Трансформация Шура для обобщенной функции Каратеодори на окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.58 MSC2010: 47A58

ТРАНСФОРМАЦИЯ ШУРА ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ КАРАТЕОДОРИ НА ОКРУЖНОСТИ

© Е. Н. Андреищева

Черноморское высшее военно-морское училище им. П. С. Нахимова кафедра математики и начертательной геометрии ул. Парковая, 6, Севастополь, 299057, Российская Федерация e-mail: anda [email protected]

Schur Transformation for the Generalized Caratheodory Function on Circle.

Andreishcheva E. N.

Abstract. In the present paper we consider essentially Caratheodory class of scalar functions. This class consists of the meromorphic functions f (z) on the open unit disc D for which the kernel

K,(z,u) = f (Z) + f M*, z,u G hol(f) fV ' 1 - zu* w

has a finite number k of negative squares(here hol(f) is the domain of homomorphy of f (z)). This is equivalent to the fact that the function f (z) has k poles in D but the metric constraint of being not expansive on the unit circle T. We call these functions f (z) generalized Caratheodory functions with k negative squares.

The approach to the Schur transformation in the indefinite case in the given paper is based on the theory of reproducing kernel Pontryagin spaces for the scalar and matrix functions, associated with a Caratheodory function f (z) and a 2 x 2 matrix function 0(z) through the reproducing kernels

K,(z,u) = f (z) + f(u)*, K„(z.u) = J, - e(z)J,e(u)*, Jf = ( 0 -1) .

n ' J 1 - zu* uv ' J 1 - zu* ' f ^-1 0 J

In positive case, they have been first introduced by L. de Branges and J. Rovnyak in [9] and [10]. They play an important role in operator models and interpolation theory, see, for instance,[3] and [4]. In the indefinite case equivalent spaces were introduced in the papers by M.G. Krein and H. Langer [16],[17] and [18] mentioned earlier.

The transformation s(z) ^ s(z) was defined and studied by I.Schur in 1917-1918 in the paper [21] and is called the Schur transformation. The starting point is a function s(z) which is analytic and contractive in the open unit disk D; we call such functions Schur functions. The Schur transformation maps the set of Schur functions which are not identically equal to a unimodular constant into the set of Schur functions. In this way, I. Schur associated with a Schur

function s(z) a finite or infinite sequence of numbers, called Schur coefficients, via the formulas so(z) = s(z), Sj+1(z) = êj(z) = (z)-, b(z) = , zi € D, j = 0,1,...

This recursion is called the Schur algorithm.

In given paper we consider this transformation to an indefinite setting for generalized Caratheodory functions centered at z1 € T. We called this transformation the generalized Schur transformation for Caratheodory functions.

The generalized Schur transformation can be written as linear fractional transform /(z) = x@-i(f(z)), for any matrix polynomial 6(z) and generalized Caratheodory function f (z). If z1 € T we consider functions f (z) which have an asymptotic expansion of the form

2p-1

f (z) = T0 + £ Ti(z - zir + O((z - zi)2p), z ^ zi. i=1

We define the vector function R(z), fix some normalization point z0 € T, z0 = z1, and introduce the polynomial p(z). Then the Schur transformation /(z) for generalized Caratheodory function f (z) is defined by the formula

f> ) = x _ (f(z)) = {(1 - zz1)k - T0(1 - zzQ)p(z)}f (z) - ToTo*(l - zz0)p(z) f ( ) X©(z)-1 (f ( )) -(1 - zz0)p(z)f (z) + {(1 - zz1 )k - T0(1 - zz0)p(z)} . In this paper we also consider the basic boundary interpolation problem for generalized Caratheodory functions and factorization of the rational matrix functions which are J-unitary on T\{z1} and have a unique pole in z1.

Keywords: indefinite metrics, Pontryagin space, Schur transformation, generalised Carateodori function, interpolation problem, factorization of rational matrix function

Введение

Алгоритмом Шура называют последовательность дробно-линейных преобразований, характерных для функций классов Шура, Каратеодори, Неванлинны. Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определённых и ограниченных единицей на единичном круге. Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях. Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура, встречаются в теории наиболее часто. Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура.

Алгоритм Шура для функций Шура и Неванлинны исследовался в целом ряде работ (см., например, [1, 2, 5, 6] и имеющиеся там ссылки).

В настоящей работе получено развитие ряда результатов, установленных в работе авторов [2] для построения алгоритма Шура обобщённых функций Шура, Неванлин-ны, Каратеодори.

Напомним понятие алгоритма Шура на примере функции Шура. Рассмотрим классический дефинитный случай.

