CC BY
23international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
BIR VA IKKI O'LCHAMLI SIMPLEKSLARDA BERILGAN KVADRATIK OPERATORLAR SINFINI TASNIFI HAQIDA Muxitdinov Ramazon To'xtaevich
Toshkent kimyo-texnologiya instituti Oliy matematika kafedrasi dotsenti Tulaeva Madina Nutfulloevna
Buxoro davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti magistranti https://doi.org/10.5281/zenodo.7064156
Annotatsiya. Maqolada bir va ikki o'lchamli simplekslar haqida umumiy ma'lumotlar va ularning xossalari bayon qilingan. Bundan tashqari, shu simplekslarda aniqlangan kvadratik operatorlarning tasniflari berilgan. Kvadratik operatorlarning syurektiv va ikki tomonlama bo'lishi uchun zaruriy va yetarli shartlar hamda gomeomorfizm bo'lish shartlari keltirilgan va teoremalar sifatida berilib, isbotlangan.
Kalit so'zlar: simpleks, bir va ikki o'lchamli simplekslar, nuqta, kesma, uchburchak, tetraedr, vektor, affin qobig'i, suryektiv, kvadratik operator, biologiyaning matematik modellari, funksiya, tenglama, muntazam ko'pburchak, simmetriya markazi.
О КЛАССИФИКАЦИИ КВАДРАТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ЗАДАННЫХ В ОДНО- И ДВУМЕРНЫХ СИМПЛЕКСАХ
Аннотация. В статье приведены общие сведения об одно- и двумерных симплексах и их свойствах. Кроме того, изложены классификации квадратичных операторов, определенных в этих симплексах. Приводятся и доказываются в виде теорем необходимые и достаточные условия сюръективности и двойственности, а также условия гомеоморфизма квадратичных операторов.
Ключевые слова: симплекс, одномерные и двумерные симплексы, точка, отрезок, треугольник, тетраэдр, вектор, аффинная оболочка, сюръективный, квадратичный оператор, математические модели биологии, функция, уравнение, правильный многоугольник, центр симметрии.
ON THE CLASSIFICATION OF THE CLASS OF QUADRATIC OPERATORS GIVEN IN ONE AND TWO DIMENSIONAL SIMPLEXES
Abstract. The article describes general information about one- and two-dimensional simplexes and their properties. In addition, classifications of quadratic operators defined in these simplexes, necessary and sufficient conditions for being surjective and dual, and conditions for being a homeomorphism are given and proved as theorems.
Keywords: simplex, one- and two-dimensional simplexes, point, section, triangle, tetrahedron, vector, affine shell, surjective, quadratic operator, mathematical models of biology, function, equation, equilateral triangle, center of symmetry.
KIRISH
G.Mendelning matematikaga juda yaqin tilda tuzilgan asosiy qonunlari matematiklarning diqqatini biologiya va xususan populyatsiya genetikasi bilan bog'liq muammolarni o'rganishga qaratdi (Z.Volterra, S.N.Bernshteyn, A.N.Kolmogorov, V Feller). Populyatsiya genetikasidagi algebraik va ehtimollik yo'nalishlariga ko'plab adabiyotlar bag'ishlangan.
Matematik genetikaning ba'zi modellarida tabiiy ravishda dinamik (sistematik) sistemalar vujudga keladi, ular standart
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Sn-i = { x = (xi, x2,...,xn): xi> 0, i=1,2,........,n; If=1 x = 1}
(n-1) - o'lchovli simpleksning o'ziga xos kvadratik operatorlari bilan aniqlanadi, ular quyidagi shaklga ega:
V ::Xk = Y^l,j=i Pij,k xixj Pij.k ^ 0, Iik=ipij,k = 1pij,k=P\i,k barcha i,j,k lar uchun.
Shu munosabat bilan biologiyada paydo bo'ladigan merosning turli modellarini batafsil o'rganish dolzarb ko'rinadi. To'plamning o'ziga aylanishi suryektiv bo'lgan holatning tavsifi, ushbu sinf muammolariga murojaat qilgan holda, biologik modellarni o'rganishda ham muhimdir. Shunday qilib, kvadratik operatorning suryektivligi, kvadratik operatorning har qanday trayektoriyasi simpleksning oldindan belgilab qo'yilgan har qanday nuqtasidan yoki modellar tilidan o'tishini kafolatlaydi, ma'lum bir qator bosqichlardan so'ng biz navlarning to'plamlariga dastlabki taqsimot tanlanadi. Amaliy masalalarda kvadratik operatorlar va suryektiv kvadratik operatorlar to'plamining chekka nuqtalarini o'rganish muhim ahamiyatga ega. Muhim topologik muammolardan biri bu bir to'plamni boshqasiga qanday sharoitda aylanishini, u chegarani chegaraga, chekka nuqtalarni chekka nuqtalarga va boshqalarga o'tishini aniqlash muammosidir.
TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI
Eng avvalo simpleksning o'ziga ta'rif beraylik. Simpleks (lotincha so'zdan olingan bo'lib, soda degan ma'noni bildiradi) — nuqta, kesma, uchburchak, tetraedrlarning fazodagi ko'p o'lchovli analogi umumiy soni hisoblanadi. Nol o'lchovli simpleks bu — nuqta, bir o'lchovli simpleks bu — kesma, ikki o'lchovli simpleks bu — uchburchak, uch o'lchovli simpleks bu — tetraedr, «-o'lchovli simpleks esa «-o'lchovli tetraedr bo'ladi, «-o'lchovli simpleksning «+1 ta uchi, n^n + 1 ta qirrasi va har biri n — 1 o'lchovli sirtdan iborat. Shu yerda aytib o'tish lozimki, agar simpleksning uchlari vektorlar uchlarida joylashgan
bo'lsa, ixtiyoriy nuqtasi x = x0 + x1 + ... + xn vektorning uchidan iborat bo'ladi. x nuqtaning baritsentrik koordinatalari deyiladi. Xususan, x nuqta simpleksning baritsentri (og'irlik markazi) deyiladi. Kesmaning baritsentri uning o'rta nuqtasidan iborat. Geometriya va topologiyada murakkab obyektlar simplekslarga bo'lib o'rganiladi.
