Трибомеханика упругопластического контакта Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01:621.81:621.891 Огар Петр Михайлович,

д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Братский государственный университет, e-mail: ogar@brstu.ru

Тарасов Вячеслав Анатольевич,

к. т. н., доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», Братский государственный университет

Турченко Алексей Владимирович,

аспирант, Братский государственный университет

ТРИБОМЕХАНИКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО КОНТАКТА

P.M. Ogar, V.A. Tarasov, A. V. Turchenko

TRIBOMECHANICS OF THE ELASTOPLASTIC CONTACT

Аннотация. Рассмотрен контакт жесткой сферической неровности с упругопластическим упрочняемым полупространством. При описании свойств упругопластического материала использован степенной закон Холломона. Для расчета характеристик упругопластического контакта использованы математическое описание кинетического индентирования сферой и подобие деформационных характеристик. При определении параметра Kh, учитывающего характеристики упрочняемого материала, использованы результаты конечно-элементного анализа. Для описания зависимости «усилие - перемещение» использованы степенные функции. При рассмотрении внедрения жесткой шероховатой поверхности использована дискретная модель шероховатости в виде набора сферических сегментов. Приведены выражения для определения относительной площади контакта.

Ключевые слова: упругопластическое полупространство, степенной закон Холломона, сферическая неровность, кинетическое инденти-рование, подобие деформационных характеристик, шероховатая поверхность, дискретная модель шероховатости, относительная площадь контакта.

Abstract. The contact of rigid spherical asperity with elastic-plastic half-space is considered. The properties of the elastic-plastic material are described by Hollomon 's power law. Mathematical description of the kinetic spherical indentation and likeness of deformation characteristics for calculation of the characteristics of elastic-plastic contact is used. The results of finite element analysis for determining the parameter, taking into account the characteristics of the material, are used. Power functions are used to describe the "force - displacement" relation. When considering the introduction of rigid rough surface roughness discrete model is used as a set of spherical segments. Expressions for determining the relative contact area are given.

Keywords: elastoplastic half-space, Hollomon 's power law, spherical asperity, kinetic indentation, similarity of the deformation characteristics,

rough surface, discrete model of the roughness, relative area of contact.

Введение

В большинстве случаях при контактировании металлических шероховатых поверхностей, как указано в работах [1, 2], контакт является упругопластическим. При этом различают область ограниченной упругопластичности и область развитой упругопластичности [1-3], однако единого мнения о границах областей не существует. Закономерности упругопластического контакта недостаточно изучены, а некоторые предлагаемые решения требуют уточнений и усовершенствований. Особенный интерес представляют учет упрочняе-мости материалов и описание областей упругопластичности одним выражением. В ряде недавних работ [4-8] для описания упругопластическо-го контактного взаимодействия использовалась диаграмма кинетического индентирования. Однако, как указано в работе [9], применение результатов такого подхода для распределенных по высоте сферических сегментов затруднительно, так как зависимость «усилие - внедрение» в явном виде не описывается. Цель настоящей работы - совершенствование метода кинетического индентиро-вания при использовании его для описания упру-гопластического внедрения сферического инден-тора (неровности) и контакта шероховатой поверхности с полупространством.

Контакт единичной неровности

Рассмотрим внедрение жесткой сферической неровности в упругопластическое упрочняемое полупространство. В зарубежной литературе при описании упругопластического упрочняемого материала широко используется степенной закон Холломона (Hollomon's power law)

с = ■

sE, s<8y;

[Kep S ",

(1)

s > s.

где n - экспонента упрочнения.

Константа К определяется из равенства уравнений (1) при е = е :

0 у = Кер

(е Л" еу

V Е J

; кер .

Тогда второе выражение (1) можно представить в виде

_ _1-И 7^ПП

о = оу Ее ,

или

о ст„

/- \я

Ее

V0 у J

X у

Vе У J

е > е

у :

п = ■

(2)

где е у = о у/Е.

Таким образом, параметры е и п характеризуют упрочняемость материала. Значение экспоненты упрочнения п можно рассчитать по выражению

4° / оу ) Чеи / еу ) '

где о - предел прочности (в отечественной технической литературе оа), е - относительное удлинение при о .

При упругом контакте зависимость между относительной величиной внедрения 7-й неровности И ¡Я и относительным усилием описывается выражением

Р

Е *Я2

4 ( ИЛ 2 3 V Я

(3)

где Е* = Е/ (1 - V2 ), V - коэффициент Пуассона.

