О решениях эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 135-146.

УДК 517.956

О РЕШЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

А.Б. НЕКЛЮДОВ

Аннотация. В полубесконечном цилиндре расматривается эллиптическое уравнение второго порядка, содержащее младший член. На боковой поверхности цилиндра задано однородное условие Неймана. Показано, что любое ограниченное решение стремится на бесконечности к постоянной, причем при выполнении условия типа не слишком быстрого убывания младшего коэффициента уравнения эта постоянная равна нулю. Установлено, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента имеет место трихотомия решений, как и для уравнения без младшего члена - решение стремится к постоянной (вообще говоря, не равной нулю), либо растет с линейной скоростью, либо растет экспоненциально. Условия убывания младшего коэффициента сформулированы в интегральной форме.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, условие Неймана, неограниченная область, младший коэффициент, асимптотическое поведение решений, трихотомия решений.

Mathematics Subject Classification: 35J15, 35J25

1. Введение

Поведение решений эллиптических уравнений в цилиндрических или близких к ним областях при задании на боковой поверхности цилиндра условий Дирихле, Неймана или периодичности по всем переменным, кроме одной, изучено довольно хорошо для уравнений в дивергентной форме, не содержащих младших членов [1]-[4]. Для уравнений с младшими членами в основном изучен случай коэффициентов, периодических по переменной, направленной вдоль оси цилиндра [5], [6].

В настоящей работе поведение обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка, содержащих младший член, при граничных условиях Неймана на боковой поверхности цилиндра, изучается с помощью энергетических оценок типа принципа Сен-Венана [2]-[4]. Основное внимание уделено зависимости свойств решений от поведения коэффициента при младшем члене уравнения. Показано, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента поведение решений аналогично поведению решений уравнения в дивергентной форме без младших членов при граничных условиях Неймана (стремление ограниченных решений к постоянной, трихотомия произвольных решений). В случае медленного убывания младшего коэффициента поведение ограниченных решений аналогично поведению решений уравнения без младших членов при граничных условиях Дирихле (любое ограниченное решение стремится к нулю).

A.V. Nekludov,On solutions of second order elliptic equations in cylindrical domains. © НЕклюдов А.В. 2016. Поступила 28 октября 2015 г.

2. Основные обозначения и определения В n-мерном цилиндре П = (0, х П рассматривается уравнение эллиптического типа

Lu=¿ ¿(^(х) о^)- q(x)u=0, (1) i,j=1 ^ ^ 1'

где х = (х1,х2,... ,хп) = (х1,ж) G R™, П С R--1 - ограниченная область с липшицевой границей, а^(х) - измеримые функции в П, а^ = а^, А1|^|2 < Y^'ij=1 aij< ^2|£|2, £ G Rra, Ab \2 = const > 0, q(x) > 0 - локально ограниченная измеримая функция. На боковой поверхности цилиндра Г = (0, то) х дП задано краевое условие Неймана

ди

ди

= 0,

г

где ди/ди = ^(х)ди/дх1 ), п - единичная внешняя нормаль к Г.

Введем следующие обозначения: П(а,Ь) = П П {х : а < х1 < Ь}, ПI = П(£,£ + 1), Г(а,Ь) = Г П {х : а < х1 < Ь}, Г = Г(Ь,Ь + 1), вг = {х : х1 = I, х € П}, V« = gradи, т0 = шв8га-1П, й(Ь) = т-1 идьХ.

Под решениями (1)-(2) в П будем понимать обобщенные решения, т.е. функции, принадлежащие пространству С.Л. Соболева П(0,£)) для всех Ь > 0 и удовлетворяющие интегральному тождеству

[ ди ди Г

У^ —я— + = 0 (3)

¿П(0,г) I = Jn(0

для всех функций и € Ж21( П(0,£)), таких, что ^^и^ = 0.

3. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть и(х) решение уравнения (1) в П4; удовлетворяющее условию (2) на Г. Тогда справедливы оценки

\ 1/2 / ¡. \ 1/2

supSt+i/2 Н < Co^J и2 dx^j , supSt+i/2 (и - С) < Ci^J (и - С )2 dx^j

с0 не зависит от и, t; с1 не зависит от и, t, С > 0.

Доказательство. Известно, например [7, с. 185], что решение эллиптического уравнения второго порядка, удовлетворяющее однородному условию Неймана на Г4, для любой точки Г может быть с помощью локального распрямления границы и принципа симметрии продолжено в область ш, содержащую окрестность этой граничной точки, с сохранением структуры уравнения.