Maqola davomida simpleks va uning xossalaridan keng foydalanamiz. Shuning uchun quyida simpleksning ayrim xossalarini keltiramiz.
c
4 a B A a B
1-o'lchamli simpleksni 2-o'lchamli simpleksga almashtirish
D
2- o'lchamli simpleksni 3-o'lchamli simpleksga almashtirish.
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Chizib ko'rsatilgan simplekslarning barchasi quyidagi uchta umumiy xususiyatga ega:
1. Ta'rifga ko'ra, har bir figuraning qirralar soni fazo o'ichamidan Ta'rifga ko'ra, har bir figuraning qirralar soni fazo o'ichamidan bitta ortiq;
2. Kichik o'ichamdagi figuralarni katta o'ichamli figuralarga aylantirishning umumiy qoidasi mavjud. Bu shundan iboratki, simpleksning qaysidir nuqtasidan ushbu simpleksning affin qobig'ida (obolochka) yotmaydigan nur chiziladi va bu nurda yangi uch tanlanadi, u qirralar bilan berilgan qirralarning barcha uchlari bilan tutashtiriladi;
3. 2-bandda tasvirlangan jarayondan kelib chiqqan holda aytish mumkinki, simpleksning istalgan uchi barcha boshqa qirralar bilan tutashgan.
1-rasm. Yashil uchburchak standart 2-o'lchovli simpleks hisoblanadi. Ma'lumki, ixtiyoriy simpleksga tashqi aylana chizish mumkin.
K(L,n) — bu n- o'lchamli ko'pyoqning L — o'ichamli qirralari soni bulsin. U holda n — o'lchamli simpleks uchun
K(L,n) = C£1
formula o'rinli bo'ladi. Xususan, yuqori o'lchamdagi qirralar soni uchlar soniga teng va n + 1 bo'ladi:
K(0,n) = K(n — 1,n)=n + 1. Quyidagi belgilashlarni kiritib olamiz: a — simpleksning tomonining uzunligi; Hn — balandligi; Vn — hajmi;
Rn — tashqi chizilgan sferaning radiusi; rn — ichki chizilgan sferaning radiusi; an — ikki qirrali burchak.
Quyidagi formulalar o'rinli:
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
K{L,n) = (-£)
II а /П + 1 Un — Un -П + 1 тт V3 rr a V6 jr vlö HA — a—-— 4
Пп °V 2« n
«" tn + 1 n n! V 2" n II II £ II S|o¡t
Rn "VW+l) T? ^ „ Ve „ vTÖ = а—-— 5
a r„ = - r„ — Rn V6 vTÖ гл = а__ 20
n r-1 = a—— o
1 COSO! — — ?г
Endi, asosiy mavzuni yoritamiz.
1. Bir o'lchamli simpleksda aniqlangan suryektiv kvadratik operatorlarning sinfini tavsiflari
V ( Sn-1) =Sn-1 ,
bu yerda Sn-1 - (n-1) o'lchovli simpleks, V - 5n-1 simpleksni n — o'lchamli simpleksga o'tkazuvchi kvadratik operator [У. А. Розиков, У. У. Жамилов, «F-квадратичные стохастические операторы», Матем. заметки, 83:4 (2008), 606-612].
Bunday operatorlar sinfini ajratib ko'rsatish zarurati biologiyaning matematik modellarini o'rganish bilan bog'liq. Chunki operatorlar uchun har qanday
(*1, *2, x3,.......,xn) G Sn 1
holat birinchi avlodning avlodlari uchun har qanday (x'i, X2', ..., xn') G Sn-1 holat har qanday avlodning avlodlari uchun mumkin bo'ladi [Жамилов У.У., Розиков У.А. «О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов на двумерном симплексе», Матем. сб., 2009, том 200, номер 9, 81-94].
S1={(x1,x2):x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 = 1} simpleksda ixtiyoriy kvadratik operator V ni quyidagicha aniqlash mumkin:
y _ ( P11,1 = a, P12,1 = b, P22,1 = c,
V ={P11,2 = 1 — a, P12,2 = 1— b, P22,2 = 1 —c; (1)
bu yerda 0<a<10<b<10<c<1 ixtiyoriy sonlar; va (1) kvadratik operator tomonidan aniqlangan transformatsiya (0. 1) quyidagi shaklga ega:
i У1 = ax2 + 2bx1x2 + cx|,
{У2 = (1 — a)x2 + 2(1 — Ь)Х1Х2 + (1 — c)x2. ( )
Agar S1 simpleksni S1={(х. 1-х): 0 < x < 1} kabi aniqlasak, (2) ni quyidagi tarzda qayta yozish mumkin:
у = ах2 + 2Ьх(1 — x) + c(1 — x)2 11 — у = (1 — а)х2 + 2(1 — Ь)х(1 — x) + (1 — c)(1 — x)2 Shubhasiz,
у = ах2 + 2Ьх(1 — x) + c(1 — x)2 funksiyaning o'zgarish sohasi xG[0,1] uchun [0,1] segmentga mos kelsa, V kvadratik operator suryektiv bo'ladi.
Elementar soddalashtirishlardan so'ng bu funksiyani quyidagi shaklda yozish mumkin: у = (а — 2Ь + c)x2 + 2(Ь — c)x + с (3)
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
[0,1] segmentda aniqlanadigan (3) funksiyani ko'rib chiqamiz va a, b va c koeffltsientlarida bu funksiya diapazoni [0,1] segmentga to'g'ri keladi.
a — 2b + c > 0 bo'lsin. Faqatgina quyidagi to'rt holatda (2,3,4,5-rasmlarga qarang) (3) funksiya o'zgaruvchanligi [0,1] segmentga to'g'ri keladi. Keling, ushbu holatlarning har birini alohida ko'rib chiqaylik. y(0) = c va y(1) = a bo'lganligi sababli, birinchi holda (2 -rasmga qarang) a = 1 va kvadrat trinomial (3) ning diskriminanti 0 ga teng, ya'ni,
yoki soddalashtirishdan so'ng,
4(b — c)2 — 4(a — 2b + c)c = 0
b2 — ac = 0,
bo'ladi, bundan
a = 1 , b2 = c. (4)
y = 0 tenglamaning ko'p sonli x* ildizi [0,1] oralig'ida yotishi kerakligi sababli, bizda
b
a — 2b + c
> 0
(4) asosida bu faqat b = 0 yoki b = 1, ya'ni bu holda x* = 0 uchun mumkin, ammo a — 2ö + c > 0 bo'lgani tufayli, ya'ni, b = 1 holat chiqarib tashlandi. Shunday qilib, birinchi holatda a = 1, b = 0, c = 0 bo'lganda mumkin. Ikkinchi holatda (3-rasmga qarang), c = 1, bundan
ö2 = a (5)
Boshqa tomondan,
c-b a-2b+c
< 1
(6)
u holda, (6) da b<a bo'lganda (7) mavjud.
