Поперечники соболевских классов функций с особенностями на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.5

И. В. Бойков, А. Н. Тында

ПОПЕРЕЧНИКИ СОБОЛЕВСКИХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ НА ГРАНИЦЕ

Аннотация. Оценены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций, к которым принадлежат решения интегральных уравнений Вольтерра с сингулярными ядрами. Отличительной особенностью этих классов является неограниченный рост модулей производных функций при приближении к границе области определения. Для этих же классов функций построены локальные сплайны, являющиеся оптимальным по порядку алгоритмом аппроксимации.

Ключевые слова: пространства Соболева, оптимальные алгоритмы, поперечники Бабенко и Колмогорова, локальные сплайны.

I. V. Boykov, A. N. Tynda

DIAMETERS OF SOBOLEV CLASS FUNCTIONS WITH BOUNDARY PECULIARITIES

Abstract. The article estimates the diameters of Kolmogorov and Babenko class functions which have the solutions of Volterra integral functions with singular kernels. A distinctive feature of these classes is an unlimited growth of function derivative modules when approaching a definitial domain boundary. For these function classes the authors have built local splines being optimal order algorithms of approximation.

Key words: Sobolev space, optimal algorithms, Babenko and Kolmogorov diameters, local splines.

Введение

При построении эффективных методов решения уравнений математической физики естественно приближенные решения искать в экстремальных подпространствах, являющихся подпространствами наилучших приближений для классов функций, к которым принадлежат решения соответствующих уравнений [1, 2]. Таким образом, задача нахождения экстремальных подпространств является актуальной в вычислительной математике. Решения одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингуляр-ных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра принадлежат [3] классам функций Q*r y (й,M), Q**, (й,M), Б* у (й, A), B**, (й, A), (й,M),

^4 1 U ^ ^4 1

QYY (й, M), Ar y (й, M), Ar ,y (й, M), Br y (й, A), Br y (й) и близким к ним

(определения см. в работах [4-7] и ниже в разд. 1). Значения сингулярных и гиперсингулярных интегралов с переменной сингулярностью также принадлежат этим классам функций [8, 9].

Поэтому для построения оптимальных по точности и сложности приближенных методов решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингу-лярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра нужно найти оптимальные по порядку по точности алгоритмы аппроксимации этих классов

функций. Отметим, что ряд результатов по построению оптимальных по точности и сложности приближенных методов решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Воль-терра получен в [3, 10-12].

Решению задачи построения оптимальных по порядку по точности ал* **

горитмов аппроксимации классов функций 0Г у (й,М), 0Г у (й,М),

В*у(й,А), В*у(й,А), ёгу(й,М), 0*(й,М), Л* (й,М), Аиг,у(й,М),

* *и

Вг у (й, А), Вг у (й) посвящена данная работа. В ней оценены поперечники

Колмогорова и Бабенко упомянутых выше классов функций и построены локальные сплайны, являющиеся оптимальным по порядку алгоритмом приближения функций из этих классов.

В работе используются следующие обозначения.

Через Т, (/,[а,Ь],с), а < с < Ь , обозначен отрезок Тейлора

Т, (/ ,[а, Ь], с) = £/(к )(с )(^С1-.

к=0 к'

Через Т(/,[аъЬ1;...;а/,Ь/],с), / = 2,3,.., се[а1,Ь^...;а/,Ь], обозначен отрезок ряда Тейлора

5 1

Т, (/ ,[а1, Ь1;.; а1, Ь1 ], с) = Т77 лк (/,с),

к ок!

где ёк (/, с) - дифференциал к -го порядка функции / по степеням (х - с), х = (Х1,..., XI), с = (сь..., с1).

На протяжении работы через с будем обозначать константы, независящие от N.

1. Классы функций

Приводимые ниже классы функций 0Г у (й,М) и Вг у (й,М) являются

*

обобщениями [1, 2] класса 0Г (й,М). Классами функций 0Гу (й,М), 0*(й,М), В*у(й,А), В**у(й,А), ёиу(й,М), 0*(й,М), А*иу(й,М),

—и * *и

Аг,у (й,М), Вг у (й, А), Вг у (й) описываются решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений [3].

Пусть й = [0,Т]1, / > 1, Г = Эй - граница области й, г, и - целые положительные числа. Пусть Го - пересечение Г с объединением координатных плоскостей. Пусть I = (1,...,/), V = (1,..,^), | V |= V + ■■■ + v/,

= ЭМ/Эtl/...,Эtl/ и VI - неотрицательные числа, i = 1,2,.,/. Через р(^Го) обозначено расстояние от точки t до границы Го, вычисляемое по

формуле р(^, Го)= Ш1п | tk |. Аналогично, через р(^0) обозначено

к=1,.,/

расстояние от точки t до начала координат, вычисляемое по формуле

р^,0)= шш | tk |.

к=1,.,/

Определение 1. Пусть й = [-1,1]1, / = 1,2,. Функция / принадлежит классу 0Гу (й,М), если выполнены условия шаххей | В (/) |< М при

0 <| V |< г; | В (/ )|< М /(рО1, Г))|v|-r-С, t ей \ Г, при г <| V |< 5, где М -

некоторая константа, (0 < М < ^); 5 = [г + у"|, у = [у] + Ц, 0<ц <1, С = 1-ц .

Определение 2. Через 0Гу(й,М), й = [0,Т], / = 1,2,., будем

обозначать класс функций / , определенных на й и удовлетворяющих следующим условиям: || / || ^М,0^ |v |^г; | В/^)| ^М /(р(t, Го))|v|-r-С,

г <| V | ^5, t ей \ Го, где М - некоторая константа (0 < М < ^); 5 = [г + у"|; С = 0, если у целое; С = 1 - Ц, у = [у] + Ц, 0 < ц <1, если у нецелое.