Пусть С > 0, к > 0, х0 е ш, р,а е (0,1), <р(х) е С 1(Rn), 0 < <р < 1, <р(х) = 1 при |ж — х°1 < р(1 — а), <р(х) = 0 при |ж — х°1 > р, |V^| < const/(pa). Возьмем р таким, что supp Lp С ш. Полагая в интегральном тождестве (3) v = max{w — С — к, 0}^ и учитывая, что f{x:и-с-к>0} qu(u — С — к) tpdx > 0, получим оценку

/ |Vw|2 dx < с2(ра)-2 (w — к)2 dx,

J Ak,P( i-о-) JAk,P

где w = и — С, Ak,K = {x : w(x) > к} П {x : |ж — ж0| < к}, c2 не зависит от w, к, р, а, х°.

Отсюда следует [8, глава II, теорема 5.3], что для любой области ш' СС ш справедлива оценка

\ 1/2 / с \ 1/2

2

supw/ w < w<2 dx^J < W<2 ^^

Покрывая r(i + 1/4, i + 3/4) конечным числом построенных окрестностей, получаем, что такая оценка справедлива для sup^+^,^/4 w и, следовательно, для supS(+i/2 w. Таким образом, вторая из требуемых оценок доказана. Кроме того, при С = 0 аналогично полученной оценке для sup и, получаем оценку для sup(-и). Лемма доказана.

Для решения и(х) уравнения (1), удовлетворяющего (2), стандартным образом введем понятие «потока тепла» через сечение St цилиндра П:

Р(t,и) = lim (h 1 [ У^ ——dx) = [ h^0+\ Mt,t+h) t! дхг J JSt

_i / v-^ UU \ I v-^ ди

- ' x " 1 ' } ац—dx,

'St ti дхг

последнее равенство справедливо для почти всех Ь > 0. Пусть 0 < Ь <Т, К > 0, К2 > 0. Положим в (3) V = Ф, где Ф = ф(х^ - непрерывная функция, Ф = 1 при t + К1 < Х\ <Т, Ф(£) = Ф(Т + К2) = 0, Ф - линейная при Ь < х1 < Ь + К и при Т < х1 < Т + К2:

[' ' д f' ' д f

h-1 У.аг1Ъ—^х — h-1 У.аг1Ъ—^х + диФ dx = 0. (4)

Jn(t,t+h,) ■ , дхг Jn(T,T+h■>.)■! дхг Jn(t,T+h2)

1 1 У2аг1 — h21

ln(t,t+h{) i=1 дхг JQ(T,T+h2) дхг jQ(t,T+h2)

Устремляя к нулю h1, а затем h2, получаем соотношение

Р (Т,и) — Р (£ ,и) = qudx. (5)

г,т)

Легко видеть, что при Ь > 0 в определении потока область интегрирования П(£+ К) можно заменить на П(£ — К, ¿).

Рассмотрим соответствующее уравнению (1) уравнение без младшего члена

' д { дУ\

w - £ цхгО1«=0 (6)

г, 3=1

Хорошо известно, например [9, теорема 2], что в П существует положительное решение V(х) уравнения (6), удовлетворяющее на Г однородному условию Неймана (^V/Uv) |г = 0 и оценке при х1 > 1

С1х1 < V(х) < С2х1, С1,С2 = const > 0. V(х) также удовлеторяет [10, формула (12)] условиям

I |V V|2 dx < С], = const, Р(t,V) = 1, t> 0, Jnt

второе условие выполняется после умножения V на постоянную. Для V при > 0 справедливо интегральное тождество

Г v^ UV UV ,

У v ох = 0 (7)

Jn(o,t) ¿=1 дхг дх3 для всех функций v Е W^(n(0, t)), таких, что w|SoUSt = 0.

Лемма 2. Пусть и(х) - ограниченное в П решение (1)-(2), М0 = supSou. Тогда в П справедлива оценка

и(х) < max{Мо, 0}.

Доказательство. Пусть V(х) - решение уравнения (6), определенное выше. Зафиксируем е > 0. Очевидно, что для функции w = и — eV имеем w < М0 на S0 и на ST(е) для достаточно большого Т(е). Так как Lw = eqV > 0 и (Uw/Uг/)|г = 0, то w не может иметь положительного максимума в П(0,Т(е)) U Г(0,Т(е)), то есть w < max{M0, 0}. Устремляя к 0, получаем утверждение леммы.