(5)-(7) dan kelib chiqadiki, b = 0 yoki b = 1. a — 2ö + c> 0 bo'lgani uchun, b = 1 holat chiqarib tashlanadi. Shunday qilib a = 0, ö = 0, c = 1 holatda mumkin.
Endi uchinchi holatni ko'rib chiqamiz (4-rasmga qarang). Bu yerda c = 0, a = 1.0 < b < 1/2 uchun x* < 0 bo'lsa, u holda uchinchi holat a = 1, b e (0;-) va c = 0 uchun amalga oshiriladi.
To'rtinchi holatda (5-rasmga qarang) c = 1, a = 1 va x* > 1, a — 2ö + c > 0 bo'lgani uchun, nihoyat, a = 0,0 < b < 1/2 va c = 1 bo'lganda to'rtinchi holat bo'lishi mumkin. a — 2ö + c = 0 uchun faqat ikkita holat bo'lishi mumkin (6-rasmga qarang). Agar c = 0, a = 1 bo'lsa, bu yerda b = 1/2, ikkinchi holat (7-rasmga qarang), c = 1, a = 0 bo'lsa, b = 1/2 bo'ladi.
Endi a — 2ö + c < 0 bo'lsin. Bu yerda to'rtta holat ham bo'lishgi mumkin (8,9,10,11-rasmlarga qarang).
Birinchi holatni ko'rib chiqamiz (8-rasmga qarang). Bu yerda c = 0 funksiyaning biriga teng bo'lgan maksimal xe[0,1] nuqtasiga erishiladi.
c
*
x
x
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
2-rasm
3-rasm
4-rasm
5-rasm
6-rasm
(3) funksiyaning kritik nuqtasi
7-rasm
c-b
a — 2b + c
yoki bu holda x* =
b
2b-a
va y(x*) = 1/b; va y(x*) = 1 bo'lgani uchun, b=1 va shunga mos
ravishda a=1 bo'lganda mumkin. Shunday qilib birinchi holat a=1, b = 1 va с = 0 hamda x* =1 uchun bir vaqtning o'zida sodir bo'ladi.
Ikkinchi holda (9-rasmga qarang) a = 0 va funksiyaning biriga teng bo'lgan maksimal qiymatiga x* e [0,1] nuqtada erishiladi. Bu holda kritik nuqta
b
с
2b —с
va y(x*)=1 shartidan b = 2Ь — с yoki Ь2 — с = b — с ekanligi kelib chiqadi. 2Ь — с > 0 bo'lgani uchun, x*> 0 shartdan b — с > 0; va Ь2 — b < 0 bo'lgani uchun biz b=1 va c=1 ga
x* =
=tc
x
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
erishamiz. Shunday qilib, bu holat a = 0, b = 1, c = 1 va shu bilan birga x* =0 uchun sodir bo'ladi.
Uchinchi holatda (10-rasmga qarang) c = 0, a = 1; b > 1/2 uchun y = 0 tenglamaning ikkinchi x* ildizi bittadan kattaroq bo'ladi. Shuning uchun bu holat a = 1,1/2 <ö <1 va c = 1 uchun sodir bo'ladi.
Biz operatorlarning ikkita
Y = {Vb:0 < b < 1} va Y = {Vb:0 < b < 1} sinflarini aniqlaymiz, bu yerda
P11,1 = 1, P12,1 = b, P22,1 = 0
va
V=
Pl1,2=0, Pl2,2 = 1-b, P22,2 = 1
tt _ r P11,1 = 1, P12,1 = b, P22,1 = 0
Vb = {Pl1,2 = 0, Pi2,2 = 1-b, P22,2 = 1
8-rasm
9-rasm
10-rasm
11-rasm
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Yuqorida ko'rib chiqilgan xususiy hollar shuni anglatadi.
Teorema 1. Bir o'lchamli sodda simpleksda aniqlangan V kvadratik operatori suryektiv bo'lishi uchun uning y(b) sinfga yoki y(b) sinfga tegishli bo'lishi zarur va yetarli.
Yuqorida ko'rib chiqilgan holatlardan ko'rinib turibdiki, istalgan b£[0,1] uchun Vb yoki Vb kvadratik operatorlari sodda simpleks S1 ning bir o'lchamli simpleksga birma-bir o'tkazishidir, natijada biz quyidagi teoremaga egamiz.
Teorema 2. Bir o'lchammli sodda simpleksda aniqlangan V kvadratik operatori ikki tomonlama bo'lishi uchun uchun uning suryektiv bo'lishi zarur va yetarli.
2. Ikki o'lchfmli simpleksda berilgan suryektiv kvadratik operatorlarning sinfini tavsifi haqida
S2 = {(xi,x2,x3): xi > 0, X2 > 0 X3 > 0, Xi + X2 + X3 = 1} da ixtiyoriy kvadratik operator V quyidagicha aniqlanadi:
iP11,1 P22,1P33,1P12,1P13,1P23,1
P11,2 P22,2P33,2P12,2P13,2P23,2 (21)
P11,3P22,3P33,3P12,3P13,3P23,3
bu yerda 0 < P^,k < 1 keyin (2.1) kvadratik operator tomonidan aniqlangan (0.1) transformatsiyalar quyidagi shaklga ega bo'ladi:
x1 = £f,j = i Pij,1xixj x2 = 2f,j = 1 Pij,2xixj
(2.2)
<X3 = £l3,j = 1 Pij,3XiXj
Ushbu bo'limda biz suryektiv kvadratik operatorlarning oltita sinfini aniqlaymiz va ular suryektiv kvadratik operatorlarning butun to'plamini to'ldirishini isbotlaymiz. Ushbu sinflarni tavsiflash uchun biz muntazam ko'pburchaklarning o'zaro kelishuv guruhlaridan foydalanamiz (1.1 ga qarang). Ikki o'lchamli simpleksda muntazam uchburchak bo'lgani uchun (12-rasmga qarang), bu nazariya amal qiladi.
