Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 1. С. 63—77

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) УДК 517.982.2:517.927

КРАТНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ВАЛЛЕ ПУССЕНА*

В. В. Напалков1, А. У. Муллабаева2

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1369

1 Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, Россия, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112.

2 Башкирский государственный университет,

Россия, 450074, Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Аннотация

Получено решение кратной интерполяционной задачи Валле Пуссена оператора обобщенной свертки. Основное внимание уделено доказательству секвенциальной достаточности множества решений характеристического уравнения оператора обобщенной свертки. В обобщенном пространстве Баргмана—Фока сопряженным оператором к оператору умножения на переменную z является оператор обобщенного дифференцирования. С помощью этого оператора вводятся операторы обобщенного сдвига и обобщенной свертки. С применением цепочки эквивалентных утверждений получено, что кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима тогда и только тогда, когда сюръективна композиция оператора обобщенной свертки с умножением на фиксированную целую функцию ф(г). Нули функции ^(z) являются узлами интерполяции. Сюръективность композиции оператора обобщенной свертки с умножением сводится к доказательству секвенциальной достаточности множества нулей характеристической функции оператора обобщенной свертки в множестве решений обобщенного оператора свертки с характеристической функцией ф(г). При доказательстве секвенциальной достаточности возникла необходимость рассмотрения отношений собственной функции при различных значениях ц. Собственные функции с большим значением цi уходят на бесконечность быстрее, нежели собственные функции с меньшим значением при z, стремящимся к бесконечности. При одинаковых значениях ц производная собственной функции большего порядка уходит на бесконечность быстрее, чем производная меньших порядков. Существенную роль играет тот факт, что ядро оператора обобщенной свертки с характеристической функцией "0(z) представляет конечную сумму собственных функций и ее производных. С использованием разложения Фишера, теоремы Дьедонне—Шварца и теоремы Майкла о су© 2015 Самарский государственный технический университет.

Образец для цитирования

Напалков В. В., Муллабаева А. У. Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 63-77. doi: 10.14498/vsgtu1369.

Сведения об авторах

Валентин Васильевич Напалков (д.ф.-м.н., проф., чл. корр. РАН; [email protected]), директор института.

Айгуль Ураловна Муллабаева ([email protected]; автор, ведущий переписку), аспирант, каф. теории функций и функционального анализа.

‘Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014).

63

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

ществовании непрерывного правого обратного получено, что если нули характеристической функции оператора обобщенной свертки расположены на положительной вещественной оси в порядке возрастания, то кратная интерполяционная задача Валле Пуссена разрешима в узлах интерполяции.

Ключевые слова: оператор обобщенной свертки, собственная функция оператора обобщенного дифференцирования, представление Фишера, секвенциально достаточное множество, задача Валле Пуссена, узлы интерполяции.

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1369

Введение. Многоточечная задача Валле Пуссена [2] — задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения n-ного порядка

y(n) = f(x,y,y',...,y(n-i)), х е [a,b],

которое в заданных точках принимает заданные значения

y(xi) = Ci, i = 1, 2 ,...,n; Xi е [a,b].

Считается, что узлы интерполяции занумерованы в порядке возрастания: Xi < х2 < ... < xn.

Задача Валле Пуссена (ее также называют многоточечной краевой задачей) для обыкновенных дифференциальных уравнений для конечного числа нулей интенсивно изучалась, например, Ш.-Ж. Валле Пуссеном, Дж. Сан-соне, Ю. В. Покорным, А. Ю. Левиным, Е. С. Чичкиным, И. Т. Кигурадзе, В. Я. Дерр и другими [2, 4-11].

Многоточечная задача Валле Пуссена для оператора свертки в случае бесконечного числа узлов интерполяции рассмотрена в работах В. В. Напалкова и его учеников: А. А. Нуятова, К. Р. Зименс, С. Г. Мерзлякова, С. В. Попе-нова [12-19].

В данной статье рассматривается оператор обобщенной свертки, порожденный оператором обобщенного дифференцирования, который существенно отличается от классического оператора дифференцирования [14,15,19].

Пусть H(C) — пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах, H*(C) —пространство линейных непрерывных функционалов.

В работе [12] рассматривалось обобщенное пространство Баргмана—Фока

Fae = {f е H(C): Ilf II2 = f |f(z)|2e-a|z|e,

l -24d) Jc J

где d^ — мера Лебега на плоскости, а в > 0 характеризует порядок функций этого пространства, a > 0 — тип.

Главную роль при доказательстве основного результата сыграло введение оператора свертки в пространстве целых функций произвольного положительного порядка в и конечного типа.