Пусть в (А) — функция Шура, определённая в открытом единичном круге О. Если |в(0)| < 1, то, по лемме Шварца [2, стр.10] , функция вида

~(А)_ 1 в(А) - в(0) ж

А 1 - в(А)в(0)* ' 7

также является функцией Шура. Преобразование (1) будем называть преобразованием Шура.

Таким образом, функции в (А) мы можем поставить в соответствие конечную или бесконечную последовательность чисел р^ в О, называемую коэффициентами Шура:

во(А) _ в(А), ро _ во(0), "-<А>_ _ -'+•<«)■ (2)

Рекурсия (2) называется алгоритмом Шура. Алгоритм будет конечен, если после конечного числа шагов для некоторого 30 мы получим |р^01 _ 1, и в этом случае ^•+п(А) _ 3 >

(а Ь\

Определим для некоторой 2 х 2 матрицы М _ и V € С дробно-линейное

\с а /

преобразование вида

av + Ь

Хм И _ —■ ^ + а

Тогда (1) можно записать как 3(А) _ ХФ(л}(в(А)), где

Ф(А) __1_ ( 1 -s<0»'

Обратное преобразование Шура определяется формулой

в(0) + А?(А) в(А)_ хФ(Л)-1 (^(А))_1 + А?(А)8(0). ■

Аналогичным образом определяется алгоритм Шура для функций Шура с условиями | в (0) | > 1 и | в (0) | _ 1.

Преобразование Шура (1) рассматривается в точке А1 = 0. Для произвольной точки А1 € О преобразование Шура определяется по формуле

= в(А) - а(А1) ( ) ЬС(А)1 - 8(А)8(А1)*'

где через ЬС(А) обозначается множитель Бляшке вида

Ь-<А> = .

Далее будем рассматривать обобщённое преобразование Шура в индефинитном случае, то есть преобразование Шура для обобщённой функции в произвольной фиксированной точке круга или окружности.

1. Преобразование Шура на окружности для обобщённой

функции Каратеодори

В данном пункте мы изложим схему построения преобразования Шура для обобщённой функции Каратеодори для произвольной точки на единичной окружности. Обобщённым классом Каратеодори назовём множество мероморфных в О функ-

й , К ( ) f (*) + f (ш)*

ций /, для которых ядро Kf (г,ш) = - имеет конечное число к отрица-

1 — гш*

тельных квадратов, и обозначим этот класс Ск.

Пусть f € Ск, Т — единичная окружность; г0 € Т, г1 = г0, |г| < 1. Рассматриваем обобщённую функцию Каратеодори f (г), которая для некоторого целого р ^ 1 в точке г1 € Т имеет асимптотическое разложение

2р— 1

f (г) = то + ^ тДг - ¿1)* + 0((г - ^)2р), г ^ (3)

*=1

Рассмотрим две аналитические функции а(г) = 1 и ) = г на связном множестве П С С с тем свойством, что множества

П+ = {г € П| |г| < 1}, По = {г € П| |г| = 1}

непусты.

Ядро Kf (г,ш) рассмотрим как частный случай ядра

X (г)7Х (ш)*

Kx

а(г)а(ш)* - 6(г)6(ш)*' где 7 — матрица 2 х 2, X(г) — мероморфная в П+ 1 х 2 вектор-функция.

Действительно, ядро Kf (г,ш) мы получим в случае П _ С и

X (г)_

-/(г)*

а(г) _ 1, Ь(г) _ г, 3 _ 3

0 -1 10

(5)

Предположим, что Kf (г,ш) имеет конечное число отрицательных квадратов. Будем обозначать В(/) соответствующее пространство Понтрягина, порождённое ядром Kf (г, ш).

Построим линейное пространство М' как линейную оболочку 2 х 1 вектор-функций вида

1 д? 3Х(ш)*,

/? (г)

3 _0,1, 2,

3! дш*-? 1 - гш*

Легко видеть, что для функций /?(г), 3 _ 0,1, 2,справедлива следующая ре-

куррентная формула

/?+1(г) _

(1 - ) \ 0

+ /?(Ф _

т*

+

?+1

г

?+1-к

(1 - )?+2 I -1 / ^ (1 - гг*)?+2-к \ 0 Введём внутреннее произведение на М', определяя его на подпространствах

М _ л.о.{/о(г), ■ ■ ■, /к-1(г)}, к _ 1, 2,....

