Ортонормированные матрицы-функции и интерполяционные задачи в классе Неванлинны Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 41A05

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ МАТРИЦЫ-ФУНКЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ НЕВАНЛИННЫ

Ю.М. Дюкарев

Белгородская государственная сельскохозяйственная академия имени В.Я. Горина, ул. Вавилова, 1, Майский, Белгородская обл., 308503, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Упорядоченной последовательности интерполяционных задач для неванлин-новских матриц-функций поставлена в соответствие последовательность ортонормированных матриц-функций. Доказан критерий вполне неопределенности предельной интерполяционной задачи в терминах сходимости ряда, построенного по ортонормированным матрицам-функциям.

Ключевые слова: упорядоченные интерполяционные задачи, предельные интерполяционные задачи, критерий вполне неопределенности, ортонормированные матрицы-функции.

1. Введение

Одной из важных проблем в теории функций является нахождение условий, при которых голоморфная функция неоднозначно определяется по своим значениям на некоторой бесконечной последовательности точек из своей области определения (узлов интерполяции). Классическое необходимое условие неоднозначности состоит в том, что все предельные точки множества узлов интерполяции принадлежат границе области определения голоморфной функции. Однако это условие не является достаточным. Необходимые и достаточные условия неединственности зависят от области определения и области значений рассматриваемых голоморфных функций. Наиболее изученным является случай, когда областью определения и областью значений голоморфных функций является круг (полуплоскость). Для таких функций критерии неединственности решения интерполяционных задач в терминах параметров Стилтьеса, параметров Шура, ортонормированных многочленов, кругов Вейля были получены в статьях [1]- [5]. Эти исследования были продолжены в работах многих авторов. Особо отметим статьи [8]- [11], выполненные в рамках подхода В.П. Потапова к решению интерполяционных задач для неванлинновских матриц-функций (МФ). Аналогичные результаты для стилтьесовских МФ были получены в статье [12]. В процитированных статьях были рассмотрены конкретные интерполяционные задачи. Общие схемы решения интерполяционных задач, включающие в себя целые классы конкретных интерполяционных задач, были предложены в статьях [13]- [15] для неванлинновских МФ и в статьях [16], [17] -для стилтьесовских МФ. Однако эти общие подходы не включали в себя «пошаговых» объектов типа параметров Стилтьеса, параметров Шура, ортонормированных многочленов, кругов Вейля и соответствующих критериев неопределенности предельных интерполяционных задач. Абстрактные аналоги «пошаговых» объектов были введены в

контексте упорядоченных последовательностей обобщенных интерполяционных задач в [18] для неванлинновских МФ и в [19], [20] - для стилтьесовских МФ.

В этой статье с упорядоченной последовательностью обобщенных интерполяционных задач для неванлинновских МФ впервые связана последовательность ортонорми-рованных МФ. В зависимости от типа обобщенных интерполяционных задач эти орто-нормированные МФ могут быть целыми или мероморфными МФ. Они являются обобщениями классических ортонормированных многочленов и ортонормированных рациональных функций. В терминах последовательности ортонормированных МФ получен новый критерий вполне неопределенности предельной интерполяционной задачи.

2. Основные определения и обозначения

Пусть С+ = {г € С : 1тг > 0}, С_ = {г € С : 1тг < 0} и С± = {г € С : 1тг = 0}. Пусть, далее, 0 — сепарабельное и Н - конечномерное гильбертовы пространства. Символом {Н, 0} обозначим множество всех ограниченных линейных операторов, действующих из Н в 0, символом {0} обозначим множество ограниченных операторов в 0, а символом {0}я — множество ограниченных эрмитовых операторов в 0. Оператор А € {0}я называется неотрицательным, если (/, А/) > 0, V/ € 0. Множество неотрицательных операторов в 0 обозначим символом {0}>. Неотрицательный оператор А € {0}> называется положительным, если он обратим и А-1 € {0}. Множество положительных операторов в 0 обозначим символом {0}>. Пусть операторы А, В € {0}я• Неравенство А > В (соотв. А > В) означает, что А — В € {0}> (соотв. А — В € {0}>).