Радиус площадки контакта Я определяется из выражения

а Я

3 Р

4 ЕЯ

распределение контактного давления

Рг (Г

(г ) = Ро

„2 Л

1 --

(4)

(5)

где Ро =~ Рт

т 2

%а

оу =|о3 -о1 = 2г1шах = оу ,

где о , о - главные напряжения;

3 Ь — - 211 + 002

+ (1+V)(1 -—arctg

7

'а /

(7)

и достигает максимального значения в точке, лежащей под поверхностью. При V = 0,3 наибольшее значение г достигает в точке — = 0,481а и равно г1шах = 0,31р0 , где р0 - максимальное контактное давление на площадке контакта.

Для значений V = 0,25...0,40 положение

наибольшего нап

ряжения определяется выражением = 0,381+ 0,333v, (8)

а соответствующее наибольшее значение

т1 тах = 0,5 р0(0,756-0,450у). (9)

В общем случае максимальное контактное давление, при котором начинается пластическая деформация, можно представить выражением

(10)

рар = Ку

о.

где Ку - константа.

Для V = 0,28...0,32

К„ = 1,587...1,634. Относительная

значение критическая

нагрузка, соответствующая началу пластической деформации [4],

Р

л3К,3е3,

где е у = о у

/Е* .

Е*Я2

(11)

Тогда для указанного выше диапазона значений V

Я2о3

Р =(20,665...22,545)-- у

(12)

у 4 ' Е"

В работе [11] авторами в результате исследования перехода к пластическим деформациям методом конечных элементов получено

= ^

ЯР]

Е'2

(13)

рт = Ре^ - среднее давление на

где £ = 22, что достаточно хорошо совпадает с теоретическим значением.

Критическая относительная глубина внедрения Иу/Я, соответствующая нагрузке Ру, равна

площадке контакта.

Согласно критерию максимального касательного напряжения Треска, пластическая деформация соответствует эквивалентному напряжению [10]

И

л Куеу

4

(14)

Для расчета характеристик упругопластиче-ского контакта используем математическое описание кинетического индентирования сферой [4-6].

(6) Тогда

Vй* ( и - и/ )=

тР

2фЯЕ'

(15)

=

е

г. шах

6

3

0,5

2

а

3

где m и 1,5 - показатель степени кривой разгрузки, Ь^ - глубина остаточной лунки. Согласно [12],

р Р Р Н'= к —тр = к —т (к - и ) = к с Б тУ 1 ■

^А Гх-Рт к, I т I т

V 1 4 7

(16)

где ет = 0,75 - константа для сферического ин-дентора Кк (0.001, п).

Подставляя выражение (16) в (15) и обозна-

чая:

получим

А (1 _Рт] + Рт = у 2

т

т

У _ у —

Р(т Рт) _

2Е\ 2Як

т> = о.

1,5

*=Р;

Р.,

К =

РУ (К _ 1 .

2жЯК,ау '

Кк = Кк (е у, п) -

К (еу, п) = -

У _У-

60,5 К (т е т )

( к -1)1,

Кк

V КУ I

= о,

ла Ку и Кк.

а)

Кь (0.001, п) Кь (0.002, п) Кь (0.003, п) Кь (0.004, п) К (0.005, п)

(17)

(18)

Используя подобие деформационных характеристик [4, 6, 7], имеем

(19)

б)

Кь (е у ,0.2) К„ (е у ,0.15) Кь (е у ,0.1) Кь (е у ,0.05) Кь (е у ,0)

0.05 0.1

0.15

0.2

параметр, учитывающий характеристики упрочняемого материала, определяется согласно данным [13] методом двухкратного вдавливания

р2 (е, п Аг1)_ р (е, n, к 2)

(20)

2жК2ау [к02 (еу , n, кг1 ) _ к01 (еу, n, к2)]

где р (еу, п, кг,) - величина усилия, необходимая для внедрения сферического индентора на величину Кг = А/Я ; Аш = - относительная глубина остаточной лунки.

Как следует из выражения (19), остаточная деформация появляется при К > 1, что подтверждается результатами конечно-элементного анализа работы [11].

Величины р и Кг определяются при помощи полиноминальных функций, полученных в результате конечно-элементного анализа авторами [14]. На рис. 1 представлены значения Кк(еу,п)

для различных значений е и п .