Матричная функция

^(г)_(/о(г) /1(г) ■■■ /к-1(г))

может быть представлена в виде (см. [2])

^(г)_ (Мг1 - )

-1

где М*1 _ 4,

N

/г* 1

0 г*

00

00 00

г* 1

С* _

то т1 т2 -10 0

тк-2 тк-1 00

\0 0 ■■■ 0 г*)

Конечномерное пространство инвариантно относительно оператора запоздалого сдвига

(Я /? )(г)

/?(г) - /?(С), /? (г) € М,

г - С

*

1

1

где £ € П+ тогда и только тогда, когда оно является линейной оболочкой столбцов матричной функции вида

^(г) = С(М - гХ)-1 для некоторых матриц М, N и С (см. [2]).

Отсюда Мк инвариантно относительно оператора запоздалого сдвига. Определив сужение внутреннего произведения [•, •] на Мк, построим матрицу Грама С, соответствующую к функциям:

С = (0у)к-=о, = [/, Л], Л € Мк, г = 0,к - 1, как решение матричного уравнения

С - N1= С* . (6)

По теореме [2, стр.13] функция 0(г) может быть представлена следующим образом

0(г) = /2 - (1 - (го)*7/,

где г0 — точка единичной окружности, отличная от точки г1.

Через Гр обозначим матрицу Грама векторов /¿(г), г = 0,1, ...,р-1 размерностир, в через С — подматрицу матрицы Гр размерности к. Наша цель — найти матрицу Гр и её подматрицу С.

Ядро К/(г,—) = /( ) + /(——, характерное для функций Каратеодори, также

1 - г—*

имеет асимптотическое представление вида

К/(г,—) = ^ ^(г - ¿1)«(ш - ¿х)* + О((тах{|г - ¿х|, |— - гх|})2р-1) (7)

0<г+,<2р-2

при г, т ^

Из равенств (3) и (7) мы найдем соотношения, из которых получим необходимые нам коэффициенты разложения 7,, которые и будут элементами искомой матрицы Гр.

/ (г) + / (—)* =

= (1 - г—*) ( ^ ^(г - *!)«(— - ¿х)*' + О ((тах{|г - ¿1|, |— - гх|})2р-1)

= (-гХ(г - ¿х) - ¿х(— - ¿х)* - (г - ¿х)(— - ¿х)*) х

X ( ^ л,(г - ¿1)«(— - ¿1)*'■ + О((тах{|г - ¿х|, |— - ¿х|})2р-1) ).

\0<г+К2р-2

2р-1 2р-1

^ тг(г - ¿1)* + ^ т?*(ш - *!)*?' + 0((г - г^) + 0((ш - г1)*2р)) _ г=о ?=о

_ -г* ^ Ъз(г - г1)*+1(ш - г^*?-

о<г+К2р-2

- г1 ^ 1гз(г - г1)*(м - г1)*(з+1)-

о<г+К2р-2

- ^ 1гз(г - г1)*+1(ш - г1)*(з+1) + о<г+К2р-2

+ 0((тах{|г - г11, |ш - г^})2*-1).

Из этого мы замечаем, что справедлива следующая система равенств

' 7г-1,з - г17*,з-1 - 7г-1--1 _ 0, ¿,3 _ 1,р ; < т* _ 7г-1,о, г _ 1,р ;

т* _ -г17о,?-1, г _ 1,р ; , то + то* _ 0 .

Данную систему (8) можно переписать матричным равенством

-5*Гр - г1Гр5 - Б*ГрБ _ -(п e)Jf (п е)*,

где п _ (то т1 т2 ■ ■ ■ тр-1), е _ (1 0 0 ■ ■ ■ 0)3 _

0 -1 10

матрица 5

01 00

00 00

0 1

0 0

0 0

1 0

является р х р матрицей сдвига.

Из системы (8) последовательно получим коэффициенты 7-из _(-1)?+1 Е С--Ч^Г, при г ^ 3;

т=г

г+3+1

7гз _ (-1)г+1 Е с™7ттпри г < 3.

т=?

Таким образом мы получили матрицу Гр вида:

Гр

-T1z1 * * - T2 z1 * * - T3 z1

3 4

-T2z1 E Tizi Е Ti* zii

i=2 i=3

4 5

-T3z1 E Tizi - E c2 Tizi

i=3 i=3

5 6

-T4z1 E Tizi - E c2 Tizi

i=4 i=4

р+1 р+2

-Tpz1 E Tizi - E C2 Tiz1

* * - Тр zi

p+i Е

г=р р+2 .