Тождественный и нулевой операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве 0, обозначим символами 1д и Од. Нулевой оператор, действующий из гильбертова пространства 01 в гильбертово пространство 02, обозначим символом Одгд2. Для упрощения записи мы часто будем опускать нижние индексы у нулевого и тождественного операторов, если эти индексы легко определяются из контекста.

Пусть заданы операторы К € {0}>, Т € {0}, и,у € {Н, 0}- И пусть эти операторы удовлетворяют Операторному Тождеству (ОТ)

ТК — КТ * = уи* — «V*. (1)

Определение 1. Упорядоченный набор операторов

Р = {К, Т, и, у} , (2)

удовлетворяющий ОТ (1), называется обобщенной интерполяционной задачей неван-

линновского типа, а пространства 0 и Н называются масштабными пространствами

обобщенной интерполяционной задачи.

Пусть оператор Т таков, что оператор-функция (ОФ) Ят(г) = (1д — гТ)-1 мероморф-на в С. Множество особых точек ОФ Ят обозначим символом 2. Из мероморфности Ят следует, что множество 2 дискретно в С, т.е. не имеет предельных точек в С. Пусть 2 = {z £ С : ^ £ 2}.

Определение 2. ОФ ,ш : С+ ^ {Н} называется неванлинновской, если она голоморфна в С+ и ^(г) — и>*(г)}/2г > Он, У г € С+.

Класс всех таких ОФ обозначим

Определение 3. ОФ ,ш € ^ называется решением обобщенной интерполяционной задачи (2), если она удовлетворяет следующему Основному Матричному Неравенству (ОМН) В.П. Потапова

K Ят(г) { уэд(г) — п }

{ уЦг) — и }* ЯТ(г) {Цг) — (г)}/{г — г} 1 > °д®н г € С+ \2 -

Определение 4. Обобщенная интерполяционная задача Р = {К, Т, и, у} с масштабными пространствами 0 и Н называется вполне неопределенной, если

К € {0}>, уЛ = 0 ^ Л = 0, пЛ = 0 ^ Л = 0.

Далее в этой статье мы будем рассматривать только вполне неопределенные обобщенные интерполяционные задачи. Множество всех решений обобщенной интерполяционной задачи (2) обозначим символом Т. Можно доказать (см. [14]- [15]), что при сделанных предположениях множество Т не пусто.

Пусть дана бесконечная последовательность гильбертовых пространств ^_1.

Рассмотрим ортогональные суммы этих пространств

д(і) = ^(1) ф ^(2) 0 ... 0 Ь(1) •

Каждое из пространств д(к) можно рассматривать и как подпространство в любом пространстве д(і) при I > к. Мы часто будем отождествлять векторы (х1,..., Хк, 0, • • •, 0) из д(1) с векторами (х1, ... , хк) из д(к). Пусть оператор А Є {д(і)}. Сужение оператора А на подпространство д(к) обозначим через А|д(к). Пусть Рік обозначает оператор ортогонального проектирования пространства

д(і)

на подпространство д(к). Оператор Рі,кА|д(к) в подпространстве д(к) С д(і) мы часто будем рассматривать как оператор в пространстве д(к).

Пусть теперь для всех I > 1 определены обобщенные вполне неопределенные интерполяционные задачи

р(і) = {К (і),т (і),и(1),у(1)} (3)

с масштабными пространствами д(і), Н.

Пусть произвольные натуральные числа I и к удовлетворяют неравенствам 1 < к < /. Рассмотрим ортогональное разложение масштабных пространств интерполяционной задачи (3)

д(і) = д(к) ф(д(і) ед(к)) . (4)

Определение 5. Пусть дана последовательность интерполяционных задач (3) и матричные представления операторов интерполяционной задачи Р(1), построенные по разложению (4), имеют вид

К(1) = ^ КВ(г’к) \ Т(г) = / ^(к) °д(1)ед(к)д(к) \

К V В(1>к)* с(1>к) у , Т V Т2(1,к) Т2(2,к) у ,

£(к)

',(і,к)

и(і) =

и

(к)

и

(і,к)

(5)

Последовательность интерполяционных задач (3) называется упорядоченной, если операторы К(к), Т(к), У(к), П(к), рассматриваемые как операторы в пространствах 0(к) и Н, совпадают с операторами К(к), Т(к), у(к), п(к) интерполяционной задачи Р(к).

