro,R) для произвольного Я £ (Яо,М):

Г дУ^

I( R) =

\VVn\2 dx

dv

VN -

fVN dx.

JQ(R0,R) JSR dly JQ(R0,R)

Оценивая второе слагаемое согласно (11)-(12), получим при R > R > R0

>Q(R 0,R)

\VVN\2 dx < cg lnR + 1

'Q(Ro,R)

\VVn\2 dx +

2-' ' 9VNVNds.

'Sr

dv

Используя неравенство Пуанкаре и (7), (8), отсюда получим

I( R) =

|V VN|2 x < 2

d VN

N

J Q(Ro,R)

= 2Р(R, Vn)VN(R) + 2

'Sr,

d

Vn ds + 2Cg lnR =

dVN ^

'SR

{Vn -Vn (R)) ds + 2 eg lnR <

< ^{r j \VVn\2ds + ln^ = cg(RI'(R)+lnR).

'И

Интегрируя полученное неравенство от Я до N > Я2, получаем с учетом (13)

/ я \ ^ г* 1

1(Я) < 1(N)( ^ + сюЯ^ (1г<си 1пЯ, 6> 0.

Таким образом, для любого фиксированного Я > последовательность V* равномерно ограничена в пространстве С.Л. Соболева Я)). Применяя стандартный диаго-

нальный процесс, получим последовательность , для любого Я > слабо сходящуюся в и сильно сходящуюся в ¿2к некоторой функции V. Так как — УМ1 — гармонические функции, то сходимость функций и их производных является равномерной в Q(Ro,R). Таким образом, функция V удовлетворяет уравнению (1) и, с учетом (8), для нее выполняются оценки (5).

S

г

S

S

г

г

2

Если f > 0 в Q, то из принципа максимума очевидно, что Vn < 0 в Q(R0, N) и V < 0 в

Q.

Пусть для функции f также выполнены условия (6). Тогда из (6) и (7) получаем, что

Г \V'(r)ldr = — Г \p(JVi dr < то, Jr о 2к Jro г

V(R) — С0 = const, R — то.

Аналогично из (7) также следует равномерная ограниченность |Vn( R)|. C учетом этого, проводя оценки вида (9)-(12), получим

|V VN |2 dx < Ci2,

IV У^ 2

JQ(Ro,N)

откуда получаем конечность интеграла Дирихле по Q для V.

Покажем, что в этом случае V(х) — С0, |х| — то. При R > 2R0 согласно оценке типа Де Джорджи [18], с.186, и неравенству Пуанкаре имеем для х € вд

IV(х) - ут2 <

< ciJr-2 f (V(z) — V(R))2dz + R2 f f2(z) dz) <

V Jq(r/2,3r/2) Jq(r/2,3r/2) J

|2 , / I — 12 t2(

< CU( |V V (z)l2 dz + lzl2f2(z)dz — 0, R — то.

v Jq(r/2,3r/2) Jq(r/2,3r/2) J

C учетом того, что V(R) — С0, R — то, получаем, что V(x) — С0, |x| — то. Лемма полностью доказана.

Лемма 2. Пусть д(г) > 0 — невозрастающая на [г0, то) измеримая функция, причем

/><х

( ) < то.

J го

Тогда

/><х

32

г g (r)dr < то.

'го

Доказательство. Из монотонности ( ) легко следует, что ( ) < -2 при г > ri = const > 0. Тогда r3g2(r) < гg(r), г > ri, откуда и следует утверждение леммы. Лемма 3. Пусть u(x) — решение уравнения (1) в Q. Тогда

r-i euds < с0,

J Sr

/ г ( / е и ds) dr < то.

jr0 V jsr j

Доказательство. В силу теоремы 1 и леммы 2 достаточно доказать, что g'(r) < 0 при всех г > Ro, где

g(r) = r-i j еи ds.

J Sr

Имеем

g'(г) = r-i i eu— ds. Jsr op

Предположим, что g'(ri) > 0 для некоторого ri > R0. Возьмем произвольное г > ri. Пусть в = 0(|x|) > 0 — срезающая функция класса С2, такая что 0(|x|) = 1 при |x| < г, 0(|x|) = 0

при |x| > г + 1, (6»'(|x|))2 < с1в(|x|) при г < |x| < г + 1, с1 = const > 0. Умножая обе части уравнения (1) на еив и интегрируя по области Q(ri,r + 1), получим

I (e2u + |Vu|V)0dx = — rig'( п) — / eu-°Uв'dx <

JQ(ri,r+i) JQ(r,r+1) 0 |x|

< / eu(lVul2e + C2)dx.

jQ{r,r+i)

Тогда

/ e2udx < c2 / eM dx — 0, r — то,

jQ{ri,r) jQ(r,r+i)

что невозможно. Противоречие показывает, что g'(г) < 0 для всех г > R0, что и доказывает лемму.