** /

Определение 3. Через <2Гу(й,М), й = [0,Т], / = 1,2,., обозначим класс функций / , определенных на й и удовлетворяющих следующим

условиям: || Оу/1| ^М, 0^ | V | ^г; | Оу/^)| ^М / (р(^0))^-г-С, г <| V | ^5,

t Ф 0, где М - некоторая постоянная; 5 = г + у, С = 0, если у целое; 5 = г + [у ] +1, у = [у] + ц, 0<ц <1,С = 1-Ц, если у нецелое;

р^,0)= шт | tk |.

к=1,.,/

Определение 4. Пусть й = [0,Т]1, / = 1,2,., г = 1,2,., 0<у^1.

*

Функция / принадлежит классу Вг у (й, А), если выполняются следующие неравенства:

/ ^)| < А, 1 е й; | &/(t) | ^А^ | V |М ,0<| V Кг, t ей;

|В7-(0|аМММ /(р^,Го))М-г-1+у, tе{й\ Го}, г <| V|< ~, где А - константа, независящая от | V |.

Определение 5. Пусть й = [0,Т]1,/ = 1,2,., г = 1,2,.,0<у^1. Функция

**

/ принадлежит классу ВГу (й, А) если выполняются следующие неравенства:

/^)|| < А; || В*/1| ^аН^|М,0<^Кг;

| В/1 ^А|^ | V |М /(р(t,0))|v|-г-1+у, t Ф 0, г <| V |< «,, где А - константа, независящая от | V |.

Определение 6. Пусть й = [-1,1]1, / = 1,2,.; у, г и и - неотрицательные целые числа. Множество Оу (й,М) состоит из функций / , удовлетворяющих условиям

Dvf

< M, t ей, 0 <|v|< г -1; | Dv f |< M(1+|lnMp(x, Г) |), |v|= г, t ей \ Г;

| Юу/1< М(1+ 11пи-1р(t, Г) |) / (р(t, Г))М-Г, t е й \ Г, г <| V |< 5, где 5 = Г + у.

Определение 7. Пусть й = [-1,1]1, / = 1,2,., и - натуральное число, у - нецелое число. Класс О-у (й, М) состоит из функций, удовлетворяющих условиям

Dvf

<M, tей, 0<|v|<г;

|DV/\< М (1+ |1п ир(^ Г)|)/(р^, Г))М-Г-С, г <| V |< 5, t ей \ Г,

где 5 = Г + [у] +1,у = [у] + Ц, 0<ц <1, С = 1 -Ц.

Определение 8. Пусть у и и - целые положительные числа. Пусть

—и /

Аг,у(й,М), й = [0,Т] , / = 1,2,., - класс функций, определенных на й и удовлетворяющих условиям

шах | Ву/Ц) |< М, 0 <| V |< г , | Ву/(t) |< М (1+ 11п uр(t, Го) |), t ей \ Го, | V |= г; tеQ.

| В^/(t) |<М(1+ 11пи-1р(^Го) |) / (р(t,Го))М-Г,tе й \ Го, г <| V |< 5, где 5 = Г + у.

Определение 9. Пусть А-,(й,М), й = [0,Т]1,/ = 1,2,., - класс функций определенных на й и удовлетворяющих следующим условиям:

шах| В>/Ц)|< М,0 <| V |< г,

tеQ,

| В^/(0 |< М (1+ 11п ир^, Го) |) / (р& Го))Н-Г-С, г <| V |< 5, t ей \ Го,

где 5 = Г + Гу 1, С = Гу 1 - у.

Определение 10. Пусть А*-(й,М), й = [0,Т]1, / = 1,2,., - класс функций, определенных на й и удовлетворяющих следующим условиям:

шах

tеQ.

Dvf (t )|< M ,0 <|v |< г;

| В>/(t) |< М (1+ 11п uр(t, 0)|) / (р(t, 0))^|-Г-С; г <| V |< 5, t ей \ {0},

где 5 = г + Гу 1, С = Гу 1 - у.

Определение 11. Пусть у и и - целые положительные числа. Пусть

—*и /

Аг,у(й,М), й = [0,Т] , / = 1,2,., - класс функций, определенных на й и удовлетворяющих следующим условиям:

max | Dvf (t) |< M ,0 <| v |< г; | Dv f (t) |< M (1+ | ln up(t, 0) |), t ей \{0},| v |= г; гей

| Dvf (t) |< M (1+ | ln u-1p(t,0) |) / (p(t ,0))|v|-r, t ей \ {0},г <| v |< 5, где 5 = г + y, M = const, 0< M <

Определение 12. Пусть й = [0,г/, l = 1, г = 1,2,., 0<у< 1. Функция f (t) принадлежит классу Вг у (й), если выполнены условия

max | f (t) < A; max | Dvf (t) |< A|v| | v ||v| ,0 <| v |< г; tей 1ей

| Dvf (t) |< A|v| | v ||v| (1+ |lnu p(t, 0) |) / (p(t, Г0 ))М-г -1+y |, t ей \ Г0, г <| v |< ~; где A - константа, независящая от | v |.

Определение 13. Пусть й = [0,Г]l, l > 1, г,u - положительные числа,

—*u

0<у< 1. Функция f(t) принадлежит классу функции Вг,у(й), если выполнены условия

max | f (t) |< A; | Dvf (t) |< A|v| | v ||v| (1+1 ln up(t, Гд) |),| v |= г, t ей \ Г0; тей

| Dvf (t) |< A|v| | v ||v| (1+1 lnu-1p(t,Г0) |) / (p(t,Г))М-г-1+у,tе й \ Г0, г <| v |< -, где A - константа, независящая от | v |.

2. Оптимальные методы аппроксимации функций одной переменной

Этот и последующий разделы посвящены построению оптимальных

методов аппроксимации классов функций A^y (й,M), Ar,у (й,M), A^y (й, A),

u * * * I

Ar,у(й, A),ВГу(й, A), Вгу(й, A), й = [-1,1] ,l > 1, при l = 1 (данный раздел) и

l = 2,3,. (см. следующий раздел).

При построении оптимального метода аппроксимации класса функций

Y вначале оцениваются поперечники Колмогорова и Бабенко данного класса функций, а затем строятся локальные сплайны, точность которых на классе

Y совпадает (по порядку) с величиной поперечника данного класса. Сплайны, обладающие такой точностью, являются оптимальными по порядку методами аппроксимации функциональных классов Y .