Для упрощения записи в формулах (5) мы будем обозначать К(1) через К(1) и т.д. Упорядоченную последовательность интерполяционных задач обозначим через {Р(1)}г ^ В этом контексте обобщенные интерполяционные задачи Р(1) называются усеченными интерполяционными задачами. В обозначения объектов, связанных с усеченной задачей Р(1), введем верхний индекс (/). Имеют место включения ^(1+1) С ^(1) (см. [18]).

3. Ортонормированные ОФ, ассоциированные с упорядоченными интерполяционными задачами

Рассмотрим упорядоченную последовательность обобщенных интерполяционных задач {Р(г)} к. И пусть в представлении масштабных пространств (см. (4)) к = I — 1

д

(і)

д(і-1) ф ^(і);

І > 2 •

Введем упрощенные обозначения для операторов

И пусть

К(і)

К(і-1) в(і)

в(і)* с(і)

,(0

;(і—1) уі(і)

І = 1,

(6)

с(і)_ в<1)'К(і-1) 1В(і), І> 1

Легко видеть, что выполнены равенства

К(і)

І

в(і)* К(і-1)-

0

1

К(і-1) о

о 5(і)

І К(і-1) 1 В(і)

о

І

Отсюда

к (і)-1 = ( К(,0,г 1 0 ) + ( -К('"ІГ 1 в(1)) ^т1 ґ-в<‘>'к<‘->11

(7)

Пусть операторы

V(і): д(і) = д(і-1) ф ^(і) ^ &

( )

и естественных матричных представлениях задаются формулами

V(1 ) =

Из (7) и (8) следует, что

°д(і-1) ь(1) І^(;)

5(і ) V(і )К(і )

-В(і)* К(і-1) 1 І

(8)

(9)

1

С упорядоченной последовательностью {Р(1)} г к обобщенных интерполяционных задач свяжем последовательность ОФ

Р(1)(л) = /\(1Г^Ят( 1)^), Р{1)^) = , 1> 1. (10)

Пусть неванлинновская ОФ т € Т(1) и ее интегральное представление (см. [21]) имеет вид

№(~\ - „(*),, „(0 , Г (—_____________(°° а(1)№

и> (~) = + //■> + j ~~ 7+^2/ а (^)’ J 1 + р ~ сходится.

Здесь ^(1) € {Н}>, V(1) € {Н}н, а неотрицательная операторная мера а определена на борелевских подмножествах К и принимает значения в {Н}>. Тогда при выполнении некоторых дополнительных условий (см. [14], [15]) имеют место интегральные представления

/ГО

Ят(0 (ф(1)а(1)(^)у(1)*Я*(0 (*) + W(1). (11)

•ГО

Здесь W(1) € {0(1)}>. Мы будем считать, что в наших задачах всегда имеет место интегральное представление (11).

Теорема 1. Пусть дана упорядоченная последовательность обобщенных вполне неопределенных интерполяционных задач неванлинновского типа {Р(1)}г к. И пусть, далее, функция т € Т(1) и К(1) допускает интегральное представление (11).

Тогда для любого I € N имеют место соотношения обобщенной ортонормированности

/ГО

Р(1)(;£)а(1)(^)Р(1)* (;£) + £(1)1/2 V(1)K(1)-1 W(1)К(1)-1 V(1)*£(1)1/2 = , (12)

ГО

/ГО

Р(к)(;£)а(1)(^)Р(1)* СО + 5(к)1/2 V(fc)K(к)-1 Х1’^(1)К(1)-1 V(1)*£(1)1/2 = °н , к < 1,

ГО

(13)

/ГО

Р(к)(;£)а(к)(^)Р(1)* (*) + 5(к)1/2 V(fc)K(к)-1 W(к)Уг’кК(1)-1 V(1)*5(1)1/2 = Он , к > 1.