O'z-o'zidan aylantirish harakatni anglatadi, ya'ni, metrikani saqlaydigan transformatsiya. AA1A2A3 muntazam uchburchagining o'z-o'zini aralashtirish guruhi 6 ta elementdan iborat bo'lib, ushbu guruhning uchta elementi uchburchak tekisligini mos ravishda O simmetriya markazi atrofida 00, 1200 va 2400 ga burishdan (1-rasmga qarang), qolgan uchta element esa uchburchak tekisligini mos ravishda , va medianalari atrofida 1800 ga burishdan hosil bo'ladi. bu guruh elementlari quyidagicha aniq yoziladi (1 ga qarang):
= /AiA2A^ = MiA2A^ = MiA2A3\ [1 (AiA2A3)n2 (A2A3Ai)n5 \A3A1A2/ = /AiA2A^ = MiA2A^ = MiA2A3\ (A3AiA2)n4 VA1A3A2/VA2A1A3/ G guruhi kommutativ emas va H=( n1,n2,n3) G ning eng katta komutativ qism guruhidir. Sodda S2 da aniqlangan kvadratik V operator o'z-o'zidan tenglashishga mos keladi, agar V operator ikki o'lchamli simpleksda chegaralarini chegaralarga va simpleksning qirralarini o'z-o'zidan
to'g'rilash ni(i = 1,2,......,6) bilan bir xil tarzda oladigan bo'lsa. Keling, har qanday suryektiv
kvadratik operatorning qandaydir o'zaro moslashishga mos kelishini isbotlaylik.
n3
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Teorema 3. Ikki o'lchamli simpleksda berilgan har qanday suryektiv kvadratik operator,
ni(i = 1,2,......,6) o'z-o'zidan moslashishga mos keladi.
Teoremaning isbotini quyidagi uchta lemmaning isboti orqali ko'rib chiqamiz. Lemma 1. V - suryektiv kvadratik operator bo'lsin. U holda Ikki o'lcmli simpleksning biron bir ichki nuqtasi V ning xaritasi ostidan simpleks tepaliklaridan biriga o'tolmaydi.
Isbot. Ba'zi i = 1,2,3 lar uchun A = (xx,x2, x3) e Int S2 va V(A)=Ai bo'lsin (12-rasmga qarang), bu yerda Ai - tepalikdir. i=1 holatini ko'rib chiqamiz (boshqa holatlar xuddi shu tarzda ko'rib chiqiladi). V(A)=Ai tenglikdan quyidagi kelib chiqadi
1 = ajX2 + bxx| + cx x2 + 2 XjX2 + 2 ß]X]X2 + 2 Yix2x3 0 = a2X2 + b2x| + C2 x2 + 2 X1X2 + 2 ß2XiX2 + 2 Y2X2X3 0 = a3x2 + b3x| + C3 x2 + 2 «3 X1X2 + 2 ß3XiX2 + 2 Y3X2X3 ya'ni, x1x2x3 > 0 bo'lsa, bundan
a1 = 1 b1 = 1 c1 = 1 a1 = 1 ß1 = 1 a1 = 1
a2 = 0 b2 = 0 C2 = 0 a2 = 0 ß2 = 0 Y2 = 0 a3 = 0 b3 = 0 C3 = 0 a3 = 0 ß3 = 0 Y3 = 0
kelib chiqadi. Keyin har qanday A = (x1,x2,x3) e S2V(A)=Ai nuqta uchun, ya'ni, V ( S2 ) ={A1} suryektivlikka zid keladi.
3.
12-rasm
Lemma 2. V - bizga berilgan suryektiv bo'lgan kvadratik operator bo'lsin. U holda simpleksning biron bir ichki nuqtasini V almashtirish ostida simpleksning chegara nuqtasiga o'tkazish mumkin emas.
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Isbot. A = (x1,x2,x3) e IntS2 bo'lsin, ya'ni, x1 • x2 • x3 > 0. Aniqlik uchun V(A) G [A2A3] deb taxmin qilsak, u holda bu
x1 = 0 = a1x2 + b1x| + c1x2 + 2 a1 x1x2 + 2 ß1x1x2 + 2 Y1x2x3 tenglikdan a1 = b1 = c1 = a1 = ß1 = y1 = 0, shunda har qanday AGS2 nuqta uchun V(A) G [A2A3] ga egamiz, ya'ni, V(S2)c[A2A3]. Bu esa suryektivlikka zid keladi.
Lemma 3. V suryektiv bo'lgan kvadratik operator bo'lsin. Berilgan V almashtirishda kvadratik operatorning chekka nuqtalaridan tashqari har qanday ichki nuqtasini simpleks chekka nuqtalaridan biriga o'tkazib bo'lmaydi.
Isbot. A = (x1,x2,x3) e öS2, A1 ^ A,A2 ^ A, A3 ^ A bo'lsin; va aniqlik uchun A G [A1A3] deb olamiz. Biz V( A ) ^ A1,V( A ) ^ A2 va V( A ) ^ A3 ni isbot qilishimiz kerak. Biz buni teskaridan faraz qilamiz, aniqlik uchun V( A ) = A1. Keyin
x1 = 1 = a1x2 + b1x| + c1x2 + 2 a1 x1x2 + 2 ß1x1x2 + 2 Y1x2x3 | x2 = 0 = a2x2 + b2x| + C2X2 + 2 X1X2 + 2 ß2X^ + 2 Y2X2X3 ^x3 = 0 = a3x2 + b3xi + C3X2 + 2 ^3 X1X2 + 2 ß3X^ + 2 Y3X2X3
bundan a2 = a3 = c2 = c3 = y3 = Y2 = 0, shunda har qanday A G [A1A3] nuqta uchun V(A) = A1 ga egamiz, ya'ni, V([A1A3]) = A1. Bu esa suryektivlikka zid keladi.