В работе [12] мы ввели оператор обобщенного сдвига следующим образом: для любой целой функции f (z) е H(C) оператором обобщенного сдвига по t

64

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

называется оператор

Stf (z)

f (z) + E

n= 1

Dnf (z)

tn.

m1m2 ... mn

Рассмотрим в пространстве H(C) оператор обобщенной свертки [12, c. 206], порожденный функционалом F, с характеристической функцией F(z) = p(z):

Mv[f ](z) = (Ft, Stf (z)), где f e H(C), F, S e H*(C).

В работе [12] рассматривался оператор обобщенной свертки, и задача Валле Пуссена была решена для случая простых нулей характеристической функции оператора.

Рассмотрим кратную интерполяционную задачу. Пусть задана целая функция ф(х) с нулями }°=i на положительной оси, пронумерованны-

ми в порядке возрастания с соответствующими кратностями щ. Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел aj, i = 1, 2,...;

j = 0,1 ,...,n - 1.

Задача Валле Пуссена для оператора обобщенной свертки ставится следующим образом: найти решение уравнения

MM ](z) = 0

такое, что

f (j)(^i) = aj, i = 1,2,..

j = 0,1, 2,...,n - 1.

1. Решение задачи Валле Пуссена. Введем множество

Рв = {р(Л) e H(C) : |^(Л)| < Р1(^)вБ2(^)|л|в/2 },

Bi(p), Р2(^) = const < те зависят от р — для каждого р свои константы. Рассмотрим нормированные весовые пространства

B

n

e Рв : ||f ||n = sup |f (z)|e-n|z|e/2 < те

z&C

n e N.

Очевидно, что

Рв = U Bn.

n€N

Введем в пространстве Рв топологию индуктивного предела (см. [20, с. 402; 21, с. 424])

Рв = lim ind Bn.

n—

Отметим важное свойство этой топологии: счетная последовательность функций fm(z), m = 1, 2,..., из Рв стремится к нулю при m ^ те в топологии

65

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

пространства Ру тогда и только тогда, когда найдутся числа a > 0 и M > 0 такие, что

| fm(z) | < MeCT|z|e/2, Vm е N, Vz е C, и для любого компакта Кс

fm(z) ^ 0, m ^ те на Кс.

Здесь Ру — пространство целых функций порядка не выше в/2, в > 0 и конечного типа [12,13].

Определение 1 [22]. Пара функций (^>(z),p(z)) называется парой Фишера, если пространство H(C) можно представить в виде

H(C) = ker Mv ® ф ■ H(C). (1)

В этом случае равенство (1) называется разложением Фишера. Если H(C) представимо в виде

H(C) = ker Mv + ф ■ H(C), (2)

то равенство (2) называется представлением Фишера.

В этом случае любая целая функция представима в виде

f (z) = fi(z) + f2(z), fi(z) е ker Mv, f2(z) е ф ■ H(C),

вообще говоря, не единственным образом.

Пусть последовательность Nv = {Ад,}ДР1 нулей функции <^(z) е Ру положительна и пронумерована в порядке возрастания: Ад < Ад+i.

Пусть последовательность Ny = {^i}°=1 нулей функции p(z) е H(C) положительна и пронумерована в порядке возрастания: ^ < ^г+1. Предполагаем, что — корень кратности щ.

Отметим, что равенство (2) позволяет решать многоточечную задачу Валле Пуссена в классе ker Mv, а именно верна следующая теорема.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Многоточечная задача Валле Пуссена для Mv с данными на Ny разрешима.

2. Имеет место представление Фишера.

Доказательство аналогично [19, с. 166].

Наряду с оператором Mv[f ](z) введем линейный и непрерывный оператор M*#(z)y(z)] : H(C) ^ H(C). (3)

Лемма 1 [6, Лемма 5]. Равенство (2) эквивалентно сюръективности оператора (3).

Рассмотрим линейный непрерывный оператор обобщенной свертки Ky [1]: Ру ^ Ре с характеристической функцией p(z), действующий по правилу

ку [^](z)=(^)d^ (4)

66

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

где gF(О — функция, ассоциированная по Борелю с <^(z), C — замкнутый контур, охватывающий все особые точки др(£).

Пусть E = ker Кф [1] — конечная линейная комбинация собственных функций и ее производных [13, теорема 2].