Напомним определения поперечников Колмогорова и Бабенко.

Пусть В - банахово пространство, X с В - компакт, П: X ^ Rn -представление компакта X с В конечномерным пространством Rn.

Определение 14. Пусть L - множество n -мерных линейных подпространств пространства В. Выражение dn (X, B) = infsup inf У x - u ||,

L1 xеXuеLn

где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n, определяет n -поперечник Колмогорова.

Определение І5 [і]. Пусть %є Rn. Выражение

5n (X)= inf sup diam^^ (x),

(n.X ^Rn ) xeX

где inf берется по всем непрерывным отображениям П : X ^ Rn, определяет n -поперечник Бабенко.

Ниже будет неоднократно использоваться следующее утверждение, связывающее величины поперечников Бабенко и Колмогорова.

Лемма І [і]. Пусть B - банахово пространство, X с B - компакт. Величины поперечников Бабенко и Колмогорова связаны неравенством 5 n (X) < 2dn (X, B).

Теорема І. Пусть й = [-1,1]. Пусть r, и, y - целые положительные

числа, s = r + y. Тогда 5n (A-,y (й,1)) x dn (A-,y (й,1)) x n-5.

Доказательство. Вначале оценим снизу поперечник 5n (Ar,y (й,1)). Известно [1, 2], что 5n (Ws (1)) > cn-s. Так как класс функций Ws (1) вложен

в класс функций Ar,y(й,1)) при любом и, то

5n (A,y (й,1)) >5n (Ws (1)) > cn-s . (1)

При построении локальных сплайнов, аппроксимирующих функции из

Ar,y (й,1) с точностью cn s, рассмотрим два случая: 1) и = 1, 2) и > 2.

І. Пусть и = 1. Разделим сегмент [0,T] на N более мелких сегментов

точками tk = (k/N)VT, k = 0,1,...,N, v = s/(s-y). Пусть Ak =[tk,tk+i], k = 0,1,. .,N -1. Разобьем сегмент Ao на M = Гіп N более мелких сегментов Aok =[tok,tok+1 ], k = 0,i,..,M-1, точками toy = jti /M, j = 0,1,. ,,M. В сегменте [a, b] построим полином Ps (f,[a, b]), интерполирующий функцию f. Обозначим через Сk, k = i,2,.,s, нули полинома Чебышева первого рода. Отобразим сегмент [Сі, С s ] на [a, b] таким образом, чтобы точка Сі отобразилась в точку a, а точка Сs - в b . Образы узлов Сk, k = i,2,.,s, обозначим через С'k. Полином степени (s -1), интерполирующий функцию f на сегмент [a,b] по узлам Ck, k = i,2,.,s, обозначим через Ps (f,[a, b]).

Функцию f будем аппроксимировать на сегменте [0,T] сплайном fN, составленным из полиномов Ps(f,Ao j), j = 0,i,..,M -1, Ps(f,Ak), k = 1,2,..,N -1.

Теперь оценим погрешность || f - fN ||. На сегментах Ak,

k = i,2,..,N -1,

j| f - fN j|C(Ak)< Es-1( f, Ak)(i + ^s) <

где X5 - константа Лебега по соответствующей системе узлов; Е5 (/,[а,6]) -наилучшее приближение функции / полиномами степени 5 в метрике

Общее число узлов, используемых при построении сплайна, равно п = 5 + (5 - 1)(М + N - 2) х N.

Так как сплайн fN - непрерывный на сегменте [0,Г], то из

2. Рассмотрим случай, когда и > 2. Будем использовать узлы , к = 0,1,..-^, и сегменты =[ґ£,ґ^+\], к = 0,1,-1, введенные выше. Разделим каждый из сегментов Дк на Мк равных частей, к = 0,1,., N -1, где Мо = []п u/rN ^, Мк = []п(и -1)/5(п / k)N ^, к = 1,.^ -1. Полученные в результате деления сегменты обозначим через Дку І = 0,1,.,Мк-1, к = 0,1,., N -1. Функцию / будем аппроксимировать сплайном ^,

C[a, b].

Приступим к оценке || / - ||с(Д ), І = 0,1, ..,М -1.

Вначале оценим

j| f - fN j|C(A00) < Es (f, A0,0)(i + ^s ) < c j| f - Tr-1(f, A0,0,0) j|C(A0 0) <

<

где \к =| ґ0,к+1 - ґ0,к Г к М -1

Аналогичным образом оцениваем

' T Y < cTr v Nv in N J _ Ns in rN

Собирая полученные оценки, имеем

1 f - fN IC[0,T] < cTr 1 Ns.

(2)

неравенства (2) и соотношения п х N следует, что dn (Аг,у (й,1)) < сТг / п 5. Отсюда и из (1) имеем

Sn Ay(Q,i)) х dn(Лі,y(ВД) x Tr /ns.

составленным из полиномов Р*(/,Дд-у) у = 0,1,.-,Мк-1, к = 0,1,..^-1. Оценим погрешность аппроксимации функции / сплайном .

Очевидно,

II / - ^ 1С (Д00) < Е -1( /, До,о)(1 + ^ 5) < / - Т -1( /, До,о,0) 1Ь(Д00)(1 + ^ 5) <

<-

тах

(r -1)! гед,

0,0

t t

jf(r ^x)(x-1 )r -1 d x < c < . ,., max j|lnu X |(t - x)r -1 d x <

0 (r -1)! '^0,0 0

= сЛ^з,0|1пuhoo\ < c(N

v ( T Y

где ^оо= V мо, ^о = Ч - ^о.