ГО

(14)

Здесь операторы Xг,к € |^(1) = 0(к) ® (0(1) 0 0(к)), 0(к) | и задаются с помощью мат-

ричных представлений

Xі,к = (Іг.(к) о,

д(к) 0д(г)©д(к), д(к)

а операторы Уг,к € |0(к) = 0(1) © (0(к) 0 0(1)), 0(г) | и задаются с помощью матричных

представлений

^і,к / І^(1)

0д(к)©д(г), д(г)

□ Имеем

ГО

/ Р (1)(;£)а(1)(^)Р(1)* (*) + 5(1)1/2 V (1)К(1)-1 W (1)К(1)-1 V(1)* 5(1)1/2

_ 5(і)1/2 V(l)K(і) 1 ( / ЛТ(0 (і)у(і)а(і)(^)у(і)* ЛІ(0 (і) + Ж(і))К(і) 1 V(l)*5(і)1/2

_ з(і)1/2 V(і)К(і)-1 К(і)К(і)-1 V(і)*5(і)1/2 _ 5(і)1/2 V(l)K(і)-1 5(і)1/2 _ 5(і)1/25(і)-15(і)1/2 _ іп_

Здесь мы воспользовались формулами (10), интегральными представлениями (11) и равенством

у«К(і)-1 у(і)* _ ( 05„-1,й„, 1„и )( К(і0‘)-1 0)(Ої^“-1’)

+ ( 0д(*-1) [,№ І^(;)

X

о о; \ і

—К(і-1)-1 в(і)

І

о*

5 (і)-1 (—В(і)* К (і-1)-1 і) ^ о^^(1-1^ _ з (і)-1.

Формулы (12) доказаны.

Докажем теперь соотношения (13). Из блочной структуры оператора Т(і) (см. (5)) следует, что ОФ Ят(г) (г) имеет следующую структуру

Ят») (г) _ (V) — гТ(і))-1 _ ( « ^©^Р ) • (15)

Здесь Я21(г) и Я22(г) некоторые мероморфные вместе с Ят(г) (г) ОФ, конкретный вид которых нас не интересует.

Имеем

X і,к о (г)у(і) ___ /"і о (к) (г) о0(г)©0(к)0(к) А /" у( ) \

Х Ят(г) (г)у _ (^(к) од(г)©д(к); д(к)Д ^(г) ^(г) ^ ^ у(і>к) ^

/ у(к) \

_ ( Ят(к) (г) °0(г)©0(к)0(к) ) ( у(і,к) I _ Ят(к) (г)у(к) •

Таким образом,

Ят(к) (г)у(к) _ Xі’кЯт(г) (г)у(і) •

Воспользовавшись этим равенством, получим

/ Р(к)(0а(і)(^)Р(і)* (і) + 5(к)1/2 V(k)K(к)-1 Хі’кЖ (і)К(і)-1 V(і)* 5(і)1/2

Jo

ГХ

_ ь^)1'2V(к)К(к)- / Ят(к){()у(к)ст(і){йі)у(і)'я;0)(і)К(і)-1 V(і)‘й™1'2

ио

+ 5 (к)1/2 V (к)К (к)-1 X і’кру (і) К (і)-1 V (і)* 5 (і)1/2

_ 5(к)1/2V(к)К(к)-1 Хі к / Ят„,Щу^^у»* Я^г,(£)К(і)-1 V™’5(і)1/2

0

и

о

+ 5 (к)1/2 V (к) К (к)-1 X і’к Ж(і)К (і)-1 V (і)* 5 (і)1/2

оо

£(к)1/2 V (к)К(к) 1Xі,к ^ у ЯТ(г) (і)у(і)а(і)(^)у(і)* ЯТ(г) (і) + Ж(і)) К(і) 1 Vті 5(і)1/2

5 (к)1/2 V (к)К (к)-1 і,кК (і)К (і)-1 V (і)* £(і)1/2 _ 5(к)1/2 V (к) К (к)-1 X l,kV (і)* £(і)1/2 _ о^

Мы воспользовались равенством Xі,кV(і)* _ о, которое следует из того, что образ оператора

V(і)* _ ( °(г) е(г-1)

V)

содержится в ядре оператора Xг,к = ^Тд(к) °д(г)ед(к) . Равенства (13) доказаны. Ана-

логичным образом доказываются равенства (14). I

4. Предельная интерполяционная задача

Определение 6. Пусть дана упорядоченнаб последовательность обобщенных интерполяционных задач неванлинновского типа {Р(1)}г к и пусть Т(1) обозначает множество всех решений интерполяционной задачи Р(1). ОФ т € ^ называется решением предельной интерполяционной задачи, если т € Т(1), V/ €