3-teoremaning isboti. Suryektiv bo'lgan kvadratik operator simpleks chekka nuqtalarini tepchekka nuqtalarga va qirralarni qirralarga o'tkazadi, ya'ni, o'sha suryektiv kvadratik operator
ba'zi bir ni, (i=1,2,____,6) o'zaro moslashishga mos keladi.
Endi muntazam uchburchakning har bir o'z-o'zini tekislashiga mos keladigan kvadratik operatorlarning turini aniqlaymiz. ni o'z-o'zidan moslashtirishdan boshlaylik. Ushbu o'zaro moslashishga mos keladigan kvadratik operator V quyidagi shartlarni qanoatlantirishi kerak: V(A1) = A1 , V(A2) = A2 , V(A3) = A3 va shuningdek V(A1A2) = A1A2, V(A2A3) = A2A3 va V(A1A3) = A1A3. Agar biz ushbu shartlarni A1(1,0,0),A2(0,1,0) va A3(0,0,1) larni hisobga olgan holda (2.2) yordamida qayta yozsak, unda quyidagi munosabatni olamiz:
P11,1 = 1 P22,1 = 0 P33,1 = 0
P11,2 = 0 P22,2 = 1 P33,2 = 0 (2.3)
P11,3 = 0 P22,3 = 0 P33,3 = 1
Endi biz A1A2 chetiga tegishli ixtiyoriy nuqta koordinatalari quyidagicha bo'lgan (x, 1-x, 0) ga ega bo'lgani uchun, V ( A1A2 )= A1A2 dan
x3 = 0 = P11,3X2 + P22,3(1 - x)2 + 2P12,3X(1 - x)
va (2.3) dan
2P12,3x(1-x)
kelib chiqadi. Bu yerda P12,3 = 0
Huddi shunday, V(A1A3) = A1A3 dan
0 = x' = P11,2x2 + P33,2(1 - x)2 + 2P13,2x(1 - x) kelib chiqadi va (2.3) dan P132 = 0 ga ega bo'lamiz.
Shunday qilib, yuqorida aytib o'tilganidek o'z-o'zini tekshirishlar ni ga mos keladigan kvadratik bo'lgan operatorlar quyidagi shaklga ega bo'ladi:
!P11,1 = 1 P22,1 = 0 P33,1 = 0 P12,1 = a P13,1 = ß P23,1 = 0
P11,2 = 0 P22,2 = 1 P33,2 = 0 P12,2 = 1 - a P13,2 = 0 P23,2 = Y Pn,3 = 0 P22,3 = 0 P33, = 1 P12,3 = 0 P13,3 = 1- ß P23,3 = 1 - Y
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
bu yerda a, p, y -
0<a<1,0<p<1, 0<y<1 shartlarni qanoatlantiradigan ixtiyoriy o'zgarmas sonlardir.
Shubhasiz, ni o'z-o'zini moslashtirishga mos keladigan kvadratik operatorlarning qavariq bo'lgan chiziqli birikmasi ham biz qarayotgan ushbu o'z-o'zini moslashtirishlarga mos kelaveradi.
(i 1 i\
2' 2' 2) operator ni
bilan o'zaro mos kelishini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham quyidagi a=p=Y = 1/2 uchun V1( 1/2 ; 1/2 ; 1/2 ) kvadratik operatori bir xil operator bo'ladi, ya'ni,
Xi = X*2 + X1X2 + X1X3, x2 = x2 + x1x2 + X2X3,
,x3 = x3 + x1x3 + x2x3,
yoki
X = xi(xi + x2 + xg), ¡x2 = x2(xi +x2 +xg), = xg(xi +x2 +xg),
bu tengliklardan, biz xi+x2+x3=1 dan boshlab, Vi(1/2; 1/2; 1/2) ning o'z-o'zini tekislashishi ni ga to'g'ri kelishini ko'ramiz. Vi(a, ß,у) sinfining kvadratik operatorlari uchun (2.2) quyidagicha shaklga ega bo'ladi:
x1 = x2 + 2 a x1x2 + 2ßx1x3
x2 = x2 + 2(1 - a)xix2 + 2yx2x3 2
xg = x2 + 2(1 - ß)xixg + 2(1 - Y)x2xg
yoki ba'zi bir almashtirishlardan so'ng
x1=xi[1 + (2«-1)x2 + (2ß-1)xa] x2 = x2[(1 - 2a)xi + 1 + (2Y- 1)xg] x3=xg[(1-2ß)xi + (1-2Y)x2 + 1]
(2.4)
(2.4) shakldagi kvadratik operatorlar - Volterra operatorlar sinfiga tegishli bo'ladi. O'rganilayotgan mazkur operatorlar sinfi [Ганиходжаев Р.Н Квадратичные стохастические операторы, Функции Ляпунова и турниры / / Матем.сб.-1992.Т.183, -№8, -С.119-140.] da etarlicha chuqur o'rganilgan. Xususan, bunda Volterra kvadratik operatorlar yakkama -yakka va o'zaro uzluksiz operatorlardir [Ганиходжаев Р.Н Квадратичные стохастические операторы, Функции Ляпунова и турниры / / Матем.сб.-1992.Т.183, -№8, С.119-140.]. Shuning uchun biz qarayotgan hollarda quyidagilar mavjud:
Natija 1. ni o'z-o'zini moslashtirishga mos keladigan ixtiyoriy suryektiv bo'lgan kvadratik operator - bu ikki o'lchamli simpleksning gomeomorfizmi bo'ladi. Oldinda bajarilgan o'ta murakkab bo'lgan hisob-kitoblarni qayta bajarmasdan, bizlar ni boshqa o'zaro kelishuvlariga mos keladigan suryektiv bo'lgan kvadratik operatorlarning sinflarining tavsifini taqdim qilamiz. ni (i = 2,3,4,5,6) o'z-o'zini moslashtirishlarga mos kelayotgan suryektiv kvadratik operator Vi (a, p,y) biz tomondan aniqlanishini ko'rsatamiz:
V2 (a, p,у) kvadratik operator pastda keltirilgan shakllarga ega bo'ladi:
V2(a,p,y) =
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
P11,1 = 0 P22,1 = 0 P33,1 = 1 P12,1 = 0 P13,1 = ß P23,1 = Y P11,2 = 1 P22,2 = 0 P33,2 = 0 P12,2 = a P13,2 = 1 - ß P23,2 = 0
P11,3 = 0 P22,3 = 1 P33,3 = 0 P12,3 = 1 - a P13,3 = 0 P23,3 = 1 - Y bunda a, ß, y -
0<a<1,0<ß<1,0<Y<1.