Продолжая оценки, имеем

M00

V ( T \

M0

< c-

Т__

Ns

I I f - fN I lc(Д0у) < Es (f, Д0,j )(1 + ^s ) < ch0,0

((1 Y T 1s (NY7 (Mj у

(N YY ( mY

< с

nj м.

v ■ j j

v T j

V j j (

v T j

lnu

N J Mj

<

ln1

j Г T j

N J MjJ

•/ J

< с

Tr

. N

v j

при j = 1,2,. ..,M -1;

I lf-fv I c(д,^.)<^(%)SVN) VTjJ

при j = 1,2,..,Mk -1, k = 1,2,..,N-1. Таким образом,

( ln u -1 (( N' v 1 '

1 + (TT. J t j

v v J J

< c|N

N

I If - fNl I C[0,1] < cTr / Ns.

(3)

Нетрудно видеть, что общее число п узлов локального сплайна /^ равно п х N. Отсюда и из оценки (3) следует, что

ап (!“у (ЗД) < ст* / п-*.

Из сопоставления этого неравенства с оценкой (1) и леммы 1 следует

Теорема 2. Пусть й = [0,Т], и - целое положительное число, у -положительное нецелое число. Справедлива оценка

§п (А,у (ВД) х ап (А,у (ВД, с) х тг / п*.

Доказательство теоремы подобно доказательству предыдущей теоремы. Отличие состоит в том, что сегменты Дк, к = 0,1,..^ -1, делятся

аппроксимации классов функций A“ (^M), Л“ (Й,M), Л“ (Й,M)

на частей, к = 0,1,., N -1, где М0 = |^1пи/(г+1-ц^^, Мк = |^1пи/^^,

к = 1,2,.^ -1, ц = 1-С.

3. Оптимальные методы восстановления функций многих переменных

В этом разделе построены оптимальные по порядку алгоритмы

г“у (й,М), А,у (й,М), А;,у (

А?,у(й,М), (й,А), ВГ,У(й,А), Й = [0,Т]1,1 = 1,2,.

Теорема 3. Пусть й = [0,Т]1, I > 2, и = 1,2,., V = 5 / (5-у). Справедливы следующие оценки:

8И (Аи,у (й,1)) X ёп (АЦу (й,1), С) X Тг / п5// (4)

при V < I / (I -1);

Тг

(in n)™'' <5n (AM, (Й,1)) <2^ (A; (й,1), С) <

T

SJY(in n)us/r, и / r > 1/1 + (u -1)/ s,

< с

n

r

.и -i+s/l

Tr

(5)

ns /

- (in n)u~™1, u / r < 1/1 + (u -1) / s

при V = I / (I -1).

Доказательство. Оценим вначале поперечник Колмогорова. Для этого нужно построить непрерывные локальные сплайны, имеющие погрешности, совпадающие с правыми частями неравенств (4)-(5).

Вначале построим необязательно непрерывный локальный сплайн, погрешность которого совпадает с правыми частями неравенств (4)-(5).

Обозначим через Дк множество точек хей, удовлетворяющих нера-

венствам

Дк = \х ей: ^ Т <р(Г, Го) < Т, к = 0,1,., N -1^.

Покроем множества Дк кубами и параллелепипедами Дк ^ ,

к = 0,1,., N -1, ребра которых параллельны координатным осям и длины которых не меньше, чем Нк , и не больше, чем 2Нк,

Ик = ((к + 1)/ЩуТ - (к / ^Т, к = 0,1, ..^ -1.

Отметим, что при построении покрытия область Дк покрывается наибольшим возможным числом кубов с ребрами, имеющими длину Нк.

Оценим число n кубов и параллелепипедов Д.

іі,..,іі:

к = 0,1,...N -1

которыми покрывается область Й. Можно показать [5], что

Nv(l -i), v > l /(і -1), Nl, v <і/(і -1),

Nl inN, v = і/(і -1).

(б)

Пусть M0 =[(ln N )u/r ] + 1, Mk = [(ln(N / k))(u-1)/s ] + 1, k = 0,1, ..,N -1. Разделим каждое из ребер Ак j на Mk равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные координатным плоскостям. Полученные в результате области обозначим через Дk ^ . j j .

В разд. 2 построен интерполяционный полином Ps (f ;[a ,b ]). Для аппроксимации функции f (t1,...,) i переменных, определенной в области [a1, b1;...; aj, bj ], введем интерполяционный полином Ps . s (f;[01, b1;.; aj, fy ]) формулой

Ps,.,s(f ;[al, b1;.; ai, bi])=p1 (Pl2 (. Pll (f; [ai, bi]); [ai-1, bi -1]); ■• • • ;[аъ b1]).

Это полином степени (s - 1) по каждой переменной ^,.., ti. Другими

словами, pSi (f ;[ai,bi]) интерполирует функцию f (t1,..,ti) по переменной

ti в сегменте [ai,bi ]; pS-1(pS1 (f ;[ai,bi ]),[ai-1,bi-1]) интерполирует

функцию pS1 (f ;[ai, bi ]) по переменной ti - в сегменте [ai-1, bi-1 ] и т.д.

В каждой из областей Дк ■ . ■ ■ функцию f будем аппроксими-

l1,--;‘i ;J1,--;Ji

ровать интерполяционным полиномом Ps s (f, Дс i ; ■ ■ ). Локальный

г1,--',‘i ;J1,-;Ji

сплайн fN составим из полиномов Ps s(f,Дк ■ ; ■ ■ ), k = 0,1,..,N-1.

г1 ;•••;' ^ У1 i

Оценим точность аппроксимации функции f е QlUy (й,1) сплайном fN.

Пусть k = 0. Тогда

f - Ps,.,s ( f, Д'

0

i1,...,ii; Ji,..., Ji Пусть теперь k = 1,2, ..,N -1, тогда

< cTr / Ns.

(7)

f - Ps s f f, Ak . . . ]

J s,-..,s^ ll....,ll;Jl. .Ji I

с (a;

Ч.-.Ч; Ji .■■■. Ji

))

1 +

■n'^

\U-i г n-i

' v'k у*

-\ T *

N I

x с

T

f'k + iY Гk^v 1

s

N

N

i

(in N )(u-i)/sT к

<

cT_

Ns

(S)

Из оценок (7) и (8) следует, что

| |/-/N1|<сТг /N.