Множество решений предельной интерполяционной задачи обозначим символом Т(го) , а саму предельную интерполяционную задачу - символом Р(го). Пусть 2(1) обозначает множество особых точек ОФ ЙТ(1). И пусть _2^°°) = и/ен2^, а _2^°°'> = Нас

будет интересовать тот случай, когда предельная интерполяционная задача имеет бесконечно много решений. Для этого необходимо, чтобы множества .2^°°) и 2^ ^ не имели предельных точек в С±. Будем считать, что для наших задач выполнено это необходимое условие.

Сформулируем некоторые известные результаты из теории операторных кругов Вейля (см. [9]- [11], [22]- [24]). Зафиксируем точку Zo Е С+ \ и и и рассмотрим

множество операторов

К(1)(го) = {т(^о) : т € Т(1)}.

Множество К(1)(г0) допускает представление вида

К(1)(го) = {с(1)(го) + г^о^Ы : V*V < I} . (16)

Здесь

с(і)(го) _ (г(го — го)у(і)*(г) (*о)К(і)-1 Ят(г) (го)у(і)) х

х{г(го — го)и(і)*№ (го)К(і) 1 у(і) — іІ}*, г(і)(го) _ (г(го — го)у(і)*Я^г)(*о)К(і)-1 ЯТ(0(го)у(і))-1/2 > о , (17)

р(і)(го) _ (г(го — го)у(і)*Д^О)(*о)К(і)-1 ЯТ(0(го)у(і))-1/2 > о.

С геометрической точки зрения множество K(1) (zo) из (16) можно считать операторным кругом с центром в точке c(1)(zo) левым радиусом r(1)(zo) и правым радиусом p(1)(zo). Этот круг называется операторным кругом Вейля.

Из включения F(1+1) С F(1) следует, что

K(1+1)(zo) cK(1)(zo).

Пусть

ГО

KM(zo) = f| K(1)(zo).

1=1

Оказывается, что существуют пределы

c(ro)(zo) = lim c(1)(zo) , p(ro)(zo) = lim p(1)(zo) > O , r(ro)(zo) = lim r(1)(zo) > O .

1^ГО 1^ГО l^ro

Более того,

K(ro)(zo) = {w(zo) : w G F(ro)} = {c(ro)(zo) + r(ro)(zo)Vp(ro)(zo) : < I}

Множество матриц K(ro)(zo) называется предельным кругом Вейля в точке zo.

По теореме С.А. Орлова (см. [22] ) для любых точек z\, z2 G С+ \ {Z^ U Z^j имеем

m = rank r(ro)(z1) = rank r(ro)(z2), n = rankp(ro)(z1) = rankp(ro)(z2).

Числа m и n служат мерой вырожденности предельной интерполяционной задачи.

Определение 7. Если m = n = dim H, то предельная интерполяционная задача р (го)

называется вполне неопределенной.

Резольветной матрицей для усеченной задачи P(1) называется

І + гу(і)* Ят(г)* (г)К(і) 1 и(і) —гу(і)* Ят(г)* (г)К(і) 1 у(і)

ги(і)* Ят(г)* (г)к(і)-1 и(і) І — ги(і)* Ят(0* (г)К(і)-1 у(і)

Матрицей Вейля для усеченной задачи Р(і) называется

Ж(і)(г)_ и(і)-1* (г)3и(і)-1 (г), 3 _( —Ін ^ . (18)

V і1н он /

В [18] доказано, что

Ж(і)(г) _ ( о —СТ(г) ) ( (г) ) ( — Аг) о ) ■ <19)

Теорема 2. Пусть дана упорядоченная последовательность обобщенных интерполяционных задач неванлинновского типа {Р(і)} 1&^ и предельная интерполяционная задача Р(х). И пусть, далее, последовательность ортонормироваиных ОФ {Р(і)(г)}ієм определена в (10), а последовательность матриц Вейля {Ж(і)(г)} н определена в (18).