shartlarni qanoatlantiradigan ixtiyoriy bo'lgan o'zgarmas sonlar.
Bunday hollarda (2.2.) quyidagicha shakllar ko'rinishini oladi:
x1 = x2 + 2ßx^3 + 2yx2x3 x2 = x2 + 2ax1x2 + 2(1 - ß)x1x3 5 = x| + 2(1 - a)x1x2 + 2(1 - Y)x2x3
yoki bir qator soddalashtirishlardan so'ng
rx1 =x3[1 + (2ß-1)x1 + (2Y-1)x2] I x2 =x1[1 + (2a-1)x1 + (1-2ß)x3] ^x3 = x2[1 + (1 - 2a)x1 + (1 - 2y)x3]
111
a = ß=Y=1/2 uchun kvadratik operator V2(-;-;-) o'z-o'zini tekislashi n2 ga to'g'ri
kelishini tekshirish oson. n3 o'zaro moslashishga mos keladigan kvadratik operatorlar quyidagicha shakllarga ega bo'ladi:
iP11,1 = 0 P22,1 = 1 P33,1 = 0 P12,1 = a P13,1 = 0 P23,1 = Y
P11,2 = 0 P22,2 = 0 P33,2 = 1 P12,2 = 0 P13,2 = ß P23,2 = 1 - Y P11,3 = 1 P22,3 = 0 P33,3 = 0 P12,3 = 1 - a P13,3 = 1 - ß P23,3 = 0 bu yerda 0<a<1,0<ß<1,0<Y<1.
Kvadratik bo'lgan operatorlarning mazkur sinfi uchun (2.2) quyidagicha shakllarni oladi:
x1 = x2 + 2 K x1x2 + 2 Y x2x3 x2 = x2 + 2 ß x^3 + 2(1 - Y)x2x3 ^x3 = x2 + 2(1 - a)x1x2 + 2(1 - ß)x1x3 yoki ba'zi bir soddalashtirishlardan keyin
X = x2[(2a - 1)x1 + 1 + (2y - 1)x3], x2 =x3[(2ß-1)x1 + (1-2Y)x2 + 1],
,x3 = x1[1 + (1 - 2a)x2 + (1 - 2ß)x3], 1
bu yerda a = ß = y = - uchun V3 (1/2; 1/2; 1/2) kvadratik operator o'z-o'zini tekislash bilan
mos tushishini tekshirish ham oson.
o'z-o'zini tekislashga o'zaro mos keladigan kvadratik operatorlar quyidagicha shaklga
ega:
V4(a,ß,Y) =
iP11,1 = 1 P22,1 = 0 P33,1 = 0 P12,1 = a P13,1 = ß P23,1 = 0, P11,2 = 0 P22,2 = 0 P33,2 = 1 P12,2 = 0 P13,2 = 1 - ß P23,2 = Y,
P11,3 = 0 P22,3 = 1 P33,3 = 0 P12,3 = 1 - a P13,3 = 0 P23,3 = 1 - Y, bu yerda 0<a<1, 0<ß<1, 0<y<1.
Ushbu sinflar uchun o'zgartirish kiritib kvadratik operatorlari (2.2) quyidagi tarzdagidek qayta yozish mumkin:
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
x1 = xf + 2 a xxx2 + 2 ß xxx3, x2 = x| + 2 (1 - ß)xxx3 + 2yx2xa,
x3 = xf + 2(1 - a)xxx2 + 2(1 - y)x2x3
yoki ba'zi bir o'zgarishlardan so'ngra
fxl = X2[(2a - 1)X2 + 1 + (2p - 1)X3], x2 =x3[(1-2p)xI + (2y-1)x2 + 1], ,x3 = xi[1 + (1 - 2a)xi + (1 - 2y)x3], 111
bunda a = p = y = 1/2 bo'lgan hol uchun V2(-;-;-) kvadratik operator o'z-o'zini tekislash
bilan mos tushishini ham tekshirish ancha oson.
n3 o'z-o'zini tekislashga mos keladigan kvadratik operator quyidagi shaklga ega:
V3(a,p,Y) =
P11,1 = 0 P22,1 = 1 P33,1 = 0 P12,1 = a P13,1 = 0 P23,1 = Y, P11,2 = 0 P22,2 = 0 P33,2 = 1 P12,2 = 0 P13,2 = P P23,2 = 1 - Y, P11,3 = 1 P22,3 = 0 P33,3 = 0 P12,3 = 1 - a P13,3 = 1 - p P23,3 = 0,
bu yerda 0<a<1,0<p<1,0<Y<1.