(9)

Оценим число узлов, используемых при построении локального сплайна ^. Рассмотрим в отдельности два случая: 1) V < І/(/ -1);

2) V = І/(І -1).

Пусть V < І / (І -1). Оценка сверху числа п следует из цепочки

N-1 n ж 2

к=1

к

1 - (. )v

N

(к + i)v - ( к )v

( N ) (N)

l i

Mi + Nv(l-i)([inN] + 1)lu/r ж cN1. (10)

Из (9) и (10) следует оценка |\/ - fN |°п 5/1 при V < I / (I -1).

Пусть теперь V = I / (I -1). Оценка сверху числа п следует из цепочки

N i n ж 2

к=1

i-(k )v

N

l i

(к + i)v - ( к )v

( N N

Mк + mNv(l-i)([in N ] + 1)

lu / r

[N (ІП N)Іи/г, Іи / Г > 1 + (м - 1)І / 5,

\Nl (Іп N)(и-1)І/5+1,Іи / г < 1 + (и - 1)І / 5.

Из (6), (10), (11) следует, что при V = І / (І -1) справедлива оценка

/І

(ii)

I If-fN І < с

^1 (inn)us/r, и /r > І/1 + (u-1)/s,

n

s /і

(12)

(in n)u-i+s/l, u / r < 1/1 + (u-1)/ s,

где п - число узлов локального сплайна.

Приступим теперь к построению непрерывного локального сплайна.

Покроем область й кубами и параллелепипедами Дк, а область Дк -кубами и параллелепипедами Дк_ так, как описано выше. Пусть

Нк = Т(((к + 1)/N)v-(к/ЩУ), Н* = Нк /Мк, к = 0,1,-1. Покроем

область Д2 кубами и параллелепипедами ДЛ^-"'2. , имеющими ребра,

і\,... ,4

параллельные координатным осям, но, в отличие от предыдущего, потребуем,

чтобы вершины кубов Ді^-1. входили в число вершин областей Д^-2 .

11,...,1І 11,...,1І

Кроме того, потребуем, чтобы длины ребер областей Ді^-2 были бы не

і\,...,іі

меньше hN-2 и не превосходили 2hN-2. Затем разделим каждое из ребер областей Д^-2 на М^ 2 равных частей и проведем плоскости,

параллельные координатным плоскостям. В результате области Д^-2.

оказываются покрытыми более мелкими областями ДЩ 2 . ..

к і\-.,іі ;J\,...,J

Чтобы покрыть область ДЩ 3 более мелкими областями ДЩ 3 . . ,

^ і1,...,іІ; л-л’

поступим следующим образом. Через вершины областей Ді^-2 . .,

і1,...,іІ;.1,...,.

расположенные на гиперплоскости ДЩ'-2 пДЩ'-3, проведем плоскости,

параллельные координатным плоскостям. В результате область ДЩ 3

покрывается более мелкими областями, которые обозначим через

g^,il; .1 .І. Пусть gN~Jl; ..,.,.і . =[01,61;.. ;оі ,Ьг ]. Если длина ребра О, Ьк ],

* *

к = 1,2, ,1, превосходит 2hN_з, то делим это ребро на [| Ьк-ак |/hN^]

равных частей и через точки деления проводим плоскости, параллельные координатным плоскостям. В результате область gN 3 . . . оказывается

покрытой областями Д^-3 . . . Проделывая эту процедуру с каждой из

1\,...,1І; .\,.., .1

областей glV-3 ■ ■ , покрываем область ДЩ 3 кубами и

і\,...,іІ; .\,...,.І

параллелепипедами ДЩ 3 . . . . Продолжая этот процесс, покрываем

область й кубами и параллелепипедами Д^ . . . , к = 0,1,., Щ-1.

і\,...,іІ; .\ ,. .,.1

Построим непрерывный локальный сплайн. В области ДЩ-1 функция / аппроксимируется интерполяционным полиномом Р5 5 (/, ДN \).

В области Д^-2 . функция / аппроксимируется интерполяционным

і\,...,іІ;.\,...,. І

полиномом Р5 5 (/,Дії 2 . . .). Функция / совпадает с функцией / во

всех узлах интерполяционного полинома Р5_5 (/, ДЩЩГ-2 .. . )), за

л N-2 л N -1

исключением узлов, расположенных на поверхности Д. . . пД .

В этих узлах значения функции / равны значениям полинома

Р . (/,Д^-1. ).

s,_,^ ^ ’ і\,...,.7

Продолжая этот процесс, строим интерполяционные полиномы

Р5 5/, Дк . . . ), к = 0,1,.,Щ- 2. Сплайн, составленный из

5,_,5^ ■\,...,і; .\,...,.і

полиномов Р5 „(/,Д^-1. ), Р*...*(/, Дк ■ ■ ), к = 0,1,_,Щ-2,

5 ,_,^^= і\,...,і^ ■5,-",.5^5 і\,...,іі ; .\ ,..., .1 5 5 5 5

*

обозначим через /щ .

Повторяя оценки, проделанные при исследовании не обязательно непрерывного локального сплайна, имеем

І І/-/*І ІС (й) < сТгЩ-5. (13)

Из неравенств (10), (11), (13) следует, что

ап (Лиу (й,1), с ) < сТг / п5/І (14)

при V < І /(І -1),

(AM у (Й,1), С) < cTr

*П\хл-Г ,у

1 is/і

- I (inn)us/l,u/r У1/1 + (u-1)/s,

nI

1 1 s/І

- I (inn)u-i+s/l, u /r < 1/1 + (u-1)/s,

nI

(15)

если V = I / (I -1).

Оценим снизу величину поперечника Бабенко 8п (АГу (й,1)) при

V = 5 /(5- у), V < I / (I -1). Повторяя расуждения, проведенные в [3] и в главе 2 монографии [6], имеем

8п (АЦу (й,1)) х Тг / п5/1 (16)

при V < I / (I -1);

сТ / п5/1 (1п п)и -1+зП <8п (Аиу (й,1)) (17)

при V = I / (I -1).

