Приближение функции двух переменных произведением функций одной переменной в заданной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ

В. А. Даугавет1, М. В. Киреева2

1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение. Приближение функции двух переменных произведением функций одной переменной относится к простейшему случаю ЕП-аппроксимации —приближению функции /(и, у) суммой произведений функций, каждая из которых зависит от одной переменной,

где r > 1 параметр задачи. Разумеется, приближающая функция с разделенными переменными z(u, v) Г=1 xq(u) yq(v) легче анализируется. Такая аппроксимация нахо-

дит свое применение в вопросах повышения эффективности систем передачи информации, в теории обработки изображения, для сокращения объёма таблиц функций многих переменных, при численном решении дифференциальных и интегральных уравнений и т. д.

Решение задачи ЯП-аппроксимации тесно связано с выбором нормы. Впервые к ЯП-аппроксимации обратился в 1907 году E. Schmidt [1], позднее — М. Р. Шура-Бура [2], но они рассматривали Ь2-норму. В этих работах установлена связь ЯП-аппроксимации со спектральным разложением интегрального оператора.

В данной статье рассматривается задача с чебышёвской нормой в случае r = 1, которая названа чебышёвской (или равномерной) П-аппроксимацией. Такая задача была рассмотрена в работе [3], в которой подробно исследован дискретный вариант чебышёв-ской П-аппроксимации, т. е. приближение прямоугольной матрицы произведением двух векторов (одноранговой матрицей). В частности, описан алгоритм поиска локального решения задачи.

В работах [4, 5] описаны достаточные альтернансные признаки для пары функций {x(u),y(v)}, являющейся наилучшей П-аппрокимацией.

Во всех работах П-аппроксимация исследовалась лишь на прямоугольной области D = U х V, где U и V — некоторые компакты, а алгоритм поиска решения разработан только для дискретного случая, когда компакты U и V состоят из конечного числа точек.

В данной работе предлагается алгоритм, который в определенных случаях позволяет построить приближенное решение непрерывной задачи в заданной области (не обязательно прямоугольной) в виде интерполяционных натуральных сплайнов с использованием сеточных решений задачи.

© В. А. Даугавет, М. В. Киреева, 2010

r

^ inf ,

{Xq(u)},{yq(v)}

q= 1

2. Постановка задачи. Пусть D С R2 —некоторый связный компакт, U и V — проекции D на оси координат. Пусть непрерывная функция f (u, v) задана на компакте U х V. Обозначим через Md множество пар непрерывных функций {x(u), y(v)}, заданных на компактах U и V соответственно. Положим

y>(x, y) = max |f (u, v) — x(u) y(v)| .

Непрерывная равномерная П-аппроксимация заключается в поиске такой пары непрерывных функций {x*(u), y*(v)} из Md, которая минимизирует функционал у>, т. е. решает задачу

¥>(x,y) ^ inf . (1)

Md

Такую пару функций назовем оптимальной.

Обозначим через ^(D) наилучшее приближение, т. е. величину

^(D) = inf ^y^

Md

и будем считать, что

^(D) > 0.

В простейшем случае в качестве компакта D может быть взят прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Множество D может быть как выпуклым (например, D — круг), так и невыпуклым (кольцо).

Заметим, что рассматриваемая задача (1) не всегда разрешима даже в прямоугольной области (см. [6]).

В данной работе описан алгоритм, который позволяет построить приближенное решение задачи (1) и получить двустороннюю оценку для ^(D).

Предварительно напомним некоторые результаты, которые будут использованы в дальнейшем.

3. Признак оптимальности. Приведем известный альтернансный достаточный признак оптимальности пары {ж*(и), у*(у)} из Мв, которым далее будем пользоваться (см. [5], теорема 5.2).

Обозначим через Д(ж*, у*) множество точек максимального уклонения:

Д(ж*, у*) = {(и, у) е Б | |/(и, у) - ж*(и) у*(у)| = ^(ж*, у*)}.

Положим

<7* (и, у) = sgn (/(и, у) — ж* (и) у*(у)), Т*(и, у) = <7* (и, у) ж* (и) у* (у).