Как отмечалось выше, оператор М^[ф-] линейно и непрерывно действует из пространства H(C) в H(C), тогда сопряженный оператор М*[ф-] действует из H*(C) в H* (C) линейно и непрерывно. Поскольку пространства H*(C) и Рр топологически изоморфны [12], то оператор М* [ф ■] порождает линейный

и непрерывный оператор М* [ф•]: Рд ^ Рд. Нетрудно видеть, что оператор М*[ф^] действует по правилу:

если G(z) е Ре, то М*[ф • С](Х) = Кф[<p(z)G(z)](\),

где Кф — оператор вида (4). Информацию об операторе М1р[ф-\ можно найти в работах [19, с. 166; 23]. Так как H(C) —пространство Фреше, то в силу теоремы Дьедонне—Шварца [24] получаем следующий результат.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1. Замкнутость im М^[ф■ ] в H(C) эквивалентна замкнутости im Кф [р■ ] в Рв.

2. Инъективность Кф [р■ ] эквивалентна всюду плотности образа оператора М^[ф ■ ] в H(C).

Введем понятие секвенциальной достаточности множества L С C в некотором подпространстве Q пространства Рр с индуцированной из Рр топологией.

Определение 2. Будем говорить, что L — секвенциально достаточное множество в Q, если из выполнения следующих условий:

1) для любой последовательности функций qk(z) е Q найдутся числа а > 0 и М > 0 такие, что

I ,в

|qk(z)| ф Мест|г|2, Vk е N, Vz е L;

2) для любого компакта Кр С L: qk(z) ^ 0, k ^ ж на Кр вытекает сходимость этой последовательности на пространстве Q.

Теорема 3. Если Nv — секвенциально достаточное множество в пространстве E, то оператор Кф [р ■ ] инъективен и im Кф [р■ ] замкнут в Рр.

Доказательство такое же, как и в [19].

Из приведенных выше теорем лемм, получаем следующий результат.

Теорема 4. Пусть р е Рр — характеристическая функция оператора М^, ф е H(C) и Nv является секвенциально достаточным множеством в E, тогда разрешима многоточечная задача Валле Пуссена для М^ с данными на ^.

Покажем, что справедливо условие секвенциальной достаточности.

2. Вспомогательные леммы. При доказательстве того, что множество Nv — секвенциально достаточное, нам понадобятся следующие леммы.

67

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

Лемма 2. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования вдоль вещественной оси равен

lim

у(г)(щх) у(п) (щх)

0 при r < n.

Доказательство. Для любого сколь угодно малого e > 0 существует число L(e), начиная с которого

щ

п-r

(l — r + 1)... (l — n + 2)

< е.

Рассмотрим отношение у(г)(щх)/у(п)(щх). Разложение в ряд n-ной производной имеет вид:

у,(,п)(щх)

хпЕ

k=n

k(k — 1)... (k — n + 1) mim2 ... тк

(щх)к-п

Зафиксируем некоторое целое число l > L(e) и выделим из числителя и знаменателя многочлены (l — 1)-й степени:

у(г)(щх)

у(п)(щх)

Яг-1(щх) + У

Рг-1(щх) + £]£=

k(k-1)...(k-r+1) щк-гхк Ш\Ш2...Ш^ щ

к(к-1)...(к-п+1) щк-пхк . mim2...mk щ

Обозначим для краткости записи через Е1 ряд в числителе и через Е2 — ряд в знаменателе.

Для любого е существует число X1(e) такое, что при х > X1(e) выполняется оценка

Q1-1

Pl-1 + ^2

< е,

и число X2(e) такое, что при х > X2(e) верно следующее неравенство:

Р1-1

S1

< e.

Возьмем в качестве X (e) = max{X1(e), X2(e)}; для х > X (e) последнее выражение имеет оценку

y(r) (щх) Е1 1

-—л-- < e +-----1----- < e +--------

у(п) (щх) Р^щх) + Е 2 e + Е2/Е1

Е1

<e + Ё2 ■

Рассмотрим отношение рядов. Вынесем множители при первом слагаемом из числителя и знаменателя:

У(г)(щх)

у(п)(щх)

щп-г

< e +--------щ-----------

< +(l — r)... (l — n + 1)

к(к- 1)...(к-r+1) Д xk

Хк=1 l(l — 1)...(l—r+1) mim2...mt к(к- 1)...(к-п+1) Д xk

Хк= l(l—1)...(l—п+1) m1m2...mk

68

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

a

a

1

k

2

k

k(k-1)...(k-r+1) i(i-1)...(i-r+1) 1

k(k-1)...(k-r+1) (k-r)...(k-n+1) i(i-1)...(i-r+1) (i-r)...(i-n+1)

(l — r) (l — n +1)

(k — r) ” ’ (k — n + 1) ’

Поскольку k ^ 1, получаем, что ak/ak < 1 и сумма ряда в числителе меньше, чем в знаменателе. Заменим ряд в числителе рядом в знаменателе, тогда

y(r](yx)

y(n)(Px)

<£ +

У-

n- r

(I — r)... (l — n + 1)

< 2e.