Лемма 3. Пусть u(x) - ограниченное в П решение (1)-(2). Тогда

/ (|Vu|2 + qu2) dx < то. Jn

Доказательство. Полагая в (3) v = иФ, где Ф = Ф(х1) G C2(R), 0 < Ф < 1, Ф = 1 при 1 < х1 < N , Ф = 0 при х1 < 0 и при х1 > N +1, (Ф')2 < сФ, с = const, используя эллиптичность уравнения и оценку вида ab < еа2/2 + Ь2/(2е), получаем оценку

/ (|Vu|2 + qu2)Ф dx < со + cJ |u||Vu||Ф'| dx <

Jn(0,N+1) JnN

< Со + (C2u2 + |Vu|2Ф) dх,

j qn

Ci = const > 0. Тогда

/ (|Vu|2 + qu2^ dx < c0 + c2 j u2 dx, (8)

JQ(1,N) JnN

откуда непосредственно следует утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть u(x) - решение (1)-(2) в П, V(х) - решение уравнения (6), определенное выше. Тогда

_ п N+1 г

u(N) = V(N) Р(t,u)dt - quVФ dx + IN,

Jn Jn(o,N+1)

где

| In | < c0\ |Vu|2 dx) + c1, c0, c1 = const > 0,

V JnN J

Ф = Ф(х1) - непрерывная функция, Ф(х1) = 1 при 1 < х1 < N, Ф(0) = Ф(N + 1) = 0, Ф -линейная при 0 < х1 < 1 и N < х1 < N +1.

Доказательство. Полагая в интегральном тождестве (7) v = uФ, получаем, что

[ Tat. WgL <№ = f ±а1 ^udx - f ±atl ^udx.

Jn(0,N+1) iJ=1 )xi oxj JnN i=1 dxi Jno i=1 dxi

Полагая в интегральном тождестве (3) для u пробную функцию v = VФ, получим

[ Va, )—я— Ф^х = — f quV Ф^х+

Jn(0,N+1) i-=1 OxiOxj Jn(0,N+1)

+ / ±aa^Vdx — i ±a,a%u-Vdx.

JnN i=1 axi Jn о i=1 axi

Из двух последних равенств, учитывая симметричность матрицы а^, получаем, что

f ^ )) ~V f ^

У^ац 7—udx = V, JnN i=1 °xi JQn i=1

ai1 ^—V dx — f quVФ dx + I0,

I0 = const - не зависит от N. Отсюда

_ rN+1 п

u(N) = V(N) Р(t, u)dt — quVФ dx+

Jn Jq(o,n+1)

n

+ [N E ^ ((V — V(N))^ — (u — u(N))dx + Io.

Используя неравенства Коши-Буняковского и Пуанкаре и оценку интеграла Дирихле для V, получаем

Щ с (N» f - (u - u(N»I) *

\1/2/~ ^ 1/2

<

( [ (V -V(N))2 dx] if \Vu\2 dx] + \JnN J \JnN J

+ ( I (u - u(N ))2dx] / if \VV\2 dx] / \Jqn J \Jqn J

< cj I \V V\2dx] if \Vu\2dx] < cj I \Vu\2dx\ ,

V JnN J V JnN J V JnN J

Ci > 0 не зависят от N. Тогда из (9) получаем утверждение леммы.

4. Поведение ограниченных решений

Теорема 1. Пусть u(x) - ограниченное в П решение (1)-(2), q(x) > 0 в П. Тогда для некоторого С = const

/ (u - С)2 dx ^ 0, t ^ ж.

Jnt

Если также выполнено условие \\g\\Lp(nt) ^ 0, t ^ ж, р > п/2, либо если С = 0, то

supSi \u - С\ ^ 0, t ^ ж.

Доказательство. Из ограниченности решения следует ограниченность u(t), поэтому для некоторой последовательности tk ^ ж, к ^ ж, имеем u(tk) ^ С = const. Тогда, используя неравенство Пуанкаре и конечность по лемме 3 интеграла Дирихле для u(x), получаем, что

(u - С)2 dx < 2 (u - u(tk))2dx + 2m0(u(tk)-С)2 ^ 0, к ^ ж.

Покажем, что \\u - С\\ь2(п4) ^ 0, t ^ ж. Предположим противное, тогда \\u - C\\l2(q ,) ^ 0 при к ^ ж для некоторой последовательности tk ^ ж и постоянной С' = С. Учитывая непрерывность функции u(t), без ограничения общности можем считать, что С и С' одного знака, например 0 < С < С'. Согласно лемме 1 имеем

sup s (u - С) < ak = c\\u - С\\ь2(о,г ) ^ 0, к ^ ж, с = const. По лемме 2, получаем, что

tk + 1/2 k

u < С + ak при x\ > tk + 1/2, что противоречит условию С < С'.