Егчг-р-* „* i C2 Ti z1

i=p

р+3 Е

i= р

т * r *i Ti z1

i- р i C3 Ti z1

2p+1

(-1)р E ср+рт*z *

i=p

i=p

i=p

Также из системы (8) мы можем упростить нашу матрицу и "избавиться" от сопряжённости. Таким образом, имеем равенство

¿+.7 + 1

Yij

(-1У+1 v cm-irmzm, при i<j.

m=i

И тогда мы получаем матрицу Гр в ином, "упрощенном" виде

р

-Tizi Е Tiz1+1 i=1 3 - E C2—1 Tizi+2 i=1 4

- T2 z1 Etiz! i=2 4 - E C2—2Tizi+1 i=2 5

Гр = -T3zi E Tizi-1 - E c2 Tizi

i=3 i=3

5 6

-T4zi Е Tizi-2 i=4 - E C2—4Tizi-1 i=4

(-1)рЕ cp:1rizi+p-1

i=1 Р+1

(-1)р Е Cp-21TiZi1+p-2

i=2 р+2

(-1)р Е Cp-31Tiz1+p-3

i=3 р+3

(-1)р Е Cp-41riZl+p-4

i=4

p+1

Ei—P+2

TiZ1 p

р+2

2р-1

■ (-1)р ср:рт^

¿=р ¿=р ¿=р

рую в свою очередь можно представить в виде произведения двух матриц:

- Е c2—pTiz1—р+3

кото-

( Тр Тр-1 Тр-2 . . . T1 / 0 0 ■ ■ ■ 0

Тр+1 Тр Тр-1 .. . T2 0 0 ■ ■■ (-1)р-1 2zr3 (-1)рср-^2р-2

Гр = Тр+2 Тр+1 ТР .. . T3 X 0 Cz? ■ ■■ (-1)р-3СР-23 zP (-1)рср- ^р+3

\Т2р-1 Т2р-2 Т2р-3 .. . Тр/ - z1 C3z? ■ ■■ (-1)р-1 ер- 2^р-11 (-1)рср-^ У

Пусть в разложении (3) Ti = T2 = Tfc-1 = 0. Рассмотрим подматрицу G

размерности k матрицы Гр :

^ тк 0 0. . . 0

тк+1 тк 0. . . 0

С _ тк+2 тк+1 тк . . . 0

\т2к-1 т2к-2 т2к-3

X

0 0

X

тк

0 0

СогЗ

Рассмотрим оператор (I - гХ)

- г1 с<1г2

(-1)к-1С о_о г

2к-3 к- 2г1

(-1)

(-1)к-1ск

к-1 к-3 к Ск-2 г1 к- к-2 к-1

к- 2 г1

1

(I - гХ)

1

1—хх"

0 0

1—хх"

1—хх"

1—хх"

1 хх"

1 хх"

1 хх

1 хх"

1 хх"

1

1-хх"/

(-1)к Ско-1 г2к-1\ (-1)к Ск-1 г2к-;

(-1)к Скк--2гк+1 (-1)кСк-кк )

Л

^(г) _ с(I - гХ)-1 _

-1 _ I (1-хх")

(1-хх")2

'(1-хх"*) (1-хх")2

(1—хх")к

хк- 1 (1-хх")к,

Таким образом, функцию ^(г) можно записать в следующем виде

^(г) _ иЯ(г),

где Я(г)

1

(1 - гг*)к

, и

то

(1 - гг*) (1 - гг*)2 Обозначим через р(г) полином степени degр(г) ^ к - 1

р(г) _ (1 - гг*)кЯ(г)С- 1Я(го)*, р^) _ 0.

Для данного полинома р(г) характерно свойство

р(г) - го(-г*)кгк-1р(1/г*)* _ 0

'10)

0

0

к-1

2

1

х

х

х

к-3

0

0

0

0

т.

х

т

х

1

г

и выполнена асимптотика

(1 - zzx* )k

(1 - ZZ0)p(z

-= J] Ti(z - zx)4 + O((z - Z!)2fc). (11)

) i=fc

Исходя из вышесказанного, формула представления матрицы в(г) имеет вид

(1 - ^0) т0 -т0 (1 - )к-1 то

0(z) = /2 - (1 - zz0*)R(z)G-xR(zo) V Jf = /2 - (1 ZZ°). p(z) ( ^ ^ 70 ) . (12)

Найдём обратную матрицу в(г) ^

= 12 - *) (Т Т0Т0) = 12 + ^К***, где (-0) = (-01

Итак, получили преобразование Шура для функции Каратеодори в точке ¿1 на окружности:

= х ( f (.)) = 1(1 - ¿¿1)к - то(1 - ¿¿0М*)}/(*) - гоТо*(1 - ¿¿0)р(г)

= (/^ = -(1 - ^ ^)/(*) + {(1 - ^ )к - т0(0 - ^0)^)1 . ()

2. ОСНОВНАЯ ГРАНИЧНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Сформулируем основную граничную интерполяционную задачу для обобщённой функции Каратеодори.