Ступенчатым циклом длины ц (ц > 2) называется множество из 2ц точек Б следующей структуры:

А = {(иь ух), (и1, у2), (и2, у2), (и2, уз), ... , (ид, уд), (ид, ух)},

где п\, ... ,Пд из и, а также VI, ... ,Уд из V попарно различны. На рис. 1 изображен ступенчатый цикл с ц = 4. Множество А содержит ровно по две точки при каждом щ и при каждом Vi (г € 1 : ц). Две точки из А называют соседними, если они имеют общую компоненту.

Определение 1. Ступенчатый цикл А С Б называется невырожденным альтернансом для пары функций {ж* (и), у*^)} из Мв, если А С К(х*, у*), а величины т*(щ, Vj) отличны от нуля на А и имеют противоположные знаки в соседних точках.

Сформулируем достаточный признак оптимальности. Положим

а = П /(щ^), |/(Щр, VI)| = пап |/(и, V)!.

А

Теорема 1 [5]. Пара функций {ж* (и), у*^)} € Мв является решением задачи (1), если она обладает невырожденным альтернансом А и для нее выполнены следующие знаковые условия: если а > 0, то

х*(щ) /(и, V) у*(о) > 0 V (щ, V) € А;

если а < 0, то

х*(Щр) /(Щр, VI) у*(^) < 0

и

ж* (и) /(и, V) у*^) > 0 на остальных точках А.

Заметим, что этот признак оптимальности годится для любого компакта Б С К2, в частности для несвязного компакта, состоящего из конечного числа точек плоскости. Остановимся подробнее на дискретной задаче.

4. Сеточная задача и её решение. Рассмотрим на плоскости сетку точек и х V, где и = {и,}™! С и и V = {vj}”=1 С V. При этом будем считать, что сетка и х V такова, что для каждой точки щ € и существует хотя бы одна точка Vj € V такая, что (и,, Vj) € Б, и наоборот, для каждой точки Vj € V существует щ € и такая, что (и,, Vj) € Б. Сетку с таким свойством назовем полной.

Положим М = {1,..., т}, N = {1,..., п}. Введем в рассмотрение матрицу Г [М, N] с компонентами

Г[г,з\ = /(ui,Vj), г € 1 : т, ] € 1 : п,

и векторы

Х = У = {y(vj )}^'^1:п.

Через М обозначим множество пар векторов {X [М], У N]} указанного размера. Выделим из сетки и х V подмножество точек, лежащих в области Б:

К = {(щ^.^) € (и х V) П Б}. (2)

и

и2 --

и4 -из --и1 --

VI vз V2

Рис. 1.

V4

Обозначим через £ множество тех пар индексов [і, і] матрицы ^, для которых точка (м*, Vj) попадает в область Б:

£ = {[Ь і] 1 ^ У) Є К}. (3)

В этих обозначениях исходная задача на сетке К принимает вид

¥>(Х, У) = тах |ґ [і, і] - X [і] • У [і] | ^ тіп . (4)

с м

Положим

V = тіп у>(Х, У) > 0. м

Отметим, что в случае, когда Б — прямоугольник со сторонами, параллельными

осям координат, множество £ содержит все пары [і, і], і Є М, і Є N. Тогда задача (4)

является задачей равномерного приближения прямоугольной матрицы ^ порядка мхи произведением векторов X Є Кт и У Є К” (т. е. одноранговой матрицей):

^>(Х,У) = 11^ - X • Ут У ^ тіп . (5)

и ито м

Известно [3, 4], что эта задача всегда разрешима.

Если же Б — не прямоугольник, то дискретная задача (4) может не иметь решения (см. [5]).

Обратимся к методу решения дискретной задачи. Для поиска оптимальной пары задачи (5) известен метод групповой релаксации [3]. Его же можно использовать для задачи (4). Опишем этот метод.

Зафиксируем произвольный вектор Хо размерности т и среди всех векторов У размерности п найдем Уо, который минимизирует функционал

^(Хо, У) = тах ^[і, і] - Хо[і] • У [і]|,

то есть

пііп у>(Хо, У) = р(Хо,Уо).

