Мультипликативная структура резольвентных матриц упорядоченных интерполяционных задач для неванлинновских функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 30Е05

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ СТРУКТУРА РЕЗОЛЬВЕНТНЫХ МАТРИЦ УПОРЯДОЧЕННЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕВАНЛИННОВСКИХ ФУНКЦИЙ

Ю.М. Дюкарев

Белгородская государственная сельскохозяйственная академия им. В.Я. Горина, ул. Вавилова, 1, Майский, Белгородский р-н, Белгородская обл., 308503, Россия,

e-mail: [email protected]

Аннотация. В этой статье исследована мультипликативная структура рсзольвстных матриц упорядоченных интерполяционных задач для неванлинновеких функций. Приведен а;п'о-ритм noinai'OBOiX) решения упорядоченных интерполяционных задач. Общие построения проиллюстрированы на примерах задачи Неванлинны-Пика и проблемы моментов Гамбурх'ера.

Ключевые слова: неванлинновские функции, упорядоченные интерполяционные задачи, факторизация резольвентных матриц, пошах'овое решение интерполяционных задач.

1. Введение. Интерполяционная задача Неванлшшы-Пика впервые была рассмотрена в статьях |1|- 131. Эти исследования были продолжены в работах многих авторов. Особо отметим статью |4|, в которой впервые было получено разложение резольвентной матрицы в произведение матричных множителей Бляшке-Потанова, В статье |4| были использованы идеи и методы В.П. Потапова в мультипликативной теории J-растягивающих матриц-функций |5|, После статьи |4| появилось большое количество работ, в которых были исследованы мультипликативные структуры резольвентных матриц различных интерполяционных задач дня певап.ннпновских функций и их аналогов (см., например, |6|- |9|), Современное состояние теории интерполяционных задач изложено в монографии |10|.

В работах |8|, |9|, |11| были поставлены и решены обобщённые интерполяционные задачи, которые содержат в себе основные примеры интерполяционных задач дня певап.ннпновских функций и их аналогов. Однако в этих построениях отсутствуют структуры, которые позволяют ввести в рассмотрение пошаговое решение интерполяционных задач, мультипликативные разложения резольвентных матриц, ортопормировапные семейства функций и связанные с этими объектами проблемы теории интерполяции и ее приложений. Для включения этих вопросов в контекст интерполяционных задач в статьях |12|, |13|, |14| были введены упорядоченные последовательности обобщённых интерполяционных задач дня неваннинновских и сти.нтьесовских функций. Основными результатами этой статьи являются мультипликативное разложение резольвентных матриц последовательности обобщённых интерполяционных задач дня неван.ниннов-ских функций (теорема 2) и пошаговое решение упорядоченных обобщённых интерно-

лядиохшых задач (теорема 3). В качестве примеров рассмотрены задача Неванлшшы-Пика и проблема моментов Гамбургера.

2. Основные определения и обозначения. Для верхней и нижней полуплоскости введем обозначения С+ = (г Е С : 1т г > 0} и С_ = (г Е С : 1т г < 0} соответственно и пусть С± = С+ и С_. Через (Н, 3} обозначим множество ограниченных линейных операторов, действующих из конечномерного гильбертова пространства Н в сепарабельное гильбертово пространство 3, а терез (3} обозначим множество ограниченных операторов в 3- Множество ограниченных эрмитовых операторов в 3 обозначим через (3}я-Эрмитов оператор А Е (3}я называется неотридательным, если (/, А/) > 0, V/ Е 3-Множество неотрицательных операторов в 3 обозначим через (3}>- Неотрицательный оператор А Е (3}> называется положительным, если он обратим и А-1 Е (3}- Множество положительных операторов в 3 обозначим через (3}>- Для эрмитовых операторов А, В Е (3}я неравенство А > В (соотв. А > В) означает, что А — В Е (3}> (соотв. А — В Е(3}>).

3

рез 13 и О3. Нулевой оператор, действующий из гильбертова пространства 31 в гильбертово пространство 32, обозначим через 03^. Для упрощения записи мы часто будем опускать нижние индексы у тождественного и нулевого операторов.

Пусть операторы К Е (3}>, Т Е (3}, и, у Е (Н, 3} удовлетворяют Основному Тождеству (ОТ)

ТК — КТ* = уи* — иу*. (1)

И пусть, далее, оператор-функция (ОФ) Вт(г) = (/3 — гТ)-1 мероморфна в С. Множество особых точек ОФ Вт(г) обозначим через а множество комплексно сопряжённых точек обозначим через % = (г Е С : г Е %}.

Определение 1. ОФ т : С+ ^ (Н} называется неванлннновской, если она голоморфна в С+ и (т(г) — т*(г)}/2г > 0Н, Vг Е С+.

Класс всех неванлинновских ОФ обозначим Р.

Определение 2. Обобщенной интерполяционной задачей с масштабными пространствами Н и 3 называется упорядоченный набор операторов

Р = (К, Т, и, у} , (2)

удовлетворяющий ОТ (1).