Подставляя выражения (19) и (11) в (18), получим уравнение

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Рис. 1. Зависимость КЛ (ег, п) при разных значениях еу (о) и разных значениях п (б)

Имея решение ук уравнения (21), находим из (17) глубину внедрения сферы

к = к/* _ет ' т 1 1 -е„, / т

(22)

Глубина контактирующей части индентора (неровности)

К = с2к,

где с (е у, п

(е у, п К)

параметр, определяющий вели-

чину навала при упругопластическом внедрении сферы [15]

С' = ^ =

к

М 2" (2кг)

(2-N )/ N

(23)

(1,45 + 28,55п + 1745е „ )(1 - 0,5п + 20е )

М = ^-!-чР-!-Р,

(1 + 21,4п + 1020е у )(1 + 0,4п + 60е у) '

N =

+ 28,55п +17455,, )(1 - 0,5п +:

+ 0,4п + ( (1,9 +12,5п + 5705е ) (1 + 0,1п)

(21)

свободный член которого характеризуется безразмерными величинами: константами т, ет, степенью нагружения К и характеристиками материа-

(1 + 6,8п + 340е)

Следует подчеркнуть, что авторами установлено изменение экспоненты т кривой разгрузки при сферическом индентировании [8, 16]:

3 - 2с2(е„,п,к )

и \ у' ' к) (24)

т = т(еу, п, К ) =

У ' г) 2 -

В этом случае для более точного определения величины внедрения кг следовало бы решать

0

у

1,5

/

7~~

о :

5

18 5

18 5

Рис. 2. Взаимозависимости между относительной нагрузкой и относительным внедрением: а) п = 0, е = 0,001...0,005 б) п = 0,2, еу = 0,001; 0,003; 0,005

систему трансцендентных уравнений (15), (23) и (24). Однако, как показали расчеты, относительная погрешность между точным решением и решением кубического уравнения (18) при т = 1,5 составляет менее 1 %. Это можно объяснить тем, что в области ограниченной упругопластичности при к, близких к к, значения т близки к 1,5. В области

развитой упругопластичности значения т уменьшаются на 15 %, однако в этой области доля упругой деформации составляет незначительную часть от общей деформации, а параметр т - показатель степени кривой разгрузки, характеризует именно упругую деформацию. Таким образом, при расчетах контактных характеристик для упругопласти-ческого внедрения сферы целесообразно, без особой потери точности расчетов, использовать выражение (15).

Для обобщения результатов исследований приведем зависимости Р — к к виду К — 5, где К = Р/р , 5 = к/ку . На рис. 2 приведены зависимости 18 К - 5.

а)

1 ёК,

Как следует из рис. 2, при п = 0 кривые практически слились в одну линию. При п = 0,2 кривые расходятся, в большей мере в области развитой упругопластичности. На определенных участках кривые можно аппроксимировать прямыми линиями. Это значит, что в координатах К — 5 их можно аппроксимировать степенными зависимостями. Так как в дальнейшем, при переходе к контакту жесткой шероховатой поверхности с упругопластическим полупространством нам необходима зависимость Р(к) или К(5), то рассмотрим аппроксимацию степенной зависимостью К = а05а1 . (25)

При необходимости повышения точности расчетов можно использовать выражения

0 < 5 < 5*;

К =

|а05а1

аг

5*а +а2(5 — 5*)аз,1 5 >5*.

(26)

Константы а могут быть автоматически получены в среде Mathcad путем приближения выражений (25) или (26) к расчетным зависимостям К - 5.

Рассмотрим использование выражения (25). В этом случае к = 5 к . С учетом выражений (11) и

(14) имеем

Р = аор 5а1 =

а0Рука1 _ а0£*Р2КХ • 4а1

ка1 ку

6Рал2а1 К2а1 е

или

где

Р = А г кла1

= АI „

ЕЯ

Я

А =

о2

а 2

3

'1—11 \ — Куе у )

3—2а1

(27)

(28)

Контакт жесткой шероховатой поверхности. Рассмотрим внедрение жесткой шероховатой поверхности в упругопластическое упрочняемое полупространство.

Воспользуемся дискретной моделью шероховатости, в которой микронеровности представлены в виде одинаковых сферических сегментов [17, 18].

В этом случае плотность функции распределения неровностей по высоте

ф'п (и ) =

а—2

(1 — и )р—2 [(а—1)(1 — и) —(р — 1)и]

е.

1 (1 — е,)

Р—1

(29)

где е ^, определяется из условия фи(еж) = 1; юЯтх -высота сферического сегмента, ю = 1 — , ю = 0,2...0,6 ; ас - радиус основания; радиус сферического сегмента

R = -

(30)

& о Og

-r j Are,dnr + j a

6-6,

A = I A^dn + I Arepidnr

Выражение (30) получено при условии, что

(39)

R >> R

При определении Аг1 учитываем, что

К = с] •

При упругом контакте зависимость между относительной величиной внедрения 7-й неровно- Для упругого контакта с] = 0,5. Для упру-

сти к, ¡Я и относительным усилием описывается гопластического - используем выражение (23) выражением (3), при упругопластическом - (27).