Утверждение теоремы относительно равномерности стремления u к постоянной следует при С = 0 из того, что L0(u - С) = qu и оценки Де Джорджи [2, с. 600] sup St+i/2 \u - С \ < c{\\u - С \\b2(nt) + \\ Qu\\lp (Qt)). При С = 0 это следует из леммы 1. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функция q(x) > 0 удовлеторяет одному из двух следующих условий:

1) q(x) > q0 = const > 0 в П,

2) Jnxiq(x)dx = ж, \\q\\Lp(nt) ^ 0, t ^ ж, р> п/2. Тогда для любого ограниченного в П решения (1)-(2)

sup St \u(x)\ ^ 0, t ^ ж.

Доказательство. Пусть выполнено условие 1). Тогда в силу лемм 1 и 3 получаем

г

sup St u2 < со u2 dx ^ 0,

J^t-1/2

t —У то, Со > 0 не зависит от t.

Пусть выполнено условие 2). Предположим, что и — С = 0 при x1 — то. Можно считать, что С > 0. По лемме 4 имеем

_ ГГ

V(N) Р(t, n)dt = quVФ dx + IN, (10)

JN Jn(0,N+1)

где |IN| < ci_ = const, Ф = Ф(х1) = 1 при 0 < x1 < N, Ф = N + 1 - x1 при N < x1 < N + 1. Так как по предположению и — С > 0, х1 — то, и, согласно теореме 1, эта сходимость является равномерной относительно Х Е 1, то и(х) > 0 в il (t0, то) для достаточно большого t0. Тогда из (5) следует, что Р(t,n) является неубывающей функцией от t при t > t0. Тогда, поскольку в силу леммы 3 JQ |Vn|2 dx < то, то Р(t,n) — 0, t — то, следовательно, Р(t,и) < 0 для достаточно больших t. Из условия 2) с учетом того, что и — С > 0, следует, что Jn qnV dx = +то, тогда левая и правая часть (10) имеют разные знаки, если N достаточно велико. Из полученного противоречия следует, что С = 0. Теорема доказана.

5. СЛУЧАЙ БЫСТРОГО УБЫВАНИЯ МЛАДШЕГО КОЭФФИЦИЕНТА: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ, ОБЛАДАЮЩЕГО ЛИНЕЙНОЙ СКОРОСТЬЮ РОСТА,

ТРИХОТОМИЯ РЕШЕНИЙ

Известно [11, глава VI, теорема 5], что для любого решения обыкновенного дифференциального уравнения

U' - q(t)n = 0, / tq(t) dt < то,

J to

на полупрямой t > t0 справедлива асимптотика n(t) ~ ct, с = const = 0, либо n(t) — const, t — то. Ниже будет показано, что при выполнении соответствующего интегрального условия на q(x) для решений (1)-(2) в l справедлив аналогичный результат с добавлением третьей возможности - экспоненциального роста (трихотомия решений).

Теорема 3. Пусть q(x) > 0 el , f^x^ (x) dx < то, ||g||Lp(nt) < с при t > t0 = const > 0,

p > n/2, с > 0 - некоторая постоянная, зависящая от П, \1, Х2. Тогда в l существует положительное решение U(x) задачи (1)-(2), удовлетворяющее условиям

U\ =0, A1.x1 < U(x) < A2.x1 (x1 > 1), A1,A2 = const > 0,

Р(t, U) — p0 = const > 0, t — то.

Доказательство. Пусть V(x) > 0 - введенное выше положительное линейно растущее решение уравнения (6) в 1, удовлетворяющее однородному условию Неймана на Г. Для произвольного N Е N в области 1(0, N) рассмотрим решение Un (x) задачи

dU

lun = 0, unL =0, unL =^n, n

ISO ' "\SN Qy

= 0.

r(o,N)

Согласно принципу максимума и^ не может иметь отрицательного минимума в 1(0, N) и на Г(0, N), следовательно, и^ > 0 в 1(0, N). Полагая в интегральном тождестве (3) для и = им пробную функцию V = имФ, где Ф = Ф(ж1) непрерывная функция, Ф = 1 при

0 < x1 < N — h, Ф(М) = 0, Ф - линейная при N — h < x1 < N, получим

[ ^ dUN dUN ж , [ Тт2 ж 1

Ф dx + / 4U2nФdx

'n(0,N)i j=1 c>xi °xj JQ(0,N)

h 1 i UN ai1 dx =

JQ(N—h, N) i=1 0xi

n ^ f)TT Г ^ Orr

h—1 (Un — C1N) Va%1 ^ dx + h—1C1N Vaa^ dx.