ОФ т Е Р называется решением интерполяционной задачи (2), если она удовлетворяет следующему Основному Матричному Неравенству (ОМН) В.П. Потапова

К Вт(г) (ут(г) — и} \ > 0 г Е С \ % ( )

( ут(г) — и }* Я*(г) (т(г) — т*(г)}/(г — г} у! > °3®Н' г Е С+ \ %• ^

Типичными обобщёнными интерполяционными задачами дня неван.нинновских ОФ являются задача Неван.нинны-Пика, задача Каратеодори, проблема моментов Гамбургера и другие интерполяционные задачи дня неваилишювеких функций (см. |4|- |6|), Современное состояние теории интерполяционных задач дня неван.нинновских функций имеется в монографии |10|.

Определение 3. Обобщённая интерполяционная задача Р = (К, Т, и, у} называется вполне неопределённой, если

К Е(3}>, ък = 0 ^ к = 0. (4)

Далее в этой статье мы будем рассматривать только вполне неопределённые обобщённые интерполяционные задачи. Множество всех решений обобщённой интерполяционной задачи (2) обозначим через 5". Известно (см. [8]- [9]), что при сделанных предположениях множество У не пусто.

Пусть дана бесконечная последовательность гильбертовых пространств °=1•

Рассмотрим ортогональные суммы этих пространств

3(0 = ф ^(2) ф ... ф • (5)

Каждое из пространств 3(к) можно рассматривать и как подпространство в любом пространстве 3(1) при / > к, Мы будем отождествлять векторы (х1;..., хк, 0,..., 0) из 3(1) с векторами (х1;... , хк) из 3(к)- Сужения операторов в пространстве 3(1) на подпространство 3(к) мы тоже будем отождествлять с операторами в пространстве 3(к)-

Пусть теперь для всех / > 1 определены обобщённые вполне неопределённые интерполяционные задачи

Р(0 = (К(1), Т (г),и(г)У°} (6)

с масштабными пространствами 3(1), Н.

Пусть произвольные натуральные числа / и к удовлетворяют неравенствам 1 < к < /, Рассмотрим ортогональное разложение масштабных пространств интерполяционной задачи (6)

3(0 = ф (д(0 е д(к)). (7)

Определение 4. Пусть дала последовательность обобщённых интерполяционных задач (6) и матричные представления операторов интерполяционной задачи Р(1), построенные по разложению (7) , имеют вид

К(1) = ( К(к) В(1'к) ) (1) = ( Т(к) 03(1)е3(,)3(,) N К = ^ в^)* с' Т V Т2(1'к) Т2(2'к) ) '

у(1) = ( I') ) • и(1) = ( $ ) • (8)

Последовательность интерполяционных задач (6) называется упорядоченной, если операторы К(к), Т(к), и(к), рассматриваемые как операторы в прострапствах 3(к) и Ж, совпадают с операторами К(к), Т(к), у(к), и(к) интерполяционной задачиР(к).

Для упрощения записи в формулах (8) мы будем обозначать К(1) через К(1) и т.д. Упорядоченную последовательность обобщённых интерполяционных задач обозначим через В этом контексте обобщённые интерполяционные задачи называют-

ся усеченными интерполяционными задачами. В обозначения объектов, связанных с

усеченной задачей , введем верхний индекс (I). Имеют место включения Э(1+1) С Э(1). Упорядоченные последовательности интерполяционных задач были введены дня неван-лишювеких функций в статье |12|, а дня сти.нтьесовских функций - в статье |13|.

Рассмотрим упорядоченную последовательность обобщённых интерполяционных задач

Резо.ньвептпой матрицей дня усечённой задачи называется

и (1)(» = ( ^ = + г ( ят,, (г)К(«-' ( и(1) —^ )

(9)

Пара мероморфных в С+ ОФ ( ), принимающих значения в {Н}, называется

р(г)р*(г) + я(г)я*(г) > О, г{—р*(г)я(г) + я*(г)р(г)) > О.

ТГ ( Р1(г) \ ( Ръ^) \

Две певаннинновские нары ; ; и ; ; называются эквивалентными, ес-

V Я1(г) ) V Яъ(г) )

ли существует мероморфная и мероморфно обратимая в С+ ОФ г) такая, что

Я1(г); \ъ(г); ®(г) -

Классы эквивалентности неванлинновских ОФ обозначим через К,

Теорема 1. Пусть операторы а(1)(г), в(1), 1(1Чг), $(1Чг) являются блоками резольвентной матрицы из представления (9). Тоща формула

т(г) = (у(1)(г)р(г) + 6(1)(г)д(г)) • (а(1)(г)р(г) + в(1)(г)я(г))-1 (10)

устанавливает биективное соответствие между и

Доказательство этой теоремы имеется, например, в статьях |6|, |8|, |9|.

3. Мультипликативная структура резольвентной матрицы. Пусть в представлении масштабных пространств (7) к = I — 1. Тогда

3(1) = 3(1-1) 0 Ь(1), 1 > 2.

Дня этого представления введем блочные обозначения дня операторов

тЛ1) (К(1-1) Б(1) \ (1) (ь(1-1) \ (1) (и(1-1) \ (ллЛ

К = со), у = «« ), и = и(1) ) - (11)

И пусть подпространство 3(1-1) С 3(1) является инвариантным для оператора Т(1) € {3(1)}- Тогда имеют место представления

Т(,) (Т(1-1) О \ ( йт„-„(г) О \

Т ={т(1) тт) ■ ( = ЫТЯЪ,-«(г) ягт(г)) - (12)

Здесь RT(i) (z) = (I - zT(1))-1, RT(i-i) (z) = (I - zT(1-1))-1, (z) = (I - zT(1))-1

Легко видеть, что выполнены равенства

I O \( K(1-1) O \( I K(^Г1 В«

£(1)*K(1-1)-1 I Д O K® ) V O I

K(1)

> O.