Из неравенств (16)-(17) и леммы 1 следует справедливость теоремы. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть й = [-1,1]1, I > 2, и = 1,2,., V = 5/(5 - у),

V > I / (I -1). Справедлива оценка 8п (А^(й,1)) > сТгп-(5-у)/(1 -1)1пи-1N.

Доказательство подобно проведенному в работе [3] и проведенному в главе 2 монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.

Пусть V > I / (I -1). Для аппроксимации функций f е А^ (й,1) при

V > I / (I -1) вначале построим необязательно непрерывный сплайн. После

этого укажем изменения, которые нужно внести в его конструкцию для построения непрерывного локального сплайна.

Покроем область й кубами и параллелепипедами Дк, а область Дк -кубами и параллелепипедами Дк _ ^ так, как неоднократно делали ранее при построении необязательно непрерывных локальных сплайнов.

Нетрудно видеть, что общее число кубов и параллелепипедов ДN 1,

Дк ■ , к = 0,1,..^-2, равно

11,..,11

п х ^(/-1). (18)

В каждой области ДN-1, Дк функция f аппроксимируется

1\,...,ч

интерполяционным полиномом Р5 5 (f, ДN 1), Р5 5 (f, Дк . ). Сплайн

’■■■’ 1\,...,11

fN составлен из всех полиномов Р5 5 (f, ДN-1), Р5 5 (f, Дк . ),

’■■■’ 1\,...,11

определенных в кубе й.

Можно показать, что при 1 < к < N -1 справедлива оценка

,1пГ к Тг1

I \f-fNl С (Дк ) < с4 ^ < с(1п ^ 1. (19)

С (Дч,~,ч) ((к / N У )у N

Пусть к = 0. Без ограничения общности можно ограничиться рассмотрением куба Д° ...0=[-1, а1;...;-1, а\], где а1=-1 + (1/N)V,

х0=(-1,...,-1).

Используя отрезок ряда Тейлора с остаточным членом в интегральной форме [13], имеем

I |f-fN I С(Д0 ) < с^Ег-1,...,г-1(, д0,.,0) <

С (Д0,..,0)

ln uN

11

< с тах |£ - [(1-х)г -1( Хк + 1)к|1пих(^ + 1)|)^|< с^Цп^ с ? хеД 0 1,1 кЧ ^

хеД0,..,0 |к|=г 0

Из этой оценки и неравенства (19) имеем

I I г г I I < Т 1п^ с Тг 1пип (20)

I и fN\С(й) < с N5 < сп(5-у)/(/-1). (20)

Приступим к построению непрерывного локального сплайна,

аппроксимирующего функции f е А^иу (й,1) при V > I / (I -1) с точностью

сТг (1пип)п (5 у)/(1 1). Для этого достаточно повторить построение, проведенное выше для непрерывного локального сплайна, аппроксимирующего функции f е А^.у (й,1) при V < I / (I -1) (см. доказательство теоремы 3).

*

Обозначим построенный сплайн через fN. Нетрудно видеть, что

I If-fN IС (й) < сТгп-51п ^ < сТг (1п ип) / п( 5-у)/(1-1).

Так как при построении локального сплайна в каждой области Дк ■ число узлов равно 5^, то приходим к следующему утверждению.

Теорема 5. Пусть О = [-1,1]1, I > 2, и = 1,2,..., V = 5 /(5 - у),

V > I / (I -1). Справедлива оценка

йп (АГ,у (0,1), С) < сТг (1пип) / п(5-у)/(1-1).

Приступим к построению оптимальных методов аппроксимации функций /е А>иу (0,1). Напомним, что, следуя определению 9, константы

5, г, у связаны соотношениями у = 5 - Г -1 + ц, ц = у - [у].

Теорема 6. Пусть О = [-1,1]1, I > 2, и = 1,2,..., V = 5/(5 - у). Тогда

ёп(Аигу(0,1),С) < сТг /п5/1 при V < I/(I-1); (21)

(1п п)и5/(г+1 -ц)

ёп А,у (0,1), С) < сТг ( ) -------, (22)

п

если 1и / (г +1 - ц) > и1 /5 +1;

(in n)(ul+s)/l

in (AM у (Й,1), С) < cTr ^-, (23)

если lu / (r +1 - ц) < иі / s + 1 при V = І / (і -1).

Доказательство подобно доказательству теоремы 3. Отличие состоит в способе покрытия куба Й.

Покроем область Й кубами и параллелепипедами Дк . . ■ ■ ,

‘-...‘і; Ji,., Jl

к = 0,1,.., N -1, подобно тому, как уже сделали при доказательстве теоремы 3.

Для этого ребра кубов AN-i, Ak . разделим на M. равных частей, где

‘і,---,' і

= J [(in N )и/(r+1 -ц)] + i,k = 0, k |[(in( N / к ))u / s ] + i,k = 0,1,., N -1, и проведем через точки деления плоскости, параллельные координатным

к

плоскостям. В результате получаем покрытие Д.. . .- - ,

к = 0,1,.., N-1, области Й. После этого повторяем рассуждения,

проведенные при доказательстве теоремы 3.

Теорема 7. Пусть Й = [-1,1]1, І > 2, и = 1,2,., v = s/(s - у),

v < І / (і -1). Справедлива оценка 5n (A^(Й,1)) > СTrn-s/l.

Доказательство подобно проведенному в работе [3] и проведенному в главе 2 монографии [б] при доказательстве теоремы 2.2.

Теорема 8. Пусть О = [-1,1]1, I > 2, и = 1,2,..., V = 5 /(5 - у),

V = I / (I -1). Тогда

8п (А,у (0,1)) > с(1п п)и+5/1 / п5/1.

Доказательство подобно проведенному в работе [3] и в главе 2 монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.

Объединяя теоремы 6-8, приходим к следующему утверждению.