Пусть ¿1 Е Т, где Т — единичная окружность, для целого числа к ^ 1 существует набор комплексных чисел т0, , т^+1,... , т2к_1 с условием т0 + т0* = 0, т^ = 0 и такой, что матрица О вида (9) является эрмитовой.

Основная граничная интерполяционная задача состоит в том, чтобы определить все функции / Е Ск такие, что имеет место асимптотика

2к-1

/(¿) = т0 + ^ т^ - ¿1)* + 0((г - ^), г ^ (14)

Через СК1;2к обозначим обобщённый класс Каратеодори функций, голоморфных в точке ¿1 и для которых справедлива асимптотика (14).

Если функция /(¿) является решением основной граничной интерполяционной задачи, то /(^) принадлежит классу СК1;2к, где к Е Ъ и к ^ к_(О), к_(О) — число отрицательных квадратов матрицы О.

Определим также точку ¿0 Е Т\{^1| и полином р(^) по формуле (10).

Теорема 1. Дробно-линейное преобразование

f(z) = {(1 - zz? )k - Т0(1 - ZZ0)p(z)}f(z) + r0r0*(1 - )p(z) (15)

( ) (1 - zz0)p(z)/(z) + {(1 - zz;)k - To(1 - zz0)p(z)} ( )

устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми решениями f (z) G CKi;2k основной граничной интерполяционной задачи и всеми функциями /(z) G Cx, для которых

liminf |f(z) - то| > 0, (16)

где X = к - k_(G).

Доказательство. Пусть /(z) G Ск обладает свойством (16). Докажем, что все функции f (z) вида (14) являются решениями основной граничной интерполяционной задачи. Если функция f (z) задана формулой (15), то выполнено равенство

f ( ) _(1 - zz;)k(f(z) - То)_

f (z ) - То = -~-.

(1 - zz0)p(z)/(z) + {(1 - zz1)k - То(1 - zz0)p(z)}

Данное равенство показывает, что функция f (z) - т0 имеет нуль порядка k в точке z = zi и отсюда, учитывая свойство (16), следует

(1 - zz0)p(z)(f (z) - То) - (1 - zzi)k = - (1 - zXi)k(f (z) - То) = O((z - zi)2k),

/(z) - То

при z ^ z1.

Заметим, что дробно-линейное преобразование вида (15) является обратным обобщенным преобразованием Шура и

f(z) = Xe(z)-i (f (z )) = f(z).

Следовательно, полином p(z) обладает свойством (11). Тогда

2k-1

f (z) - То - £ ^(z - zi)4 = O((z - zi)2k ).

4=k

Из чего и получаем, что f (z) вида (15) является решением основной граничной интерполяционной задачи.

Обратно, пусть выражение (15) определяет все решения основной граничной интерполяционной задачи. Докажем, что свойство (16) выполнено и /(z) G Ск c к = к - k_(G).

Рассмотрим выражение

(1 - zz5)p(z)(f(z) - То) + (1 - zz ;)k = (1 - zz|zk)(f-(zo) - То) =

zi(/(z) - то)

к-1 ' ^ + Е тк+г(* - ¿1)* + 0((* - ¿1)к)

г=1

при 2 ^ ¿1.

Следовательно, когда функция /(¿) рациональна, неравенство (16) эквивалентно тому, что знаменатель в (15)

(1 - ¿¿0)?(*)(/(*) - т0) + (1 - )к

не равен нулю в точке £ = ¿1. Докажем, что /(^) Е С^.

Рассмотрим ядро (¿,ш) вида (4), где X(¿) = |

Поскольку /(^) Е Ск, то Кх(¿, ш) имеет к отрицательных квадратов. Представим (¿, ш) в виде

К ш) Х ы У - У/®(ш)* х (ш)* + X (¿ре^У/ е(ш)* X (ш)*

Кх (¿,ш) = X (¿)---=-X (ш) +----=-,

1 - ¿ш 1 - ¿ш

где е(*) — матрица вида (12). Матрица X(¿)е(2:) описывает обобщенное преобразование Шура (13) в терминах линейных отношений. Обозначим количество отрицательных квадратов матрицы О через к_(О). Поскольку количество отрицательных квадратов ядра Кв(¿,ш) ровно столько, сколько отрицательных квадратов матрицы О, получаем к = к_ (О) + к, где к — количество отрицательных квадратов ядра КХв(^,ш). □

3. Факторизация в классе функций и/1

Цель данного пункта исследовать факторизацию класса рациональных функций на элементарные множители.

Напомним, что всякая рациональная аналитическая в нуле функция е(^) может быть представлена в виде [2]

е(*) = В + ¿С(1 - ¿А)_1 В, (17)

где А, В, С, и В — матрицы подходящих размеров и В = е(0).