Здесь

K(1) = C(1) - K(1-1)-1B(1) > O, l > 1.

Отсюда

K(1)-1 =

И пусть, далее,

K(1-1)-1 O OO

-K (1-1)-1 B(1) I

K(1)-1 í-B(1)*k(1-1)-1 I

T(1) = -£(1)*K(1-1)-iv(1-1) + £(1), T(1) = -B(1)*K(1-1)-iu(1-1) + u(1), l > 1. Подставим в ОТ (1) блочные представления (11) - (13). Получим

T(1-1) O

T

(l)

21

TK(l)

I

£(1)* K (1-1)-

0

1

K(l-1) O O KK ( l )

I к(1-1)-1 B(1)

I

I

B(1)* K (1-1)-

0

1

K(l-1) O O KK ( l )

I K(1-1)-1 £(1) N / T(i-1)* T

(1)*

21

/1-1)

u

(1-1)*

uv

u

(1-1)

(l)

u

O

.(1-1)*

I

O TT(1)*

(l)*

Умножим это равенство слева и справа соответственно на операторы

I

-£(')* K (i-1)-

O

I -K(1-1)-1 £(1)

O

I

С учётом (15) получим

I

-£(')* K (1-1)-K(l-1) O O KK ( l )

0

1

T(l-1) O

T

(l)

21

TK(l)

I

£(1)* K (1-1)-

I K(i-1)-1 \ / T(1-1)* T

(l)* 21

O

I

v(1-1)

#0

u

(l-1)*

uK

u

(i-1)

(l)

O TT(1)*

,(1-1)* T(1)*

O\( K(1-1) O

I O KK ( l )

I K(1-1)-1 B(1) OI

uK

Отсюда следует, что

T(1-1) O Y (1) TT(1)

K(1-1) O

O

K(1)

K(l-1) O

O

K(1)

T(l-1)* O

v(1-1)u(1-1)* v(1-1)T(1)* T(1)u(1-1)* T(1)T(1)*

u(1-1)v(1-1)* T(1)v(1-1)*

Y (1)* TT(1)*

u(1-1)T(1)t

T(1)T(1)*

(13)

(14)

(15)

1

1

Здесь

у (0 = —б(1)* К (1-1)-1 Т (-) + Т(1) + т(1) Б(1)* К (-)

(17)

Рассмотрим ОФ

Ь(1) (г) = и (1)(г),

Ь(1)(г-) = /нфн + г(

(^г) (г) К М-1 ( и(1) —и(1) ) ,1> 1.

(18)

Теорема 2. Пусть дала, упорядоченная последовательность обобщённых вполне неопределённых интерполяционных задач для неванлипповских функций (Р(1))1=1 и для всех 1 > 2 подпространства $(1-1 С 9(1) являются инвариантными для операторов Т(1 € {3(1)}- Тогда резольвентные матрицы (9) допускают представления

и(1)(г) = Ь(1)(г) • Ь(2)(г) • ... • Ь(1)( г), 1 > 1. (19)

Здесь ОФ Ь(1)(г) определены формулами (18).

□ Доказательство формул (19) проведем индукцией по I. При I = 1 формула (19) очевидна. Пусть формулы (19) выполнены для всех I < п. Тогда для I = п имеем

и (1)(г) = I + г

и

/0* (I)*

Кт(I)* (г )К(1)-1( и(1) —у(1) )

I + г

и

()* (I)*

Кт(I)* (г)

К(1-1)-О

О О

и(1-1) — у(1-1)

и

(I)

—г,®

+ г

у(1)* и(1)*

К

т (1)

(г)

—К (1-1)-1 б(1) I

^ К(1)-1 (—Б(1)* К(1-1)-1 I)

х

и

(1-1) —1,(1-1)

и

(1)

—у(1)

= I + г

+ г

и

(1)* (I)*

и

()* (I)*

^ Кт(1-1)* (г) гКт(-)* (г)Т±11 (г) ^ ( К^

О

хи

КТ(1)* (г)

(1-1) (1-1)

Кт(1-1)* (г) гКт(1-1)* (г)Т(1 К^* (г)

О

КТ(1)* (г)

х

—к (1-1)-1 б(1)

I

О

К(1)-

и(1-1) —и(1-1)

I + г

и

(1-1)* (1-1)*

+ г

и

()* (I)*

ь(1)*

и(1)*

Кт 1-1)* (г)К(1-1)-О

<1)

и

(1-1) л-1)

( Кт(1-1)* (г) гКт(-)* (г)Т$* (г)\ ( —К(1-1)-1 Б(1)

О

КТ(1)* (г)

х К(1)-1

ии

(1-1) —и(1-1)

-1

= и(г-

и

(1-1)*

и

5(0* (I)*

Дт(1-1)* (г) гЯт(¡-1)* (г)Т2(1) Ар(0* (г)

О

Ят№*(г)

х, -к (г-;-1 В(г) 1 к (о-

= и(г-

г) + г

(1-1)* (1-1)*

и

)(0* (г)*

Ят(¡-1)* (г) гЯт(¡-1)* (г)Т2(1) Я^(0* (г)

О

х

+ г

-К (1-1)-1 ВО I

^(1-1)* ¿(г)*

к(г)-

и(г-1) -и(г-1)