Поскольку e выбирается произвольным образом, при X(e) ^ те последнее отношение y(r)(yx)/y(n) (ух) ^ 0. Таким образом, лемма доказана. □

Лемма 3. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования с 'различными Pk вдоль вещественной оси

lim ДДД

y(s) (pk+1X)

0 pk < Pk+E Vr,s

Доказательство. Рассмотрим сначала отношение производной к собственной функции при различных pk.

Аналогично лемме 2, для любого сколь угодно малого e > 0 существует число L(e), начиная с которого

( Pk

Pk+1

i-r 1(1 — 1)... (l — r + 1) (Pk+1)r

< e.

Зафиксируем некоторое целое число l > L(e) и выделим из числителя и знаменателя многочлены (1 — 1)-й степени:

y(r)(Pk х) y(Pk+1x)

Qi-1(pkx) + 52 i=i

i(i-1)...(i-r+1)

mi m2...mi

Pkr xi

pi-1(Pk+1x) + 52 i=i

(Mfe+ix)i

mim2...mi

(5)

Обозначим для краткости записи через £1 ряд в числителе и через £2 — ряд в знаменателе.

Для любого e существует число X1(e) такое, что при x > X1(e) выполняется оценка

Qi-1

pi-1 + £2

< e,

и число X2(e) такое, что при x > X2(e) верно следующее неравенство:

Pi-1

£1

< e.

Возьмем в качестве X (e) ражение имеет оценку

max{X1(e), X2(e)}; для x > X (e) последнее вы-

y(r)(Px) <e + £ y(n)(Px) £2

69

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

Вынесем общий множитель в числителе и в знаменателе, получим

(l+N)...(l+N-r+1)

Z^N=0

y(r)(Uk x) < e + L.. (l — r + l)^fc

l-r xl

mN xN

l...(l-r+i) mym2...mi+N

y(Uk+ix)

(y.k+ix)1

E

те (Mk+ix)N

N=0 mim2...mi+N

Для того чтобы можно было сравнить эти два ряда, каждый член ряда числителя умножим и поделим на Uk+i- Рассмотрим общий член ряда в числителе:

uN

xN^N+i /\N Л + N

rnim.2 ...m,l+N\ Uk+i' V l

1 +

N

1 +

i

N

r + 1

5

N = 0,1, 2,....

Найдем максимальный член ряда и оценим им ряд в числителе. Обозначим Uk/Uk+i = П, П < 1, тогда

q(N)

nN (1+N

1+

N

l1

1+

i

—y

r+1

Для q(N) может быть получена следующая оценка сверху:

tf'(N)

q(N) < nN( 1 + у

(n)N

1+

l

N

r + 1

N

r + 1

r

= 0(N),

^ln n +

r

l + N - r + 1

0.

Откуда находим, что максимум достигается при N = —(l — r + 1 + r/lnn). Обозначим наибольшее значение функции $(N) через T- Следовательно, q(N) < T-С учетом последней оценки сумма ряда в числителе равна сумме ряда в знаменателе-

Отношение (5) имеет оценку

У(г) (Ukx) < е + / \l-r l(l — 1)...(l — r + 1) T

y(uk+ix) ^^k + i^ (uk + i)r

При l > L(e) получаем

y(r)(Ukx) < 2e y(Uk+ix) .

Итак, поскольку e выбирается произвольным образом, при x > X(е) отношение собственной функции к любой производной собственной функции с большим значением Uk будет сколь угодно малой величиной.

Согласно лемме 2, отношение

y(Uk+ix) y(s) (Uk+ix)

0

при x

ж,

откуда легко установить справедливость данной леммы. □

70

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

3. N\р — множество единственности и секвенциальной достаточности.

Теорема 5. Nv —секвенциально достаточное множество в E.

Доказательство. Покажем, что если последовательность rn(z) £ E стремится к нулю на любом компакте K из множества N^, то эта последовательность стремится к нулю на любом компакте Qc в C. Учитывая дискретность множества N^, условие сходимости к нулю на любом компакте K множества Nv можно записать следующим образом: последовательность функций из E rn(z) ^ 0 при n ^ те на любом компакте K множества Nv тогда и только тогда, когда найдутся числа а > 0 и M > 0 такие, что

|rn(Ak)| ^ MeaXk Vn £ N, Vk £ Z, (6)

rn(Afc) ^ 0, n ^ те на компакте K. (7)

В работе [12, стр. 208] было показано, что любой элемент r(z) £ E записывается в виде

Q щ — 1

r(z) = YY cijzjУЬ)(Piz),

i=1 j=0

где цг — нули кратности п характеристической функции ^(z) оператора Ky [l], и лишь конечное число коэффициентов Cj отлично от нуля. Итак, пусть последовательность

Qn ni — 1

rn(z) = Y Y cjzj y(3)(mz) (8)

i=1 j=0

стремится к нулю на каждом компакте K из множества N^. Нам нужно показать, что rn ^ 0 равномерно на любом компакте Qc из плоскости C.