Далее, зафиксируем полученный вектор Уо и найдем по нему Хі так, чтобы

тіп у>(Х, Уо) = ^(Хі,Уо),

X

и т. д. Таким образом строится последовательность пар векторов из М {Хо, Уо}, {Хі, Уо}, {Хі, Уі},..., {Хк, Ук}, {Хк+і, Ук},... ,

при этом

^(Хй+і,Уй+і) < ^(Х^+і,Ук) < (р(Хк,Ук).

Алгоритм заканчивает работу, когда соседние векторы Хк и Хк+і либо совпадут, либо будут достаточно близки.

В рассматриваемом алгоритме на к-ом шаге решаются две линейные задачи чебы-шёвской аппроксимации:

^(Хк, У) = тах |ґ[і, і] - Хк[і] • У [і]| ^ тіп, (6)

у>(Х, Ук) = тах |ґ[і, і] - Х[і] • Ук [і] | ^ тіп .

с X

Обратимся к задаче (6). Так как для каждого і-го столбца матрицы ^ ищется своя і-ая компонента вектора У, эта задача разбивается на п отдельных задач с одним и тем же вектором Хк, но с разными столбцами матрицы ^:

где Р(і) = {і Є М | [і, і] Є £}. В силу полноты сетки множество Р(і) не пусто. Задача (8) является однопараметрической задачей линейной чебышёвской аппроксимации. Она сводится к задаче линейного программирования. Решать удобно двойственную задачу, пользуясь симплекс-методом.

Аналогично, задача (7) сводится к т линейным задачам с одним и тем же вектором Ук, но с разными строками матрицы ^

где множество ^.(г) = {^’ € N | [г, ]] € £} не пусто.

После того, как введены необходимые для дальнейшего изложения теоретические понятия, перейдем к описанию алгоритма построения приближенного решения исходной задачи (1).

5. Алгоритм построения приближённого решения исходной задачи. Изложим сначала общую схему алгоритма.

Прежде всего находится решение дискретной задачи на крупной сетке, обладающее невырожденным альтернансом и удовлетворяющее знаковым условиям теоремы 1. Затем сетка уплотняется в окрестностях точек альтернанса и решается дискретная задача на уплотнённой сетке и т. д. При этом каждая из дискретных задач на уплотнённой сетке решается методом групповой релаксации. Решение нескольких сеточных задач на таким образом уплотнённых сетках вместо решения одной дискретной задачи на очень мелкой равномерной сетке позволяет сократить объём вычислений. Далее, по последнему сеточному решению строится приближённое решение исходной задачи в виде интерполяционных натуральных сплайнов.

Перейдем к детальному описанию алгоритма.

I. Фиксируем некоторую полную сетку точек ио х V) с крупным шагом, где ио С и,^0 С V, и и V — проекции Б. Аналогично (2) и (3) построим множества Ко и £о. Пусть дискретная задача на сетке Ко (т. е. задача (4) на множестве £о) разрешима и

найдена пара векторов {Х(о), У*(о)}, обладающая невырожденным альтернансом Ао и

1 Г л^(о) лт'(о) 1

удовлетворяющая знаковым условиям теоремы 1, т.е. {X* , У* } — решение дискретной задачи.

Уплотним сетку ио х V) в окрестностях альтернансных точек следующим образом. Пусть (и,, Vj) —альтернансная точка. Расширим ио, добавив к нему две новые точки равноудаленные от щ и соседних с ней точек множества ио. Если щ была крайней точкой множества ио, то добавляем одну новую точку. Проделываем эту операцию для всех альтернансных точек. Таким образом получаем новое множество и1. Очевидно, что ио С и С и. Аналогично строим У1.

&(і) = .^х 1^[Ь і] - Хк[і] • і1 ^

гЄг(^)

(8)

Пі (і) = тах |Ґ[і, і] - Ук [і] • і| ^ тіп,

ІЄЩі) ІЄК

Имеем уплотненную сетку и х VI. Возьмем в качестве начального приближения вектор X/0), доопределив его в новых точках по общей формуле линейной интерполяции. Для сетки и х VI построим множества К и £1.

Методом групповой релаксации решаем дискретную задачу на сетке К і (т. е. задачу (4) на множестве £1) с начальным приближением хО^. Получаем пару векторов {X(1), У,(1)}. Численные результаты показали, что на уплотненной сетке метод групповой релаксации приводит к паре, обладающей невырожденным альтернансом и удовлетворяющей условиям теоремы 1, т. е. к решению.