и

(г-1)*

и

(г)*

О О А

О

Т(0'

(г)

-К (г-1)-1 В(г)

I

О

К(г)-

(г-1) -М(г-1)

и(г-

(г-1)*

(г)*

г) + г ( и(г-1)* ) ( Ат(¡-1)* (г) (¡-1)* (г^У Яр(0* (г)

X, -к (г-;Г'В(г) I к (г)-

и

(г-1) -и(г-1)

и

(г)* (г)*

Я№* (г)К(г)-1 (

и(г-1) -и(г-1)

Таким образом,

(г-1)*

и(г)(г) = и(г-1) (г) + и(г-1)* ) ( Ято-1)* (г) гЯта-ч* УТТ Я№* (г)

х

-К (г-1)-1 В(г)

I

К(г)-

ии

(г-1) _и(г—1)

+ г

и

(г)* (г)*

Я№* (г)К(г)-1 ( и

(г-1) -и(г-1)

(20)

Данее имеем

и(г-1) (г)Ь(г) (г) = и (г-1)(г

I О О I

+ г

(г)-1 м(г) -и(г)* Я№* (г)К(г)

(г)К(г)-1и(г) -и(г)*

1 и<г)

-1

(г)К(г)-1 и<г)

+ ги(г

г) + г

и<г)* м(г)* А

и<г)* Я№* (г)К(г)-1и(г) -и(г)* Я№* (г)К(г) и(г)* Я№* (г)К(г)-1 и(г) -м(г)* Я№* (г)К(г)-1и<г)

и(г)*Я№* (г)К(г)-1 м(г) -и<г)* А

/ \ т>(7)-1-

1 и«

-1

и(г )* Я(г)К(г )-1 м(г ) -и(г )* Я,

?(1Г (г)К(г)-1 и(г) (г)К(г)-1 и(г)

+ г2

;(г-1)* Ята-1)* (г)К(г-1)-1 и(г-1) -^(г-1)* Ят(¡-1)* (г)К(г-1)-1 ^(г-1) /(г-1)* Ята-1)* (г)К(г-1)-1 и(г-1) -и(г-1)* Ят(¡-1)* (г)К(г-1)-1 ^(г-1)

(г)

-1 и(г)

и

и<г)* Я№* (г)К(г)-1м(г) -и(г)* Х 1 м(г)* Я№* (г)К(г)-1 и(г) -и(г)* Я№* (г)К(г)-1 и<г)

1

1

1

г

и (1~

г) + г

Я*К?т* (г)К(1)-1 и(1) —и11)* К?т* (г)К(1)-1 у(1)

ЬТ(1)* 1^(1)*

и(1)* К?П)* (г)К(1)-1 и(1) —и(1)* К

тау

(г) К(1)-1 и()

+ г2

;(1-1)* Кт(-у (г)К(1-1)'

х

и1)* —и(1)*

ии

ии

К?т* (г)К(1)-1 и(Г) О

Ои и(1-1)* Ктц-п* (г)К(1-1)-1 ) \ и

О

-1) —у(1-1) -1) —ь(1-1)

%0* (г)К(1)-1 и

(I)

и(1

+ г

х

х

д(1)*Я?т* (г)К(1)-1 и(1) —и1*)* Я?т* (г)К(1)-1 и*» и(1)* Щ{1У (г)К(1)-1 и(1) —и(1)* Щ{1У (г)К(1)-1 и()

2/ г(1-1) Кт(-1)* (г)К(1-1)-1 О

О и(1-1)* Кт(г)К(1-1)-1

и

ии

и

+ V

(1-1)^(1)

и(1-1т* — г(1-1)и(1)* —и(1-1)д(1)* + г(1-1)и(1)

К?т* (г)К(1)-1 и(1)

О К

т(1)'

О

(г) К(1)-1 и1*)

и(1

г) + г

+ г

д(1)* К?«)* (г)К(1)-1 и(1) —к»* К?«)* (г)К(1)-1 д(1) и(1)* К?(1)* (г)К(1)-1 и(1) —и(1)* К?(1)* (г)К(1)-1 и()

2, г(1-1)* Кт(-1)* (г)К(1-1)-1 О

О и(1-1)* Кт(г)К(1-1)-1

х

К(1-1)у(1)* —к(1-1)у(1)* К(1-1)у(1)* —к(1-1)у(1)*

и(1

К?«)* (г)К(1)-1 и(1) О

О

%0* (г)К(1)~гV

г) + г

у(1)*К?(1)* (г)К(1)-1 и(1) —и1*)* К?(1)* (г)К(1)-1 у(1) и(1)* К?{1)* (г)К(1)-1 и(1) —и(1)* К?{1)* (г)К(1)-1 и(1)

+ г2

х

г(1-1)* Кт(-у (г) О

О

и

(1-1)* Кт(1-1)* (г)

у (I)*

I —I

К?(1У* (г)К(1)-1 и(1) О

О %0* (г)К(1)-1 ^

и (1~

К1)*%0* (г)К(1)-1 и(Г) —К1)* %0* (г)К(1)-1 ^ и(1)* К?т* (г)К(1)-1 и(1) —и(1)* К?т* (г)К(1)-1 К1)

+ г2

и

,(1-1)* (1-1)*

У(1)