Реализация (17) называется минимальной, если размерность матрицы А на столько мала, на сколько это возможно. Иначе говоря, реализация минимальна, если выполнено

Пгс=0 кег С А1 = {0} и игс=0 гапА1 В = Ст, где А — матрица т х т.

Размерность матрицы А минимальной реализации (17) называется степенью Макмиллана и обозначается degв.

Определение 1. Произведение (или факторизация)

0(^ = 01^)02^), (18)

где 0^), 01^), 02^) — рациональные р х р матричные функции, называется минимальной, если deg 0102 = deg 01 + deg 02.

Факторизация (18) называется тривиальной, если не менее одного множителя является постоянной матрицей.

Рациональная функция 0^) называется элементарной, если она не допускает нетривиальных минимальных факторизаций.

Если функция 0^) является /-унитарной, факторизация (18) называется /унитарной только тогда, когда оба множителя 0^) и 02^) — /-унитарны.

В случае, когда 0^) является рациональной и /-унитарной функцией на Т, ядро

./,- е(.-)// еы-

1 — zw *

имеет конечное число положительных и отрицательных квадратов. Обозначим за Р(0) пространство Понтрягина, порождённое ядром

Обозначим через Ц?1, где zi Е Т, класс всех рациональных 2 х 2 матричных функций, обладающих свойством /-унитарности на Т\^} и имеющих единственный полюс в точке zi. Класс Ц?1 является подпространством Р (0). Пусть точка Zo Е Т\^1} — фиксированная на окружности.

Определение 2. Функция Ф^) = 0^)0^о)-1 называется нормализованной матричной функцией.

Сформулируем вспомогательные теоремы, которые лежат в основе доказательства основного результата данного пункта.

Теорема 2. [2, стр.40] Пусть zi € Т и 0^) нормализованная функция класса Ц1. Тогда 0^) допускает единственную минимальную факторизацию на нормализованные множители.

Теорема 3. [2, стр.33] Пусть С, N — матрицы размера к х т и т х т соответственно. Пусть матрица С — обратимая эрмитовая т х т матрица. Тогда ли-неиная оболочка М столбцов матричной функции ^= С(I — zN) 1, на которой определена метрика

= ^ *Сс, € Ст,

является пространством Понтрягина P (в) тогда и только тогда, когда матрица G является решением уравнения

G - N*GN = C* JN.

В этом случае

e(z) = / - (1 - zz0)C(/ - zN)-1G-1(/ - zoN)- *CJ, (19)

где z0 G T такое, что z0 G p(N).

Основываясь на этих теоремах докажем следующий результат о факторизации функции в на элементарные множители.

Теорема 4. (1) Нормализованная матричная функция e(z) G Ufzi элементарна тогда и только тогда, когда она представима в виде

e(z) = /2 - ((1 -!!f))fcp(z)uu*Jf, (20)

(1 - zz1 )

где k G Z, k ^ 1, вектор I 0 I — J-нейтральный: и*Ju = 0, p(z) — полином

степени degp(z) ^ k - 1 и удовлетворяющий условиям

p(z) - zo(-z1 )kzk-1p(1/z *)* = 0, p(zi) = 0.

(2) Каждая функция e(z) G Ufzi допускает единственную минимальную факторизацию

e(z ) = ei(z) ••• e„(z )U,

для которой каждая функция в^ (z) является нормированной элементарной матричной функцией из класса Ufzi и U = e(z0) является Jf-унитарной константой.

Доказательство. (1) Пусть e(z) G Ufzi является нормализованной элементарной матричной функцией. Докажем, что для e(z) справедливо представление в виде (20).

Действительно, по теореме 3, поскольку класс Ufzi является подпространством P(в), функция e(z) имеет вид (19), а отсюда и следует нужное нам представление (20). Функция (20) является нормализованной, поскольку e(z0) = /.

Докажем обратное утверждение. Пусть e(z) представима в виде (20), докажем, что она элементарна. Предположим, что условие элементарности не выполняется, тогда факторизуем матрицу e(z). Через конечное число шагов мы получим

e(z) = ei(z)e2(z) ••• era(z),

где 0^-] = 1, п — элементарные матрицы. Тогда, из доказанного, мы получаем, что каждая из матриц 0^-имеет вид (20) и, следовательно, п =1.

(2) Следует из теоремы 2. □

Это показывает, что функция 0^), соответствующая обобщённому преобразованию Шура и основной граничной интерполяционной задаче в предыдущем параграфе, является нормированным элементарным множителем в Ц/?1.

