TRIEDRLAR BILAN TEKISLIKDAGI UCHBURCHAKLAR ORASIDAGI O’XSHASHLIKLAR Текст научной статьи по специальности «Математика»

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

TRIEDRLAR BILAN TEKISLIKDAGI UCHBURCHAKLAR ORASIDAGI

O'XSHASHLIKLAR

Olimbayev To'lqin

Urganch davlat universiteti Ro'zimova Sarvinoz

Urganch davlat universiteti talabasi

ANNOTATSIYA

Mazkur maqolada ko'p uchramaydigan uch yoqli burchaklarga oid ba'zi malumotlar tahlil qilingan. Bular orqali o'quvchi fazoviy jisimlarni tassavur qilish, ular haqida ko 'nikma hosil qilsh uslubi bayon etilgan.

Kalit so'zlar: Burchak, tengsizlik, isbot, kosinuslar teoremas, bissektrisa, burchak.sinuslar teoremas,og^rlik markazi,yassi burchak,ikkiyoqli burchak.

ABSTRACT

This article analyzes some information about the less common triangles. Through these, the student's way of imagining spatial bodies and forming skills about them is described.

Key words: Angle, inequality, proof, cosine theorem, bisector, angle.sine theorem, center of gravity, plane angle, two-sided angle.

KIRISH

Akademik litseylar va kasb hunar kollejlarida stereometriya kursini o'qitishda fazoviy jismlarning xossalarini ularga planimetriya kursidan ma'lum bo'lgan tekislikdagi figuralarning xossalariga bog'lab o'rgatish o'rganilayotgan fazoviy jismlar haqidagi tassavurlarni kengaytirishga, tekislikdagi va fazodagi jismlarning o'zaro o'xshash tomonlarini ko'ra olishga imkon beradi.

Jumladan, uchburchak va tetraedrning bir qancha o'xshash xossalari, ko'plab geometrik tushunchalarda esa uchburchak bilan bog'lanishlarini ko'ramiz, fazoviy o'xshashlikka ega bo'lamiz. Masalan: uchburchak tomoni va tetraedr yoqi, ichki chizilgan aylana - ichki chizilgan sfera, tashqi chizilgan aylana - tashqi chizilgan sfera, yuza - hajm, burchak bissektrisasi - ikki yoqli burchak bissektrisa tekisligi va hokazo.

Bu o'xshashliklar faqat tashqi tomondan emas. Agar formulalardagi planimetrik terminlarni ularga mos stereometrik terminlar bilan almashtirsak ko'pchilik uchburchak haqidagi teoremalar tetraedr haqidagi teoremalarga aylanadi. Quyida shunday bir qancha teoremalarni va o'xshashlik munosabatlarini ko'rib o'tamiz.

Dastlab triedr va uchburchak orasidagi ba'zi o'xshashliklarni ko'rib chiqamiz. Triedrning a, [ , y yassi burchaklarini ABC uchburchakning a, b , c tamonlariga,

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

A , B , C ikki yoqli burchaklarini esa uchburchakning AA , AB , AC burchaklariga mos qo'ysak triedrlar va uchburchaklar o'rtasida ajoyib o'xshashliklar kelib chiqadi.

Triedrning ixtiyoriy ikkita yassi burchagi yig'indisi uchinchi yassi burchakdan katta bo'ladi:

ß + y> a

Uchburchaklarda esa uning ixtiyoriy ikkita tamoni yig'indisi uchinchi tamondan katta bo'lardi:

b + c > a

Triedrlar uchun kosinuslarning ikkinchi teoremasi quyidagicha ifodalanadi: cos A = - cos B cos C + sin B sin C cosa

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos ß

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos y

Yuqoridagi tengliklardan foydalanib quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

A + B + C-n p p-a p - ß p-y /sfcN

a+ß + y

Bu yerda p =---.

Uchburchaklar uchun Geron formulasi quyidagicha bo'ladi: S = Vp(p - a)(p - b)(p - c) (**)

a + b + c

Bu yerda p = —-—.