Далее уплотним сетку и х VI, по вектору X(1) построим начальное приближение

/2)

Х0 ) и решим дискретную задачу (4) на множестве £2, и т. д. Тогда после к повторений будет

• получена пара векторов {X/к), У*/к)} — решение дискретной задачи на сетке К* = (и* х ^) П Б;

• найдена величина V* — тіпм тах£к ^[і, 7] — X[і] • У*/к) [7] .

Процесс уплотнения сетки кончаем, когда соседние Vfc_l и V* будут достаточно близки. При этом на практике, как правило, достаточно уплотнить сетку 2-3 раза.

Для последней, к-ой сетки введем новые обозначения:

и* — и*, V* — V*, ^т* — | и* |, п* — IV]; |,

(9)

V — V*, X* — X!*) Є Мт*, У* — уЯ Є мп* .

Таким образом, найдена пара векторов {X*, У*}, доставляющая функционалу ^ в дискретной задаче глобальный минимум. Очевидно, что

V < м(Б).

Заметим, что Vfc_l < V*, т. е. чем плотнее сетка, тем точнее получается оценка снизу для величины наилучшего приближения ^(Б).

II. Теперь будем строить х * (и) и у * (у) —приближенное решение исходной задачи в виде интерполяционных натуральных сплайнов, используя для этого последние сеточные результаты (9).

Напомним [7], что натуральным сплайном степени 2г +1 с р узлами £1 < £2 < • • • < £р, где р > г +1 > 1, называется функция вида

г р

5(^) — ^2 + ІЗ ^(г — ^)+г

і=0 ^=1

коэффициенты которой удовлетворяют однородным условиям

53 £? — 0, Я Є 0 : г.

5=1

Очевидно, что Б Є С2г

Зафиксируем параметр 0 < г < т * — 1 и построим по вектору X* интерполяционный натуральный сплайн х* (м) степени 2г +1, т. е. натуральный сплайн, который в узлах — точках из и* = —принимает значения X* [к]:

х*(ид) = X*[к], к € 1 : т*.

Согласно данному выше определению натурального сплайна для нахождения коэффициентов функции х * (м) решаем систему из г+т * + 1 уравнений с г+т * + 1 неизвестными

Х1=0 + Хт* 6? (мд — м?)+Г+! = X*[к], к € 1 : т*,

Х™* 6? = 0, д € 0: г.

В результате получаем интерполяционный натуральный сплайн х * (м) степени 2г + 1.

Аналогично, по вектору У* строится интерполяционный натуральный сплайн у * (у),

узлами которого являются точки из V* = {у; }П=!.

В зависимости от параметра г задачу (1) можно решать в классах функций с определенной гладкостью. Например, при г = 0 функция $(г) € С(М) —непрерывная кусочнолинейная. Если г = 1, то £(.г) —натуральный кубический сплайн. Это дважды непрерывно дифференцируемая функция, совпадающая на интервалах (£?-ь £?), з € 2 : р, с некоторыми полиномами третьей степени и линейная на бесконечных интервалах (—то, £]_) и (£р, +то).

Далее, для определения верхней оценки для д(Б) находим

д* = тах |/(м, у) — х *(м) у*(у)|.

кн

Здесь К, = (Ц, х У,) П Б, где Ц, х У, — сетка с шагом Н = 10-5.

Таким образом, построена пара непрерывных (более того, 2г раз непрерывно дифференцируемых) функций {х*(м), у*(у)} — приближенное решение задачи (1) —и найдена двусторонняя оценка для величины наилучшего приближения

V < д(Б) < Д *.

6. Уточнение приближенного решения. Если полученная двусторонняя оценка наилучшего приближения нас не устраивает, произведем уточнение приближенного решения и одновременно получим новую двустороннюю оценку.

Пусть величина д* достигается в точке (м, V), т. е.

д * = тах |/(м, у) — х * (м) у*(у)| = |/(м, V) — х * (м) у*(У)|.

кн

Добавим эту точку к последней сетке Ц х УД и снова решим дискретную задачу. Получим пару {X*, У*} и наилучшее приближение

V > V.