Мы схематично обозначим, как получить факторизацию произвольной матричной функции 0^) Е Ц?1, используя алгоритм Шура.

1) Во-первых, нормализуем 0^) :

0^) = фВД0(;го), Ф^) = 0(z)0(zo)-1 =

-1 _ I а(^ Ф)

Предположим, что Ф^) не является //-унитарной константой, иначе процедура остановилась бы прямо на первом шаге. Обозначим за о?1 д порядок полюса функции д^) в точке zi. Выберем С Е Т такое, что выполнено

ы с(0)С + ¿(0) = 0,

(«2) о?1 (а£ + 6) = тах{о?1 (а), о?1 (6)}, (аз) о?1 (сС + = тах{о?1 (с), о?1 (¿)},

(а4) функция f (z) = ф)|+г(?) не равна тождественно константе.

Каждое из первых трех условий выполнено самое большее для одного значения С. Четвертое условие выполнено для всех кроме двух значений. Таким образом, есть не более пяти запрещённых значений для С Е Т. Поскольку Ф^) Е Ц?1, функция f является рациональной обобщённой функцией Каратеодори и, следовательно, голоморфна на Т и удовлетворяет условию И£ f = 0 для всех z Е Т, то есть, f — частное двух множителей Бляшке. Из этого следует, что для ядра К/^,и>) справедливо асимптотическое представление (7) для р Е р ^ 1. Поскольку ядро К/^,и>) является симметричным, то матрица Г любого размера эрмитовая.

2) Мы можем применить алгоритм Шура:

= f = ХФ1(?)-1 СШ^ . . . , ДО^ = ХФ„(?)-1 Оп-^^

где Ф1, Ф2, • • • , Фп — нормализованные матричные функции вида (20). Алгоритм будет конечным, поскольку на некотором шаге Ф^^) станет унитарной постоянной матричной функцией.

Заключение

Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определённых и ограниченных единицей на единичном круге. Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях. Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура, встречаются в теории наиболее часто. Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура.

Операторное обобщение понятия класса Шура определяется множеством функций з(^), заданных и голоморфных на подобласти единичного круга, содержащей нуль, и принимающих значения во множестве Ф) непрерывных операторов, где Ф — гильбертовы пространства Понтрягина либо пространства Крейна.

Каждой такой функции поставим в соответствие три ядра

1 - фМш)* 1 - ф^ш)* К8(ш,2)= -----, ^^(ш,^) —

Ds(w,z)

1 - zw * 1 - zw

( K ( ) s(z) - s(w*) \

Ks(w,z ) -;-

_ _ z - w * e(z) - s(w *)

V z- w* K^(w,z) /

где З^) = *)* и 1 обозначает скалярную единицу или единичный оператор в зависимости от контекста. Когда эти ядра неотрицательны, они являются воспроизводящими ядрами гильбертовых пространств Н(з), Н(З), векторнозначных функций. Данные пространства появляются в канонической модели сжимающих операторов для случая гильбертовых пространств в теории Л. де Бранжа и Дж. Ровняка.

В общем случае у данных трёх ядер предполагалось наличие к отрицательных квадратов, для некоторого неотрицательного целого числа к. Тогда мы говорим, что функция принадлежит обобщённому классу Шура ($, Ф). Согласно теории Л. Шварца и П. Сорьонена, в случае обобщённого класса Шура пространства Н(з), Н(З), также существуют, однако теперь как пространства Понтрягина с

отрицательным индексом к. Заметим, что индефинитность появляется и тогда, когда пространства ^ и Ф являются пространствами Понтрягина или Крейна. Данный подход впервые исследовался В. П. Потаповым.

Индефинитные случаи также были изучены в сериях работ Д. Алпая, Т. Я. Азизова, М. Г. Крейна и Г. Лангера и недавних работах Л. де Бранжа.

Теория Крейна-Лангера предполагает, что пространства ^ и Ф гильбертовы, и необходимость такого подхода мотивируется спектральной теорией, классическими представлениями резольвент и вопросами теории функций.

Теория де Бранжа охватывает различные системы точек зрения и использует понятие дополнения для создания ключевой конструкции.

Однако, несмотря на то, что получено множество выдающихся результатов, индефинитная теория менее изучена, нежели гильбертов случай.

Своё развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М. Г. Крейна , И. С. Иохвидова, Р. Филлипса, М. А. Наймарка, Г. К. Лангера, П. Йонаса, Т. Я. Азизова, А. А. Шкаликова, в ряде совместных работ Д. Алпая, Т. Я. Азизова, А. Дайксмы и Г. Лангера.