1. В представлении (8) участвует конечное число слагаемых. В силу оценки (6) число членов в каждой последовательности rn ограничено. В представлении (8) слагаемые расположены в порядке возрастания, согласно доказанным выше леммам 2 и 3. Пусть последний член, который удовлетворяет оценке (6), — это собственная функция или ее производная с числом Цк. Следующий член со значением Цк+1 превышает оценку (6), и поэтому включим его в представление (8) с нулевым коэффициентом. Таким образом, если в представление (8), удовлетворяющей оценке (6), вошли слагаемые с показателями ц1, ц2, ..., Цк, Цк+1 с кратностями соответственно щ, П2, ..., Пк, 1, то количество членов не больше числа П1 + П2 + ... + Пк + 1.

2. Докажем дальше, что если последовательность rn(z) стремится к нулю на любом компакте K из множества Nv, то коэффициенты cj стремятся к нулю при n ^ те.

Мы показали, что в представлении (8) участвуют лишь те y(j)(^z) с отличными от нуля коэффициентами с показателями Цг, которые удовлетворяют оценке (6). После перенумеровывания можно считать, что для некоторого t

tn ni 1

rn(z) = YY cj zj y{j)(mz)+0 • y(^+1z), n = 1,2,.... (9)

i=1 j=0

71

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

Если набор из p нулей Лкг выбрать так, что определитель матрицы

A = (Л£; У(-)(^Лкг )).,г, l = 1, 2,...,p, i = 1, 2,..., k, j = 0, l,...,ni — 1

отличен от нуля, то коэффициенты cn являются решениями системы уравнений

tn ni 1

ЕЕ с™Л',y(j)(^Лкг) +0 ■ У(^к+1Лкг) = гп(Лк1), l = 1,2,... ,p.

i=1 j=0

Построение определителя происходит по той же схеме, что и в работе [12, теорема 5]. Напомним, что Лк — это последовательность нулей функции <^(z), расположенных на вещественной положительной оси в порядке возрастания. Согласно лемме 2, Лкг можно выбрать таким образом, что

У(г)(Мк) У(п)(Мкг)

< е

при r < n (в лемме 2 в качестве x нужно взять Лкг). Для доказательства секвенциальной достаточности множества Nv выбираем подпоследовательность Лк^ £ R+ и, следовательно, главные миноры

At = (Л-V(j)(^iЛк1 ))i;1, i,l = 1,2,...,ni - 1

отличны от нуля. Для упрощения записи опустим пока В главном миноре второго порядка

А2

У(Лк1) Лк1 у/(Лкх )

у(Лк2 ) Лк2 У(Лк2 )

Лк2 может быть выбран настолько большим, что

А2

Лк2У (Лк2 Д у(Лк1)

У(Лк2 ) Лк2 у/(Лк2 )

Лк1 У/(Лк1)

> 0.

Аналогичным образом доказывается, что Аз > 0, ..., At > 0. Для этого разложим определитель At, где t ^ n1 — 1, по последней строке:

At

Лк- У^^Лкх)

У(Лк1) .

У(Лк(_1) .

+ (—1)t+4- 1y(t-1) (Лк1)

Лк- 2y(t-2) (Лк1)

Лк-21 У(t-2)(Лk t_1)

+

У(Л 2) . . .

У(Л кг) ...

.+

Лк- 2У(1-2)(Лк 2) Лк- 2 У(-)(Лк г)

Поскольку At-i > 0, первое слагаемое в разложении определителя At отлично от нуля, при этом, выбирая Л t большим, можно достичь того, что At будет больше нуля.