Аналогично п. II по векторам {X*, У* } построим новые сплайны {х *(м), у *(у)} и величину наилучшего приближения д *. Окончательно получаем уточненную двустороннюю оценку для величины наилучшего приближения задачи (1):

V < д(Б) < д *.

7. Численные результаты. Пример 1. Приблизим функцию

на компакте

В = { (и, V) Є М2 | 4 < и2 + V2 < 16 } (см. рис. 2).

Рис. 2.

и

V

Согласно описанному алгоритму сначала была решена дискретная задача на сетке Ко = (Ц х У0) П Б, где ио х Уо — равномерная сетка с шагом 1 на квадрате [—4, 4] х [—4,4] (для данной области Б такая сетка является полной). Методом групповой релаксации была получена пара векторов {X(0), У*(0)}, обладающая невырожденным альтернансом. Все компоненты этих двух векторов и значения функции / в альтернансных точках оказались положительными. Следовательно, согласно первому

1 Г л^(0) лт'(О) 1

знаковому условию теоремы 1 пара {X* ,У* } является

решением дискретной задачи. Наилучшее приближение дискретной задачи получилось

ь'о = 0.339.

Затем были найдены решения еще трех дискретных задач на уплотненных сетках и

Далее по последнему сеточному решению (решение дискретной задачи на сетке Кз = (Цз х У3)ПБ) были построены {х* (м), у* (у)} — интерполяционные натуральные сплайны первой степени, произведение которых приближает заданную функцию с уклонением 0.613, достигающемся в точке (1.752, 3.596). Таким образом, для истинного уклонения получена двусторонняя оценка:

Затем была проведена процедура уточнения решения и двусторонней оценки. Для этого сначала была решена задача на сетке К4 = (и х V) П В, где и = Цз и {1.752}, ^4 = У3и{3.596}, и получено уклонение ^4 = 0.42. Далее по ее решению были построены новые непрерывные функции {ж*(и), у*^)}, приближающие /(и, V) на кольце с уклонением 0.48. Таким образом, получены уточненное приближенное решение {ж * (и), у*^)} и уточненная двусторонняя оценка

получены

VI = 0.352, ^ = 0.359, ^ = 0.362.

0.362 < д(В) < 0.613.

0.42 < д(В) < 0.48.

Пример 2. Приблизим функцию

1 + и2 + соя(и + V)

на компакте

Б = { (и, і’) Є М2 | 5(ы2 + V2) — 12%/2(и + гі) — 6ш> + 40 < 0}.

Здесь В — замкнутая область на плоскости, ограниченная эллипсом с центром в точке (За/2, За/2), большой осью 8 и малой осью 4. (см. рис. 3).

Данная задача была решена в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций. Согласно описанному алгоритму было построено приближенное решение {х*(м), у*(у)} в виде интерполяционных кубических сплайнов и найдена двусторонняя оценка для наилучшего приближения

0.015 < д(Б) < 0.056.

Литература

1. Schmidt E. Zur Teorie der linearen und nichtlinearen Integralgleihungen. I // Math. Annalen. Vol. 63. 1907. P. 433-476.

2. Шура-Бура М. Р. Аппроксимация функций многих переменных функциями, каждая из которых зависит от одного переменного // Вычислительная математика. Вып. 2. М.: АН СССР, 1957. С. 3-19.

3. Даугавет В. А. О равномерном приближении функции двух переменных, заданной таблично, произведением функций одной переменной // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 1971. Т.11. №2. С. 289-303.

4. Даугавет В. А., Большакова Л. В. Чебышевская аппроксимация функции двух переменных произведением функций одной переменной // Методы вычислений. Вып. 16. Л., 1991. C. 145-163.

5. Даугавет В. А., Ошуркова С. В. Об одной задаче сокращения информации // Методы вычислений. Вып. 18. СПб., 1999. C. 35-52.

6. Даугавет И. К., Сазонова Л. В. Замечание об n-поперечнике в пространстве C // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1986. Вып. 1. С. 102-104.

7. Малоземов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л.: ЛГУ, 1986. 120 с.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2010 г.

u

Рис. 3.