При этом для неровностей шероховатой поверхности следует учитывать, что

к =(е-"К*, (31)

к = (е- и )• а»^ Я а,2

с2 = Ъ = MN f 2 h 1 N " г h 1 ä J •

/ \ 2 6-U 1 f гШ^, ^

2ш

1 üc У

, (32)

Для относительной площади контакта ^ = Аг!Ас окончательно получим

где е - относительное сближение шероховатой поверхности и полупространства.

При внедрении жесткой шероховатой поверхности на величину е общее усилие Р определяется выражением

6 " "e

P= jPadnr + jPepidnr ,

(33)

где ее - относительная граница упругого контакта; йпг - число вершин в слое du,

dnr = пф (u)du, nc =

c 2 '

% üc

(34)

По данным [19-20] и с учетом выражения (4),

,2 г^2„2 „2

, (35)

2 т^2 2 2 % Ky6yac

где К =1,613 - при v = 0,3.

P_

Подставляя выражение (34) в (33), имеем

е е-ее

-Чс= | Я се, 'ф'п (и )du + | Ясер, 'ф'п (и )du , (36)

ГДе Vce, = ■

P„;

% ü

с

Обозначая

2 , qcepi

% ü

qüc

,2 '

■ = F„

«Ятах Е

с учетом (3), (27), (32) окончательно получим

(37)

^ & е ) = £ i

6 - U 1 2

+ ■

22(A-1) A fшR 1

2ш у

2 A-3

1 üc У

ф^(и )du +

6 - u 2ш

(38)

фП (u )du.

Для фактической площади контакта, аналогично выражению (33), имеем

V(s,se) = 3% j

2ш

фп (u ) du +

+ ( 2M ) N

2®Rma

а)

i

2

s - u 1N

(40)

2ш

фП (u) du.

0.3

0.2

0.1

0

1 Ey = 0,0( / )1 / / гу = 0,003

£y = 0,005

0 0.005 0.01 б)

0.015

F„

0.3

0.2

0.1

n = 0,0 / n = 0,1

//

n = 0,2

0.005 0.01

0.015

F„

Рис. 3. Зависимости п(Г?): а) п = 0,1, еу = 0,001 ...0,005; б) £у = 0,003, п = 0,0...0,2

На рис. 3 представлены зависимости относительной площади контакта п от безразмерного сило-

2

ü

c

0

0

n

0

6-6

c

n

0

6-6

3

6

0

0

A

6-6

X

%

0

вого упругогеометрического параметра ¥ при разных значениях е и п .

Обсуждение результатов и выводы

Для определения зависимости Р - к в области развитой упругопластичности можно воспользоваться результатами конечноэлементного анализа работ [14, 21], что имеет место в работе [9]. Однако для одних и тех же значений е и " расчеты

по зависимостям Р - к отличаются. В настоящей работе для определения Кк (еу,") использованы

данные [14], имеющие физический смысл (рис. 1) из-за монотонности зависимостей. При аналогичном использовании данных [21] возможны экстремумы функции КА(е ,"), что недопустимо.

Ввиду отсутствия для области ограниченной упругопластичности зависимостей, учитывающих упрочнение материала, авторами предложено использовать для расчета характеристик упру-гопластического контакта математическое описание кинетического индентирования. Такой подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, одним выражением описываются обе области упругопластич-ности. Во-вторых, он не зависит от распределения давления на площадке контакта. С ростом нагрузки давление на площадке контакта выравнивается. Однако имеются подходы, когда упругопластиче-ский контакт рассматривается как повторный упругий. При этом распределение контактного давления «герцевское», что противоречит действительности. Предлагаемый подход исключает такую методологическую ошибку.

Недостатком предлагаемого метода можно считать отсутствие в явном виде зависимости Р(к). Однако при приведении зависимостей к виду К - 5 (рис. 2) было замечено, что на отдельных участках кривые ^ К - ^ 5 можно аппроксимировать прямыми. Это значит, что в координатах К - 5 их можно аппроксимировать степенными зависимостями. В зависимости от диапазона рассматриваемых относительных нагрузок их можно описать одним (выражение (25)), двумя (выражение (26)), или более слагаемыми. Несмотря на кажущуюся близость кривых на рис. 2 а и 2 б, при К = 105 значения 5 отличаются на 56,8 %. Поэтому в каждом отдельном случае (наборе е и ")

необходимо делать отдельную аппроксимацию. В этом можно убедиться, проанализировав зависимости на рис. 3, полученные для разных значений констант аг.