К:(г)) у (,)*{ к*». ш«« —в*»- ш ^

Здесь шестое равенство следует из (16). Таким образом,

и(1-1) (г)Ь(1) (г) = и(1-1)(г)+ г ' ^ Ктт

(г) К(1)-1 и(1) —ь(1)* К

Т(1У

(г) К(1)-1 ь(1)

и(1)*К?(1У* (г)К(1)-1 и(1) —и(1)* К?(1У* (г)К(1)-1 и

(I)

+

■

V

:

1

2( ^(г-1)*

г 1 Х1-1)*

%$) у(г)* ( я?«* ^К(г)-1 и(г) -Я№* (г)К(г)-1 мг)). (21)

Из формул (20) и (21) имеем

/ ^Чг) * \

и(г-1)(г)Ьг(г) - и(г)(г) = и(г-1)(г) + Л М«* ) Я?(0* (г)Ки(г)-1 ( и(г-1) -и(г-1) )

+ г2 ( и^г-1)* ) Ят(¡-1)* (г)У(г)* Я№* (г)К(г)-1 ( и(г) -и(г) )

- и(г-1) (г) - г ^ и^-^О ( Ят(¡-1)* (г) гЯт(¡-1)* (г^?* Я№* (г) ) х ( -К"-1)-1 В(0 ) К (г)-1 ( и(г-1) -и(г-1) )

- Я№* (г)К(г )-1 ( и(г-1) -М г-1) )

/ -ч г)* ■'(г)* \

= г ( М(о* - ^0*) ЛТ(0* (г)К( г)-Ч и(г-1) -Мг-1) )

+ г2 ( и!!-1)** ) Ят(¡-1)* (г)У( г)* Я№* (г)К(г )-1 ( и(г ) -и(г ) )

- г ^ и( г-1)* ) ( Ят(¡-1)*(г) гЯт(¡-1)* (г)т2(1) Ят№*(г) ) х ( -К (г-1)-1 В(г) ) К (г)-1 ( и(г-1) -и(г-1) )

-г\ $-15**^ К(г-1)-1 В( г)Я№* (г)К( г)-1 ( и(г-1) -М(г-1) + г2( и^г-1)**) Ят(¡-1)* (г)У( г)* Я№* (г)К(г )-1 ( и(г ) -Мг)

- г ^ и г-1)* ) ( Ят (¡-1)*(г) гЯт (¡-1)* (г)Т2(1) Ят(0*(г) )

х ( -К (г-1)-1 В(г) ) К (г)-1 ( и(г-1) -и(г-1) ) ( ^-1) * ^ Я ( )

= -г I и(г-1) * I Ят(¡-1) *(г)

{Ят-^) * (г)К(г-1)-1 В(г) - гУ(г) * + ( I гТ« * Я№ * (г) ) (

х Я№ * (г)К( г)-1 ( м( г-1) -М г-1) )

( ^(г-1) * \

( и(г-1) * ) Ят(¡-1)*(г)

х ^ ЯT7¡-l)* (г)Кг^ - *у1''* + ( I гТ^* (г) ) ( К^Т В ° ) Я^* (г

-г 1 и(' 1) *

х {(I - гТ(г-1) * )К(г-1)-1 В(г) - -Т(г-1) * К(г-1)-1 В(г) + Т2(1) * + К(г-1)-1 В(г)Т(г) *)

- К(г-1)-1 В(г)(/ - гТТ(г) *) + гТ2(1) * }я№* (г)КМ(г)-1 ( и(г-1) -и(г-1) )

( ^(г-1) * \ -г ( и(г-1) * ) Ят( ¡-1) *(г)

х

-1)-1 в(г) - гТ(г-1) * К(г-1)-1 В(г) + гТ(г-1) * К(г-1)-1 В(г) - гТ2(1) * - гК(г-1)-1 В(г)Т(г)

21

- К( г-1)-1 В(г ) + гК(г-1)-1 В( г)Т( г) * + гТ2(1) * ¡ ) * (г)К(г )-1 ( и(г-1) -и(г-1) ) = О.

Здесь третье равенство следует из (15). Следовательно, и(г )(г) = и( г-1)(г)Ьг(г). Отсюда и из предположения индукции вытекает формула (19). ■

Сравнивая 22-блоки в левой и правой части (16) получим индуцированные ОТ

М г)К( г) - К(г )^(г ) * = М г)м(г) * - и(г)и( г) *, I > 1. (22)

Отсюда и из неравенства > О следует, что для всех / > 1 определены обобщённые интерполяционные задачи

и( г) = {К( г), М г), и(г), Мг)} (23)

с масштабными пространствами 9(г ), Н. Будем считать, что Мг)к = 0 ^ к = 0. Тогда все задачи (23) являются вполне неопределёнными.

ОФ Ь( г)(г), 1 > 1 являются резольвентными матрицами для вполне неопределённых задач (23) и ОФ Ь(1)(г) = и(1)(г) является резольвентной матрицей для вполне неопределённой задачи У(1) = {К(1),Т(1),и(1),^(1)}, По теореме 1 при всех 1 > 1 корректно определены дробно-линейные преобразования

6(г)(г){ р(г),ф)} = (с(г)(ф(г) + ¿(г)(г)ф)) ■ (а(г)(ф(г) + Ь(/)(г)ф))

-1

над произвольной неванлинновской парой (ф))- Здесь введены естественные блочные представления

ь(г)(г)=(а;:« ), 1 > 1.