Теорема 9. Пусть 0 = [-1,1]1, I > 2, и = 1,2,..., V = 5/(5 - у). Тогда

5n(A^(Й,1)) хdn(A^(Й,1),С):

Tr ns/l

v' у

при v <і /(і -1);

Лп n)(u 1+s)/l (in ns/(r+i_ Ц

cTr (nnSri------<5n ( a; (Й.І)) <2dn (Aun (Й,І), С) < cTr (nn—/-------

n n

если lu / (r + 1 - ц) > ul / s +1;

(in n)(ul+s)l

8И (АГу (0,1)) х А (0,1), С) х Т --------------,

если 1ы / (г + 1 - ц) < и/ / s + 1 при V = 11(1 -1).

Теорема 10. Пусть О = [-1,1/, I > 2, V = 5 /(5- у), V > I /(/ -1). Тогда

8И (А“у (0,1)) > сТгп- (5- у)/(/-1)1п ип.

Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 3.

Теорема 11. Пусть О = [-1,1/, I > 2, V = 5 /(5- у), V > I /(/ -1). Тогда

ёп (А,у (0,1), С) < сТгп-(5-у)/(/-1)1п ип.

Сопоставляя утверждения теорем 10 и 11, приходим к следующему утверждению.

Теорема 12. Пусть О = [-1,1/, I > 2, и = 1,2,..., V = 5 /(5 - у),

V > I /(/ -1). Тогда

8п (А“у (0,1)) х ёп (А,у (0,1), С) х Тгп-(5-у)/(/-1)1п ип.

Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 3.

Теорема 13. Пусть 0 = [0,т/,I = 2,3,.,и = 1,2,., V = 5/(5 - у).

Справедливы следующие оценки:

—*и //

8п(А г,у(0,1)) х 8п(А иг,у(0,1)) хТгп-5", если V < I/(1-1). (24)

Доказательство. Вначале оценим поперечник Колмогорова. Построим необязательно непрерывный локальный сплайн, имеющий погрешность, совпадающую по порядку с правой частью неравенства (24). Затем укажем изме-

нения, которые необходимо внести в это построение для получения непрерывного локального сплайна, имеющего такую же погрешность, что и в правой части неравенств (24). Покроем куб 0 более мелкими кубами. Обозначим

через А1 = А1 1 множество точек, удовлетворяющих неравенствам

0 <t- I T

n — n

0<tlIT

Области Ак определяются формулой А = А'. / А "к^, где

A'k = (ti.-_ti):0<h.---.ti <| n I T;

A"k =(ti,.,ti): 0< ti,.,ti <| ^ I T,k = 2,...,N.

Область Ак покроем кубами и параллелепипедами Ак = Ак . ,

к = 1,2, ..,^-1, с боковыми гранями, параллельными координатным плоскостям, и с ребрами, длины которых не меньше Нк и не больше 2Нк, где

{'к + 1Y Гk^Vл

T, к = 1,2,., N.

Каждую из областей А. ■ разделим на Мк,к = 1,2,.,N равных

г1,.,'1

частей, где

M.= Гіпu/rN 1, Mk =

in

N

u ( s-у)

к = 2,..., N. Для этого

в области А. каждое ребро делим на М. равных частей и через точки

деления проводим плоскости, параллельные координатным плоскостям. Области, полученные в результате этих построений, обозначим через

, к = 1,2,., N.

Дк . . .,.

li....,li; Ji..... Ji

В области Д. .. 1 . функцию / будем аппроксимировать

интерполяционным полиномом Р5 (/, Дк 1 1 ). Сплайн, составленный из

полиномов Р5(/, Дк .. . . ), к = 1,2,.,N, обозначим через . Оценим

\,...,Ч; .1,...,11

погрешность I \/-^ \ С(0) .

Очевидно,

Ilf-fN

С (A,

i

(1,____,1;0,____,0)

< Es-1 ,_,s-1(f,A. ,_,i ;0,_,0) ,

(1 + ^5 )1 < сТг-1,.,г-1(/, Д ,.,1 ;0,.,0) < 1

< СЛТ,о|(1 - х)г-1(1+ 11пи(хИ) |)ёх <

< chfo | lnuh ,0 !< C

A, 1 у т Л

N) M1

lnu

N) M1

< C

TI

Ns

!| /-/N !|C(Д1 N<M .

C (Д1,...,1;г'1,...,г1 ) s!

s A NvM1 A

1,0

jT

1+

ln

u - 1 jT

NvMi

<

S!

v - Y A NvM1

Здесь hjo = ■

2. Л —

N) M1 T

\Y A

jT

1 +

ln

u - 1

jT

NvMi

< c-

TL

Ns

jT

^М-у ^М-у координат.

Таким образом, получена оценка || / -

Приступим к оценке

- расстояние области Д1 ^ г. до начала

r

T

!с(А )< C —

C (Д1,...,1;г'1,...,г1 ) N

!|/-/n|!c (А*

гЬ...,г;; л,..., ц;

< с"^

s!

T

1+ |lnu -1| ~

k Y T Л

N) Mk

< c

s!

AA

Vv

A

k +1 "N”

v Л T Y A

у Mk ) )

N Y Mk_ k ) T

л Y A

1+

< c

s!

V

(k + 9)v-1 T Nv Mk

у r,--.v.. AY A

( N V Mk 1 +

1 — 1 —-

) V k ) T

V / V

u II k Y T lnu -1| —

ln u-1| N T-L

1 N) Mt

Л

N) Mk

< c-

T_

N5

Из последних двух неравенств следует оценка

11/-^11с(0)<сТг /^.

(25)

Теперь, повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве

*

теоремы 3, строим непрерывный локальный сплайн ^ с оценкой

!! /-/n !!с(п)< с

TL

Ns

Оценим число узлов локального сплайна /*. Для этого достаточно оценить число областей Ак ■ . ■ ■ , к = 1,2,., N -1, покрывающих область 0.

г1,.,7/. ■1,..., ■/

Нетрудно видеть, что

N -1 т х ^ к=1

к +1 ~N~

l i

N У IN N -1

(к + 1)V

l i

k=i I(к + 9)

V-1

M.

N-1 N -1 N-1 / ^/

х 2 к/ -1мк х м{ + 2 к/ -1мк х (1п N)и//г + 2 к/-11 1п ^ | х N.