JQ(N—h,N) i=1 0xi JQ(N—h,N) i=1 0xi

Так как ( Un — C1N)| = 0, то из неравенства вида Фридрихса L(N—h,N) Р2 dx < °0h2 Jq(N—h,N) dx, ^lsN = 0 Co = const, пОЛучаем

| UN |

h

1

( Un — C1N )Vai1 —N dx

lQ(N—h,N) i=1 0xi

< C1 IV Un I2 dx ^ 0, h ^ 0,

Jn(N—h,N)

здесь и далее в доказательстве Ci = const > 0 зависят только от П, А1, Л2. Тогда из предыдущего равенства получаем, что

/ V an^^ dx + / qUN dx = C1NP(N, Un).

Jn(0,N )i j=1 0xi °xj Jn(0,N)

Отсюда, учитывая, что Un|s =0 и, следовательно, справедливо [2, формула 46] неравенство

moC^N2 =f U2Ndxc < C2n[ IVUnI2 dx,

JsN Jn(0,N)

получаем

P (N,Un ) > C3N—1j IVUn I2 dx > C4 > 0. (11)

Jn(0,N)

Для функции w = UN — V имеем Lw = qV > 0 в П(0, N), (dw/dv)Ir(0,N) = 0, w|SoUSn < 0. Тогда w не может иметь положительного максимума в П(0, N) U Г(0, N). Отсюда w < 0 в П(0, N). Таким образом, в П(0, N) справедливо неравенство

0 <UN < V. (12)

Так как согласно (5) при t < N

P (t ,Un ) = P (N,Un ) — f qUNdx,

JQ( t,N)

то из (11) и (12) получаем, что существует t0 > 0, такое, что для всех t > t0 и N > t

P(t, Un) > C4/2 > 0. (13)

Из оценок (12) и (8) следует, что последовательность UN (N > t) ограничена в W2],(Q1(0, t)) для любого > 0. Отсюда, применяя диагональный процесс, получаем последовательность UNk, слабо сходящуюся в W21(H(0, t)) и сильно сходящуюся в L(^(0, t)) для любого t > 0 к некоторой функции U. Очевидно, что U удовлетворяет (1)-(2) и оценке 0 < U(x) < V(x) < C2x1 почти всюду в П(1, то) и, в силу непрерывности по Гёльдеру обобщенных решений эллиптических уравнений второго порядка [8, глава III, теорема 14.1], 0 < U (x) < V (x) < C2x1 всюду в П(1, то). Из (5) получаем, что P (t ,U) ^ р0 = const, t ^ то. Так как из (4) следует, что P(t, UN) = /0 P(т, UN) dr + fQ(0t) qUNФ^) dx, Ф = x1 при 0 < x1 < 1, Ф = 1 при 1 < x1 < t, то P (t ,U) = P (t ,UNk). Учитывая (13),

получаем, что P(t, U) > c4/2 при t > t0 и p0 > c4/2 > 0.

Оценим интеграл Дирихле для и. Полагая в интегральном тождестве вида (3) для и(х) пробную функцию V = иФ, где Ф = Ф(х1) - непрерывная функция, Ф = 1 при 0 < х1 < Ь, Ф(£ + К) = 0 ; Ф - линейная при Ь < х1 < Ь + К; к> 0, получим

[ А ди ди [ ~ , 1_1 Г ди ,

— я—Ф + ци Ф ах = к и У^аа —— ^х.

1п(о,г+ъ) ¿¿=1 &хг дхз 1п(о,г+ъ.) 1п(г,г+ъ) = ^хг

Устремляя К к нулю, получим, что для почти всех Ь > 0

A dUdU f тт2 1 [ A QU У at3 — —dx + qU dx = U) ац — f=1 Qx Qx3 Jmt) JSt ^ dx

Jn(0,t) iij=1 dXdxj Jq(0,t) Отсюда для почти всех t > 0 получаем

а^-———dx + qU2 dx = Uy а^ ——dx. (14)

n n n f)T T

I(t) = |VU|2 dx < cb\ U V ац —dxc < c6t^F(tj. Jn(0,t) Jst dx

Тогда, интегрируя неравенство VI 2 > с621 2 от Ь до Т и устремляя Т к то, получим

Щ < Ф.

Пусть N0 е N - такое, что /Г(т ^^и ¿х < с4С1/(3С2) и Р (í ,и) > с4/2 при Ь > N0. Из леммы 4 для и = и в области 1(Щ, то), используя неравенство Пуанкаре и оценку интеграла Дирихле для и, получаем для достаточно больших N > N0

_ _ ,-N+1 р

и(^) >V(N) Р(г,и)сН - qUVdх - ^1/2 >

ии 1п(М0,М+1)

> саС^/2 - С2^ + 1)С4С1 /(ЗС2) - C7N1/2 > с^.