Предлагаемый подход позволяет оценить влияние характеристик упрочняемого материала

на относительную площадь контакта жесткой шероховатой поверхности с упругопластическим полупространством.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ланков А. А. О правомерности применения понятий «упругая и пластическая деформация» при сжатии шероховатых металлических поверхностей // Механика и физика процессов на поверхности и в контакте твердых тел, деталей технологического и энергетического оборудования. 2009. Вып. 2. С. 10-14.

2. Ланков А. А. Вероятность упругих и пластических деформаций при сжатии металлических шероховатых поверхностей // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2009. №3. С. 3-5.

3. Воронин Н. А. Теоретическая модель упруго-пластического внедрения жесткой сферы // Трение и износ. 2003. Т. 24. №1. С. 16-26.

4. Огар П. М., Тарасов В. А, Дайнеко А. А. О некоторых общих закономерностях упругопла-стического внедрения сферического индентора // Системы. Методы. Технологии. 2010. № 8. С.38-43.

5. Огар П. М., Тарасов В. А, Дайнеко А. А. К вопросу упругопластического внедрения сферического индентора // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 10. С. 14-16.

6. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Геометрия контакта при упругопластическом внедрении сферической неровности // Системы. Методы. Технологии. 2012. №1(13). С. 9-16.

7. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Развитие инженерных расчетов характеристик контакта жесткой сферы с упругопластическим полупространством // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1. С. 80-87.

8. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Описание взаимодействия жесткой сферы с упру-гопластическим полупространством // Труды Братского государственного университета. Серия Естественные и инженерные науки развитию регионов Сибири. 2012. Т.1. С. 163-169.

9. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Контакт жесткой шероховатой поверхности с упру-гопластическим полупространством // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 1. С. 17-22.

10. Огар П. М., Дайнеко А. А., Клюсс С. С. Критерий пластичености при контактировании шероховатых поверхностей // Механики XXI веку : тр. VI Всерос. науч.-техн. конф. Братск : БрГУ. 2007. С. 281-285.

11. Болотов А. Н., Сутягин О. В., Васильев М. В. Критерий перехода к пластическим контактным деформациям в тяжелонагруженных узлах трения деталей машин // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2012. № 1. С.211-213.

12. Oliver W. C., Pharr G. M. An Improved Technique for Determining Hardness and Elastic Modulus using Load and Displacement Sensing Indentation Experiments // Journal of Materials Research. 1992. v. 7. № 6. pp. 1564-1583.

13. Огар П. М., Тарасов В. А, Турченко А. В. Влияние характеристик упрочняемого материала на упру-гопластическое внедрение сферической неровности // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 12. С. 29-34.

14. Lee H., Lee J.H., Pharr G.M. A numerical approach to spherical indentation techniques for ma-terical property evaluation // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2005. Vol. 53. P.2037-2069.

15.Hernot X., Bartier O., Bekouche Y., Mauvoisin G., El Abdi R. Influence of Penetration Depth and Mechanical Properties on Contact Radius Determination for Spherical Indentation // International Jour-

nal of Solids and Structures. 2006. №43. Р.4136-4153.

16. Огар П. М., Тарасов В. А., Турченко А. В. Изменение экспоненты кривой разгрузки при сферическом индентировании // Системы. Методы. Технологии. 2012. № 2. С. 39-42.

17. Огар П. М., Шеремета Р. Н., Лханаг Д. Герметичность металлополимерных стыков шероховатых поверхностей. Братск : Изд-во БрГУ, 2006. 159 с.

18. Огар П. М., Горохов Д. Б. Контактирование шероховатых поверхностей: фрактальный подход. Братск : БрГУ, 2007. 171 с.

19. Огар П. М., Тарасов В. А, Дайнеко А. А. О некоторых общих закономерностях упругопла-стического внедрения сферического индентора // Системы. Методы. Технологии. 2010. № 4(8). С.38-43.

20. Огар П. М., Тарасов В. А, Дайнеко А. А. К вопросу упругопластического внедрения сферического индентора // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 2(10). С. 14-16.

21. Collin J.-M., Mauvoisin G., Pilvin P. Materials characterization by instrumented indentation using two different approaches // Materials and Desing. 2010. Vol. 31. Р. 636-640.