(*) va (**) tengliklarga nazar tashlasak bu tengliklar orasidagi o'xshashlikni ko'rishimiz mumkin.

Triedrlar uchun sinuslar teoemasi uchburchaklar uchun sinuslar teoemasiga analogdir:

Triedr uchun sinuslar teoremasi. Triedrning ikki yoqli burchaklarining sinusi ularning qarshisida yotgan mos yassi burchaklari sinusi bilan proporsional:

sin A sin B sin C

sin a sin ß sin y .

Uchburchaklar uchun sinuslar teoremasi. Ixtiyoriy uchburchakning burchaklarining sinusi ularning qarshisida yotgan mos tamonlari bilan prorsional:

sin A sin B sin C a b c

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

Triedming mediana tekisligi va uchburchakning medianasi orasidagi o'xshashlik: Triedrni hosil qiluvchi qirrasi va uning qarshida joylashgan yassi burchak bissektrisasi orqali o'tgan tekislik ushbu triedrning mediana tekisligi deyiladi.

Uchburchakning uchidan chiqib uning qarshisida joylashgan tamonning o'rtasini tutashtiruvchi kesma ushbu uchburchakning medianasi deyiladi.

Triedrning uchta mediana tekisligi umumiy to'g'ri chiziqga ega. (Bu to'g'ri chiziq triedrning medianasi deyiladi).

Uchburchakning uchta medianasi bitta nuqtada kesishadi. (Bu nuqta uchburchak og 'irlik markazi deyiladi).

Triedrning bissektrisa tekisligi va uchburchakning bissektrisa orasidagi o'xshashlik:

Triedrning qirrasidan chiqib, bu qirraga tegishli ikki yoqli burchakni ikkita teng bo'lgan ikki yoqli burchakka bo'luvchi yarim tekislik mazkur burchakning bissektrisa yarimtekisligi deyiladi. Bu yarim tekislikni o'z ichiga olgan tekislik ikki yoqli burchakning bissektrisa tekisligi deyiladi.

Uchburchak uchidan chiquvchi va bu uchdagi burchakni ikkita teng bo'lgan burchakka bo'lib, qarama-qarshi tamonga tutashuvchi kesma uning bissektrisasi deyiladi.

Triedrning ikki yoqli burchaglari bissektrisa tekisliklari uning yoqlariga teng og'ishgan umumiy to'g'ri chiziqga ega.

Uchburchak burchaklari bissektrisalari bitta nuqtada kesishadi.

Triedrning balandlik tekisliklari orasidagi o'xshashlik:

Triedrning har bir qirrasidan o'tuvchi va mos ravishda qarama-qarshi yoqlariga perpendikulyar bo'lgan uchta tekislik berilgan triedrning balandlik tekisliklari deyiladi.

Uchburchak uchlaridan chiquvchi va mos ravishda qarama-qarshi tamonlarga perpendikyular bo'lib tutashuvchi uchta kesma bu uchburchakning balandliklari deyiladi.

Triedrning uchta balandlik tekisliklari umumiy to'g'ri chiziqga ega. Bu to'g'ri chiziq triedrning orto o'qi deyiladi.

Uchburchakning balandliklari bitta nuqtada kesishadi.

Agar triedrning orto o'qi uning ichida yotsa, triedrning balandlik tekisliklari

mos yoqlarini ax, bx, cl nurlar bo'yicha kesib yasalgan triedr uchun bu balandlik tekisliklar uning ikki yoqli burchaklari bissektrisa tekisliklaridan iborat bo'ladi.

Agar uchburchakning balandliklari uning ichida kesishsa, bu balandliklarning uchburchak tamonlari bilan tutashgan nuqtalari orqali yasalgan uchburchak uchun bu balandliklar uning bissektrisasi bo'ladi.

Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784

educational, natural and social sciences 4(6), June, 2024

Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz

Endi tetraedr va uchburchak orasidagi ba'zi o'xshashliklami ko'rib chiqamiz.