Теорема 2. Пусть u(x) — решение уравнения (1) в Q, для которого u(R) — С In R, С = const < —2, R — то. Тогда

u(x) = С In |x| + С1 + о(1), |x| — то, С1 = const.

Доказательство. Докажем сначала, что для любого е > 0 при |x| > R1 = R1(e) справедлива оценка

u(x) < (С + е) In |x|.

Заметим, что в силу теоремы 1 и леммы 3 функция f(x) = еудовлетворяет условию леммы 1, кроме, быть может, условий (6). Рассмотрим гармоническую функцию U = u — V, где V — решение уравнения AV = еи, существование которого установлено в лемме 1. Оценим коэффициенты Фурье по ip функции U на окружности Sr. Так как с учетом леммы 3 и теоремы 1

|u( r,p)ldp = 2 u+( r,p) dp — 2ttu( r,p)) < 2 eu{r,lf) dp + ci lnr < C2 In г o o o

(здесь u+ = max{u, 0}), то, используя оценки |V(r)| < c3 lnг, V < 0 и лемму 3, получим

/ |U (r,p)| dp < (|u(r,p)| + |V (r,p)|) dp < c4 ln r, r> r1 = const > R0. oo

Отсюда разложение U в ряд Фурье по p имеет вид

<x

U = a0 ln r + b0 + ^^ r-k(ak cos kp + bk sin kp). k=1

Тогда с учетом оценки интеграла Дирихле для V из леммы 1 получаем

I |Vu|2 dx < c4 ln R. (14)

jq{ro,r)

Зафиксируем e > 0, такое, что С + e < —2. При R > R2 = R2(e)

u(R) < (С + e/2) ln R. В силу (14) для всех R > 2R2 найдется r1 Е (R/2, R), для которого

2 ln R

|Vu|2 ds < 2C4——. Jsri R

Тогда, используя теорему вложения и неравенство Пуанкаре, получим при x Е Sri оценку u(x) — (С + е/2) ln R < (u(x) — u(r1)) + (u(n) — (С + e/2)ln n) <

\ 1/2

< Cur!'-\ I IVu12

с5г1/2( [ |Vu|2 ds) < Co ln1/2R, \ Jsri J

и(х) < (С + е)1пЯ, Я>Я3(е).

Аналогично это же неравенство выполнено при х £ вГ2 для некотогого г2 £ (Я, 3Я/2), если Я достаточно велико. Согласно принципу максимума это неравенство выполнено в Q(r 1, г2) и, в частности, при \х\ = Я. Отсюда при \х\ > Я4(е) имеем

и(х) < (С + е) 1п \х\.

Отсюда получаем, что еа(х) < с7\х\-2-ё в Q, 8 > 0. Таким образом, функция ¡(х) = еа(х удовлетворяет условиям (6). Отсюда получаем, что функция V — С0, \х\ — ж. Таким образом,

и(х) = и + У = С 1п \х\ + + о(1), С< —2 , \х\ —У ж>. Теорема доказана.

Перейдем к рассмотрению случая С = —2, т.е. и(Я) ~ — 2\пЯ. Очевидно, прямой аналог теоремы 2 не имеет места, так как в силу теоремы 1 ¡(еа с1х < ж. и, следовательно, решение не может быть представлено в виде и(х) = —2\п \х\ + С\ + о(1).

Лемма 4. Пусть и(х) — решение уравнения (1) в Q. Тогда для функции т(х) = и(х) — и(\х\) конечен интеграл Дирихле по Q:

/ \Уту\2 йх < ж. (

Доказательство. В силу [19] того, что Д(и(\х\)) = Ди(\х\), функция w удовлетворяет уравнению

Д1п = к(х) = еа — ~ёа.

Имеем

\Vw\i2 йх = — hwdх + — (15)

Для ^х) справедлива оценка вида (11): / hw йх

'((Ко,К) В силу леммы 3

Из (15)-(17) получаем, что

1 г (-п / с \2

I \Ч-\2дхх + С1 I г( [ \h\ds) ¿г. (16)

2 ](((Ко,В) ¿Ко V ¿Зг )

г \Щ ¿г < ж. (17)

'Ко

( \Vw\i2 йх < 2 [ + с2.