Kvadratik operatorlarning ushbu sinfi uchun (2.2) quyidagi shaklga aga bo'ladi:
x1 = x| + 2 a x1x2 + 2 y x2x3,
x2 = x2 + 2 p X1X3 + 2(1 - y)x2x3,
1^x3 = x2 + 2(1 - a)x1x2 + 2(1 - p)x1x3, yoki ba'zi bir o'zgarishlardan keyin
X = x2[(2a - 1)x1 + 1 + (2y - 1)x3], 'x2 =x3[(2p-1)x1 + (1-2Y)x2 + 1],
[x3 = x1[1 + (1 - 2a)x2 + (1 - 2p)x3], 1
bu yerda a = p = y = - uchun V3 (1/2; 1/2; 1/2) kvadratik operator o'z-o'zini tekislash bilan
mos tushishini tekshirish ham qiyin emas.
n4 o'z-o'zini tekislashga mos keladigan kvadratik operator quyidagicha ko'rinishga egaligini ko'rish mumkin:
V4(a,p,Y) =
P11,1 = 1 P22,1 = 0 P33,1 = 0 P12,1 = a P13,1 = p P23,1 = 0,
= { P11,2 = 0 P22,2 = 0 P33,2 = 1 P12,2 = 0 P13,2 = 1 ß P23,2 = Y,
,Pii,3 = 0 P22,3 = 1 P33,3 = 0 P12,3 = 1- a P13,3 = 0 P23,3 = 1- Y, bu yerda 0 < a < 1, 0 < ß < 1, 0 < y < 1.
Kvadratik operatorlarning ushbu sinfi uchun (2.2) quyidagicha ko'rinishga yoki shakllarga ega bo'ladi:
x1 = x2 + 2 a x1x2 + 2 ß x1x3, x2 = x2 + 2 (1
x3 = x2 + 2(1
ß)x1x3 + 2Yx2x3, a)x1x2 + 2(1 - Y)x2x3,
yoki bir nechta almashtirishlar bajargandan so'ng
fx! = x2[(2a-1)x2 + 1 + (2ß-1)x3], x2 =x3[(1-2ß)x1 + (2Y-1)x2 + 1], x3 = x1[1 + (1 - 2a)x1 + (1 - 2Y)X3],
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
va bu holda, a = ß = y = ^ uchun V4(1/2; 1/2; 1/2) kvadratik operator n4 o'z-o'zini tekislash
bilan mos kelishini ko'rish mumkin.
n5 o'z-o'zini moslashtirishga mos keladigan kvadratik operatorlar quyidagi korinishga ega bo'ladi:
V5(a,ß,Y) =
P11,1 = 0 P22,1 = 0 P33,1 = 1 P12,1 = 0 P13,1 = ß P23,1 = Y,
= { P11,2 = 0 P22,2 = 1 P33,2 = 0 P12,2 = a P13,2 = 0 P23,2 = 1 Y,
P11,3 = 1 P22,3 = 0 P33,3 = 0 P12,3 = 1 - a P13,3 = 1 - ß P23,3 = 0, bunda 0 < a < 1, 0<ß<1, 0<y<1.
Mazkur o'rganilayotgan kvadratik operatorlar sinfi uchun (2.2) quyidagicha shaklga ega bo'ladi:
x1 = x2 + 2 ß x^3 + 2 y x2x3,
Y)x2x3,
x2 = xi + 2 a x1x2 + 2(1
x3 = x2 + 2(1 - a)x1x2 + 2(1 - ß)x1x3, yoki, soddalashtirilganidan keyin
'x1 = x3[(2ß-1)x1 + 1 + (2Y-1)x2], x2 = x2[(2a - 1)x1 + (1- 2Y)X3 + 1],
^x3 = x1[1 + (1 - 2a)x2 + (1 - 2ß)x3], 1
bu yerda ham, a = ß = y = ~ uchun V5(1/2;1/2;1/2) kvadratik operator n5 o'z-o'zini tekislash bilan mos keladi.
n6 o'z-o'zini moslashtirishga mos keladigan kvadratik operatorlar quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi:
V6(a,ß,Y) =
iP11,1 = 0 P22,1 = 1 P33,1 = 0 P12,1 = a P13,1 = 0 P23,1 = Y, P11,2 = 1 P22,2 = 0 P33,2 = 0 P12,2 = 1 - a P13,2 = ß P23,2 = 0,
P11,3 = 0 P22,3 = 0 P33,3 = 1 P12,3 = 0 P13,3 = 1 -ß P23,3 = 1- Y, bu yerda 0 < a < 1, 0 < ß < 1, 0 < y < 1.
Mazkur kvadratik operatorlar sinfini uchun (2.2) almashtirishdan quyidagi shaklga ega bo'lishini ko'rishimiz mumkin:
x1 = x| + 2 a x1x2 + 2 y x2x3,
x2 = x2 + 2 (1 - a)x1x2 + 2ßx1x3, 2
x3 = x2 + 2(1 - ß)x1x3 + 2(1 - Y)x2x3,
yoki, ancha soddalashtirishlardan so'ng
X = x2[(2a - 1)x1 + 1 + (2y - 1)x3], !x2 =x1[(2ß-1)x3 + (1-2a)x2 + 1],
x3 = x3[1 + (1 - 2Y)X2 + (1- 2ß)x1], V orqali Vi(a, ß,Y) (i = 1,2,...,6) shakldagi barcha suryektiv bo'lgan kvadratik operatorlar to'plamlarini belgilaymiz.
Natija 2. Istalgan i = 1,2,...,6 da V ga tegishli kvadratik operatorlarning qavariq chiziqli birikmasi ham " ga tegishli.
Teorema 4. Har qanday suryektiv operatori S2 simpleks gomeomorfizmi.
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Isbot. Uchinchi teoremadan shu kelib chiqadiki, har qanday suryektiv operator Vi (i = 1,2,...,6) sinflaridan biriga tegishli bo'ladi. Agar i = 1 bo'lsa, u holda bu birinchi natijada isbotlangan. í Ф 1 bo'lsin. Sinflaridan birida tegishli bo'lsa, u holda bu gap birinchi natijada allaqachon isbotlanganligini ko'rish mumkin.
TADQIQOT NATIJALARI
^(а, ß,Y) operatori birinchi natijaga asosan gomeomorfizm bo'lib, Vi(l/2,1/2,1/2) o'zgarishi, o'z-o'zini tekislovchi ni, aniqki, gomeomorfizmdir. Xulosa sifatida quyidagi teoremani keltirib o'tamiz. Ikki o'lchovli sodda simpleksda uchinchi teoremaning umumlashmasi hisoblanadi.
Teorema 5. Ikki o'lchamli sodda simpleksda aniqlangan kvadratik operator faqat va faqat biyektiv bo'lganda suryektiv kvadratik operator bo'la oladi.