В настоящей работе мы исследуем качественные свойства обобщенных функций Каратеодори, касающиеся построения алгоритма Шура, факторизации и интерполяции матричных функций. Обобщенная функция Каратеодори связана с обобщенной функцией Шура дробно-линейным преобразованием Кэли-Неймана.

Для доказательства основных результатов используются методы математического анализа, теории приближений, операторной теории, теории интерполяции функций.

Основные результаты работы:

1. Получено преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в точке, принадлежащей единичной окружности.

2. Доказаны теоремы о факторизации и интерполяции рациональных матричных функций для случая преобразования Шура обобщённой функции Каратеодори на единичной окружности.

Описок литературы

1. ALPAY, D. & AZIZOV, T. YA. & DIJKSMA, A. & LANGER, H. & WANJALA, G. (2004) The Shur Algorithm for Generalized Schur Functions IV: Unitary Realizations. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhäuser Verlag, Basel (Vol. 149). p. 23-45.

2. ALPAY, D. & DIJKSMA, A. & LANGER, H. (2007) The transformation of Issai Schur and related topics in indefinite setting . Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel ( Vol. 176.). p. 1-98.

24

E. Н. AHdpeuu^eea

3. ALPAY D. & DYM H. (1993) On a new class of reproducing kernel spaces and a new generalization of the Iohvidov laws. Linear Algebra Applications. (Vol.178). p. 109-183.

4. ALPAY D. & DYM H. (1996) On a new class of realization formulas and their applications. Linear Algebra Applications. (Vol. 241-243). p. 3-84.

5. ALPAY D. & GOHBERG I. (1988) Unitary rational matrix functions. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel ( Vol. 33). p. 175-222.

6. ALPAY D. & GOHBERG I. (2006) Discrete analogs of canonical systems with pseudoexponential potential. Definitions and formulas for he spectral matrix functions. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhäuser Verlag, Basel ( Vol. 161). p. 1-47.

7. ANDREISHCHEVA E. (2006) Approximation of Generalized Schur functions. International Conference "Sixth Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Operator Polynomials": Book of abstracts. Berlin. p. 10-11.

8. ANDREISHCHEVA E. (2007) Representation of Schur function for case of unitary realization . International Conference "Modern Analysis and Applications": Book of abstracts. Kyiv. p. 8-9.

9. DE BRANGES L. (1963) Some Hilbert spaces of analytic functions I. Trans.Amer.Math.Soc.. ( Vol. 106). p. 445-468.

10. DE BRANGES L. & ROVNYAK J. (1966) Canonical models in quantum scattering theory. Wiley. New York. p. 295-392.

11. DIJKSMA A. & LANGER H. & LUGER A. & SHONDIN Y. (2004) Minimal realizations of scalar generalized Nevanlinna functions related to their basic factorization. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhäuser Verlag, Basel (Vol. 154). p. 69-90.

12. DYM H. (1989) On reproducing kernel spaces, J-unitary matrix functions, interpolation and displacement rank. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel ( Vol. 41). p. 173-239.

13. GOHBERG I. (1986) Schur methods in operator theory and signal processing. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel ( Vol. 18). p. 30-77.

14. IOHVIDOV I. S. & KREIN M. G. & LANGER H. (1982) Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces with an Indefinite Metric. Mathematical Research, Akademie-Verlag. Berlin ( Band 9). p. 120.

15. JONAS P. (1981) On the functional calculus and the spectral function for definizable operators in Krein space . Beitrage Anal.. (Vol.16). p. 121-135.

16. KREIN M. G. (1970) Uber die verallgemeinerte Rezolventen und die charakteristische Funktion eines isometrischen Operators in Raume nK . Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai.. Tihany (Hungary) (Vol.5). p. 353-399.

17. KREIN M. G. & LANGER H. (1977) Über einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit der Theorie hermitescher Operatoren im Raume nK zusammenhängen. I. Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen. Math. Nachr.. (Vol.77). p. 187-236.

18. KREIN M. G. & LANGER H. (1981) Some propositions on analytic matrix functions related to the theory of operators in the space nK . Acta Sci. Math. Szeged. (Vol. 43). p. 181-205.

19. LANGER H. (1982) Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces. Lecture Notes in Mathematics. (№948). p. 1-46.

20. PHILLIPS R. (1961) The extension of dual subspaces invariant under an algebra. Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces. Paris: Pergamon Press. p. 366-398.

21. SCHUR I. (1986) Uber die Potenzreihen, die im Innern des Einheitkreises ankt sind. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel (Vol. 18). p. 31-59.

22. WANJALA H. (2005) Closely connected unitary realizations of the solutions to the basic interpolation problem for generalized Schur functions. Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag, Basel (Vol. 160). p. 441-468.