^л д1/

Применяя неравенство Коши-Буняковского и учитывая, что = 0, неравенство Пуан-

каре, получим

3(Я) =[ \Vw\2 йх < 2(1 w2ds] (I \Vw\2 с1в\ + С2 <

< с3Я \Vw\2 ¿8 + с2 = с3Я3'(Я) + с2.

Отсюда получаем, что либо функция 3(Я) ограничена, либо растет быстрее, чем 1п Я. Последнее невозможно в силу (14). Таким образом, лемма доказана.

Лемма 5. Пусть и(х) - решение (1) в Q, причем и(Я) ~ —21пЯ, Я — ж. Тогда для любого £ > 0 и для всех Я > Я^е) справедлива оценка

и(Я) < —21пЯ — 21п1пЯ + 1п2 + е.

ОО

Доказательство. Покажем сначала, что неравенство

u(R) > —2lnR — 2 ln ln R + ln2 + e (18)

не может выполняться при всех R > R1 = const > R0. Предположим противное. Пусть (18) верно для некоторого > 0 и для всех достаточно больших R. Тогда

eudx > 2тт / reu(r) dr > 2nMo -^ = -—0, Mo = const > 2.

JQ(R,^) Jr Jr rln2r lnR

Отсюда, учитывая, что Р(R,u) — — 4к, R — то, получим, учитывая (3), при всех R > R1

1 , 1 ( . f .. , \ , 2 M0

u (R) = ^~bP (R>u) = ^s — — eudx < —„ —

2к R 4 ' ' 2к ^ JQ(R^) J ~ R R 1nR

что противоречит неравенству (18). Итак, (18) не может выполняться одновременно для всех R, начиная с некоторого Rl. Это означает, что нижний предел при R — то функции г(R) = и^) + 21п R + 21п1п R — 1п 2 неположителен. Для того чтобы доказать утверждение леммы, достаточно показать, что г(R) не имеет положительных локальных максимумов. Если существует такая точка максимума R, то

п /.т 2 2 Р (^и) 2 2

0 = г'(R) = и' (R) + - + —— = ^ ' + „ +

R R 1п R 2кR R R 1nR

Тогда в этой точке

л ю = и' (R)__2__2(1 + 1п R) = 2, (_ Р(ад + Р' (R,u) V _2_

М R) = u (R) R2 R21п2 R =2Д R2 + R У R2 _2(1 + 1пЛ) = 2 + 2 + 1 Г 2 2(1+ 1п^ >

К21п2 R К2 + R21п R + 2жRJSR Н2 К21п2 R

> еа(к)--^ > 0.

R21п2 R

Таким образом, г" (R) > 0, что невозможно в точке максимума. Лемма доказана. Лемма 6. Пусть и(х) — решение (1) в Q, й^) ~ —21nR; R — то. Тогда

и(х) = й(|х|) + о(1), |х | — то.

Доказательство. Зафиксируем произвольное R > 2R0. В силу леммы 4 для некоторого г\ € ( R/2, R) выполнена оценка

[ |Vw|2ds< %, Jsrl R

где w(х) = и(х) — й(|х|). Тогда

\ 1/2

2

sup |w| < с2г1/2( IV wl2 ds) < сз.

Sri \ J sri /

Таким образом, используя лемму 5, получим для всех х € вГ1

и(х) < й(|х|) + сз < —21nR — 21п 1пR + с^. Аналогично для некоторого г2 € ( R, 3 R/2) имеем при х € вГ2

и(х) < й(|х|) + с5 < —21nR — 21п 1пR + с6. Согласно принципу максимума для всех х € получим

и(х) < —21п |х| — 21п1п |х| + с7,

откуда

еи(х) < -V-, < -V-.

I х |21п |х | | х |21п |х |

Согласно оценке Де Джорджи и неравенству Пуанкаре получаем

sup И2 < cJr-2 w2dx + R2 (Aw)2dx) <

Sr V JQ(R/2,3R/2) JQ(R/2,3R/2) J

-4

< Cn( lVwl2dx + ln-4R\ ^ 0, R

V JQ(R/2,3R/2) J

Лемма, таким образом, доказана.

Лемма 7. Пусть u(x) — решение уравнения (1) в Q, для которого u(R) ~ -2lnR. Тогда для любого £ > 0 и для всех R > R1(e) справедлива оценка

u(R) > -2lnR - 2lnlnR + ln2 - е.