с(г )(г) г)(г)

Дробно-линейное преобразование над неванлинновской парой обозначим через

6(г)(г)Щг)}= (с(г)(г) + ^(г)(г)^(г))-(а(г)(г) + 6(/)(г)^(г))-1.

Из сделанных выше замечаний следует, что для любой неванлинновской пары (^(г) корректно определена суперпозиция дробно-линейных преобразований

(г){Ь(г р(г),д(г)} }... }. (24)

Здесь ОФ Цг) является неванлинновской.

Суперпозиция дробно-линейных преобразований (24) снова является дробно-линейным преобразованием с матрицей Ь(1\г) • Ь(2) (г) • ... • Ь(1\г). Таким образом, имеем

Ь(1)(г) • Ь(2)( г) • ... • Ь(1)(г){ р(г), я(г)}= Ь(1 (г){... Ь(1 1)(г^ Ь(1 (г){ р(г), я(г)} }...}.

Отсюда и из (19) следует, что

и(1) (г) {р(г) ,д(г)} = Ь(1) (г){... Ь(1-1) (г) { Ь(1) (г) {р(г) ,я(г)}}... }.

Из этой формулы и теоремы 1 немедленно следует такая теорема.

Теорема 3. Пусть дала, упорядоченная последовательность обобщённых вполне неопределённых интерполяционных задач для неваллинновских функций (Р(1))1=1 и для всех 1 > 2 подпростралства $(1-1 С 9(1) являются инвариантными для операторов Т(1) € {9(1)}- И пусть, далее, ОФ Ь(1)(г) определены формулами (18). Тогда формула

-ш(г) = Ь(1)(г){ ...Ь(1-1) (г){ Ь(1\г){ р(г),я(г)} }...} (25)

устанавливает биективное соответствие между и

Последняя формула показывает, что множество всех решений Э(1) интерполяционной задачи

может быть описано как формулой (10), так и формулой (25). Описание множества всех решений интерполяционной задачи Р(1) суперпозицией дробно-линейных преобразований (25) называется обобщённым пошаговым, алгоритмом Шура решения упорядочатих штгерполяционних задач.

4. Примеры. В этом раздело мы рассмотрим примеры интерполяционных задач дня певап.нипповских функций, резольвентные матрицы которых допускают представление в виде произведения простейших множителей Бляшке-Потанова, Таким задачам соответствуют упорядоченные последовательности интерполяционных задач специального вида. А именно, пусть в представлении (5) все пространства ^ совпадают с Н, т.е.

9(1) = Н 0 Н 0 ... 0 Н. (26)

4-V-' У '

1 слагаемых

И пусть, далее, существует последовательность комплексных чисел ((¡)^=1 С С \ К такая, что операторы ^ и Т1, I > 1 (см. (12)) имеют вид

Т1 = С^Н, Т = С аж, 1> 1. (27)

Отсюда следует, что

Т1 = = ТГ = СЛс, = 1> 1. (28)

1 — 6г 1 1 — (,1г

Теорема 4. При сделанных предположениях операторы г(1), и(1), ^, и(1), 1 > 1 обратимы. Резольвентные матрицы (9) допускают мультипликативное разложение

и(1)(г) = Ь1(г) • Ь2(г) • ... • Ьц(г), I > 1. (29)

ОФ Ь( г)(г), 1 > 1 называются множителями Бляшке-Потапова и задаются формулами

= ,+ П. (30)

Здесь операторы ш( г) имеют вид

ш

(1) = ^(1)-1 и(1), ш(г) = и<г)-1 и(г), 1> 1

(31)

и называются параметрами Шура.

□ В силу (22) и (28) имеем ((г - (г)К(г ) = иг)и( г)* - и(г )и(г )*, 1 > 1. Отсюда следует,

что

К(г ) =

Мг)и(г )* - и(г )и(г)*

Сг - Сг

(32)

Пусть, например, ((г - (г)/2г > 0. Отсюда, из неравенств > О, что (и(г )и(г)* - и(г)и( г)*)/2г > О, т.е. Iгс^М г)и(г )*) > О. Поэтому произведение операторов М(г )м(г обратимо и, следовательно, обратимы операторы и(г ), м( г), / > 1. Обратимость операторов ^(1), и(1) доказывается аналогичным образом. Для 1 > 1 имеем

Ь(г )(г) = I + г

и

у(г )* (г)*

Я^( ¡)* (г)К( г) I

7(г )* М<г)*--

м(г) -и(г)

1 - (гг V м(1 ) и

I

40* и«*

и<г)*

и(г)и( г)* - и( г)и<г )*'

1 - (гг V м(1 ) и

Сг - Сг и(г) и

и( г)*и(г )*-1 - и(г)-1 М( г)

-1

Сг - Сг

и<г ) ( иг)(-1) и( г) -I )

(и<г)(-1) и(г) -/)

I

1 - С гг

Сг - Сг

Формулы (30) доказаны для / > 1. Для 1 = 1 формула (30) доказывается аналогичным образом. ■

Пример 1. Задача Неванлинны-Пика. В задаче Неваилиины-Пика задана бесконечная последовательность попарно различных комплексных чисел из верхней полуплоскости г1; г2,..., ... и бесконечная последовательность операторов ш1; ш2,..., ,..., действующих в пространстве в Н, Требуется описать множество ОФ ш : С+ — {Н} таких,

) = ш, Ук € Н, ш € К. (33)

Вместе с задачей (33) с бесконечным числом узлов интерполяции будем рассматривать и усеченные задачи Неванлинны-Пика. В таких задачах фиксируется число 1 € N и требуется описать множество ОФ ш : С+ — {Н} таких, что

) = ш, 1 < ] < /, ш € К.