к=1 к=2 к=2 ^ к '

В каждой области Ак /. у у используется (5 -1)1 узлов локально-

* к го сплайна fN . Исключение составляют граничные (для областей А ) облас-

к / г*

ти А. / . ■ ■ , в которых используется 5 узлов локального сплайна fN .

11,.,‘/;у1,.,]/

*

Таким образом, общее число п узлов локального сплайна fN равно п х N .

Отсюда и из неравенства (25) следует оценка сверху поперечника Колмогорова

s/І

ni А гу (й,1) I < cTr / nn.

(2б)

Для оценки снизу поперечника Бабенко заметим, что класс функций

Ж* (1) вложен в класс функций А?,у (0,1). Так как 8п (Ж5 (1)) > с / п5//, то

5n Г А*иу(Й,1) I > 5n (Ws (1)) > cTr / ns/l.

(27)

Из неравенств (2б), (27) и леммы i следует, что

—*u

8п у А<Гу (0,1) J X ёп у АГу (0,1), С J X Тг / п5/!.

Теорема доказана.

Теорема 14. Пусть 0 = [0,Т]1, I = 2,3,.., и , - целое положительное число; у - нецелое положительное число; V = 5 /(5 - у). Справедливы следующие оценки

8п (Аи*у (0,1)) х ёп уАи*(0,1), С J х Тг / п5/1.

Доказательство этой теоремы подобно доказательству предыдущей теоремы. Отличие состоит в том, что области Дк . делятся на Мк равных частей, где

Г (in N )и/(r+1 -ц) 1, к = 1;

M'к = < и /(s-у)

Г 1, к = 2,_,N -1,

ц = 1- С.

Список литературы

1. Бабенко, К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. -1985. - Т. 40, № 1. - С. 3-28.

2. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1979. -196 с.

3. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

4. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.

5. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. - 236 с.

6. Бойков, И. В. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиразведки / И. В. Бойков, А. И. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. - 450 с.

7. Бойков, И. В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно дифференцируемых функций / И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. - 1998. - № 9. - С. 14-20.

8. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть 1. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - 360 с.

9. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть 2. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. - 252 с.

10. Бойков, И. В. Оптимальные по точности приближенные методы решения интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Дифференциальные уравнения. - 2002. - № 9. - С. 1215-1232.

11. Бойков, И . В . Сверхсходимость приближенного решения многомерных интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Труды Средневолжского математического общества. - 2003. - Т. 5, № 1. - С. 119-126.

12. Бойков, И. В. Сверхсходимость решений многомерных интегральных уравнений Фредгольма / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40,

№ 9. - С. 1214-1223.

13. Никольский, С. М. Курс математического анализа / С. М. Никольский. - М. : Наука, 1975. - Т. 1. - 432 с.

1. Babenko, K. I. O nekotorykh zadachakh teorii priblizheniy i chislennogo analiza / K. I. Babenko // Uspekhi matematicheskikh nauk. -1985. -T. 40, № 1. - S. 3-28.

2. Teoreticheskiye osnovy i konstruirovaniye chislennykh algoritmov zadach matematich-eskoy fiziki / pod red. K. I. Babenko. - M. : Nauka, 1979. -196 s.

3. Boykov, I. V. Priblizhennyye metody resheniya singulyarnykh integral'nykh uravneniy / I. V. Boykov. - Penza : Izd-vo PGU, 2004. - 316 s.

4. Boykov, I. V. Approksimatsiya nekotorykh klassov funktsiy lokal'nymi splaynami /

I. V. Boykov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. - 1998. -T. 38, № 1. - S. 25-33.

References

5. Boykov, I. V. Optimal'nyye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov / I. V. Boykov. - Penza : Izd-vo PGU, 2007. - 236 s.

6. Boykov, I. V. Priblizhennyye metody resheniya pryamykh i obratnykh zadach gravirazvedki / I. V. Boykov, A. I. Boykova. - Penza : Izd-vo PGU, 2012. - 450 s.

7. Boykov, I. V. Optimal'nyye algoritmy vosstanovleniya funktsiy i vychisleniya integralov na odnom klasse beskonechno differentsiruyemykh funktsiy / I. V. Boykov // Izvestiya vuzov. Matematika. - 1998. - № 9. - S. 14-20.

8. Boykov, I. V. Priblizhennyye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingul-yarnykh integralov. Chast' 1. Singulyarnyye integraly / I. V. Boykov. - Penza : Izd-vo PGU, 2005. - 360 s.

9. Boykov, I. V. Priblizhennyye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingul-yarnykh integralov. Chast' 2. Gipersingulyarnyye integraly / I. V. Boy-kov. - Penza : Izd-vo PGU, 2009. - 252 s.

10. Boykov, I. V. Optimal'nyye po tochnosti priblizhennyye metody resheniya in-tegral'nykh uravneniy Vol'tera / I. V. Boykov, A. N. Tynda // Differentsial'nyye uravneniya. - 2002. - № 9. - C. 1215-1232.

11. Boykov, I. V. Sverkhskhodimost' priblizhennogo resheniya mnogomernykh inte-gral'nykh uravneniy Vol'terra / I. V. Boykov, A. N. Tynda // Trudy Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva. - 2003. - T. 5, № 1. - S. 119-126.

12. Boykov, I. V. Sverkhskhodimost' resheniy mnogomernykh integral'nykh uravneniy Fredgol'ma / I. V. Boykov // Differentsial'nyye uravneniya. - 2004. - T. 40, № 9. -

S. 1214-1223.

13. Nikol’skiy, S. M. Kurs matematicheskogo analiza / S. M. Nikol'skiy. - M. : Nauka, 1975. - T. 1. - 432 s.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-шаЛ: [email protected]

Тында Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)

Е-шаЛ: [email protected]

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)

Tynda Aleksandr Nikolaevich Candidat of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)

УДК 518.5 Бойков, И. В.

Поперечники соболевских классов функций с особенностями на границе / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). -С. 61-81.