72

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

Построение определителя для остальных цг, удовлетворяющих оценке (6), происходит по той же схеме. В главном миноре второго порядка

Д2

у{Ц1^к!) У(Ц2^к-1) уУУ) у(Ц2Ак2)

у(ц2Лк2^у(тУ) - у(ц;^к2)У(Ц2Акх)),

согласно [13, лемма 1], Ак2 можно выбирать таким образом, чтобы Д2 > 0. Построение определителя завершается выбором Акр, при котором следующий определитель отличен от нуля:

у(Ц1Акх ) ... АЩ-1у(п1-1) (щАк!) . . . у(цк+1 Ак1)

у(Ц1Ак2 ) ... АЩ-1у(п1-1) (Ц1Ак2) . . . у(цк+1Ак2 )

Др = у(Ц1 Акз ) ... АП31-1у(п1-1) (щАкз) . . . у(цк+1Акз)

у(Ц1Акр) ... АПР1-1у(П1-1)(Ц1АкР) ... у(Цк+1Акр)

где U\ + n2 +... + Пк + 1 = р. По лемме 3, выбирая Акр очень большим, можно достичь того, что Др будет больше нуля.

По правилу Крамера

Д

Др

n

где Дг — определитель матрицы, полученной из Др заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Согласно условию (7), при n ^ те столбец свободных членов стремится к нулю, а следовательно, и все Дг ^ 0 при n ^ те. Тем самым получаем, что cn ^ 0 при n ^ те.

Мы доказали, что cn ^ 0 при любом i. Поэтому для любого компакта Qc

функция zjу(Я (piz) ограничена на этом компакте, коэффициенты стремятся к нулю, тогда и вся линейная комбинация (9) стремится к нулю при n ^ те. Из этого следует, что rn(z) ^ 0 в для всех точек z £ Qc.

Таким образом, Nv является секвенциально достаточным множеством в E. Теорема доказана. □

Из этой теоремы вытекает следующий результат: множество Nv — множество единственности в E.

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 14-01-00720-a, № 14-01-97037-р-поволжье-я).

ORCID

Валентин Васильевич Напалков: http://orcid.org/0000-0001-7462-0286 Айгуль Ураловна Муллабаева: http://orcid.org/0000-0002-9052-2229

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена/ Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 259-260.

2. de La Vallee Poussin Ch. J. Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equation d’ordre n // J. Math. pures et appl., 1929. vol. 8, no. 2. pp. 125-144 (In French).

3. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Ин. лит., 1953. 345 с.

73

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

4. Покорный Ю. В. О нулях функции Грина задачи Валле Пуссена// Матем. сб., 2008. Т. 199, №6. С. 105-136. doi: 10.4213/sm3860.

5. Кигурадзе И. Т. Об условиях неосцилляционности сингулярных линейных дифференциальных уравнений второго порядка// Матем. заметки, 1969. Т. 6, №5. С. 633-639.

6. Чичкин Е. С. К вопросу о неосцилляции для линейных уравнений четвертого порядка// Изв. вузов. Матем., 1958. №3. С. 248-250.

7. Чичкин Е. С. О неосцилляции решений нелинейных дифференциальных уравнений 3го и 4-го порядков// Изв. вузов. Матем., 1959. №5. С. 219-221.

8. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения x(n) + p1(t)x(n-1) + • • • + pn(t)x = 0// УМН, 1969. Т. 24, №2(146). С. 43-96.

9. Покорный Ю. В. О неклассической задаче Валле-Пуссена// Диффер. уравн., 1978. Т. 14, №6. С. 1018-1027.

10. Дерр В. Я. К обобщенной задаче Валле-Пуссена// Диффер. уравн., 1987. Т. 23, №11. С. 1861-1872.

11. Дерр В. Я Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Известия института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 1999. №1(16). С. 3-105.

12. Напалков В. В., Муллабаева А. У. Об одном классе дифференциальных операторов и их применении / Тр. ИММ УрО РАН, Т. 20, 2014. С. 201-214.

13. Напалков В. В., Муллабаева А. У. Интерполяционная задача в ядре оператора, порожденного обобщеными пространствами Баргмана—Фока// ДАН, 2014. Т. 454, №2. С. 149-151.

14. Напалков В. В., Попенов С. В. Голоморфная задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера// ДАН, 2001. Т. 2, № 381. С. 164-166.

15. Напалков В. В., Нуятов А. А. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки// Матем. сб., 2012. Т. 203, №2. С. 77-86. doi: 10.4213/sm7763.

16. Напалков В. В., Забирова К. Р. Операторы свертки Данкла и их свойства// ДАН, 2013. Т. 449, №6. С. 632-634.

17. Забирова К. Р., Напалков В. В. Операторы свёртки Данкла и многоточечная задача Валле-Пуссена// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. №1(30). С. 70-81. doi: 10.14498/vsgtu1139.

18. Мерзляков С. Г., Попенов С. В. Кратная интерполяция рядами экспонент в H(C) с узлами на вещественной оси // Уфимск. матем. журн., 2013. Т. 5, №3. С. 130-143.