(34)

г

г

Покажем, что усеченную задачу (34) можно рассматривать как обобщённую интерполяционную задачу неваилишювской тина. В качестве масштабных пространств выберем пространства

G{1) = H 0 H 0 ... 0 H, H.

4-V-'

l слагаемых

Операторы K(l),T(l\v(l\u(l^ зададим естественными матричными представлениями T(l) = diag{z-1lH,...,z(l)-1 lH}e{Gl)],

K(D = G{S(,)},

l Zi Zj J i,j=i,..,l v(l) = co1{/h ,...,Ix}e{H, s(l)}, u(l) = col {wi,...,wl} e {H, 5(l)}.

Очевидно, что выполнено ОТ (1). В |4| показано, что условием вполне неопределённости задачи (34) является неравенства К(1 > Од(о- Более того (см. [4]), ОФ т € К является решением усечённой задачи (34) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ОМН (3). Таким образом, множество решений интерполяционной задачи (34) совпадает с множеством решений следующей обобщённой интерполяционной задачи певап.ниппов-ской тина

?(1) = {К(1),Т(1),у(1),и(1)}. (35)

Из (4) следует, что задача (35) является вполне неопределённой тогда и только тогда, когда вполне неопределённой является усеченная задача Неваплшшы-Пика (34). Таким образом, усеченная вполне неопределённая задача Нсчзаилшшы-Пика (34) эквивалентна обобщённой интерполяционной задаче (35). Из блочной структуры операторов К (1),Т(1) ,у(1),и(1) следует упорядоченность последовательности обобщённых интерполяционных задач (У(г))Итак, последовательность усечённых вполне неопределённых задач Нсчзаилшшы-Пика (34) является примером последовательности вполне неопределённых обобщённых интерполяционных задач дня певап.нипповских функций.

Легко видеть, что в рассматриваемой задаче операторы Т1,Т1, I > 2 имеют вид (28) с (1 = 1/г\. Следовательно, формулы (29) задают мультипликативное представления резольвентных матриц усечённых задач, формулы (31) явно выражают параметры Шура через данные интерполяционных задач и формула (25) задаёт пошаговое решение усечённых задач Нсчзаилшшы-Пика.

В задаче Нсчзаилшшы-Пика множители Бляшке-Потаиова (30) допускают представления

Ъ«Ч;) = 1+ . (36)

1гА2(1 — , г)

в которых операторы выражаются через параметры Шура по формулам

и удовлетворяют условиям

у( г)2 = -у(г ), у( О^ > 0; (38)

Эти множители Бляшке-Потанова допускают представление, часто встречающееся в математической литературе

т = I +, ^ ,у(г) = /+у(г) + (, ,-1)у(г)

|гг|2(1 - гг г) \|гг|2(1 - гг г) /

= I + ¡р('> _ В. . = / + ¡р(0 + Ь

гг г - ¿г

Здесь скалярный множитель Бляшке &гг(~) = — ^ • отличается от простейшего множителя Бляшке дня верхней полуплоскости лишь равным но модулю единице множителем — — .

Пример 2. Проблема моментов Гамбургера. В проблеме моментов Гамбургера по заданной последовательности операторов ..., , • • • € {Н}н требуется описать множество монотонно возрастающих ОФ а : К — {Н}н таких, что

/+те

^а(£), Ук € N и{0}. (39)

-те

а

условиям нормировки: а(£) непрерывна слева при всех £ и а(£) — Он при £ — -то.

а

Мте, С каждой а € Мте свяжем ОФ

.. Г+те ^а(£) /)п,

Ф) = / 737- (-10)

о — те £ г

ОФ ш определена и голоморфна в С+ и называется ассоциированной с проблемой моментов (39). Множество ОФ ш, ассоциированных с проблемой (39), обозначим символом 5"те. Из формулы обращения Стилтьеса следует, что соответствие, устанавливаемое между 5"те и Мте формулой (40), является взаимно однозначным. Поэтому, вместо описания множества Мте, мы можем ограничиться описанием множества 5"те.

Вместе с бесконечной проблемой моментов (39) будем рассматривать и усеченные проблемы моментов. В таких проблемах фиксируется целое число 1 > 0 и требуется описать все нормированные монотонно возрастающие ОФ а : К — {Н}н и операторы М € {Н}> такие, что

/+те г+те

¿а(£), 0 < з < 2п - 1, 52га = £2п^а(£) + М. (41)

те —те

Проблема моментов (41) называется п-ой усечённой проблемой моментов, а множество её нормированных решений а обозначим через Мга. Как и в случае проблемы

моментов (5.40), с каждой о € Мп свяжем ассоциированную ОФ т вида (40). Множество всех ОФ т, ассоциированных с проблемой (41), обозначим через '5п,

Покажем, что задачу описания ассоциированных ОФ усечённых проблем моментов можно рассматривать как обобщенную интерполяционную задачу дня неван.нин-новских функций. В качестве масштабных пространств выберем пространства Зп = Н ф Нф... Ф Н, Н. Операторы Кп,Тп,"п,ип зададим естественными матричными

V

п+1

иредстав.:1ениями

К„

«о 31

3П—1

3 \

( о

т

32п—1 32п у

( /н \

Он

МП -

Н

/н

V Он ( Он \

30

31

Он Он

Он Он

/н о

н у

V Он / у 1 )

Непосредственно проверяем, что определённые выше операторы удовлетворяют ОТ (1). В |6| показано, что необходимым и достаточным условием разрешимости проблемы моментов (41) является неравенство Кп > О3п. Более того (см. |6|), ОФ т € 5п тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ОМН (3). Таким образом, множество 5п совпадает со множеством решений обобщённой интерполяционной задачи

{ КП ) ТП ) "п )

Мп}.