1 - teorema. ABC uchburchakning C burchagining CD bissektrisasi uning qarshisida yotgan tomonni AC va BC tomonlariga proporsional kesmalarga ajratadi.

Isboti: Faraz qilaylik, ADC va DBC uchburchaklarning asoslari mos ravishda AC va BC kesmalar bo'lsin (1-rasm). D nuqta ACB burchakning tomonlaridan teng uzoqlashgan bo'ladi. Shuning uchun

SadcJ^

sbdc \bc\

1-rasm.

Endi bu uchburchaklarning asoslarini AD va DB kesmalar deb faraz qilsak, quyidagiga ega bo'lamiz:

S^JAD

SBDC |BD\ '

Bundan jAD=|AC.

\BD\ \BC\

2 - teorema. Tetraedrning ixtiyoriy qirrasi ikki yoqli burchagi bissektrisa tekisligi unga qarama-qarshi qirrani va bu qirra yotgan yoqlardan ixtiyoriy bittasini shunday bo'laklarga ajratadiki, bunda bo'lingan qirralari nisbati ular yotgan, bo'lingan yoqlar yuzalari nisbatiga teng bo'ladi.

Isboti. ABCD tetraedrning AD qirradagi ikki yoqli burchak bissektrisial tekisligi bilan kesimi ADM bo'lsin (2-rasm). ACMD va ABMD tetraedr hajmlarini mos ravishda Vi va V2 bilan belgilaymiz. ADC va ADB yoqlardan teng uzoqlashgan nuqtani M deb olsak, quyidagiga ega bo'lamiz:

Yl= Sadc

V ^ '

V 2 sadb

Boshqa tomondan — = Sdmc = |m(c\. q V Sdmb m\

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

Shuning uchun

s

dmc

\mc\

s

dmb

\mb\ '

2-rasm.

Endi uchburchak medianalari kesishgan nuqta haqidagi teorema va tetraedr uchun unga anologik teoremani keltiramiz.

3 - teorema. Uchburchakning medianalari bitta nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasida uchburchak uchidan boshlab hisoblaganda 2:1 nisbatda bo'linadi.

Isboti: Mi nuqta ABC uchburchakning AD medianasidan olingan nuqta va

AM]_ : D =2:1 bo'lsin, O nuqta esa fazodagi ixtiyoriy nuqta bo'lsin (3-rasm)

_, i _, o _. _. 1 _. _.

U holda om. = — oa + — od va od = - (ob + oc) bo'ladi. Bundan

1 3 3 2

_„ i _„ 9 i _, _. i _, _. _,

om, =-oa+y- (ob+oc) = - (oa+ob+oc) tenglikka ega bolamiz.

Agar M2 va M3 nuqtalar mos ravishda CE va BF medianalardan olingan nuqtalar bo'lsa va mediana uzunligini uchburchak uchidan hisoblaganda 2:1 nisbatda bo'lsa, yuqoridagiga o'xshash

om2 = — (oa + ob + oc), omi = — (oa + ob + oc).

3-rasm.

Bundan, OMx =OM2 =OM3 va Mi, M2. M3 nuqtalar ustma-ust tushishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

Eslatma: Tetraedr medianasi deb, tetraedr uchidan chiqib qarshisidagi yoqning og'irlik markazi bilan tutashtiruvchi kesmaga aytiladi.

4 - teorema. Tetraedrning to'rtta medianasi bitta nuqtada kesishadi va burchak uchidan boshlab hisoblaganda 3:1 nisbatda bo'linadi.

Isboti. Mi nuqta ABCD tetraedrning CCi medianasida olingan nuqta va CMÍ : ?4iC =3:1 shart bajariladigan nuqta bo'lsin (4-rasm). Fazoda ixtiyoriy O nuqta olamiz . u holda

om, = — ■ oc -1 4

• oc\ bo 'ladi va bundan tashqari

oc, = ^ (oa + ob + od) tenglikka ega bo Tamiz,

uchburchakning

o'girlik

markazi.

bu yerda Shuning

Ci

- ABD uchun,

l

—- i —- 3 1 —- —- — om. = -oc + - — (oa + ob + od) = -(oa + ob + oc + od). 1 4 4 3 4

4-rasm.