19. Напалков В. В. Комплексный анализ и задача Коши для операторов свертки / Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Анатолия Георгиевича Витушкина / Тр. МИАН, Т. 235. М.: Наука, 2001. С. 165-168.

20. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированых пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

21. Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб., 1980. Т. 112(154), №3(7). С. 421-466.

22. Shapiro H. S. An Algebraic Theorem of E. Fischer, and the Holomorphic Goursat Problem // Bull. London Math. Soc., 1989. vol. 21, no. 6. pp. 513-537. doi: 10.1112/blms/21.6.513.

23. Meril A., Struppa D. C. Equivalence of Cauchy Problems for Entire and Exponential Type Functions// Bull. London Math. Soc., 1985. vol. 17, no. 5. pp. 469-473. doi: 10.1112/blms/ 17.5.469.

24. Dieudonne J., Schwartz L. La dualite dans les espaces (F) et (LF) // Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1949. vol. 1. pp. 61-101 (In Flench).

Поступила в редакцию 15/XII/2014; в окончательном варианте — 10/II/2015; принята в печать — 25/II/2015.

74

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 1, pp.63—77

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1369

MSC: 46E10; 30D10, 30E20, 30H20

THE MULTIPLE INTERPOLATION DE LA VALLEE POUSSIN PROBLEM*

V. V. Napalkov1, A. U. Mullabaeva2

1 Institute of Mathematics with Computing Centre,

Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

112, Chernyshevskiy st., Ufa, 450077, Russian Federation.

2 Bashkir State University,

32, Zaki Validi st., Ufa, 450074, Russian Federation.

Abstract

This article is concerned with the solving of multiple interpolation de La Vallee Poussin problem for generalized convolution operator. Particular attention is paid to the proving of the sequential sufficiency of the set of solutions of the generalized convolution operator characteristic equation. In the generalized Bargmann-Fock space the adjoint operator of multiplication by the variable z is the generalized differential operator. Using this operator we introduce the generalized shift and generalized convolution operators. Applying the chain of equivalent assertions we obtain the fact that the multiple interpolation de La Vallee Poussin problem is solvable if and only if the composition of generalized convolution operator with multiplication by the fixed entire function ф(г) is surjective. Zeros of the function ф(г) are the nodes of interpolation. The surjectivity of composition of the generalized convolution operator with the multiplication comes down to the proof of the sequential sufficiency of the set of zeros of a generalized convolution operator characteristic function in the set of solutions of the generalized convolution operator with the characteristic function ф(г). In the proof of the sequential sufficiency it became necessary to consider the relation of eigenfunctions for different values of p,j. The eigenfunction with great value of p,j tends to infinity faster than eigenfunction with a lower value for z tends to infinity. The derivative of the eigenfunction of higher order tends to infinity faster than lower-order derivatives with the same values of . A significant role is played by the fact that the kernel of the generalized convolution operator with characteristic function ф^) is a finite sum of its eigenfunction and its derivatives. Using the Fischer representation, Dieudonne-Schwartz theorem

© 2015 Samara State Technical University.

How to cite Reference

NapalkovV. V., Mullabaeva A. U. The multiple interpolation de La Vallee Poussin problem, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 1, pp. 63-77. doi: 10.14498/vsgtu1369. (In Russian) Authors Details

Valentin V. Napalkov (Dr. Phys. & Math. Sci., Corresponding member of RAS; [email protected]), Director of Institute.

Aigul U. Mullabaeva ([email protected]; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis.

*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.

75

Напалков В. В., Муллабаева А. У.

and Michael’s theorem on the existence of a continuous right inverse we obtain that if the zeros of the characteristic function of a generalized convolution operator are located on the positive real axis in order of increasing then multiple interpolation de La Valiee Poussin problem is solvable in the interpolation nodes.

Keywords: generalized convolution operator, eigenfunctions of the generalized differentiation operator, Fischer representation, sequentially sufficient set, de La Vallee Poussin problem, interpolation nodes. doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1369

Acknowledgments. This work has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 14-01-00720-a, no. 14-01-97037-r-povolzh’e-ya).

ORCID

Valentin V. Napalkov: http://orcid.org/0000-0001-7462-0286 Aigul U. Mullabaeva: http://orcid.org/0000-0002-9052-2229

REFERENCES

1. Mullabaeva A. U., Napalkov V. V. Multiple interpolation de La Vallee Poussin problem, The fnd International Conference “Mathematical Physics and its Applications”, Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 259-260 (In Russian).

2. de La Vallee Poussin Ch. J. Sur l’equation differentielle lineaire du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equation d’ordre n, J. Math. pures et appl., 1929, vol. 8, no. 2, pp. 125-144 (In French).