(42)

Условием полной неопределённости проблемы моментов (41) является условие Кп > Одп, Легко видеть, что при этом все условия в (4) выполнены, т.е. задача (42) является вполне неопределённой. Будем считать, что задачи (42) являются вполне неопределёнными при всех п > 0.

Из блочной структуры операторов Кп, Тп, мп следует упорядоченность последовательности обобщённых интерполяционных задач Более того, из блочной структуры операторов Тп следует, что Т0 — Он, Тп — Он, п > 1. По теореме 2 резольвентные матрицы усечённых проблем допускают мультипликативное представление вида

и(п)(г) = 6о(*0 ■ ■ ... ■ 6„(г), п > 0.

Здесь ОФ 6? (г), з > 0 определены формулами (18) и, с учет ом равенств ЯТо (г) — /Н, Ят (г) — /Н, ] > 1, имеют вид

6о(г)

6? (г)

1НфН + г

1НфН + г

/н он

и? и?

—1

Он -i

Н

К

и

С?) —и?

^ > 1.

1

Легко видеть, что эти множители Бляшке-Потанова можно записать в виде

Ь, (г) = + ггЕ,, у > 0.

Здесь введены операторы

Е„ = ( ОН ) ( 1н Он ) 3. Е, = ( ^^^ К( й"> ) 3. у > 1,

которые удовлетворяют условиям

Е, 3 > О, Е? = О.

Последнее равенство очевидно при у = 0, При у > 0 оно следует из индуцированного тождества (22), которое дня проблемы моментов имеет вид

Он = У{,)ииг - ии)д{,)*, у > 0.

Литература

1. Piek G. Uber die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden /7 Math. Ann. 1916. 77. P.17-23.

2. Nevanlinna R. Über beschränkte Functionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen /7 Ann. Aead. Sei. Fenn. 1919. A 13;1. P.l-71.

3. Nevanlinna R. Uber beschränkte analitisehe Functionen // Ann. Aead. Sei. Fenn. 1929. А 32;7. P.l-75.

4. Ковалишина И.В., Потапов В.П. Индефинитная метрика в проблеме Неванлинны-Пика // ДАН Арм. ССР. 1974. 59;1. С.17-22.

Штамшлихштивпая структура J-растягивающих матриц-функций // Труды ММО. -1955. 4. С.125-236.

6. Ковалишина И.В. Аналитическая теория однохх) класса интерполяционных задач // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. 47;3. С.455-497.

7. Нудельман A.A. Об одной проблеме типа проблемы моментов // Докл. АН СССР. 1977. 233;5. С.79-795.

8. Иванченко Т.С., Сахнович Л.А. Операторный подход к схеме В.П. Потапова исследования интерполяционных задач /7 Укр. мат. журн. 1987. 39;5. С. 573-578.

9. Ivanchenko T.S., Sakhnovich L.A An operator approach to the Potapov scheme for the solution of interpolation problems // Operator Theory: Advances and Applications. 1994. 72. P.48-86.

10. Arov D.Z., Dvm H. J-contractive matrix valued functions and related topics / Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 116.: Cambridge University Press, 2008. 565 e.

11. Кацнельсон В.Э., Хейфец А.Я., Юдицкий П.М. Абстрактная интерполяционная проблема и теория расширений изометрических операторов / Операторы в функциональных пространствах и вопросы теории функций. Сб. науч. тр.(изд. Марченко В.А.). К.: Нау-кова думка, 1987. С.83-96.

12. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач для неванлинновских функций // Известия высших учебных заведений. Серия «Математика». 2004. 507;8.

С.26-38.

13. Дюкарев Ю.М. О неопределённости интерполяционных задач в классе Стилтьееа /7 Математический сборник. 2005. 196;3. С.61-88.

14. Дюкарев Ю. М. Обобщённый критерий Стилтьееа полной неопределённости интерполяционных задач /7 Матем. заметки. 2008. 84;1. С.23-39.

MULTIPLICATIVE STRUCTURE OF THE ORDERED INTERPOLATION

PROBLEM RESOLVENT MATRICES FOR NEVANLINNA's FUNCTIONS

Yu. M. Dyukarev

Belgorod State Agricultural Academy by V.Ya. Gorin, Vavilova St., 1, Maiskiy, Belgorod Reg., 308503, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Multiplicative structure of the ordered interpolation problem resolvent matrices for Nevanlinna's functions is studied. An algorithm for step by step solution of ordered interpolation problems is obtained. General constructions are illustrated by examples of the Nevanlinna-Piek problem and the Hamburger moment problem.

Key words: Nevanlinna's functions, ordered interpolation problems, factorization of resolvent matrix, step by step solution of interpolation problems.