Оценим отклонение и от и ^) в области . Так как функция и - и ^) удовлетворяет в 1 уравнению Ь0(и - и^)) = qU и однородному условию Неймана на Г, то для р > п/2 имеем с учетом оценки Де Джорджи [2, с. 600], неравенства Пуанкаре и оценки функции и и ее интеграла Дирихле, что

sup (U-U(N))2 < Jf (U-U(N))2dx + imilp(nN)) <

N+1/2 V J^N /

+1/2 \ JQn

2

--8

< C10(N + c2N2) < c28N2/4, N >N0 = const,

если c10c2 < c|/5. Учитывая линейную оценку снизу для U(N), получаем требуемую оценку снизу для U(x). Теорема, таким образом, доказана.

Лемма 5. Пусть q(x) > 0 в 1 , ||д||ьр(п4 < с! при t > t1 = const для некоторого р > n/2,

d - некоторая постоянаая, зависящая от 1, А1, Х2; n(x) - решение (1)-(2), причем для некоторой последовательности tk — то выполнено условие supn, |n| = o(exp(Aik)),

к — то, где A> 0 - некоторая постоянная, зависящая от 1, А1,А2. Тогда существует, последовательность t'k — то, к — то, такая, что справедлива оценка

n(t'k) - 2ln(tk)| - h < n(x) < n(tk) + 1 ln(tk)| + h, x Е S,k+1/2, Д > 0 не зависит от к.

Доказательство. Используя оценку (8), получаем

/ |Vn|2 dx < I0 + cJ n2 dx = o(exp(2Atk)), к — то, (15)

Jn(o, tk) Jntk

Ci = сДП, Ai, Л2) > 0, Iq > 0 не зависит от к Е N. Покажем, что для некоторой последова-

тельности t'k ^ ж

\Wul2dx <8 \Vul2 dx, ¿ = exp{2A} — 1 > 0. (16)

Jnt,k Jn(Q,t'k)

Действительно, в противном случае для произвольного t > tQ = const

I iVul2 dx = iVul2 dx — / iVul2 dx > 8 / lVuf dx

Jn(Q,t+1)

откуда получаем, учитывая (15), что

>

nt Jn(0,t+1) Jn(0,t) Jn(0,t)

/ 1^и12 dx< (1 + 8)~Ч VI2 ¿х < ...

••• < (1 + 8)-Мк [ №и12 dx = (1 + 8)-Мк о(ехр{2 A(t + Nk)}) ^ 0, к ^ ж,

если брать Nk Е N такие, что Ьк — 1 < Ь + Nk < Ьк. Таким образом, Vи = 0. Итак, справедлива оценка (16). Тогда из (15) и неравенства Пуанкаре получаем

^и^х <8 (1о + и2dx] < С28[ ^и^х + и2 (4) + 1о).

Iп., V ио., ) V и о.., )

гк гк гк

Если 8 < с-1/2, то

[ ^и12 dx < 2С28(й2(4) + 1о). (17)

ип.,

гк

Оценим отклонение и(х) от й^к). По лемме 1, используя неравенство Пуанкаре и оценку (17), получим

sup +1/2u2 < с^ l^ul2 dx + u2 (t'k ^ < Ci{(8 + 1)u2(t'k) + 5 Iq).

lk

Отсюда, учитывая, что L0(u — u(t'k)) = qu, используя оценку Де Джорджи [2, с. 600] и еще раз неравенство (17), получим при к > к0 = const

suPsti+1/2 (u — u(tk))2 < °5(fn (u — u(tk))2 dx + ll(lullLP(\)) <

lk

< cj [ lVul2dx + (c')2((8+1)u2(t'k) +8IqU <

\ JnJ

lk

< ^(u2(Hk) + Iq) + (c')2((8+1)u2(fk) +SIo^ < 4(й2(А) + Iq),

если c7(c')2 < 1/8 и c78(1 + (с')2) < 1/8. Таким образом, утверждение леммы справедливо для последовательности t'k, к > к0, с! = (8с7)-1/2, 8 = min{с--1 /2, (8 C7(1 + (d)2))-1},A = 2-1 ln(1 + 5).

Лемма 6. Пусть для u(x) выполнены условия леммы 5 и, кроме того, fn x^(x) dx < ж и IMUpCn) < с при t > t0 = const, где с > 0 - постоянная из теоремы 3. Тогда для всех x1 > 1

|u(x)| < Cx1, С = const > 0.