3. Sansone J. Obyknovennye differentsial’nye uravneniia [Ordinary Differential Equations]. Moscow, In. lit., 1953, 345 pp. (In Russian)

4. Pokornyi Yu. V. Zeros of the Green’s function for the de la Vallee-Poussin problem, Sb. Math., 2008, vol. 199, no. 6, pp. 891-921. doi: 10.1070/SM2008v199n06ABEH003946.

5. Kiguradze I. T. Conditions for non-oscillation of singular linear differential equations of second order, Math. Notes, 1969, vol. 6, no. 5, pp. 843-847. doi: 10.1007/BF01101415.

6. Chichkin E. S. The non-oscillation problem for linear equations of fourth order, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1958, no. 3, pp. 248-250 (In Russian).

7. Chichkin E. S. On the non-oscillation of solutions of non-linear differential equations of third and fourth order, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1959, no. 5, pp. 219-221 (In Russian).

8. Levin A. Yu. Non-oscillation of solutions of the equation x(n) + p1(t)x(n-1) + ••• + + pn(t)x = 0, Russian Math. Surveys, 1969, vol. 24, no. 2, pp. 43-99. doi: 10.1070/ RM1969v024n02ABEH001342.

9. Pokornyi Yu. V. A nonclassical de la Vallee-Poussin problem, Differ. Equ., vol. 14, no. 1978, pp. 725-732.

10. Derr V. Ya. A generalized la Vallee-Poussin problem, Differ. Equ., 1987, vol. 23, no. 11, pp. 1254-1263.

11. Derr V. Ya Nonoscillation of Solutions of a Linear Quasidifferential Equation, Izvestiia Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta [Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ.], 1999, no. 1(16), pp. 3-105 (In Russian).

12. Napalkov V. V., Mullabaeva A. U. On one class of differential operators and their application, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 20, 2014, pp. 201-214 (In Russian).

13. Napalkov V. V., Mullabaeva A. U. Interpolation problem in kernels of operators generated by generalized Bargmann-Fock spaces, Dokl. Math., 2014, vol. 89, no. 1, pp. 42-44. doi: 10. 1134/s1064562414010104.

14. Napalkov V. V., Popenov S. V. The holomorphic Cauchy problem for the convolution operator in analytically uniform spaces, and Fisher expansions, Dokl. Math., 2001, vol. 64, no. 3, pp. 330-332.

76

Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена

15. Napalkov V. V., Nuyatov A. A. The multipoint de la Vallee-Poussin problem for a convolution operator, Sb. Math., 2012, vol. 203, no. 2, pp. 224-233. doi: 10.1070/ SM2012v203n02ABEH004220.

16. Zabirova K. R., Napalkov V. V. Dunkl convolution operators and their properties, Dokl. Math., 2013, vol. 87, no. 2, pp. 218-219. doi: 10.1134/s1064562413020051.

17. Zabirova K. R., Napalkov V. V. The Dunkl convolution operators and multipoint de la Vallee-Poussin problem, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2013, vol. 1(30), pp. 70-81 (InRussian). doi: 10. 14498/vsgtu1139.

18. Merzlyakov S. G., Popenov S. V. Interpolation with multiplicity by series of exponentials in H(C) with nodes on the real axis, Ufa Math. Journal, 2013, vol. 5, no. 3, pp. 127-140. doi: 10.13108/2013-5-3-127.

19. Napalkov V. V. Complex analysis and the Cauchy problem for convolution operators, Proc. Steklov Inst. Math., 2001, vol. 235, pp. 158-161.

20. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsional’nyi analiz v normirovanykh prostranstvakh [Functional analysis in normed spaces]. Moscow, Fizmatgiz, 1959, 684 pp. (In Russian)

21. Tkachenko V. A. Spectral theory in spaces of analytic functionals for operators generated by multiplication by the independent variable, Math. USSR-Sb., 1981, vol. 40, no. 3, pp. 387427. doi:10.1070/SM1981v040n03ABEH001833.

22. Shapiro H. S. An Algebraic Theorem of E. Fischer, and the Holomorphic Goursat Problem, Bull. London Math. Soc., 1989, vol. 21, no. 6, pp. 513-537. doi: 10.1112/blms/21.6.513.

23. Meril A., Struppa D. C. Equivalence of Cauchy Problems for Entire and Exponential Type Functions, Bull. London Math. Soc., 1985, vol. 17, no. 5, pp. 469-473. doi: 10.1112/blms/ 17.5.469.

24. Dieudonne J., Schwartz L. La dualite dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1949, vol. 1, pp. 61-101 (In French).

Received 15/XII/2014;

received in revised form 10/II/2015;

accepted 25/II/2015.

77