Huddi shuningdek, M2, M3, M4 nuqtalar mos ravishda tetraedrning AA1, BB1, va DD1 medianalarida olingan nuqtalar va bu nuqtalarda medianalar uzunliklari 3:1 nisbatda bo'linsin. Yuqoridagidek mulohaza yuritib,

om2 = om3 = om4 = - (oa + ob + oc + od) tenglikka ega bo Tamiz va bundan

ko'rinadiki, M1, M2, M3, M4 nuqtalar ustma - ust tushadi.

5 - teorema. ABC uchburchak ichidan ixtiyoriy O nuqta olamiz va bu nuqtadan uchburchak tomonlariga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Agarda hosil bo'lgan kichik uchburchaklar yuzlarini - S1, S2, S3 va ABC uchburchak yuzini esa S bilan belgilasak (5-rasm), quyidagi tenglik o'rinli

5-rasm.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

Isboti. Hosil bo'lgan uchburchaklar ABC uchburchakka o'xshash. Shuning

uchun, vk == jk-oqjk-op

yfs ~ \ab\' 4s~ \ab\' 4s~\ab\ ■ Bu tengliklarni qo'shib quyidagiga ega bo'lamiz:

js + + 4s = mr + \°q\ + \op\ = mr + |BR| + \ma\= x 4s \ab\ \ab\

4s = yß1

Endi tetraedr uchun yuqoridagi teoremaning anologini keltiramiz. 6 - teorema. Tetraedr ichidagi ixtiyoriy nuqtadan tetraedr yoqlariga parallel to'rtta tekislik o'tkazamiz. Agarda hosil bo'lgan kichik tetraedrlar hajmlari -V1,V2,V3,V4 va berilgan tetraedr hajmi esa V bo'lsa, quyidagi tenglik o'rinli

3V = + îV + 3V3 + VV-

Bundan tashqari, yana quyidagi anologiyalarni misol keltirishimiz mumkin. a - qismi planimetriyadagi teorema, b - qismi fazodagi anologi.

1 - masala. a) Uchburchakning yuzi S va unga ichki chizilgan aylana uchun

quyidagi formula o'rinli s = ^pr, bu yerda p - uchburchak perimetri, r - ichki

chizilgan aylana radiusi.

b) Tetraedr hajmi V va unga ichki chizilgan sfera uchun quyidagi formula o'rinli V = jSr, bu yerda S - tetraedrning to'la sirti,

r - bu sferaning radiusi.

2 - masala. a) Uchburchakka ichki chizilgan aylana radiusi r bo'lsa,

1 = — + — + — tenglik o'rinli, bu yerda h1,h2,h3 - uchburchak

r h k2 h

balandliklari.

Tetraedrga ichki chizilgan sfera radiusi r bo'lsa, 1 = -1 +1 + -1 + -1 tenglik

r h h h h

o'rinli, bu yerda h1, h2, h3, h4 - tetraedrning balandliklari.

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES):

1. П о н а р и н Я. П. Элементарная геометрия. Т. 2. — М.: МЦНМО, 2004.

2. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Част 2. Стереометрия. - М.: Учпедгиз,

3. Атанасян Л. С. и д р. Геометрия 10-11. — М.: Просвещение, 1992.

4. Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом. — М.: Просвещение, 1979.

5. П е р е п ё л к и н Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч. 2. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

6. Смирнова И.М.В Мире многогранников. М.: Просвещение, 1995.

7. I. Ьгойоу, РаБИауеу. ОеотеМуа. Т., "О^иусЫ" 2010-у

8. М. В. Лурьев, Б. И. Александров. Пособие "по геометрии. М., МГУ, 1984

9. А. V. Pogorelov. Geometriya. О'г!а такаЬш^ 7-11-втАап исИИП ёа^Нк. Т., "О^й^сЫ". 1995

1958.