Доказательство. Предположим противное, тогда для некоторой последовательности tk — то

sups_ luWtk — то, к — то. (18)

гк

Пусть U — линейно растущее решение (1)-(2) в 1, существование которого доказано в теореме 3. Применяя к функциям n±c0U при достаточно большом с0 > 0 принцип максимума, получаем, что из (18) следует, что sup St lnl/t — то, t — то. Пусть t'k — последовательность, для которой справедливо утверждение леммы 5. Без ограничения общности можно считать, что sup st,+1/2П > 0. Тогда в силу леммы 5 получаем, что \nfst, +1/2n/t'k — +то,

к — то. Применяя принцип максимума к функции U - 1 - n для достаточно большого с1 > 0, и устремляя ек 0, получим, что U < с1 в 1( t[ + 1/2, то), что противоречит линейному росту U. Полученное противоречие показывает, что соотношение (18) неверно, что и доказывает лемму.

Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 6, и, кроме того, выполнено условие Р(t,и) — 0, t — то. Тогда решение (1)-(2) u(x) ограничено в 1.

Доказательство. Согласно лемме 6 |u(x)| < Сx1, x1 > 1, тогда fn(0t) x1 Qudx = o(t), t — то. Из леммы 4 тогда получаем, что

\ 1/2

и\2 dx\ , t —> оо,

|ü(í)| < o(t) + ci^J lVul2dx^j , t

c1 > 0 не зависит от t. Оценивая интеграл Дирихле для и так же, как это делалось при доказательстве теоремы 3 для функции U, получим, что fQ(0t) I^U"2 dx < c2t, c2 > 0 не зависит от t. Тогда U(t) = o(t). Используя утверждение леммы 5, получим, что supo, |и| = о(tk) для некоторой последовательности tk ^ ж, т.е. u(x) < с0 + eU на S^ U Stk при к > к0(в). Применяя принцип максимума и устремляя ек 0, получим, что u(x) < с0 для достаточно больших x1. Аналогично получим оценку снизу. Лемма доказана.

Основной результат о трихотомии решений в случае быстрого убывания младшего коэффициента уравнения состоит в следующем.

Теорема 4. Пусть q(x) > 0 в Vi, f^x^(x) dx < ж, ||д||ьр(п4) < min{с, с'} при t > t0 = const, с, с! - постоянные из теоремы 3 и леммы 5 соответственно. Тогда любое решение (1)-(2) ведет себя одним из трех возможных способов:

1) u(x) ограничено в V;

2) supQí |u| > С0 exp(Aí), где постоянная А> 0 зависит от П, Х1, Х2; С0 = const > 0;

3) C1x1 < u(x) < C2x1 при x1 > x^ = const > 0, С1,С2 = const, С1С2 > 0.

Доказательство. Согласно лемме 6 существует такое А > 0, что любое решение (1)-(2), не удовлетворяющее условию 2), удовлетворяет неравенству |u(x)| < c0x1 при x1 > 1, с0 = const. Для такого решения из (5) следует, что существует конечный предел lim Р(t, и).

Тогда для решения (1)-(2) w = и — p1U, где U - линейно растущее решение (1)-(2) из теоремы 3, р1 = const, получим lim Р(t,w) = 0. Согласно лемме 7 функция w ограничена

в V. Таким образом, получаем, что и = w + piU удовлетворяет либо условию 1) при р1 = 0, либо условию 3) при i = 0. Теорема доказана.

В заключение покажем, что для предельной постоянной С ограниченного решения в случае быстрого убывания младшего члена уравнения можно указать явную формулу, выражающую С через значения решения на основании цилиндра S0.

Теорема 5. Пусть функция q(x) удовлетворяет условиям теоремы 3. Тогда для предельной постоянной С ограниченного в V решения (1)-(2) u(x) справедливо представление

С = lim h-if и ±0» ^d*.

где и(х) - линейно растущее решение (1)-(2) из теоремы 3, удовлетворяющее условию

р(г,и) ^р0 = 1, г^ж.

Доказательство. Пусть Фh,N = Ф^(х1) - непрерывная функция, Ф^, N(х^ = 1 при К <х! < N, Ф^(0) = Ф^^ + 1) = 0, Ф^ - линейная при 0 < х! < К и N < х! < N +1. Полагая в интегральном тождестве (3) для и(х) V = иФ^, получим

/ 7й Фь^дх = —[ qиU Фн^дх+

+1) .¡,^=1 Охг °хз +1)

f ^ 0U , 1-1 f ^ 0U ,

+ / и} aа-— ax — h и} a^ ——ax.

Jün öxi Jrnh) öxi

Пусть функция ФN(х1) = 1 при 0 < х1 < N, ФN(х1) = N + 1 — х1 при N < х1 < N + 1. Полагая в интегральном тождестве (3) для и пробную функцию V = иФN, получим

^ Ои dU f f ^ Ои

y^aijФN dx = — quUФNdx + U V] an

ij=1 OxiOxj Jü(0,N+1) Jün i=1 öxi

aj,j—— ~—ФN dx = — I q—UФNdx + / U/J a— dx.