Доказательство. Проведем рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве леммы 5. При этом интеграл Js еи ds нужно оценивать не снизу, а сверху, соответственно вместо интегрального неравенства Иенсена нужно использовать малое отклонение u(x) от его среднего по окружности Sr, установленное в лемме 6. Предположим, что для всех R > R1 выполнено неравенство

u(R) < -2lnR - 2lnlnR + ln2 - е. (19)

Тогда для всех R > R2 имеем u(x) < -2ln R - 2lnln R + ln2 - e/2,

eи dx < 2nMi —= 2^—1, Mi = const < 2. JQ(R,^) Jr rln2r lnR

Отсюда

u= mp(Ru) = m(- - jf e'dx) >-2 - —

IQ(R,<X>) J R R lnR

что противоречит (19). Таким образом, (19) не может выполняться для всех R > R1. Аналогично доказательству леммы 5 покажем, что функция z(R) = u(R)+2lnR+2lnlnR -ln2 не может иметь отрицательных минимумов, равномерно отделенных сверху от нуля. Действительно, в точке такого отрицательного минимума получим при достаточно большом R

1 Г 2

( R) = —^ еuds--^ < 0,

V ; 2п RJSr R2 ln2R '

что невозможно в точке минимума. Лемма доказана.

Таким образом, из теоремы 2 и лемм 5-7 немедленно вытекает следующий основной результат работы.

Теорема 3. Любое решение уравнения (1) в Q ведет себя одним из двух способов при |x| ^

1) u(x) = С ln |x| + C1 + о(1), С = const < -2; C1 = const;

2) u(x) = -2\n |x| - 2lnln |x| + ln2 + o(1).

Примерами решений уравнения (1), ведущих себя во внешности круга соответственно первым и вторым из указанных способов, являются решения u = - ln |x| — 2ln (|x| - 1) +ln 2 и u = -2ln |x| - 2lnln |x| + ln2 соответственно.

В заключение отметим, что поскольку [8] уравнение (1) в многомерном (п > 3) случае не имеет решений во внешних по отношению к шару областях, то задача поиска асимптотики решения (1) во внешних областях исчерпывается двумерным случаем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, 1961. 64. C. 5-8.

2. L. Bieberbach Аи = еи und die automorphen Funktionen // Math. Ann. Vol. 77. 1916. P. 173-212.

3. H. Rademacher Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. Braunschweig, Vieweg, 1935.

4. Олейник О.А. Об уравнении Аи + k(x)eu = 0 // УМН. 1978. 33. №2. C. 204-205.

5. J.N. Flavin, R.J. Knops, L.E Payne Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations on the half-cylinder // Z. Angew. Math. Phys. 1992. 43. №3. P. 405-421.

6. H. Usami Note on the inequality Аи > k(x)eu in Rra // Hiroshima Math. J. 1988 18. 1988. P. 661668.

7. Kuo-Shung Cheng, Chang-Shou Lin On the Conformal Gaussian Curvature Equation in R2 // Journal of differential equations. 1998. 146. P. 226-250.

8. Неклюдов А. В. Об отсутствии глобальных решений уравнения Гаусса и решений во внешних областях // Изв. вузов. Матем. 2014. № 1. C. 55-60.

9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Об асимптотике решений нелинейных эллиптических уравнений // УМН. 1993. 48. № 4. C. 184-185.

10. O.A. Oleinik Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations. Lezioni Lincee, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.

11. Насруллаев А.И. Об асимптотике решений задачи Неймана для уравнения Аи — еи = 0 в полубесконечном цилиндре // УМН. 1995. 50. № 3. C. 161-162.

12. Неклюдов А.В. Поведение решений полулинейного эллиптического уравнения второго порядка вида Lu = еи в бесконечном цилиндре // Матем. заметки. 2009. 85. № 3. C. 408-420.

13. Неклюдов А.В. Поведение решений нелинейного бигармонического уравнения в неограниченной области // Матем. заметки. 2014. 95. № 2. С. 248-256.

14. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. 112. № 4. C. 588-610.

15. O.A. Oleinik, G.A. Yosifian On the asymptotic behavior at infinity of solutions in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1982. 78. № 1. P. 29-53.

16. Неклюдов А.В. О задаче Неймана для дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченной области, близкой к цилиндру // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1991. 16. C. 191-217.

17. Неклюдов А.В. О решениях третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в полубесконечном цилиндре // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2013. № 2. C. 48-58.

18. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989. 464 c.

19. Каметака И., Олейник О.А. Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб.1978.107. № 4. С. 572-600.

Алексей Владимирович Неклюдов,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Рубцовская наб., д. 2/18, г.Москва, 105005, Россия, E-mail: [email protected]