Для того, чтобы предельная интерполяционная задача Р(го) была вполне неопределенной необходимо, чтобы во всех точках z £ С+ \ ^} существовал отличный

от нуля предел числовой последовательности

Иш det W(1)(г) = 0 (20)

1^ГО

и сходился ряд

ГО

^Р(1)* (г)Р (1)(г) (21)

1=1

и достаточно, чтобы хотя бы в одной точке z £ С+\{2(оо)и2(оо)} существовал отличный от нуля предел числовой последовательности (20) и сходился ряд (21).

□ Для все / € N и с £ С+ \ и _2^°°'>} имеют место равенства

I

г(1)-2 (г) = .(_ - г) ^ Р^ (^Р^г). (22)

7=1

Индукцией по / докажем формулы (22). При / = 1 формула (22) очевидна. Пусть теперь

при некотором фиксированном / > 1 формулы (22) выполнены для всех к < /. Тогда

для к = / имеем

г(1)-2 (г) = .(_ - ф(1)*Р;Т(0 (г)К(1)-1 Рт(0 (,ф(г)

_ .(_ г) 1 У(1 !) \ 1 Рт(1-1) (г) °(0д(1-1) \

^- *(0 М Д21(г) Р22(г^

х < ( К(о)"' ° ) + ( -КТ'В(1^ 5т-‘ Г-в(')'К(‘_1)-11

РТ(г-1) (г) °^(1)д(г-1) \ / у(1 !)

Х 1 ^21 (г) Р22(г^ V ^(г)

= .(г — г)у(г 1 К*гГ(г) (х)К(1 !) Рт(г) (ж)у(г !)

+^1)* р;(г) (х) —К(1 1) В(1^ 5(1)-1 (—В(1)* К(1-1)-1 1) Рт(1) (жУг)

= г(1-1)-2 (г) + .(_ — ф( 1)* Р; (1) (х)К(1)-1 V(1)* 5(1) 5(г)-15(1) V (1)К(1)-1 Рт <0 (ж)у(1) = г(1-1)-2 (г) + .(_ — *)(£(1)1/2 V (1)К(1)-1 Рт (г) (жУ1)У-(£(1)1/2 V (1)К(1)-1 Рт№ (ж)у(1)

= г(1 !) 2 (г) + .(г — г)Р(1)* (х)Р(1) (х) = .(г — г) ^ Р(7)* (х)Р(7) (х).

.7 = 1

В этой цепочке равенств первое равенство следует из (17), второе — из (6), (7) и (15) при к = / — 1, четвертое — из (9) и последнее равенство следует из предположения индукции. Доказаны равенства (22).

Пусть предельная интерполяционная задача P(те) является вполне неопределенной. Тогда во всех точках л £ С+ \ {_2^°°) U _2^°°'>} имеем

lim r(1)(z0) = r(TO)(z0) > O , lim p(1)(z0) = p(TO)(z0) > O .

Поэтому

lim r(1)2 (z0) = r(~)2 (z0) > O, lim p(1) 2 (z0) = р(те) 2 (z0) > O. (23)

Отсюда и из (22) следует сходимость ряда (21). В силу (19) имеем

det W(1) (z) = — det r(1)2 (z) det p(1) 2 (z). (24)

Переходя в этом равенстве к пределу l ^ то и учитывая (23), получим (20).

Наоборот, пусть в некоторой точке z £ С+ \ {_2^°°) U _2^°°'>} к ненулевому пределу сходится последовательность (20) и сходится ряд (21). Из (22) и (21) следует, что

lim r(1)2 (z0) = r(~)2 (z0) > O. (25)

Переходя в равенстве (24) к пределу l ^ то и воспользовавшись (25), (20), получим det р(те) (z) = 0. Отсюда и из (25) следует, что в рассматриваемой точке z £ C+ \

у выполнены неравенства

r(TO)(z0) >O, p(^(z) >O.

По теореме С.А. Орлова [22] эти неравенства выполняются во всех точках z £ C+ \

у И, таким образом, предельная интерполяционная задача 7^°°) является

вполне неопределенной. I

Литература

1. Stieltjes T. J. Recherches sur les fractions continues // Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. - 1894. - 8;4. - P. 1-122.

2. Stieltjes T. J. Recherches sur les fractions continues // Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math.Sci. Phys. - 1895. - 9;1. - P. 1-47.

3. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems // Math. Ann. -

1920. - 81;2-4. - P. 235-319.

4. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems // Math. Ann. -

1921. - 82;1-2. - P. 120-164.

5. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems // Math. Ann. -1921. - 82;3-4. - P. 168-187.

6. Schur I. Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind // J. reine u. angew. Math. - 1917. - 147. - P. 205-232.

7. Schur I. Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind // J. reine u. angew. Math. - 1918. - 148. - P. 122-145.

8. Ковалишина И.В., Потапов В.П. Индефинитная метрика в проблеме Неванлинны-Пика // Докл. АН АрмССР. - 1974. - 59;1. - С.17-22.

9. Ковалишина И.В., Потапов В.П. Радиусы круга Вейля в матричной проблеме Неванлинны-Пика // Теория операторов в функциональных пространствах и ее приложения, Сб. науч. тр., Наукова думка, Киев. - 1981. - С.25-49.

10. Потапов В.П. К теории матричных кругов Вейля // Функциональный анализ и прикладная математика, Сб. науч. тр. / Киев: Наукова думка, Киев, 1982. - С. 113-121.

11. Ковалишина И.В. Аналитическая теория одного класса интерполяционных задач // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1983. - 47;3. - C. 455-497.

12. Дюкарев Ю.М. О критериях неопределенности матричной проблемы моментов Стилтье-са // Математические заметки. - 2004. - 75;1. - C. 71-88.

13. Кацнельсон В.Э., Хейфец А.Я., Юдицкий П.М. Абстрактная интерполяционная проблема и теория расширений изометрических операторов // Операторы в функциональных пространствах и вопросы теории функций. Сб. науч. тр.(ред. Марченко В.А.) / Киев: Наукова думка, 1987. -С.83-96.

14. Иванченко Т.С., Сахнович Л.А. Операторный подход к схеме В.П. Потапова исследования интерполяционных задач // Укр. мат. журн. - 1987. - 39;5. - С. 573-578.

15. Ivanchenko T.S., Sakhnovich L.A An operator approach to the Potapov scheme for the solution of interpolation problems // Operator Theory: Advances and Applications. - 1994. -72. - P. 48-86.

16. Дюкарев Ю.М. Общая схема решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса, основанная на согласованных интегральных представлениях пар неотрицательных операторов. 1 // Математическая физика, анализ, геометрия. - 1999. - 6;1/2. - С. 30-54.

17. Bolotnikov V., Sakhnovich L. On an operator approach to interpolation problems for Stieltjes fanctions // Integr. equ. oper. theory. - 1999. - 35. - P. 423-470.

18. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач для неванлинновских функций // Известия высших учебных заведений. Серия «Математика». - 2004. - 8(507). -C.26-38.

19. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Математически сборник. - 2005. - 196;3. - С. 61-88.

20. Дюкарев Ю.М. Обобщенный критерий Стилтьеса полной неопределенности интерполяционных задач // Матем. заметки. - 2008. - 84;1. - C. 23-39.

21. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М.: Наука, 1973. - 552 c.

22. Орлов С.А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра, и теоремы об инвариантности рангов радиусов предельных матричных кругов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1976. - 40;3. - C. 593-644.

23. Шмульян Ю.Л. Оператоные шары // Теория функций, функ. анализ и их прилож. -1968. - 6. - С.455-497.

24. Dubovoj V.K., Fritzsche B., Kirstein B. Matricial version of the classical Schur problem / Stuttgart-Leipzig: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1992. - 355 p.

ORTHONORMAL MATRIX FUNCTIONS AND INTERPOLATIONS PROBLEM

IN THE NEVANLINNA CLASS

Yu. M. Dyukarev

Belgorod State Agricultural Academy by V.Ya.Gorin,

Vavilova St., 1, Maiskiy, Belgorod Reg., 308503, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The sequence of orthonormal matrix functions is connected to the ordered sequence of interpolation problems for Nevanlinna matrix functions. A criterion was proven for the complete indeterminacy of limiting interpolation problem in terms of the convergence of the series, which was built in orthonormal matrix function.

Key words: ordered interpolation problems, limit interpolation problems, criterion for the complete indeterminacy, orthonormal matrix functions.