JQ(0,N+1) j,,j=1 dxidxj JQ(0,N+1)

Из двух последних равенств, учитывая симмметричность матрицы a^, получим

f иУаг1 ^^ dx = f dx + h-1 f uV^ ai1 ^^ dx+

JnN dx JnN dx Jn(o,h) dx

+LS ¿л й ё+guU)- 4 dx-

Устремляя h к нулю, получаем

f u V^ ai1 ^^ dx = f U V^ ai1 dx + lim h-1 f u V^ ai1 ^^dx. JüN 9xi JÜN 9xi M0,h) dxi

Отсюда

fN+1 _ r-N+1 n du

u<N) P<t,U)dt =U<N) P<t,u)dt + lim h-1 uV aa — dx+

JN JN J ü(0,h) dxi

r n / __ß— ßTTs

+ jQN E ^ (( U — U(N))^ — (u — —(N))^ ) dx.

:19)

Левая часть (19) стремится к С при N ^ ж. Так как для ограниченного решения u(x) имеем fQ \VuI2 dx < ж, то из (5) получим, что Р(t,u) ^ 0, t ^ ж и Р(t,u) = — fQ(t^) qudx.

Тогда IP (t ,u)l < Co Jn(t^)Qdx < c0t-1 fQ(-t ^ x1q dx = o(t-1), t ^ ж, здесь и далее Ci = const > 0. Тогда первое слагаемое в правой части (19) стремится к нулю при N ^ ж. Так как JQ(Q N) IVUI2 dx < c1N, то существует последовательность Nk ^ ж, к ^ ж,

для которой L IVUI2 dx < с2. Применяя неравенства Коши-Буняковского и Пуанкаре,

k

получим с учетом леммы 3, что

г п / _ ои ßU\

jQN Y.^(U — UN))^ — (u — —(Nfc))^Jdx

<

< Jf IV—I2 dx^j (i IVUI2 dx) ^ 0, к^то. \JüNk ) \JüNk )

Таким образом, из (19) получаем утверждение теоремы.

Заметим, что полученное выражение для предельной постоянной С зависит только от значений функции щ(х) на 50. Действительно, для функций щ и щ2, таких, что (щ — Щг)!^ = 0, имеем

-1

h

f '— U

(ui -П2)У2ац —— dx ln(0,h) —xi

\ 1/2

<

( f |V(ui -U2)l2dx] ( I IV—l2dx] ^ 0, h ^ 0. V Jn(0,h) J V Jn(0,h) J

1п(0,н) ) \ )

Очевидно, что для классического решения предельная постоянная С явно определяется через интеграл по 50:

С [ dt— гп

С = / u У ац—— dx.

Js0 —xi

В простейшем случае оператора Лапласа L = А имеем — = 1x1, С = 1 fs udx, что

очевидно следует и из того, что fSt т^ dx = const, причем для ограниченного решения эта константа равна нулю.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландис Е.М., Панасенко Г.П. Об одном варианте теоремы типа Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной// Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 1979. 5, С. 105-136.

2. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей// Матем. сб. 1980. 112. № 4. С. 588-610.

3. O.A. Oleinik, G.A. Yosifian On the asymptotic behavior at infinity of solutions in linear elasticity// Archive Rat.Mech. and Analysis. 1982. 78. №1. P. 29-53.

4. Неклюдов А. В. О задаче Неймана для дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченной области, близкой к цилиндру// Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1991. 16. С. 191-217.

5. Пятницкий А.Л. О поведении на бесконечности решения эллиптического уравнения второго порядка, заданного в цилиндре// УМН. 1982. 37. №2. С. 231-232.

6. Неклюдов А. В. О решениях недивергентных эллиптических уравнений второго порядка, определенных в неограниченной области// Вестник Московского университета, сер. 1. Матем. Мех. 1989. № 1. С. 93-95.

7. Кондратьев В.А. О положительных решениях слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях// Тр. МИАН. 250. 2005. C. 183-191.

8. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 540 с.

9. Лахтуров С.С., Об асимптотике решений второй краевой задачи в неограниченных областях // УМН. 1980. 35. №4. С. 195-196.

10. Неклюдов А. В. Поведение решений полулинейного эллиптического уравнения второго порядка вида Lu = еи в бесконечном цилиндре// Матем. заметки. 2009. 85. № 3. С. 408-420.

11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Издательство иностранной литературы. 1954. 216 с.

Алексей Владимирович Неклюдов,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Рубцовская наб., д. 2/18, г.Москва, 105005, Россия, E-mail: [email protected]