Bu teoremaning isboti ham oldingi teoremalarga o'xshab isbotlanadi.
MUHOKAMA
Kvadratik operatorlar va ularning chekka nuqtalarini topish bo'yicha ilmiy tadqiqot ishlari [I-9] maqolada ham olib borilgan. Ushbu maqolalarda va [IG-I7] ilmiy izlanishlarda bir va ikki o'lchamli simplekslarda berilgan diskret vaqtli va uzluksiz vaqtli kv adratik operatorlar sinfi tasniflangan, qo'zg'almas nuqtalari topilgan. Bundan tashqari, kvadratik operatorlarning syurektiv va ikki tomonlama bo'lishi uchun zaruriy va yetarli shartlar hamda gomeomorfizm bo'lish shartlari keltirilgan va teoremalar sifatida berilib, isbotlangan.
XULOSA
Yuqorida bayon qilinganlaridan ko'rinib turibdiki, tadqiqot ishlari olib borilgan mavzu keng amaliy ahamiyatga ega mavzu hisoblanadi. Shu bilan bir qatorda, hozirgi vaqtda mamlakatimizda barcha aniq fanlarni amaliy tatbiqlarini kengaytirishga keng e'tibor berilmoqda [I8-2G]. Shu munosabat bilan fizik va biologik jarayonlarning matematik modellarini tuzishga [IG-I7], xususan biologik jarayonlar hisoblanmish turli individlarning populyatsiyasini o'rganishga ahamiyat qaratilgan.
Qayd qilinganidek, matematik modellar asosan diskret va uzluksiz vaqtli kvadratik stoxastik operatorlarga keladi. Uzluksiz vaqtli kvadratik stoxastik operatorlar esa dinamik sistemalar deb ham atalib, ular asosan chiziqli va nochiziqli oddiy va xususiy hosilali differentsial tenglamalar sifatida ifodalanadi [2I-28]. Qisqacha qilib aytganda dinamik sistema -bu haqiqiy ob'ektlar, jarayonlar yoki hodisalarning matematik modeli hisoblanib, ma'lum holat tasvirlangan sistema sifatida ifodalanadi. Ular tahlil qilinib [29-34] (tenglama yoki sistemaning yechimining yagonaligi va mavjudligi aniqlanadi, sonli usullar yordamida yechimi topiladi yoki analitik yechimlari izlanadi), uning evolyutsiyasi (tenglamalarning yechimi orqali ular o'zini kelajakda qanday tutishi) o'rganiladi. Odatda bu sistemalar ba'zi qoidalar orqali beriladi. Aynan tez ko'payadigan individlar populyatsiyasi qonuniyati turli matematik modellar orqali ifodalanadi.
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
REFERENCES
1. Мухитдинов Р.Т., Тулаева М.Н. Приложение квадратичных операторов и их крайние точки на симплексе // Journal of new century innovations, 7:5 (2022), стр. 225-241
2. Ганиходжаев Н.Н, Жамилов У.У., Мухитдинов Р.Т. Не эргодические квадратичные операторы двуполой популяции // Украинский математический журнал, том № 65, 2013, с.1152-1160.
3. Мухитдинов Р.Т. Construction of periodic solutions of nonlinear differential equations of second order // Международная научно-практическая конференция «Интеграция современных научных исследований в развитие общества», 28-29 декабря, Россия, 2016, с.127-129.
4. Мухитдинов Р.Т. Комплексный формы представления уравнения идеального твёрдого тела // Международная научно-практическая конференция «Интеграция современных научных исследований в развитие общества», 28-29 декабря, Россия, 2016, с. 129-131.
5. Мухитдинов Р.Т., Абдуллаева М.А. Эргодические свойства мер, порожденных одним классом квадратичных операторов // Проблемы науки, 63:4 (2021), с.16-19.
6. Muhitdinov R.T., Do'stova S.B. Gipergeometrik qatorlar haqida ayrim mulohazalar// Science and Education,scientific journal,2:11 (2021), 114-127.
7. Мухитдинов Р.Т., Абдуллаева М.А. (2021). Гипергеометрик тенглама, унинг ечимлари ва гипергеометрик функциялар хакида. Science and Education 2 (11), 128-140.
8. Muxitdinov, R. (2022). О дифференциации обучения в вузах // Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
9. Мухитдинов Р.Т., Абдуллаева М.А. Крайние точки множества квадратичных операторов, определенных на S1 // Scientific progress, 1:2 (2021), р.470-477.
10. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяциянинг динамикаси хакида // Scientific progress, 2:1 (2021), р.665-672.
11. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 77:22 (2021) с.27-30.
12. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.
13. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.
14. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek Mathematical Journal, №4, pp.126-131.
15. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. Ayrim dinamik sistemalarning tahlili haqida // Scientific progress, 2:1 (2021), р.448-454.
16. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 77:2-2 (2021) с.23-26.
17. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века. 53:6-1, 2019, с.16-18.
international scientific journal volume 1 issue 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
18. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики, № 53:2 (2021), с. 7-10.
19. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Математические модели и законы в биологии // Scientific progress, 2:2 (2021), р.870-879.
20. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяция ва унинг математик модели хдкида // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р.81-96.
21. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
22. Rasulov, R. X. R. (2022). Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
23. Rasulov, R. X. R. (2022). Ikkita buzilish chizig'iga ega giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi haqida. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
24. Rasulov, R. X. R. (2022). Бузилиш чизигига эга булган квазичизикли аралаш типдаги тенглама учун Трикоми масаласига ухшаш чегаравий масала хдкида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
25. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.
26. Rasulov, H. (2021). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
27. Rasulov, X. (2022). Об одном краевом задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
28. Rasulov, X. (2021). Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
29. Rasulov H. Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration // Центр научных публикаций (buxdu. uz) 5:5 (2021).
30. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type // Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
31. Исломов Б., Расулов Х.Р. (1997). Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5-9.
32. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Задача типа задач Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Scientific progress, 2:1 (2021), р.42-48.
33. Rasulov, X. (2021). Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
34. Расулов Х.Р. (1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №12, с.12-16.
